Tugas_Besar_Metoda_Numerik.docx

TUGAS BESAR

METODA NUMERIK

OLEH :

KELOMPOK 5

1. DIVA SEPTIAN JONES (1110952049)

2. RAMA DANIL FITRA (1110952017)

3. WAHYU PRABOWO JM (1110951009)

DOSEN :

HERU DIBYO LAKSONO,ST, MT

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS ANDALAS

PADANG

2013

1 . AKAR-AKAR PERSAMAAN

A. Metode Tertutup

1 . Metode grafik

Metode yang sederhana untuk memperoleh taksiran atas akar persamaan f

(x) = 0 adalah membuat gambar grafik fungsi dan mengamati di mana ia

memotong sumbu x. Titik ini, yang mewakili nilai x untuk mana f (x) = 0,

memberikan aproksimasi (hampiran) kasar dari akar.

Nilai praktis dari teknik-teknik grafis sangat terbatas karena kurang tepat.

Namun, metode grafis dapat dimanfaakan untuk memperoleh taksiran kasar

dari akar.Taksiran-taksiran ini dapat diterapkan sebagai terkaan

awal untuk metode numerik yang di bahas di sini dan bab berikutnya.

Misalnya perangkat lunak komputer TOOLKIT Elektronik yang menyertai

naskah ini memperbolehkan anda untuk menggambarkan fungsi pada suatu

rentang tertentu. Gambaran ini dapat digunakan untuk memilih terkaan yang

mengurung akar sebelum mengimplementasikan metode numerik. Pilihan

penggambaran akan sangat meningkatkan kegunaan perangkat lunak

tersebut. Selain menyediakan terkaan kasar untuk akar, taksiran grafis

merupakan sarana yang penting untuk memahami sifat-sifat fungsi dan

mengantisipasi kesukarankesukaran yang tersembunyi dari metodemetode

numerik

SOAL

- Tentukan akar-akar nyata dari :

Dengan batas atas = 2, batas bawah = -1, selang 0,25

Penyelesaian : (oleh Wahyu Prabowo)

x = -1

x = -0,75

x = -0,5

x = -0,25

x = 0

x = 0,25

x = 0,5

x = 0,75

x = 1

x = 1,25

x = 1,5

x = 1,75

x = 2

X f(x)

-1

-0,75

-0,5

-0,25

0 4

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1,75

2

Dengan menggunakan metode grafik, nilai akar-akar yang diperoleh adalah xr = -

0,5 dengan f(x) = 3,0948

- Diketahuisebuahpersamaan dengannilaibatasbawah =

-1 danbatasatas = 1, selang = 0.3


Untuk x = -1

Untuk x= -0.7

Dari nilaidiatasditemukannilaisalahsatuakarakarpersamaan

yaitu,

X = -0.7

2. Metode Bagi Dua

Diketahui f(x) = 0 dan f(x) fungsi kontinu pada interval [a,b]. Anggap

terdapat dua angka x1 dan x2 dimana a<=x1<x2<=b sedemikian hingga f(x1)

dan f(x2) mempunyai tanda yang berbeda. Kondisi ini minimal akan

memberikan satu solusi untuk f(x)=0 pada interval [x1,x2] (Churchhouse,

1981). Jika x1 dan x2 merupakan aproksimasi maka untuk menentukan x3

metode Bisection menggunakan :

x3 = ½(x1 + x2)

Aproksimasi dianggap cukup jika

|f(x3)| <

Jika tidak untuk menentukan aproksimasi berikutnya menggunakan aturan

sebagai berikut:

x4 = ½(x1 + x3) , jika f(x3) f(x1) <0

x4 = ½(x2 + x3) , jika f(x3) f(x2) <0

SOAL

SUMBER: http://teoriMENUM/Metode%20BagiDua%20(Bisection

%20Method)%20_%20Math%20IS%20Beautiful.htm

- Tentukan akar-akar nyata dari :

menggunakan metode bagi dua untuk mendapatkan akar terendah, lakukan

tebakan awal dengan dengan nilai adalah 6%.

Penyelesaian : (oleh Diva Septian Jones)

http://teoriMENUM/Metode%20BagiDua%20(Bisection%20Method)%20_%20Math%20IS%20Beautiful.htm


Iterasi 1.

f(xi) x f(xr)< 0, xr = xu baru maka xr = xu baru

iterasi 2.

f(xi) x f(xr)> 0, xr = xi baru maka xr = xi baru

iterasi 3.

Karena harga εttelah kecil maka dapat dihentikan iterasi dengan mengambil

akarnya:

xr = 0.475

- Diketahui suatu persamaan : (oleh Diva Septian Jones)

Xu = 4

Xi = 3,5

Penyelesaian :

Iterasi 1

Xu = 4

Xi = 3,5

Iterasi 2

f(Xi) = 19(3,5)4 + 26(3,5)3+5(3,5)2+ 21(3,5) + 52 = 4152,68

f(Xr) = 19(3,75)4 + 26(3,75)3+ 5(3,75)2 + 21(3,75) + 52 = 5329,48

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr = 3,75

Xu = Xu = 4

Iterasi 3

f(Xi) = 19(3,75)4 + 26(3,75)3+ 5(3,75)2 + 21(3,75) + 52 = 5329,48

f(Xr) = 19(3,875)4 + 26(3,875)3+ 5(3,875)2 + 21(3,875) + 52 = 6005,18

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr = 3,875

Xu = Xu = 4

Iterasi 4

f(Xi) = 19(3,875)4 + 26(3,875)3+ 5(3,875)2 + 21(3,875) + 52 = 6005,18

f(Xr) = 19(3,9375)4 + 26(3,9375)3+ 5(3,9375)2 + 21(3,9375) + 52 = 6366,47

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr = 3,9375

Xu = Xu = 4

Iterasi 5

f(Xi) = 19(3,9375)4 + 26(3,9375)3+ 5(3,9375)2 + 21(3,9375) + 52 = 6366,47

f(Xr) = 19(3,96875)4 + 26(3,96875)3+ 5(3,96875)2 + 21(3,968375) + 52 =

6553,17

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr = 3,96875

Xu = Xu = 4

Iterasi 6

f(Xi) = 19(3,96875)4 + 26(3,96875)3+ 5(3,96875)2 + 21(3,968375) + 52 =

6553,17

f(Xr) = 19( )4 + 26( )3+ 5( )2 + 21( ) + 52 =

6647,61

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr =

Xu = Xu = 4

Iterasi 7

f(Xi) = 19( )4 + 26( )3+ 5( )2 + 21( ) + 52 =

6647,61

f(Xr) = 19( )4 + 26( )3+ 5( )2 + 21( ) + 52 = 6694,75

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr = 3,992

Xu = Xu = 4

Akar dari persamaan tersebut adalah : Xr = 3,996

3.Metode Posisi Palsu

Pada metode Bisection konvergensi akan dicapai dengan jumlah iterasi

yang besar. Untuk itu metode False Pisition memberikan metode untuk

mencari aproksimasi berikutnya dari dua nilai awal yang diketahui yakni:

x3=x1 f ( x2 )−x2 f ( x1)

f ( x2 )−f ( x1)

