Integral(Anti turunan)

Integral tak tentuIntgral tertentuBeberapa penggunaan integral tertentu

OPERASI INVERS

PENJUMLAHAN PENGURANGAN

PERKALIAN PEMBAGIAN

TURUNAN INTEGRAL

Pengertian:

Mengintegral sebuah fungsi f(x) adalah mencari suatu fungsi yang turunannya f(x)

"":IntegralNotasi

xturunannyayangfungsisebuahmecariartinyadxxContoh 22:

Cxyaitu 2

CxdxxJadi 22

xadalahCxxfturunankarenaCxdxxJadi 2)(,2 22

5452)(,52)54( 22 xadalahCxxxfturunankarenaCxxdxx

2332 3)(,3 xadalahCxxfturunankarenaCxdxx

3443 4)(,4 xadalahCxxfturunankarenaCxdxx

22

11)(,

11

xadalahC

xxfturunankarenaC

xdx

x

Soal-soal

dxxx

dxx

dxx

dxx

dxx

)853(.5

)52(.4

)24(.3

3.2

4.1

2

2

JawabJawab

Cxxxdxxx

Cxxdxx

Cxxdxx

Cxdxx

Cxdxx

82

5)853(.5

5)52(.4

22)24(.3

3.2

24.1

232

2

2

32

2

dxxRumus n

.

.

...)(',6

1)(

...)(',5

1)(

...)(',4

1)(

...)(',3

1)(

...)(',2

1)(

...)(',)(

6

5

4

3

2

xfturunannyaCxxf

xfturunannyaCxxf

xfturunannyaCxxf

xfturunannyaCxxf

xfturunannyaCxxf

xfturunannyaCxxf

Menurunkan

Mengintegral

dxxRumus n

56

45

34

23

2

)(',6

1)(

)(',5

1)(

)(',4

1)(

)(',3

1)(

)(',2

1)(

1)(',)(

xxfturunannyaCxxf

xxfturunannyaCxxf

xxfturunannyaCxxf

xxfturunannyaCxxf

xxfturunannyaCxxf

xfturunannyaCxxf

Menurunkan

Mengintegral

CxdxprosesmembalikDengan 1

Cxxdx 2

2

1

Cxdxx 32

3

1

Cxdxx 43

4

1

Cxdxx 54

5

1

Cxdxx 65

6

1

Cxdxx 76

7

1

1,

)1(

1 1

nCxn

dxxKesimpulan nn( LATIHAN 1 )

Beberapa penggunaan integaral tak tentu

a.Mencari f(x) yang diketahui f’(x) dan f(a)

Contoh :Tentukan f(x) jika f’(x) = 2x + 4 dan f(3) = 10

1034)42()( 2 fdaridicariCmencariCxxdxxxf

11,21103.43)3( 2 CCCf

LATIHAN 2

114)( 2 xxxfJadi

b.Menentukan persamaan kurva yang diketahui gradien garis singgung dan titik yang dilalui

24sin: x

dx

dyadalahkurvapadatitikdisetiapggunggarisGradienContoh

kurvapersamaantentukantitikmelaluiituKurva ,6,2

222 2 xxyjadi

CtitikmelaluidicariCMencari 2.22.266,2, 2

LATIHAN 2

2486 CmakaC

Cxxdxxydxxdyxdx

dyJawab 2224)24(24: 2

Mitoda mengintegral1.Integral substitusi (bentuk 1)

CUdU

Umenjadidxxsehingga 6

55

18

1

3)43(

CxdxxmakaxUmenggantiDengan 65 )43(

18

1)43(43

dxbaxdarirumusCarilah n)(:

LATIHAN 3

'33

U

dUdx

dUdxataudxdU

Cbax

nadxbaxJawab nn

1)(

)1(

1)(:

Integral trigonometri

Integral Trigonometri RUMUS :

1. Cxxdx sincos

2. Cxxdx cossin

3. Caxa

axdx sin1

cos

4. Caxa

axdx cos1

sin

5. Cbaxa

dxbax )sin(1

)cos(

6. Cbaxa

dxbax )cos(1

)sin(

LATIHAN 4

Integral substitusi (bentuk 2)

dxxx

xContoh

4

)12(:

