1

• TUJUAN

Agar mahasiswa dapat memahami tentang

operasi matematis dalam Pengolahan citra

digital konvolusi dan transformasi Fourier

2

KONVOLUSI DAN TRANSFORMASI

FOURIER

Operasi Matematis dalam Pengolahan

Citra Digital

1. Konvolusi, terdapat pada operasi pengolahan

citra yang mengalikan sebuah citra dengan

sebuah mask atau kernel

2. Transformasi Fourier, dilakukan bila citra

dimanipulasi dalam ranah (domain) frekuensi

daripada spasial

Teori Konvolusi

• Operasi yang mendasar dalam pengolahan

citra adalah operasi konvolusi

• Konvolusi 2 buah fungsi f(x) dan g(x)

didefenisikan sebagai berikut :

h(x) = f(x) * g(x) =

)()( axgaf

3/4/2019 4

• Tanda * menyatakan operator konvolusi, dan

peubah (variabel) a adalah peubah bantu

(dummy variabel).

• Untuk fungsi diskrit, konvolusi didefenisikan

sebagai.

h(x) = f(x) * g(x) =

)()( axgaf

3/4/2019 5

• Pada operasi konvolusi di atas, g(x) disebutkernel konvolusi atau kernel penapis (filter)

• Kernel g(x) merupakan suatu jendela yangdioperasikan secara bergeser pada sinyalmasukan f(x), yang dalam hal ini, jumlahperkalian kedua fungsi pada setiap titikmerupakan hasil konvolusi yang dinyatakandengan keluaran h(x)

3/4/2019 6

• Ilustrasi konvolusi adalah sebagai berikut :

Misalkan fungsi f(x) dan g(x) seperti gambar 1

dan 2, langkah-langkah perhitungan hasil

konvolusi ditunjukkan mulai dari gambar 3

sampai dengan gambar 6, yaitu :

lainnya 0

2 x 1 x/2- 1

1 x 0 2/

)(*)(

x

xgxf

3/4/2019 7

1

1

a

f(a)

Gambar1

a

g(a)

1

1/2

Gambar 2

3/4/2019 8

-1

1/2

a

g(-a)

Gambar 3

a

g(x-a)

-

1

1/2

Gambar 4

x

3/4/2019 9

-1

1/2

a

F(a)g(x-a)

Gambar 5

a

F(a)g(x-a)

-

1

1/2

Gambar 6

x1

10 < x < 1

1X-1

3/4/2019 10

1/2

1 2

f(x)*g(x)

x

3/4/2019 11

Konvolusi Pada Fungsi Dua Dimensi

• Untuk fungsi dengan dua peubah (fungsi dua

dimensi atau dwimatra), operasi konvolusi

didefenisikan sebagai berikut :

a. Untuk fungsi kontinu

- -

b)dadb-ya,-b)g(xf(a,

y)g(x,*y)(x, f y)(x, h

3/4/2019 12

b. Untuk fungsi diskrit

- -

b)-ya,-b)g(xf(a,

y)g(x,*y)(x, f y)(x, h

3/4/2019 13

• Fungsi penapis g(x,y)_ disebut juga

convolution filter, convolution mask,

convolution kernel, atau template. Dalam

ranah diskrit kernel konvolusi dinyatakan

dalam bentuk matriks (umumnya 3 x 3).

Ukuran matrik ini biasanya lebih kecil dari

ukuran citra. Setiap elemen matriks

disebut koefisien konvolusi.

• Ilustrasi konvolusi ditunjukkan pada

gambar berikut3/4/2019 14

p1 p2 p3

p4 p5 p6

p7 p8 p9 f(i,j)

A B C

D E F

G H I

kernel

citra

98765

4321

Ip Hp Gp Fp

Dp Cp Bp Ap ),(

Ep

jif

3/4/2019 15

• Operasi konvolusi dilakukan dengan

menggeser kernel konvolusi pixel per pixel.

