TUJUAN PEMBELAJARAN OUTCOME...

Geometri dalam Ruang, Vektor 129

Agar pembaca memahami tentang Sistem Koordinat Kartesian beserta

fungsinya yaitu titik, jarak dua titik, persamaan bola serta Vektor

dalam ruang dimensi tiga beserta aplikasinya yaitu sudut antara dua vektor, persamaan bidang yang dibentuk dari vektor, hasil kali silang

beserta penafsiran secara geometri

Setelah mempelajari bab ini diharapkan mahasiswa dapat :

1. Memahami dan mampu menyelesaikan segala permasalahan yang berkaitan dengan koordinat kartesian dalam ruang dimensi tiga,

antara lain Titik, Jarak dua Titik, Persamaan Bola, Posisi dua

buah Bola, Persamaan Bidang secara Geometri dan Aljabar

2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang

berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang

3. Memahami dan mampu menafsirkan sebuah Hasil Kali Silang dua

vektor beserta penerapannya dalam sebuah bidang

TUJUAN PEMBELAJARAN

OUTCOME PEMBELAJARAN


4.1. Sistem Koordinat Dimensi Tiga

Pada pembahasan yang telah kita lakukan, kita telah memahami dan

belajar pada bidang datar yang dikenal sebagai bidang Euclides atau

ruang dimensi dua hal ini telah diterapkan pada fungsi variable tunggal yaitu fungsi yang dapat digambarkan pada bidang datar.

Bagaimana jika fungsi yang akan kita pelajari adalah fungsi yang

mempunyai variable ganda atau yang sering kita sebut dengan

kalkulus peubah ganda, yaitu yang diterapkan pada suatu fungsi yang mempunyai dua peubah atau lebih.

Ambil tiga garis koordinat yang saling tegak lurus, misalnya sumbu-

sumbu X , Y dan Z dengan titik Nol berada pada suatu titik O

yang sama.disebut titik asal. Sistem koordinat dimensi tiga dapat

digambarkan seperti Gambar 4.1

Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, yaitu bidang yz ,

bidang xz dan bidang xy yang membagi ruang menjadi delapan

oktan, Jika titik P dalam ruang, maka koordinat kartesiusnya

dituliskan berupa bilangan ganda tiga yaitu ),,( zyxP

Dalam sistem koordinat dimensi tiga terbagi atas tiga bidang, yaitu :

1. bidang yz yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-x

2. bidang xz yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-y

3. bidang xy yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-z

ketiga bidang tersebut dapat digambarkan seperti Gambar 4.2 berikut

Gambar 4.1. Sistem Koordinat Dimensi 3

O

Z

X Y


Diketahui dua Titik yaitu titik )2,1,2(P dan titik )4,3,2( Q dimana

letak kedua titik tersebut

. Titik )2,1,2(P , maka artinya titik P terletak pada 2 satuan dari

XSumbu , 1 satuan dari YSumbu dan 2 satuan dari

ZSumbu artinya titik P terletak pada Oktan pertama

. Titik )4,3,2( Q , maka artinya titik Q terletak pada -2 satuan

dari XSumbu , -3 satuan dari YSumbu dan 4 satuan dari

ZSumbu artinya titik Q terletak pada Oktan ketiga

Gambar 4.2. Tiga Bidang dalam Koordinat Dimensi Tiga

O

Y

Z

X

(a) Bidang yz

O

Y

Z

X

(b) Bidang xy

(c) Bidang xz

O

Y

Z

X

Contoh 4.1 :

Penyelesaian 4.1 :


Jika titik ),,( zyxP sebenarnya merupakan jarak dari tiga bidang

tersebut, titik ),,( zyxP berarti berjarak x dari bidang yz, berjarak y

dari xz dan berjarak z dari bidang xy sehingga jika digambar dalam

sistem koordinat dimensi tiga seperti Gambar 4.3.