Sedangkan untuk menentukan x4 digunakan menggunakan rumusan yang

sama namun x1 dan x2 diganti dengan :

x3 dan x1 jika f(x3) f(x1) <0

x3 dan x2 jika f(x3) f(x2) <0

SOAL

- Tentukan akar – akar nyata dari dengan menggunakan

metode posisi palsu dengan

Penyelesaian : (oleh Rama Danil Fitra)

Iterasi 1

maka

Iterasi 2

maka

Sehingga akar f(x) adalah 0.3885.

- Diketahui persamaan :

Xi = 1

Xu = 2,5

ε = 0.5 %


Iterasi 1

Xi = 1

Xu = 2,5

Iterasi 2

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr = 1,74

Xu = Xu = 2,5

Iterasi 3

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr = 1,766

Xu = Xu = 2,5

Iterasi 4

f(Xi) .f(Xr) < 0

Xi = Xi = 1,766

Xu = Xr = 1,777

Iterasi 5

f(Xi) .f(Xr) < 0

Xi = Xi = 1,766

Xu = Xr = 1,7675

-

B. Metode Terbuka

1. Metode Satu Titik Sederhana

Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan

sebagian x yang lain sehingga diperoleh : x = g(x).dikenal juga sebagai

metode x = g(x)Bentuk iterasi satu titik ini dapat dituliskan

dalam bentuk x(n+1)=g(xn) Dimana n=0,1,2,3,....

SOAL

- Diketahui fungsi yaitu . Tentukanlah akar

riil dari persamaan tersebut dengan metode iterasi satu titik sederhana,

dimana nilai minimum adalah 5%

Penyelesaian: (oleh Wahyu Prabowo)

Iterasi pertama

Iterasi Kedua

Iterasi Ketiga

Iterasi Keempat

- Tentukan akar-akar persamaan dari dengan

menggunakan metode iterasi satu titik sederhana. Dimana diketahui x0

= 0 dan ε = 0,5 %


Iterasi 1 : x = 0

Iterasi 2 : x= 0,333

Iterasi 3 : x= 0,1711

Iterasi ke 4 : x = 0,236


Iterai ke 6 : x = 0,22

Iterasi ke 7 : x = 2146


2. Newton Raphson

X* X2 X1 X0

f

f’(x0)

f’ (x1)

Pandang f(x) = 0 sebagai persamaan non linear, diberikan titik (x0,y0) =

(x0 , f(x0)), sehingga didapat :

x1 x0 - ( 1

slope) y0 = x0 -

f ( x0 )f '( x0)

Gambar 2.1

Ilustrasi proses iterasi pada Metode Newton

Pada setiap level iterasi m dilakukan apoksimasi grafik f di dekat xm

dengan garis lurus yang melalui titik (xm , f(xm)) dan mempunyai slope

f’(xm). Sedangkan xm+1 := xm -

f ( xm)f ' ( xm) dari aproksimasi fungsi tersebut

menjadi nilai untuk iterasi berikutnya.

SOAL

-Tentukan akar-akar dari dengan menggunakan

metode newton raphson dimana, tebakan awal dan


dan

Iterasi 1

Iterasi 2

Iterasi 3

Iterasi 4

Iterasi Xi

0 3.6 -

1 3.227 0.115

2 3.05 0.058

3 2.995 0.0185

4 3 0.00167

Dari table dapat dilihat bahwa nilai kesalahan ( ) telah kecil dari yang

ditentukan, maka didapat akar dari persamaan adalah 3

-

Karena harga kesalahan (ε) nya telah kecil dari yang ditentukan maka proses

iterasi berhenti, dan didapatkan akarnya:

xr+1 = 2.8601

3.MetodeSecant

Hambatan utama dari pemakaian metode Newton adalah diperlukannya

turunan pertama (differensial) dari f(x) dalam perhitungan. Kadang-kadang

sulit untuk mendeferensialkan persamaan yang diselesaikan. Untuk itu maka

bentuk diferensial didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial

beda hingga.

Dalam pembahasan berikut kita dapat menggunakan metode Secant ,

diperbandingkan Gambar.3.3 dengan Gambar.3.2 , akan terlihat bahwa

tangen di P dalam Gambar.3.2 ditempatkan lagi dalam Gambar.3.3 dengan

menghubungkan dua titik P dan Q. Jika P dan Q semakin dekat keduanya,

maka garis akan berbeda sedikit dari tangennya. Sebenarnya, P dan Q

adalah titik-titik dengan koordinat (xr , f(xr)) dan (xr-1 , f(xr-1)). Garis yang

menghubungkan P dan Q memotong sumbu x di titik T, memberikan

pendekatan berikutnya xr+1 dengan segitiga yang sama ;

Dengan demikian :

xr+1 = xr -TM = xr - { } f (xr) (3.4)

Ini merupakan rumusan dasar untuk metoda Secant. Disini membutuhkan

dua nilai awal x0 , x1 untuk memulai prosesnya.

SOAL

- Diketahui Persamaan , tentukanlah akar

persamaan tersebut dengan metodesecant dimana nilai minimal adalah 5%.

Nilai tebakn awal adalah .


Dari persamaan dapat ditentukan:

Iterasi Pertama

Iterasi kedua

Karena nilai telah lebih kkecil dari 5%, maka, akar riil adri persamaan adalah

2.622

- Tentukan akar-akar dari dengan menggunakan

metode secant dimana, tebakan awal , , dan


dan

Iterasi 1

Iterasi 2

Iterasi 3

iterasi

1 2.9 3.1 3.04 0.06

2 3.1 3.04 3.049 0.009027

3 3.04 3.049 3.049094 0.0000941

Dari table dapat dilihat bahwa nilai kesalahan ( ) telah kecil dari yang

ditentukan, maka didapat akar dari persamaan adalah 3.049049

SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINEAR

A. Metode Eliminasi Gauss

Hambatan utama dari pemakaian metode Newton adalah diperlukannya

turunan pertama (differensial) dari f(x) dalam perhitungan. Kadang-kadang

sulit untuk mendeferensialkan persamaan yang diselesaikan. Untuk itu maka

bentuk diferensial didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial

beda hingga.