2

dx

xx

xsehingga

x

dU

U

dUdxxxUmisal

4

)12(

)12('4

2

2

CUdUUatau

x

dU

U

xmenjadi

2

1

2

1

2)12(

)12(

2

1

Cxxdx

xx

xyahasixxUmenggantidengan

42

4

)12(ln4 2

2

2

Latihan 5

)1:()1cos(8:2 22 xUmisalkanpetunjukdxxxContoh

Cxjawab )1sin(4: 2

2.Integral substitusi trigonometri

siklometriFungsi

xarcxJika

2

1sin

2

1sin

3

13

2

1sin3

2

1

3

1sin arc

txarctx sinsin

xarcttx

4

5sinsin

5

4

u

b

axatauu

b

axpermisalanmakaxbaegrannyaJika cossinint 222

gu

b

axatautgu

b

axnyapermisalanxbaegrannyaJika cotint 222

ecu

b

axatauu

b

axnyapermisalanaxbegrannyajika cossecint 222

uxmakauxmisaldxxcontoh 222 sin36sin636:

uumenjadixdanduudx 222 cos36sin363636cos6

duududuuumenjadisehingga )2cos

2

1

2

1(36cos36cos6.cos36 22

Cuuduu 2sin918)2cos1818(

maka

xudan

xarcumakauxkarena

6sin

6sinsin6

Cxx

xdxxsehingga

xxmenjadiu

22

2

362

1

6arcsin1836

36

3622sin

uxmisalkanpetunjukdxxcontoh sin

3

5925:2 2

duuumenjadidxxsehingga .cos

3

5.sin

9

25.925925 22

duudxdanuxmaka cos

3

5sin

9

25 22

ududuuuduuuatau 22 cos

3

25cos

3

5.cos5cos

3

5.sin2525

lanjut

C

xxxarcdxxyahasisehingga

5

925

5

6.

2

1.

12

25

5

3sin

6

25925ln

22

Cuuduuatauduu 2sin

2

1.

6

25

6

25)2cos

6

25

6

25()2cos

2

1

2

1(

3

25

Cxxxarc

2

9254

1

5

3sin

6

25

Latihan 6

Integral Parsial VdUVUUdVRumus .:

U

dX

dVV

dX

dUUVVU

dX

dYmakaVUYJikaBukti ..''..:

UdVVdUdYatauUdVVdUdY ..

UdVVdUVUUdVVdUYatauUdVVdUdY .

VdUVUUdVsehingga .

dxxxContoh 232:

CxxdxxVmakadxxdV 2

3

2

3

23

)23(9

2)23(

.3

12323

dxxx 232:

))23(9

2(.2 2

3

xdxmenjadi

sulitlebihakankelirudVdanUpemilihanJika

sehingga

)2()23(

9

2)23(

9

2.2)23(

9

2(2 2

3

2

3

2

3

xdxxxxxd

2

5

25

2

3

2

3

2

3

)203()(3

1.

9

4)23(

9

4.2)23(

9

2)23(

9

4. xx

xdxxx

x

Cxx

xxx

x 2

5

2

3

2

5

25

2

3

)23(135

8)23(

9

4)203(

)(3

1.

9

4)23(

9

4.

dxxdVdanxUdipilih 232:

dxxxcontoh 3cos4:2

xdxdVdanxUdipilih 3cos4:

xxdxVmaka 3sin

3

13cos

:sehingga

)4(.3sin3

13sin

3

1.43cos4 xdxxxdxxx

Cxx

x 3cos

3

43sin

3

4

Cxx

xdxxx

xatau

3cos

3

43sin

3

4.4.3sin

3

13sin

3

4

Luas sebagai limit jumlah dibatasiyangdaerahsuatudariLrumussuatutentukankitaAkan

nxxxxgmagmapanjang ,..,.,,sin_sin 321

denganervalbagiannmenjadidibagibxaervalituUntuk )(intint

)(,)( diarsiryangdaerahbxdengansampaiaxgarisdarixsumbuxfy

Y

XoX=a

X=b

Y=f(x)

gmayangxsumbupadatitikndarixkoordinatadalahxxxx n sin,...,,, 321

terletakxtitikumumnyapadasehinggaituervalpadaterletakgma 1,intsin

gambarlihatxpanjangnyayangervalpada 1int

ni xxxxx 321

YY=f(x)

oX

L1L2

L3

Ln

diambil luasan ke-I ( Li )