Diketahui titik )5,3,4( P gambarkan dalam sistem koordinat dimesi

tiga

Gambar titik )5,3,4( P seperti bangun sebuah balok

O

Y

Z

X

-5

-4

3

(-4,3,-5)

O

Z

X Y

(x,y,z)

y

x

z

Gambar 4.3. Jarak ke tiga bidang

Contoh 4.2 :

Penyelesaian 4.2 :


4.1.1. Jarak Dua Titik

Misalnya ada dua titik yaitu 1111 ,, zyxP dan dalam

ruang dimensi tiga dimana 21 xx , 21 yy dan 21 zz , 1P dan 2P

merupakan titik sudut yang berlawanan didalam suatu balok seperti

pada Gambar 4.4.

Jika kita letakan sebuah titik Q dan titik R ternyata masing-masing

titik mempunyai koordinat 122 ,, zyxQ dan titik R mempunyai

koordinat 1,12 , zyxR , karena segiriga 12QPP siku-siku di Q dan

segitiga 1QRP siku-siku di R , maka akan diperoleh panjang garis

21PP dan panjang garis 1QP menurut rumus Pytagoras yaitu

. 2

1

2

2

2

21 QPQPPP

Dan

. 2

1

22

1 RPQRQP sehingga panjang garis

2

1

22

2

2

21 RPQRQPPP

2

12

2

12

2

12

2

21 xxyyzzPP atau

212

2

12

2

12

2

21 zzyyxxPP

2

12

2

12

2

1221 zzyyxxPP

2222 ,, zyxP

Gambar 4.4. Jarak Dua Titik

Z

X

Y

2222 ,, zyxP

1111 ,, zyxP

QR


Secara umum jika diketahui dua titik 1111 ,, zyxP dan

maka panjang atau jarak antara titik 1P dan 2P dirumuskan sebagai

berikut :

Diketahui titik 2,4,3 P dan 5,2,4 Q tentukan jarak titik P ke

titik Q atau PQ

Diketahui 2,4,3 P dan 5,2,4 Q , maka jarak kedua titik itu

adalah :

2

12

2

12

2

12 zzyyxxPQ

222)2(54234 PQ

222767 PQ

423642 PQ

120PQ

95,10PQ

Diketahui titik 3,5,4 P dan 7,1,2 Q tentukan jarak titik P

ke titik Q atau PQ

2222 ,, zyxP

Contoh 4.3 :

Penyelesaian 4.3 :

Contoh 4.4 :

212

2

12

2

1221 zzyyxxPP


Diketahui titik 3,5,4 P dan titik 7,1,2 Q , maka jarak kedua

titik itu adalah :

2

12

2

12

2

12 zzyyxxPQ

222)3(75142 PQ

222446 PQ

141436 PQ

64PQ

8PQ

4.1.2. Bola dan Persamaanya

Pada pembahasan materi sebelumnya, yaitu telah diketahui bahwa

jarak dua buah titik misalnya titik 1111 ,, zyxP dan titik

2222 ,, zyxP adalah 2

12

2

12

2

1221 zzyyxxPP ,

karena sebuah bola merupakan himpunan titik zyxP ,, yang

berjarak sama atau konstan yaitu R atau jari-jari dari suatu titik

tetap cbaQ ,, sebagai titik pusat bola, maka jarak setiap titik

zyxP ,, ke titik pusat cbaQ ,, menurut rumus jarak dua titik

adalah 222czbyaxPQ , karena jarak titik P ke

titik Q atau PQ sama dengan jari-jari sebuah bola , maka RPQ

dan karena 222czbyaxPQ , maka

2222czbyaxPQ karena RPQ , maka didapat

22RPQ , sehingga diperoleh 2222 czbyaxR

maka persamaan bola dapat dirumuskan sebagai berikut :

Penyelesaian 4.4 :

2222Rczbyax


Jika kita gambarkan sebuah bola dengan titik pusat cba ,, dengan

jari-jari R seperti pada Gambar 4.5.

Jika persamaan 2222Rczbyax kita uraikan, maka

akan menjadi persamaan :

2222Rczbyax

2222222 222 Rcczzbbyyaaxx

2222222 222 Rcbaczbyaxzyx

0222 2222222 Rcbaczbyaxzyx

Jika aA 2 , bB 2 , cC 2 dan 2222 RcbaD , maka

persamaan akan menjadi :

0222 DCzByAxzyx

Sehingga persamaan bola dengan titik pusat di cba ,, dengan jari-

jari R adalah :

Dengan Catatan :

aA 2

bB 2

cC 2 2222 RcbaD

Z

X

Y

cba ,,

R zyx ,,

Gambar 4.5. Bola dengan titik pusat (a,b,c)

0222 DCzByAxzyx


Tentukan persamaan bola yang berpusat di titik 2,4,2 dengan jari-

jari 4.