Dalam pembahasan berikut kita dapat menggunakan metode Secant ,

diperbandingkan Gambar.3.3 dengan Gambar.3.2 , akan terlihat bahwa

tangen di P dalam Gambar.3.2 ditempatkan lagi dalam Gambar.3.3 dengan

menghubungkan dua titik P dan Q. Jika P dan Q semakin dekat keduanya,

maka garis akan berbeda sedikit dari tangennya. Sebenarnya, P dan Q

adalah titik-titik dengan koordinat (xr , f(xr)) dan (xr-1 , f(xr-1)). Garis yang

menghubungkan P dan Q memotong sumbu x di titik T, memberikan

pendekatan berikutnya xr+1 dengan segitiga yang sama ;

Dengan demikian :

xr+1 = xr -TM = xr - { } f (xr) (3.4)

Ini merupakan rumusan dasar untuk metoda Secant. Disini membutuhkan

dua nilai awal x0 , x1 untuk memulai prosesnya.

SOAL

- Tentukanlah nilai dari persamaan berikut ini dengan

menggunakan metode gauss

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 6 20 2010 22 5 602 20 15 100

x x xx x x

x x x


untuk membuat 10 menjadi 0 maka dibuat

pengali =5

menjadikan 2 pada sudut kiri bawah, maka

dibuat pengali =-1

jadikan kolom 2 baris ke 3 =0

Maka didapatkan nilai :

Jadi , didapatkan hasil yaitu :

- Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut.

2x + 4y - 2z = 12

x + 5y + 3z = 8

-3x + y + 3z = -4


matriks augmentasi :

[ 2 41 5

−3 1

−2 123 83 −4 ]

Kalikan baris pertama dengan 0.5

a11'=a11 x 0,5

= 2 x 0,5 = 1

a12'=a12 x0,5

= 4 x 0,5 = 2

a13'=a13 x 0,5

= -2 x 0,5 = -1

b1'=b1 x 0,5

= 12 x 0,5 = 6

[ 1 21 5

−3 1

−1 63 83 −4 ]

Tambahkan baris kedua dengan (-1) kali baris pertama

a21'=a21+(−1 )a11

= 1 + (-1)1 = 0

a22'=a22+(−1 )a12

= 5 + (-1)2 = 3

a23'=a23+ (−1 ) a13

= 3 + (-1)(-1) = 4

b2'=b2+ (−1 ) b1

= 8 + (-1)6 = 2

[ 1 20 3

−3 1

−1 64 23 −4 ]

Tambahkan baris ketiga dengan 3 kali baris pertama

a31'=a31+3. a11

= -3 + 3.1 = 0

a32'=a32+3. a12

= 1 + 3.2 = 7

a33'=a33+3. a13

= 3 + 3.(-1) = 0

b3'=b3+3. b1

= -4 + 3.6 = 14

[1 20 30 7

−1 64 20 14]

Kalikan baris kedua dengan 1/3

a21'=1

3a21

¿ 13

.0=0

a22'=1

3a22

¿ 13

.3=1

a23'=1

3a23

¿ 13

.4=1.33

b2'=1

3b2

¿ 13

.2=0.67

[1 20 10 7

−1 61.33 0.67

0 14 ] Tambahkan baris pertama dengan (-2) kali baris kedua

a11'=a11+(−2) . a21

= 1 + (-2).0 = 1

a12'=a12+(−2). a22

= 2 + (-2).1 = 0

a13'=a13+(−2). a2

= -1 + (-2).1.33 = -3.67

b1'=b1+(−2) .b2

= 6 + (-2).0.67 = 4.67

[1 00 10 7

−3.67 4.671.33 0.67

0 14 ] Tambahkan baris ketiga dengan (-7) kali baris kedua

a31'=a31+(−7) . a21

= 0 + (-7).0 = 0

a32'=a32+(−7) . a22

= 7 + (-7).1 = 0

a33'=a33+(−7) . a23

= 0 + (-7).1,33 = -9,33

b3'=b3+(−7). b2

= 14 + (-7).0,67 = 9,33

[1 00 10 0

−0.36 4.671.33 0.67

−9.33 9.33] Kalikan baris ketiga dengan -1/9.33

a31'= −1

9,33a31

¿− 19.333

.0=0

a32'= −1

9,33a32

¿− 19.333

.0=0

a33'= −1

9,33a33

¿− 19.333

.−9,33=1

b3'= −1

9,33b3

¿− 19.333

.9,33=−1

[1 00 10 0

− .367 4.671.33 0.67

1 −1 ]Dari matrix diatas, didapat persamaan sebagai berikut :

x−3,67 z=4,67

y+1,33 z=0,67

z=−1

x=4,67+3,67 (−1 )

x=1

y=0,67−1,33 (−1 )=2

Jadi, nilai x = 1, y = 2 dan z = -1

clcclear allclose all%disp('Matrik A')A = [2 4 -2;1 5 3;-3 1 3]%disp('Matrik b')b = [12 ; 8 ; -4]%n = size(A,1);A = [A,b];%for i = 1:n-1p = i;for j = i+1:nif abs(A(j,i)) > abs(A(i,i))U = A(i,:);A(i,:) = A(j,:);A(j,:) = U;endendwhile A(p,i) == 0 & p <= np = p+1;endif p == n+1disp('Tidak Ada Solusi Unik');break elseif p ~= iT = A(i,:);A(i,:) = A(p,:);A(p,:) = T;endendfor j = i+1:nm = A(j,i)/A(i,i);

for k = i+1:n+1A(j,k) = A(j,k) -m*A(i,k);endendend%if A(n,n) == 0disp('Tiddak Ada Solusi Unik');returnend%x(n) = A(n,n+1)/A(n,n);for i = n - 1:-1:1sumax = 0;for j = i +1:nsumax = sumax + A(i,j)*x(j);endx(i) = (A(i,n+1) - sumax)/A(i,i);enddisp('Nilai x:')X1 = x'

Matrik A

A =

2 4 -2

1 5 3

-3 1 3

Matrik b

b =

12

8

-4

Nilai x:

X1 =

1.0000

2.0000

-1.0000

B. Gauss Jordan

Metode lain untuk menyelesaikan sistim persamaan linier adalah dengan

metode Gauss-Jordan, metode ini merupakan variasi dari metode eliminasi

Gauss, tetapi dalam metode Gauss Jordan ini menghasilkan matrix kesatuan

sehingga tidak perlu penerapan back subtitusion untuk menyelesaikannya.

Prinsip eliminasi Gauss-Jordan :

sehingga : x1 = b’1

x2 = b’2

x3 = b’3

Didalam metode ini dipilih secara berurutan setiap baris sebagai baris pivot,

dengan pivotnya adalah elemen pertama yang tidak nol dari baris tersebut.

