5. TURUNAN1. Definisi Turunan.2. Aturan Pencarian Turunan.3. Turunan Sinus dan Cosinus4. Aturan Rantai5. Cara Penulisan Leibniz

Definisi Turunan

Leibniz. WilhelmGottfried

oleh kan diperkenalnan untuk turu atau )( Lambang

)()(lim menjadi , Bila

)()(limlim)(`)`(

adalah terhadap dari pertamaTurunan

)()(limlim

dituliskan maka,0 sehinggakecil, sedemikian Apabila)()(

Maka .sebesar berubah sehingga sebesar berubah

nilaiMisalkan . iabeldengan var fungsisuatu adalah Bila

0

00

00

dxdy

dxxdf

hxfhxfhx

xxfxxf

xy

dxxdf

dxdyyxf

xyx

xfxxfxy

xxxfxxfy

yyx

xxf(x)y

h

xx

xx

Definisi Turunan (pendekatan geometri)

)()()(lim

)()()(limlimlim

:matematis simbolDengan

). (ditulis P titik pada grafik singgung gariskoefisien menjadiberubah PQ garisgradien ,0 Bila .0 dituliskanatau 0, mendekati hingga sedemikian ,menuju dan

grafik sepanjangberjalan yangik adalah tit dan ap, titik tetsebagai diambil titik Bila)(

)()()(

)()(

dan kan menghubung yang garis , slopeGradien / .sebesar bertambah maka ,sebesar bertambah bila , ke Dari

y

olehdiberikan dan antaraHubungan . pada terletak juga yanglain ik adalah tit Titik

.grafik padaik sebuah titadalah titik Bila

0

00

00

01

00

1100

0

00

0

01

01

01

00

0101

0101

11

00

xfxfxxf

xfxfxf

xymm

mf(x)xxxP

f(x)),yQ(x),yP(xxf

xfxxfxfxfxf

xy

xxyym

QPmyyxxQP

yyyyyxxxxxx

QPf(x)y),yQ(x

f(x)y),yP(x

xxxPQtg

tg

xyxyxyxy

yCynxyxy nn

sin`,cos .2cos`,sin .1

riTriginomet FungsiTurunan

0`,`, 1

Rumus-Rumus Dasar Turunan

xx

xx

g

aayay

eyey

yxyx

yxy

ln`,.2

`,.1

Eksponen FungsiTurunan

???`,log.2

1`,ln.1

Logaritma FungsiTurunan

Teori Turunan

)tan(),cos(),sin(.8)`()()()()`()()()()`()`( maka

,)()()()( Jika .7)(

)`()()()`()`( maka 0)( ,)()()( Jika .9

)`()()`( maka ,)()( Jika .8

)`()()()`()`( maka ,)()()( Jika .7)`()`()`( maka ,)()()( Jika .6

)`()`( maka ,)()( Jika 5.)`( maka ,)( Jika 4.

)`( maka ,)( Jika .3

1)`( maka ,)( Jika 2.0)`( maka ,)( Jika 1.

2

1

1

1

xxxxwxvxuxwxvxuxwxvxuxf

xwxvxuxfxv

xvxuxvxuxfxvxvxuxf

xuxunxfxuxf

xvxuxvxuxfxvxuxfxvxuxfxvxuxf

xCuxfxCuxfCnxxfCxxf

nxxfxxf

xfxxfxfCxf

nn

nn

nn

.2adalah dari turunan bahwaBuktikan .5

.5adalah 35 dari turunan bahwaBuktikan .4.0adalah 5 dari turunan bahwaBuktikan .3

22lim2lim

2lim)()(lim)`(

2)()(

)(

.2adalah dari turunan bahwaBuktikan .2

0lim

)()(lim)`(

)()(

.noldengan sama konstanta fungsi turunan bahwaBuktikan .1

2

0

2

0

222

00

222

2

2

0

0

xxf(x)

xf(x)f(x)

xxxxxxx

xxxxxx

xxfxxfxf

xxxxxxxxf

xxf

xxf(x)xCC

xxfxxfxf

CxxfCxf

xx

xx

x

x

Pembuktian

.sumbu dengan sejajar sebut titik terdi singgung garis hingga sedemikian

201232grafik padatitik -titikkoordinat Tentukan 5.

(1,4). titik di26grafik pada singgung garispersamaan Tentukan 4.

1.gradien memilikisaat pada 3grafik padakoordinat itik Tentukan t .3

.3 titik pada 23 garisgradien Hitunglah .2

1111 b. 69 a.

inidibawah fungsi-fungsi dari `Hitunglah .1

23

32

2

2

3234

x

xxxy

xxy

-xxy

x-xyxxx

f(x)xxf(x)

(x)f

Contoh Soal

)`( )`()`(.)(`)`( :lain simboldengan ditulisatau

. maka

,)()( )(),(

:berikut sebagai ditentukan yangkomposit fungsiadalah F biladan ,diturunkan

dapat yang dan dari fungsiadalah masing-masing dan Bila

xfugxfxfgxF

dxdu

dudy

dxdy

xfgxFyxfuugy

uxgf

Turunan Fungsi Komposit

131238

261234

12344 ,26

diperoleh ,

123 subtitusidengan Maka

.123 dari h 1.Hitungla

32

32

323

4

2

42

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

xxududyx

dxdu

uy

xxu

xxydxdy

Contoh Soal

)43tan( dari h 4.Hitungla

0.43xuntuk )43ln( dari h 3.Hitungla

)43cos(3

)43cos(cos ,3

diperoleh ,sin 43 subtitusidengan Maka

.)43sin( dari h 2.Hitungla

xydxdy

xydxdy

xdxdu

dudy

dxdy

xududy

dxdu

uyxu

xydxdy

Contoh Soal

11)2(1

21

11

2)`(1

.1

:Contoh

.`)(n maka ,)( Jika

221

2121

2

2122

2

2

1-nn

x

xxxxxdxdy

xxy

xxfxf(x)

xy

(x)fxfdxdyxfy

1cos2)2.(1cos

2)`(1

.)1sin(

:Contoh

.`)(cos maka ,)(sin Jika

22

2

2

xxxxdxdy

xxfxf(x)

xy

(x)fxfdxdyxfy

12sin22).12sin(

2)`(12.)12cos(

:Contoh

.`)(sin maka ,)(cos Jika

xxdxdy

xfxf(x)xy

(x)fxfdxdyxfy

)12cos(. .4

ln1 3.

cos 2.

cos. 1.

:Contoh

.``` maka Bila 4.

.̀`` maka Bila 3..̀`` maka Bila 2.

konstan. ,̀` maka Bila 1.berlaku Maka . dari fungsimerupakan

,dan dari fungsiadalah dimana rumit, fungsi-fungsiUntuk

3

2

3

2

xxyxx

xy

xxy

xxy

vuvvuy

vuy

uvvuyuvyvuyvuykkuykuy

xvuy

Aturan Rantai