Diketahui titik pusat bola 2,4,2 jari-jarinya 4R , maka

persamaanya :

2222Rczbyax

22224242 zyx

Sehingga persamaan bolanya adalah :

16242222 zyx

Tentukan persamaan bola yang berpusat di titik 0,0,0 dengan jari-

jari 3.

Diketahui titik pusat bola 0,0,0 jari-jarinya 3R , maka

persamaanya :

2222Rczbyax

22223000 zyx

Sehingga persamaan bolanya adalah : 9222 zyx

Diketahui bola 06812810222 zyxzyx , tentukan pusat

dan kari-jarinya

Contoh 4.5 :

Penyelesaian 4.5 :

Contoh 4.6 :

Penyelesaian 4.6 :

Contoh 4.7 :


Diketahui persamaan bola 06812810222 zyxzyx ,

maka diperoleh data 10A , 8B , 12C dan 68D , karena

. aA 2 102 a 5a

. bB 2 82 b 4b

. cC 2 122 c 6c

.2222 RcbaD

2222 64568 R

683616252 R

92 R

3R

Sehingga diperoleh kesimpulan bola tersebut mempunyai titik pusat

di titik 6,4,5 dengan jari-jari 3R

Grafiknya seperti Gambar 4.6

4.1.3. Titik Tengah

Hal lain yang berkaitan dengan jarak antara dua titik adalah titik

tengah, misalkan diketahui dua titik 1111 ,, zyxP dan 2222 ,, zyxP

yang masing-masing merupakan titik ujung dari sebuah garis, jika

titik tengah dari garis tersebut dituliskan sebagai 321 ,, mmmM

dimana 1m , 2m dan 3m diperoleh dari rumus :

2

211

xxm

, 2

212

yym

, 2

213

zzm

.

Penyelesaian 4.7 :

Z

X

Y

6,4,5

3

4

5

Gambar 4.6. Bola dengan pusat (5,4,6) dan R=3


Jika kita gambar, maka seperti Gambar 4.7

Tentukan titik tengah antara titik 2,4,21 P dan titi 8,4,62 P

Diketahui titik 2,4,21 P dan titik 8,4,62 P maka koordinattitik

tengahnya adalah 321 ,, mmmM dimana :

. 2

211

xxm

4

2

8

2

621

m

. 2

212

yym

0

2

0

2

442

m

. 2

213

zzm

5

2

10

2

823

m

Sehingga titik tengah mempunyai koordinat 5,0,4 M , jika

kitagambarkan seperti pada Gambar 4.8

Gambar 4.7. Titik tengah pada suatu Garis

2222 ,, zyxP

1111 ,, zyxP

321 ,, mmmM

1z

Z

X

Y 1m

2m

3m2z

2x 2y1y

1x

Contoh 4.8 :

Penyelesaian 4.8 :


Tentukan persamaan bola yang pusatnya merupakan titik tengah

dari suatu garis yang dibentuk dari dua titik 3,2,11 P dan titik

7,2,52 P

Persoalan yang kita hadapi adalah pusat bola belum diketahui, jari-jari belum diketahui, maka langkah pertama adalah menentukan

pusat bola dan jari-jari.

. Koordinat Titik tengah antara titik 3,2,11 P dan titik 7,2,52 P

adalah 321 ,, mmmM dimana :

2

211

xxm

2

2

4

2

511

m

2

212

yym

0

2

0

2

222

m

2

213

zzm

5

2

10

2

733

m

Jadi titik tengahnya 5,0,2M dan titik tengah ini merupakan

titik pusat bola

Gambar 4.8. Titik tengah pada suatu Garis

Z

X

Y

2,4,2

2

4

8,4,6

-4

6

5,0,4 M

-5

Contoh 4.9 :

Penyelesaian 4.9 :