Contoh :

3 x1 - 0,1 x2 - 0,2 x3 = 7,85

0,1 x1 + 7 x2 - 0,3 x3 = -19,3 (4.18)

0,3 x1 - 0,2 x2 + 10 x3 = 71,4

dalam bentuk matrix :

Tahap 1. Baris pertama dibagi dengan elemen pivot a11 yaitu 3 .

Tahap 2. Suku x1 pada baris kedua dan ketiga dieliminasi menjadi nol

Tahap 3. Baris kedua dibagi dengan elemen pivot a22 yaitu 7,0333.

Tahap 4. Mereduksi suku-suku x2 dari baris kesatu dan ketiga.

Tahap 5. Baris ketiga dinormalkan dengan cara membagi dengan elemen

pivot a33 yaitu 10,0120

Tahap 6. mereduksi suku-suku x3 dari baris pertama dan kedua

Maka hasilnya :

x1 = 3

x2 = -2,5

x3 = 7

SOAL

SUMBER: http://asimtot.files.wordpress.com/2010/06/sistem-persamaan-

aljabar-linear-metode-gauss-jordan.pdf

- Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode Gauss-Jordan:

3x + y – z = 54 x + 7y – 3z = 20 2x – 2y + 5z = 10

Penyelesaian: (oleh Diva Septian Jones)

Sistem persamaan diatas ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:

Baris pertama dari persamaan (c2) dibagi dengan elemen pertama dari

persamaan (c1.a) yaitu 3, sehingga persamaan menjadi:

http://asimtot.files.wordpress.com/2010/06/sistem-persamaan-aljabar-linear-metode-gauss-jordan.pdf


Pertama membuat nilai dari kolom dan baris satu bernilai 1. Sehingga,

Lalu, kedua dari kolom kedua bernilai 0 menjadi,

Lalu baris ke tiga kolom pertama dijadikan 0,

Lalu baris kedua dan pertama kolom ke dua. Sehingga,

Selanjudnya menjadikan baris ketiga kolom ketiga bernilai 1,

Dan yang terakhir untuk kolom tiga baris satu dan dua,

Dari sistem persamaan diatas, didapat nilai x, y dan z berikut ini:

x = 1,5061; y = 3,1324 dan z = 2,6505

Hasil simulasi MATLAB

clcclear allclose all%disp('Matrik A')A = [3 1 -1;1 7 -3;2 -2 5]%disp('Matrik b')b = [54 ; 20 ; 10]%disp('Matrik Diperluas')C = [A b]%disp('Nilai x')x = rref(C)

Matrik A

A =

3 1 -1

4 7 -3

2 -2 5

Matrik b

b =

5

20

10

Matrik Diperluas

C =

3 1 -1 5

4 7 -3 20

2 -2 5 10

Nilai x

x =

1.0000 0 0 1.5060

0 1.0000 0 3.1325

0 0 1.0000 2.6506

SUMBER: http://asimtot.files.wordpress.com/2010/06/sistem-persamaan-

aljabar-linear-metode-gauss-jordan.pdf

- Selesaikan persamaan berikut dengan metode Eleminasi Gauss-Jordan!


Matrik dari persamaan diatas :



Maka :

clcclear all

close all%disp('Matrik A')A = [-2 1 7;10 2 0.8;-3 4 -1]%disp('Matrik b')b = [0.5 ; 3 ; 6]%disp('Matrik Diperluas')C = [A b]%disp('Nilai x')x = rref(C)

Matrik A

A =

-2.0000 1.0000 7.0000

10.0000 2.0000 0.8000

-3.5000 4.0000 -1.0000

Matrik b

b =

0.5000

3.0000

6.0000

Matrik Diperluas

C =

-2.0000 1.0000 7.0000 0.5000

10.0000 2.0000 0.8000 3.0000

-3.5000 4.0000 -1.0000 6.0000

Nilai x

x =

1.0000 0 0 0.0150

0 1.0000 0 1.4792

0 0 1.0000 -0.1356

C. Gauss Seidel

Suatu sistem persamaan linier terdiri atas sejumlah berhingga persamaan

linear dalam sejumlah berhingga variabel. Menyelesaikan suatu sistem

persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variabel yang belum diketahui

yang memenuhi semua persamaan linier yang diberikan.

Rumus iterasi untuk hampiran ke-k pada metode iterasi Gauss-Seidel

adalah sebagai berikut. Untuk i = 1, 2, …, n dan k = 1, 2, 3, …,

SOAL

SUMBER: http://syaifulhamzah.files.wordpress.com/2012/12/soal-latihan-

persiapan-uas-metode-numerik.pdf

http://syaifulhamzah.files.wordpress.com/2012/12/soal-latihan-persiapan-uas-metode-numerik.pdf


Selesaikanlah persamaan berikut dengan menggunaan metode gauss

seidel, dimana nilai adalah 2%


Bentuk matrik :

Asumsikan :

Iterasi 1

Iterasi 2

Persentasi errornya :

Blum berada di bawah 2 %.

Iterasi 3


Belum berada di bawah 2 %.

Iterasi 4


Belum berada di bawah 2 %.

Iterasi 5


Belum berada di bawah 2%.

Iterasi 6


Karena harga telah telah berada di bawah 2 % maka,

Matrik A

A =

12 3 -5

1 5 3

3 7 13

Matrik b

C =

1

28

76

Proses Iterasi

K =

1.0000 0.0833 5.5833 2.8205

2.0000 -0.1373 3.9351 3.7589

3.0000 0.6658 3.2115 3.9632

4.0000 0.9318 3.0357 3.9965

5.0000 0.9896 3.0042 4.0002

6.0000 0.9990 3.0001 4.0002

7.0000 1.0000 2.9999 4.0000

8.0000 1.0000 3.0000 4.0000

Jumlah Iterasi : 8

Tingkat Presisi :

Error_eval =

1.0e-004 *

0.0368

0.7135

0.3927

Nilai X

X =

1.0000

3.0000

4.0000

>>



- selesaikan Sistem Persamaan Linear berikut dengan metoda gauss

seidel :


Sistem Persamaan Linear diatas dapat ditulis ulang dlm bentuk:

4x1 – x2 + x4 = 100 (a)

-x1 + 4x2 – x3 + x5 = 100 (b)

-x2 + 4x3 - x4 = 100 (c)

x1 – x3 + 4x4 - x5 = 100 (d)

x2 - x4 + 4x5 =100 (e)