Hasil konvolusi disimpan dalam matriks

yang baru

• Contoh : Misalkan citra f (x,y) yang

berukuran 5 x 5 dan sebuah kernel atau

mask yang berukuran 3 x 3 masing-masing

adalah sebagai berikut :

3/4/2019 16

44253

35576

26665

25566

45344

),( yxf

01-0

1-41-

01-0

),( yxg

Ket: Tanda menyatakan posisi (0,0) dari kernel3/4/2019 17

• Operasi antara citra f(x,y) dengan kernel

g(x,y)

f(x,y) * g(x,y)

• Langkah penyelesaiannya sebagai berikut :

1.Tempatkan kernel pada sudut kiri atas,kemudian hitung nilai pixel pada posisi(0,0) dari kernel :

Hasil konvolusi =(0 x 4) + (-1 x 4) + (0 x 3)+ (-1 x 6) + (4 x 6) + (-1 x 5) + (0 x 5) + (-1x 6) + (0 x 6) = 3

3/4/2019 18

4 4 3 5 4

6 6 5 5 2

5 6 6 6 2

6 7 5 5 3

3 5 2 4 4

3/4/2019 19

3

Hasilnya

3/4/2019 20

2. Geser kernel satu pixel ke kanan, kemudian hitung

nilai pixel pada posisi (0,0) dari kernel :

4 4 3 5 4

6 6 5 5 2

5 6 6 6 2

6 7 5 5 3

3 5 2 4 4

Hasil konvolusi = 03/4/2019 21

Hasilnya :

3 0

3/4/2019 22

3. Geser lagi kernel satu pixel kekanan,

keamudian hitung nilai pixel pada posisis

(0,0) seperti langkah sebelumnya, didapat :

3 0 2

3/4/2019 23

• Selanjutnya geser kernel satu pixel ke

bawah, lalu mulai lagi melakukan

konvolusi dari sisi kiri citra, setiap kali

konvolusi, geser kernel satu pixel ke

kanan. Setelah baris ketiga dikonvolusi,

maka didapat hasil seperti gambar

berikut :

3/4/2019 24

3 0 2

0 2 6

6 0 2

3/4/2019 25

• Catatan :

Jika hasil konvolusi menghasilkan nilai

pixel negatif, maka nilai tersebut

dijadikan nol, sebaliknya jika hasil

konvolusi menghasilkan nilai pixel yang

lebih besar dari nilai maksimum, maka

nilai tersebut dijadikan ke nilai

keabuan maksimum.

3/4/2019 26

• Untuk pixel tepi tidak dikonvolusi, jadi

nilainya tetap sama seperti citra asal,

Sehingga hasil secara keseluruhan

adalah seperti gambar berikut :

3/4/2019 27

4 4 3 5 4

6 3 0 2 2

5 0 2 6 2

6 6 0 2 3

3 5 2 4 4

3/4/2019 28

• Konvolusi berguna pada proses pengolahan

citra seperti :

1. Perbaikan kualitas citra (image

enhancement)

2. Penghilangan derau

3. Penghalusan/pelembutan citra

4. Deteksi tepi, penajaman tepi

3/4/2019 29

1. Konvolusi, terdapat pada operasi

pengolahan citra yang mengalikan

sebuah citra dengan:

a. Sebuah mask

b. Koefisien

c. Nilai bias

d. 0

e. 1

2. Transformasi Fourier, dilakukan bila citra

dimanipulasi dalam ranah (domain)

frekuensi dari pada:

a. Kernel

b. Atas

c. Bawah

d. Citra

e. Spasial

3. Untuk fungsi diskrit, konvolusi didefenisikan

sebagai

h(x) = f(x) * g(x) =

Pada operasi konvolusi di atas, g(x) disebut

kernel:

a. Konvolusi d. Citra

b. Mask e. Piksel

c. Utama

)()( axgaf

3/4/2019 33

4. Operasi konvolusi dilakukan dengan:

a. Menggeser kernel konvolusi piksel

perpiksel

b. Mengganti kernel

c. Memanipulasi kernel

d. Mengalikan citra dengan sebuah mask

e. Deteksi tepi

3/4/2019 34

5. Konvolusi tidak berguna pada proses

pengolahan citra berikut ini:

a. Perbaikan kualitas citra

b. Penghilangan derau.

c. Penghalusan/pelembutan citra.

d. Deteksi tepi

e. Decompresi citra

3/4/2019 35