. Jari-jari bola adalah jarak titik tengah 5,0,2M ke titik

3,2,11 P yaitu MP1 atau jarak titik 5,0,2M ke titik

7,2,52 P yaitu MP2

2

13

2

12

2

111 zmymxmMP

222

1 352012 MP

222

1 223 MP

4491 MP

171 MP

Sehingga persamaan bola yang dimaksud adalah :

222217502 zyx

1752222 zyx

Atau dalam bentuk :

012104222 zxzyx

4.1.4. Persamaan Bidang Datar

Grafik dalam ruang dimensi tiga pada prinsipnya sama dengan grafik pada bidang dimensi dua, jika pada dimensi dua berupa garis, maka

pada dimensi tiga akan berupa bidang, demikian juga jika pada

dimensi dua berupa bidang, maka jika digambar pada dimensi tiga

akan berupa ruang.

Persamaan linier pada ruang dimensi tiga merupakan sebuah bidang, secara umum persamaan linier dalam ruang dimensi tiga dirumuskan

sebagai berikut :

dengan syarat 0222 CBA

jika suatu bidang S memotong ke tiga sumbu koordinat yaitu

sumbu-x, sumbu-y dan sumbu-z, maka untuk menggambar grafiknya

kita tentukan titik potong pada ketiga sumbu tersebut, yaitu titik

potong sumbu-x yaitu 0,0,xP , titik potong sumbu-y yaitu 0,,0 yQ

DCzByAx


dan titik potong sumbu-z yaitu zR ,0,0 , untuk menentukan nilai

yx, dan z sebagai berikut :

. Untuk menentukan nilai x , maka kita beri nilai 0y dan 0z

. Untuk menentukan nilai y , maka kita beri nilai 0x dan 0z

. Untuk menentukan nilai z , maka kita beri nilai 0x dan 0y

Sehingga akan diperoleh ketiga titik potong yaitu 0,0,xP , 0,,0 yQ

dan zR ,0,0

Gambarkan grafik dari persamaan 12243 zyx

Untuk menentukan ke tiga titik potong terhadap sumbu-sumbu

koordinat, maka kita tentukan nilai-nilai yx, dan z , yaitu :

. Untuk menentukan nilai x , maka kita beri nilai 0y dan 0z

dan kita substitusikan ke persamaan 12243 zyx , maka

diperoleh

12)0(2)0(43 x

12003 x

123 x

4x sehingga titik potong sumbu-x adalah 0,0,4P

. Untuk menentukan nilai y , maka kita beri nilai 0x dan 0z

dan kita substitusikan ke persamaan 12243 zyx , maka

diperoleh

12)0(24)0(3 y

12040 y

124 y

3y sehingga titik potong sumbu-y adalah 0,3,0Q

. Untuk menentukan nilai z , maka kita beri nilai 0x dan 0y

dan kitasubstitusikan ke persamaan 12243 zyx , maka

diperoleh

122)0(4)0(3 z

12200 z

Contoh 4.10 :

Penyelesaian 4.10 :


122 z

6z sehingga titik potong sumbu-z adalah 6,0,0R

Sehingga kita peroleh titik-titik potong terhadap ke tiga sumbu yaitu

0,0,4P , 0,3,0Q dan 6,0,0R jika kita letakkan ketiga titik

tersebut pada sistem koordinat dimensi tiga, maka akan terlihat pada

Gambar 4.9

Gambarkan grafik dari persamaan 1264 yx

Karena persamaannya 1264 yx

dimana tidak mengandung

variable z , maka grafiknya sebuah bidang yang sejajar dengan sumbu- z , artinya tidak memiliki titik potong terhadap sumbu- z ,

Untuk menentukan ke dua titik potong terhadap sumbu-sumbu

koordinat, maka kita tentukan nilai-nilai x dan y , yaitu :

. Untuk menentukan nilai x , maka kita beri nilai 0y dan kita

substitusikan ke persamaan 1264 yx , maka diperoleh

12)0(64 x

1204 x

124 x


12 2 4 3 z y x

0,0,4P

0,3,0Q

6,0,0RZ

X

Y

Gambar 4.9. Bidang dari sebuah persamaan

Contoh 4.11 :

Penyelesaian 4.11 :