[ 4 −1 0 1 0−1 4 −1 0 10 −1 4 −1 01 0 −1 4 −10 1 0 −1 4

][x1

x2

x3

x4

x5]=[100

100100100100

]



Sehingga dapat ditulis untuk menyelesaikan masing-masing variabel x:

Misalnya diambil tebakan awal x(0)T = (0 0 0 0 0)

Tingkat ketelitian yang diinginkan sampai 0,000001 (toleransi konvergensi)

Iterasi I

Masukkan nilai tebakan awal ini ke pers (f):

Iterasi 2

Masukkan hasil iterasi 1 ke pers (f), Hasil utk iterasi 2 dst seperti tabel berikut :

Iterasi (k) x1 x2 x3 x4 x5

2 26,074219 33,740234 40,173340 34,506226 25,191498

3 24,808502 34,947586 42,363453 35,686612 25,184757

: : : : : :

424

15

53141

4

4241

3

53141

2

4241

1

100100100100100

xxxxxxx

xxxxxxx

xxx

x1=14

(100+0−0 )=25

x2=14 (100+25+0−0 )=31 ,25

x3=14 (100+31,25+0 )=32 , 8125

x4=14

(100−25+32 ,8125+0 )=26 , 953125

x5=14 (100−31 ,25+26 , 953125 )=23 , 925781

14 25,000001 35,714286 42,857143 35,714285 25,000000

15 25,000000 35,714286 42,857143 35,714285 25,000000

Perhitungan konvergen sampai iterasi ke 15, karena beda nilai xi masing-

masingnya ≤ 0,000001

C.Metoda Inversi

Jika A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A =

I maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A-1 (B sama

dengan Ivers dari A)Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat

dituliskan A = B-1 jika tidak ditemukan matriks B maka A dikatakan matriks

tunggal (singular) jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C

Δx1=|x1(15 )−x1

(14 )|=25 ,000000−25 ,000001=0 ,000001Δx 2=|x2

(15 )−x2(14 )|=35 ,714286−35 ,714286=0

Δx 3=|x3(15)−x3

(14 )|=0

Δx 4=|x4(15 )−x 4

(14)|=0 ,000001Δx5=|x5

(15)−x5(14 )|=0

Apabila A dan B matriks seordo dan memiliki balikan maka AB

dapat diinver dan (AB)-1 = B-1 A-1

SOAL






x =

x1=-0,356(23,4) + 0,34(37,8) + 0,208(61,7) = 17,35

x2 = 0,17(23,4) + 0,079(37,8) + 0,018(61,7) = 8,0748

x3 = -0,468(23,4) - 0,44(37,8) - 0,79(61,7) = -76,3262

- Tentukanlah x1,x2,x3 dari persamaan di bawah ini dengan

menggunakan metode inverse.


Dibagi 2 baris pertama

Dikali 1

Dikali -3

Dibagi baris ke-2

Dikali

Dibagi -4 baris ke-3

Dikali 2/11

Dikali -4

Dikali

Sehingga untuk mencari nilai x maka digunakan rumus :

Jadi diperolehlah nilai dari akar- akar x ;

D.Dekomposisi LU

1. Metode crout

Crout mentransformasikan koefisien matriks A, menjadi hasil dari

dua matriks, L dan U, di mana U memiliki satu pada diagonal

utamanya. Teknik ini berbeda dari metode bagian sebelumnya di

mana L memiliki satu pada diagonalnya. Sebelumnya kami telah

melihat bahwa sebuah matriks yang telah mengalami

triangularisasi dan dikombinasikan dengan matriks segitita bawah

membentuk sebuah pasangan LU. Tetapi pasangan LU mengambil

banyak bentuk lain.Pada kenyataannya, matriks tertentu yang

memiliki semua elemen diagonal nonzero bisa ditulis sebagai

sebuah hasil dari matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas

dengan cara tak terhingga.

Dari keseluruhan susunan LU yang hasilnya sama dengan matriks

A, pada metode Crout dipilih pasangan di mana U hanya memiliki

satu pada diagonalnya, seperti pada pasangan pertama di

atas.Didapatkan aturan untuk dekomposisi LU semacam itu dari

hubungan tertentu sehingga LU = A. Pada kasus matriks 4 x 4:

Dengan mengalikan baris L pada kolom pertama U, kita dapatkan

SOAL

-Tentukan nilai masing-masing komponen berikut dengan metode Dekomposisi

LU Crout.


Dapat ditentukan matrik yaitu

Sifat dari dekomposisi LU adalah :

Sehingga dapat ditentukan:

Sehingga Matrik dekomposisi LU adalah

Sifat untuk matrik L adalah :

Untuk menentukan nilai komponen matrik x maka digunakan sifat:

Jadi, nilai masing- masing komponen x dari persaman diatas adalah

Clcclear allclose all%disp('Matrik A')A = [2 -5 1;-1 3 -1;3 -4 2]%disp('Vektor B')B = [12 ; -8 ; 16]%%%%%%%% Inputs %%%%%%%%% A : state matrix% B : input vector%%%%%%%% Outputs %%%%%%%%% x_soln : solution vector to U*x_soln=xstar_soln% xstar_soln: solution vector to L*xstar_soln=b% L : Lower triangular matrix% U : Upper triangular matrix%n=rank (A);% Initialize L and U matrixL=zeros (n);U=eye (n);for s=1:nj=s;for i=j:nL(i,j)=A(i,j)-L(i,1:(j-1))*U(1:(j-1),j);endi=s;U(i,i)=1;for j=i+1:nU(i,j)=(A(i,j)-L(i,1:(i-1))*U(1:(i-1),j))/(L(i,i));endend%disp(' ')disp('Periksa Matrik A')check=int8 (L*U)if check==Adisp(sprintf ('Matrik L*U=A Benar'))else

disp(sprintf ('Ada Kesalahan'))end%xstar_soln(n)=0;xstar_soln=xstar_soln';xstar_soln(1)=B(1)/L(1,1);for i=2:nxstar_soln(i)=(B(i,1)-L(i,1:i-1)*xstar_soln(1:i-1))/L(i,i);end%x_soln(n)=0;x_soln=x_soln';x_soln(n)=xstar_soln(n);i=n-1;%while i>0x_soln(i)=xstar_soln(i)-U(i,i+1:n)*x_soln(i+1:n);i=i-1;enddisp(' ')disp('Matrik Segitiga Bawah')Ldisp('Matrik Segitiga Atas')Udisp('Nilai x')x=x_soln

Matrik A

A =

2 -5 1

-1 3 -1

3 -4 2

Vektor B

B =

12

-8

16

Periksa Matrik A

check =

2 -5 1

-1 3 -1

3 -4 2

Matrik L*U=A Benar

Matrik Segitiga Bawah

L =

2.0000 0 0

-1.0000 0.5000 0

3.0000 3.5000 4.0000

Matrik Segitiga Atas

U =

1.0000 -2.5000 0.5000

0 1.0000 -1.0000

0 0 1.0000

Nilai x

x =

2

-1

3

- Tentukan x1,x2,x3 dengan menggunakan metode dekomposisi LU

dengan metode Crout dari persamaan berikut ini;


L. U = A

Sehingga didapat nilai matrik L dan matrik U adalah sebagai berikut.

