TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Pertemuan

Ke-11 : Kriteria KeterbagianOleh : Dr. Kusnandi, M.Si.

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Tujuan PembelajaranMahasiswa dapat memahami konsep kriteria keterbagian dan menerapkannya dalam permasalahan matematika yang relevan

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Sistem Bilangan a. Sistem Bilangan dengan basis 10 (desimal)

Sistem bilangan dengan basis (dasar) 10 artinya menyajikan bilangan berdasarkan pengelompokan yang terdiri atas 10 buah.

Dalam sistem desimal, bilangan N = 34256 dapat disajikan dengan

N = 3.104 + 4.103 + 2.102 + 5.101 + 6

6 sepuluhan + 7 buah.Notasi : 67

TUJUAN

MATERI

ILUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

b. Sistem bilangan dalam basis tertentu

Sistem Bilangan

Bilangan bulat N = (anan-1. . .a2a1a0)b dalam basis b dapat disajikan dengan

N =. an bn + an-1

bn-1 + . . . + a2 b2 + a1b + a0

dengan b > 1 dan 0 ak < b.

Contoh 1 Nyatakan bilangan bulat 105 dalam basis 2, dan sebaliknya tentukan bilangan bulat yang dalam sistem biner (1001111)2.Jawab:

105 = (1101001)2

(1001111)2 = 79

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Kriteria Keterbagiana. Kriteria keterbagian dengan bilangan 2

Bilangan bulat N = (anan-1. . .a2a1a0) dalam sistem desimal disajikan sebagai berikut

N =. an 10n + an-110n-1 + . . . + a2102 + a110 + a0

dengan 0 ak < 10. Karena 2 | 10k untuk setiap bilangan asli k, N dapat ditulis

N = 2q + a0 a0 = N – 2q

2 | N a0 = 2(p – q) 2 | N 2 | a0 (2 membagi angka satuannya)

b. Apa kriteria keterbagian dengan bilangan 4 ?

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Kriteria Keterbagianc. Kriteria keterbagian dengan bilangan 9

N =. an 10n + an-110n-1 + . . . + a2102 + a110 + a0

Karena 10 ≡ 1 (mod 9) maka 10k ≡ 1 (mod 9)

Perhatikan: an 10k ≡ an (mod 9)

an-1 10k-1 ≡ an-1 (mod 9) . . . a1 10 ≡ a1 (mod 9)

a0 ≡ a0 (mod 9) Jadi, N ≡ (an+ an-1+ . . . + a1

+ a0) (mod 9)

sehingga 9 | N 9 | (an+ an-1+ . . . + a1 + a0)

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Kriteria Keterbagiand. Kriteria keterbagian dengan bilangan 11

N =. an 10n + an-110n-1 + . . . + a2102 + a110 + a0

Karena 10 ≡ –1 (mod 9) maka 10k ≡ (–1)k (mod 9)

Perhatikan: an 10k ≡ an (mod 9) misalkan n genap

an-1 10k-1 ≡ –an-1 (mod 9) . . . a1 10 ≡ –a1 (mod 9)

a0 ≡ a0 (mod 9) Jadi, N ≡ (an – an-1+ . . . – a1

+ a0) (mod 9)

sehingga 9 | N 9 | (an – an-1+ . . . – a1 + a0)

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Illustrasi 1: Periksa apakah bilangan N = 1.571.724 habis

dibagi dengan 9 atau 11 ?

Illustrasi 2: Tanpa melakukan proses pembagian, tentukan angka a

dalam perkalian dua bilangan

 512 . 1a53125 = 1.000.000.000

Illustrasi 3: Jika bilangan dengan 18 angka

A36 405 489 812 706 44B

habis dibagi dengan 99, carilah semua nilai yang

mungkin dari pasangan terurut (A, B).

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGANLatihan (1)

1. Nyatakan bilangan bulat di bawah ini ke dalam basis yang diberikana. 326 = (……….)4

b. 654 = (……….)5

c. 2143 = (………)8

2. Nyatakan bilangan dalam basis yang diberikan ke dalam bilangan dengan basis tertentua. (324)5 = (………)3

b. (1231)4 = (………)6

c. (11021)3 = (……....)7

4. Tentukan bilangan dalam basis yang diberikan dari hasil perhitungan di bawah ini:a. (12013)4 + (31121)4 = (………..)4

b. (32141)5 – (11314)5 = (………..)5

c. (231)6 x (123)6 = (………..)6

d. (11021)3 + (2103)4 = (………..)5

5. Tanpa melakukan pembagian, tentukan apakah bilangan 176.521.221

dan 49.235.678 dapat dibagi dengan 9 atau 11.

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGANLatihan (2)

6. Kerjakan dengan modulo 9 atau 11 untuk mencari angka-angka yang tidak muncul pada perhitungan di bawah ini.

a. 51840 . 273581 = 1418243x040b. 2x99561 = [3(523 + x)]2

c. 2784x = x . 55697. Carilah sisa pembagiannya apabila bilangan

122333444455555666666777777788888888999999999

dibagi dengan 9.

8. Untuk sembarang bilangan bulat a, tunjukkan bahwa angka terakhir dari a2 – a + 7 adalah salah satu dari angka-angka 3, 7 atau 9.

9. Carilah sisanya apabila 44444444 dibagi dengan 9.

10. Dengan mengasumsikan bahwa 495 membagi 273x49y5, tentukan

angka-angka x dan y.

11. Tentukan angka terakhir dari bilangan 7999. [Petunjuk: Gunakan modulo 10]

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGANLatihan (3)

12. Tentukan angka satuan dari 172013.

13. Misalkan diberikan bilangan bulat positif N. Misalkan M adalah bilangan bulat yang dibentuk dengan cara menyusun sebaliknya dari susunan angka-angka dalam N (sebagai contoh, jika N = 6923, maka M = 3296). Periksalah bahwa bilangan N – M dapat dibagi dengan 9.

14. Bilangan palindrome adalah bilangan yang dibaca baik dari depan maupun dari belakang adalah sama (sebagai contoh, 373 dan 521125

adalah bilangan palindrom). Buktikan bahwa setiap bilangan palindrome yang banyak angka-angkanya genap dapat dibagi dengan 11.

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Terima kasih