. Untuk menentukan nilai y , maka kita beri nilai 0x dan kita

substitusikan ke persamaan 1264 yx , maka diperoleh

1264 yx

126)0(4 y

126 y

2y sehingga titik potong sumbu-y adalah 0,2,0Q

Karena dalam persamaan 1264 yx tidak ada variabel z , maka

berarti bidang datar tersebut sejajar dengan sumbu-z, sehingga tidak

ada titik potong sumbu-z, kita hanya memperoleh titik potong

terhadap sumbu-x yaitu 0,0,3P , dan titik potong sumbu-y yaitu

0,2,0Q jika kita letakkan kedua titik tersebut pada sistem koordinat

dimensi tiga, maka akan terlihat pada Gambar 4.10

Gambarkan grafik dari persamaan 842 zx

Karena persamaannya 842 zx dimana tidak mengandung

variable y , maka grafiknya sebuah bidang yang sejajar dengan

sumbu- y , artinya tidak memiliki titik potong terhadap sumbu- y ,

0,0,3P

0,2,0Q

1264 yx

Z

X

Y

Gambar 4.10. Bidang Sejajar Sumbu-z

Contoh 4.12 :

Penyelesaian 4.12 :


Untuk menentukan ke dua titik potong terhadap sumbu-sumbu

koordinat, maka kita tentukan nilai-nilai x dan z , yaitu :

. Untuk menentukan nilai x , maka kita beri nilai 0z dan kita

substitusikan ke persamaan 842 zx , maka diperoleh

8)0(42 x

802 x

82 x


. Untuk menentukan nilai z , maka kita beri nilai 0x dan kita

substitusikan ke persamaan 842 zx , maka diperoleh

842 zx

84)0(2 z

84 z

2z sehingga titik potong sumbu-z adalah 2,0,0R

Karena dalam persamaan 842 zx tidak ada variabel y , maka

berarti bidang datar tersebut sejajar dengan sumbu-y, sehingga tidak

ada titik potong sumbu-y, kita hanya memperoleh titik potong

terhadap sumbu-x yaitu 0,0,4P , dan titik potong sumbu-z yaitu

2,0,0R jika kita letakkan kedua titik tersebut pada sistem koordinat

dimensi tiga, maka akan terlihat pada Gambar 4.11

2,0,0Q

Z

X

Y 0,0,4P

842 zx

Gambar 4.11. Bidang Sejajar Sumbu Y


4.1.5. Soal-Soal Latihan

1. Tentukan jarak titik 3,1,6 P ke titik 5,2,2 Q

2. Diketahui titik-titik 2,5,4 , 3,7,1 dan 5,4,2 merupakan titik

sudut suatu segitiga, perlihatkan bahwa segitiga tersebut adalah

segitiga sama sisi

3. Diketahui titik-titik 5,0,1 , 8,6,3 dan 7,4,7 merupakan titik-

titik sudut suatu segitiga, perlihatkan bahwa segitiga tersebut

adalah segitiga siku-siku dengan bantuan teorema Phytagoras

4. Sebuah kotak persegipanjang sisi-sisinya sejajar bidang-bidang

koordinat dan sebagai titik ujung diagonal utamanya adalah 4,3,2

dan 0,2,5 , Gambarkan kotak itu dan cari koordinat ke delapan

titik sudutnya

5. Tuliskan persamaan bola yang titik pusatnya dan jari-jarinya sebagai berikut :

a. 4,1,3 , 5 b. 4,0,1 , 6

c. 3,2,6 , 2 d. 0,0,3 , 3

6. Cari persamaan bola yang pusatnya 5,4,2 dan menyinggung

bidang xy

7. Tentukan pusat bola dan jari-jarinya dari persamaan bola di

bawah ini

a. 0181412222 zyxzyx

b. 0341062222 zyxzyx

c. 0121684444 222 zyxzyx

d. 0772248222 zyxzyx

8. Buatkan sketsa grafik dari persamaan yang diketahui

a. 12362 zyx

b. 24243 zyx

c. 63 zyx

d. 623 zyx

9. Tentukan persamaan bola yang mempunyai ruas garis yang

menghubungkan titi 6,3,2 dan 5,1,4 sebagai garis tengah

TUJUAN PEMBELAJARAN OUTCOME...

Documents

Transcript of TUJUAN PEMBELAJARAN OUTCOME...