Untuk menentukan nilai y ,

Sedangkan untuk menentukan nilai akar – akar nya (x) ;

Sehingga diperoleh nilai akar akarnya ,

clcclear allclose all%disp('Matrik A')A = [2 -5 4;1 7 5;3 2 -1]%disp('Vektor B')B = [20 ; 15 ; 30]%%%%%%%% Inputs %%%%%%%%% A : state matrix% B : input vector%%%%%%%% Outputs %%%%%%%%% x_soln : solution vector to U*x_soln=xstar_soln% xstar_soln: solution vector to L*xstar_soln=b% L : Lower triangular matrix% U : Upper triangular matrix%n=rank (A);% Initialize L and U matrixL=zeros (n);U=eye (n);for s=1:nj=s;for i=j:nL(i,j)=A(i,j)-L(i,1:(j-1))*U(1:(j-1),j);endi=s;U(i,i)=1;for j=i+1:nU(i,j)=(A(i,j)-L(i,1:(i-1))*U(1:(i-1),j))/(L(i,i));endend%disp(' ')disp('Periksa Matrik A')check=int8 (L*U)if check==Adisp(sprintf ('Matrik L*U=A Benar'))elsedisp(sprintf ('Ada Kesalahan'))end%xstar_soln(n)=0;xstar_soln=xstar_soln';xstar_soln(1)=B(1)/L(1,1);for i=2:nxstar_soln(i)=(B(i,1)-L(i,1:i-1)*xstar_soln(1:i-1))/L(i,i);end%x_soln(n)=0;x_soln=x_soln';

x_soln(n)=xstar_soln(n);i=n-1;%while i>0x_soln(i)=xstar_soln(i)-U(i,i+1:n)*x_soln(i+1:n);i=i-1;enddisp(' ')disp('Matrik Segitiga Bawah')Ldisp('Matrik Segitiga Atas')Udisp('Nilai x')x=x_soln

Matrik A

A =

2 -5 4

1 7 5

3 2 -1

Vektor B

B =

20

15

30

Periksa Matrik A

check =

2 -5 4

1 7 5

3 2 -1

Matrik L*U=A Benar


L =

2.0000 0 0

1.0000 9.5000 0

3.0000 9.5000 -10.0000


U =

1.0000 -2.5000 2.0000

0 1.0000 0.3158

0 0 1.0000

Nilai x

x =

12.71

0.684

-0.5

>>

2. Metode Doo-little

Algoritma Doolittle adalah sebagai berikut:

0. Langkah awal: k : = 1,

untuk j = 1, 2, ..., n, kerjakan

u1j : = a1j

j1 : = aj1/u11

1. Untuk langkah k = 2, 3, ... (n-1), kerjakan :

Untuk j = k, k+1, k+2, ... , n, kerjakan:

ukj : = akj-

jk : = (ajk - ) /ukk

Langkah terakhir, k = n, kerjakan:

unn: = ann -

Untuk mendemonstrasikan kebenaran algoritma ini, tinjaulah relasi A = LU.

Kalikan vektor baris dengan ruas kiri dan kanan tanda =, lalu hasilnya

kalikan dengan vektor kolomej.

Ruas kiri tanda = adalah akj, sedang ruas kanan adalah

Sesudah digabungkan kembali dan ditata letaknya, karena kk = 1,

diperoleh

yang merupakan rumus untuk menghitung elemen-elemen baris k dari U.

Rumus untuk menghitung elemen-elemen kolom k dari matrix L dapat

dijabarkan pula. Untuk sembarang elemen pada baris I,

SOAL

Diketahui persamaan berikut:

Tentukanlah nilai-nilai dari dengan metode dekomposisi LU

Doolittle


Dari persamaan dapat ditentukan :

Sehingga didapatkan matrik LU:

%clcclearclc%A=[7 2 -5;1 5 -3;2 -1 -9]%[m,n]=size(A);if m~=ndisp('Matrix Harus Bujursangkar')beepbreak

endU=zeros(m);L=zeros(m);for j=1:mL(j,j)=1;endfor j=1:mU(1,j)=A(1,j);endfor i=2:mfor j=1:mfor k=1:i-1s1=0;if k==1s1=0;elsefor p=1:k-1s1=s1+L(i,p)*U(p,k);endendL(i,k)=(A(i,k)-s1)/U(k,k);endfor k=i:ms2=0for p=1:i-1s2=s2+L(i,p)*U(p,k);endU(i,k)=A(i,k)-s2;endendenddisp('Matrik Dekomposisi')Adisp('Matrik Segitiga Bawah')Ldisp('Matrik Segitiga Atas')U

A =

7 2 -5

1 5 -3

2 -1 -9

s2 =

0

s2 =

0

s2 =

0

s2 =

0

s2 =

0

s2 =

0

s2 =

0

s2 =

0

s2 =

0

Matrik Dekomposisi

A =

7 2 -5

1 5 -3

2 -1 -9


L =

1.0000 0 0

0.1429 1.0000 0

0.2857 -0.3333 1.0000


U =

7.0000 2.0000 -5.0000

0 4.7143 -2.2857

0 0 -8.3333

>>

Dimana diketahui persamaan bahwa :

Untuk menentukan nilai dari komponen x adalah :

Jadi nilai masing-masing komponen x dari persamaan diatas adalah

- Tentukan nilai x1,x2,x3 dengan metoda dekomposisi L.U doolite


Untuk menentuka nilai x nya maka :

Sehingga diperoleh lah :

Sedangkan untuk mencari nilai dari akar – akar x :

Sehingga diperolehlah nilai akar-akar x sebagai berikut :

3.Metode Cholensky

Pada aljabar linear segitiga cholensky diubah dari hermitian ,matrik

pembagi yan positif ke suatu hasil berupa matrik segitiga dan memiliki hubungan

trnasponse,hal ini ditemukan oleh Andre Louis Choleky untuk matrik yang

real,Ketika digunakan metoda cholensky 2 kali lebih efisien dari pada metode LU

untuk menyelesaikan system persamaan aljabar linier.