X=bX=a

ni xxxxx 321

L i

ix

ix

iii xxfL ).(

ikepanjangpersegidaerahluasLi

L i

f(xi)

111 )( xxfL

333 )( xxfL

444 )( xxfL

nnn xxfL )(

L33)( xxf 44 )( xxf nn xxf )(

222 )( xxfL

11)( xxf

22 )( xxf + + +… ++

i

n

in xxfLL )(1

bxdanaxervalpadaberadakarena int

b

ai

n

in xxfLditulisdapatxxfLLmaka )()(1

oxmakanhinggatakmendekatisekalibesardiambilnJika )(

b

aox

xxfLmaka it )(lim

b

a

b

aox

dxxfakandisederhanxxfLbentuk it )()(lim

Y

XoX=a

X=b

Y=f(x)

Kesimpulan

b

a

dxxf )(

Daerah yang dibatasi olehkurva y=f(x),dengan sb xdari x=a s/d x=b

adalah:

Contoh soal

dxxJawab

6

2

)22(:

y

Y=2x+2

0 2 6x

Tentukan bentuk integral yang sesuai dengan daerah yang diarsir

Contoh soal

dxxxjawab )4(:

6

4

2

xxy 42 y

x

Tentukan bentuk integral yang sesuai dengan daerah yang diarsir

o 6

Menghitung integral tertentu

c

a

dxxfcL )()(

)2(............0)()(

a

a

dxxfaL

)1(............)()(

b

a

dxxfbL

Integral tertentu adalah integral yang ada batas bawah dan batas atas

a disebut batas bawahb disebut batas atas

P Q

S R

UT

hc C+hX=a X=b

Y=f(x)

f(c+h)f(c)

x

y

o C+hX=a X=b

Misal luas yg dibatasi y=f(x)dg sb x dari x=a sd x=b adalah L(b)

b

a

dxxfBentuk )(

hc

a

dxxfhcL )()(

PQRSluasPQSTluasPQUTluasbahwaTerlihat

)(

)()()(

000

hcfh

cLhcLcf LimitLimitLimit

hhh

hhcfcLhcLhcf ).()()().(

)()(')()(')( cfcLcfcLcf

dalamsetiapuntukberlakutersebutkesamaankarenaOleh

makahjikahhcf

h

cLhcLcf 0,0,)(

)()()(

berlakubxauntukmakabaerval ,,int

)(0)()(,2 aFCCaFaLpersamaanBerhubung

)()(' xfxL fdaregralhasiladalahFCxFdxxfxL int,)()()(

)()()()()()( aFbFbLaFxFxL

didapatpersamaannmenggunakadenganakhirnya )1(

b

a

aFbFdxxf )()()(

b

a

b

a

xFditulisseringaFbFdxxf )()()()(

12)2(10)2.32()5.35(3)32(: 225

2

25

2

xxdxxContoh

Latihan 9

Y

XoX=a

X=b

Y=f(x)

Dengan menyelesaIesaikan

b

a

dxxf )(

b

a

b

a

xFditulisseringaFbFdxxf )()()()(

Daerah yang dibatasi olehkurva y=f(x),dengan sb xdari x=a s/d x=b

adalah:

Kerjakan latihan 10

a b

)()( xgydanxfykurvaduaantaradaerahLuas

X

b

a

b

a

b

a

dxxgxfataudxxgdxxfAdalah ))()((()(_)(:

Y=f(x)

y=g(x)y

x

Contoh soal

y=x2-x

:soalContoh

3

210

3

32))()3((

3

1

2

dxxxxLuas

y= x +3Y

X

0

x

y

y=sin2x

2

2

Contoh 2 : Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh :

Kurva y=cos2x dan y= sin2x

y= cos2x

xdari 0

dxxxdxxxdxxxLuas )2sin2(cos)2cos2(sin)2sin2(cos

4

3

4

0

4

3

4

0

x=f(y)

y=d

y=c

y

x

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = f(y) dengan sumbu ydari y=c s/d y=d adalah :

d

c

dyyfL )(