SOAL

- Tentukan Nilai Matrik A dengan dekomposisi cholensky


l jj=√a jj−∑k=1

j−1

l jk2

lij=aij−∑

k=1

j−1

l ik l jk

l jj; untuk i> j

- Tentukanlan nilai dari persamaan dibawah ini dengan

menggunakan metode chollensky.


Jadi, nilai yaitu :

PENCOCOKAN KURVA

A.Regresi Kuadrat Terkecil

1. Regresi Linier

- Berikut adalah data Biaya Promosi dan Volume Penjualan PT BIMOIL

perusahaan Minyak Goreng

Tahun x

Biaya

Promosi

(Juta

Rupiah)

y

Volume

Penjualan

(Ratusan Juta

Liter)

xy x² y²

1992 2 5 10 4 25

1993 4 6 24 16 36

1994 5 8 40 25 64

1995 7 10 70 49 100

1996 8 11 88 64 121

Σ Σx = 26 Σy = 40 Σxy = 232 Σx² =158 Σy² = 346


bentuk umum persaman regresi linier sederhana : Y = a + b X, n = 5

Y = a + b x → Y = 2.5244 + 1.053 x

- Diketahui data penjualan iklan adalah sebagai berikut :

Biaya periklanan (x) Tingkat penjualan (y)

50 40

51 46

52 44

53 55

54 49

Tentukan persamaan regresinya !


Persamaaan Regresi :

Dimana

Maka dari persamaan didapatkan persamaan regresi yaitu:

No X Y x.y

1 50 40 2000 2500 1600

2 51 46 2346 2601 2116

3 52 44 2288 2704 1936

4 53 55 2915 2809 3025

5 54 49 2646 2916 2401

260 234 12195 13530 11078

2. Regresi Polinomial

- Berikut adalah data Volume Penjualan (juta unit) Mobil dihubungkan

dengan variabel biaya promosi (X1 dalam juta rupiah/tahun) dan

variabel biaya penambahan asesoris (X2 dalam ratusan ribu

rupiah/unit).

x1 x2 y x1 x2 x1y x2y x1² x2² y²

2 3 4 6 8 12 4 9 16

3 4 5 12 15 20 9 16 25

5 6 8 30 40 48 25 36 64

6 8 10 48 60 80 36 64 100

7 9 11 63 77 99 49 81 121

8 10 12 80 96 120 64 100 144

x

Σ1

=3

1

xΣ2

=

40

yΣ

=50

xxΣ12

=239

xyΣ1

=

296

xyΣ2

=

379

xΣ12

=

187

xΣ22

=

306

yΣ2

=

470


Tetapkan Persamaan Regresi Linier Berganda = a + b1 X1 + b2 X2 , n = 6

Masukkan notasi-notasi ini dalam ketiga persamaan normal,

Sehingga didapatkan tiga persamaan berikut:

(i) 6a + 31 b1 + 40 b2 = 50

(ii) 31 a + 187 b1 + 239 b2 = 296

(iii) 40 a + 239 b1 + 306 b2 = 379

Lakukan Eliminasi, untuk menghilangkan (a)

Lalu:

Selanjutnya, eliminasi (b1) dan dapatkan nilai (b2)

Dapatkan Nilai (b1) dan nilai (a) dengan melakukan substitusi, sehingga:

(v) 194 b1 + 236 b2 = 274

Perhatikan b2 = 0.75

(i) 6a + 31 b1 + 40 b2 = 50

Perhatikan b1 = 0.50 dan b2 = 0.75

Sehingga Persamaan Regresi Berganda:

a + b1 X1 + b2 X2 dapat ditulis sebagai 0.75 + 0.50 X1 + 0.75X2

- Seorang manajer pemasaran diberikan data promosi dan harga

berpengaruh terhadap keputusan konsumen membeli

produknya.Datanya sebagai berikut

No

Promosi

(X1)

Harga(X2

)

Keputusan Konsumen

(Y)

1 10 7 23

2 2 3 7

3 4 2 15

4 6 4 17

5 8 6 23

6 7 5 22

7 4 3 10

8 6 3 14

9 7 4 20

10 6 3 19

Jumlah 60 40 170

Tentukan persamaan regresi linear ganda dari data diatas.


Tabel pembantu

No X1 X2 Y X1Y X2Y X1X2

1 10 7 23 230 161 70 100 49

2 2 3 7 14 21 6 4 9

3 4 2 15 60 30 8 16 4

4 6 4 17 102 68 24 36 16

5 8 6 23 184 138 48 64 36

6 7 5 22 154 110 35 49 25

7 4 3 10 40 30 12 16 9

8 6 3 14 84 42 18 36 9

9 7 4 20 140 80 28 49 16

10 6 3 19 114 57 18 36 9

60 40 170 1122 737 267 406 182

Persamaan regresi linear ganda :

Dimana

Masukkan parameter yang diketahui ke dalam persamaan

Persamaan (1) dikalikan 6, persamaan (2) dikalikan 1:



Harga b2 dimasukkan ke dalam salah satu persamaan (4) atau (5):

Harga b1 dan b2 dimasukkan ke dalam persamaaan :

Jadi

Persamaan Regresi Linear Ganda :

-

B.Interpolasi

1. Interpolasi Linier

Interpolasi linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis

lurus. Misalkan dua buah titik, ( , ) 0 0 x y dan ( , ) 1 1 x y . Polinom yang

menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus.

SOAL

SUMBER: http://saifoemk.lecture.ub.ac.id/files/2012/08/Metnum4-

Pencocokan-Kurva-Interpolasi.pdf

Dari data ln(7.8)=2.0541, ln (8.6)=2.1517, tentukan ln(8.0) dengan interpolasi

linear.


Jadi, nilai dari ln(8.0) adalah 2.0785

http://saifoemk.lecture.ub.ac.id/files/2012/08/Metnum4-Pencocokan-Kurva-Interpolasi.pdf


- Diketahui kecepatam suatu kelereng terhadap waktu sebagai berikut ;

Tentukan interpolasi linier dari persamaan di atas ketika x bernilai 75


Jadi interpolasi linier pada saat x = 75 adalah 0

.Interpolasi Kuadratik

Misalkan diberikan tiga buah titik data ( , ) 0 0 x y , ( , ) 1 1 x y dan ( , ) 2 2 x

y .Polinom yang menginterpolasi ketiga buah titik berupa polinom kuadratik

yang persamaannya adalah:

p (x) = a + a x + a x ……...

SOAL



- Diketahui tiga buah titik sebagai berikut ;

Tentukan interpolasi yang terjadi jika diketahui nilai x = 8


Eliminasi pers (1) dan Pers (2)





Subtitusi ke pers (4)

Subtitusi dan ke pers (2)

Maka untuk interpolasi yang terjadi jika nilai x =8

Jadi interpolasi yangterjadi pada saat x = 8 adalah

-Dari data ln(5.7)=1.7404, ln(6.7)=1.9021, dan ln(7.7)=2.0412. Tentukan nilai

ln(8.7) dengan menggunakan metode interpolasi kuadratik.

Penyelesaian: (oleh Diva Septian Jones)

Selesaikan persamaan diatas dengan metode Eliminasi gauss;

3.Interpolasi Polinom

Diberikan (n+1) buah titik yang berbeda, yaitu ( , ) 0 0 x y , ( , ) 1 1 x y …

( , ) n n x y .Akan ditentukan polinom p (x) n yang menginterpolasi

(melewati) semua titik-titik tersebut sedemikian rupa sehingga, ( ) i n i y = p

x , untuk i = 0,1,2,3...,n Nilai i y dapat berasal dari fungsi matematika f (x) ,

misalkan f (x) = ln x , f (x) = Sin x , fungsi Bessel dan sebagainya yang

menyebabkan ( ) i i y = f x atau i y diperoleh secara empirik (hasil dari

pengamatan eksperimen di laboratorium).

SOAL



- Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi polinomial berdasar data ln

1 = 0 dan ln 6 = 1,7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar data ln

1 dan ln 4 = 1,3862944. Untuk membandingkan hasil yang diperoleh,

dihitung besar kesalahan (diketahui nilai eksak dari ln 2 =

0,69314718).

Penyelesaian :(oleh Rama Danil Fitra)



Dengan menggunakan persamaan (1.2), dihitung dengan interpolasi linier nilai

ln pada x = 2 berdasar nilai ln di x0 = 1 dan x1 = 6.

f1(2) = 0 + (2 1) = 0,3583519.

Besar kesalahan adalah: Et = 100 % = 48,3

%.

Apabila digunakan interval yang lebih kecil, yaitu nilai x0 = 1 dan x1 = 4,

maka:

f1(2) = 0 + (2 1) = 0,46209813.

Besar kesalahan adalah: 100 % = 33,3 %.

- Diberikan empat buah titik data yaitu ln(1.5)= 0.4054, ln(2)= 0.6931,

ln(4)= 1.3862, ln(5)= 1.6094. Tentukan nilai ln(5.5) menggunakan

metode interpolasi kubik.

Penyelesaian: (oleh Rama Danil Fitra)

Selesaikan persamaan diatas dengan metode Eliminasi gauss;

Didapat nilai a0 = -0.9052, a1= 1.1407, a2 = -0.1996, a3 = 0.0144 Polinom kubiknya

adalah

INTEGRASI NUMERIK

A.Formulasi Integrasi Newton Cotes

1. Aturan Trapesium

Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 1 yang melalui kedua buah titik itu

adalah

Integrasikan p1(x) di dalam selang [0,1]:

Jadi, kaidah trapesium adalah

Kaidah trapesium untuk integrasi dalam selang [0, h] kita perluas untuk

menghitung

SOAL

- Diketahui f(x) = x+1. Carilah integrasinya dengan batas bawah = 0, batas atas

= 5 serta 5 sub-interval, menggunakan metode trapesium. Tentukan error dengan

membandingkan secara analitik .


h = (5-0)/5=1

(x+1) dx = 1[f(0) + 2f(0+1) + 2f(0+2) +2f(0+3) + 2f(0+4)+ f(5)]/2

= [1+2(2)+2(3)+2(4)+2(5)+6]/2=35/2=17,5

secara analitik:

(x+1) dx = ((1/2) x^2) + x = (1/2 (5)^2) + 5 = 17,5

Error = metode numerik - analitik=17,5-17,5=0

- Sebuah benda putar, diperlihatkan pada gambar 4.3, dibentuk dengan

memutar kurvay=1+(x/2)2, 0<=x<= 2, disekitar sumbu x. Hitunglah

volume menggunakanperluasan aturan trapesium dengan

N=2,4,8,16,32,64 dan 128. Nilai benar adalahI=11,7286. Evaluasi

kesalahan pada setiap N.


Volume diberikan oleh persamaan:

Dimana :

Kalkulasi untuk N=2 dan 4 ditunjukkan sebagai berikut:

Integrasi dengan N yang lain memberikan hasil sebagai berikut:

2. Aturan Simpson

Hampiran nilai integras yang lebih baik dapat ditingkatkan dengan mengunakan

polinom interpolasi berderajat yang lebih tinggi.

Misalkan fungsi f(x) dihampiri dengan polinom interpolasi derajat 2 yang

grafiknya berbentuk parabola. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai

integrasi adalah daerah di bawah parabola. Untuk itu, dibutuhkan 3 buah titik

data, misalkan (0, f(0)), (h, f(h)), dan (2h, f(2h)).

Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga buah titik

tersebut adalah

Integrasikan p2(x) di dalam selang [0, 2h]:

Mengingat

Dan

maka, selanjutnya

Kidah Simpson 1/3 gabungan:

Penggunaan kaidah 1/3 Simpson mensyaratkan jumlah upaselang (n) harus genap.

Ini berbeda dengan kaidah trapesium yang tidak mempunyaipersyaratan mengenai

jumlah selang.

Galat Kaidah Simpson 1/3

Galat kaidah Simpson 1/3 untuk dua pasang upaselang adalah

Uraikan f(x), f1, dan f2 masing-masing ke dalam deret Taylor di sekitar x0 = 0:

Sulihkan persamaan (P.6.30), (P.6.31), (P.6.32) ke dalam persamaan

(P.6.29):

Jadi, kaidah Simpson 1/3 untuk sepasang upaselang ditambah dengan galatnya

dapat dinyatakan sebagai

Galat untuk n/2 pasang upaselang adalah

Jadi, kaidah Simpson 1/3 gabungan ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan

sebagai,

dengan kata lain, kaidah Simpson 1/3 gabungan berorde 4

Dibandingkan dengan kaidah trapesium gabungan, hasil integrasi

Dengan kaidah Simpson gabungan jauh lebih baik, karena orde galatnya lebih

tinggi.

Tapi ada kelemahannya, yaitu kaidah Simpson 1/3 tidak dapat

diterapkan bila jumlah upaselang (n) ganjil

-

SOAL

- Hitunglah volume sebuah benda putar, pada contoh 4.3 menggunakan

perluasanaturan Simpson 1/3 dengan N=2,4,8,16,32,64. Nilai benar

adalah I=11,7286.

-


Kalkulasi untuk N=2 dan 4 ditunjukkan sebagai berikut:

Integrasi dengan N yang lain memberikan hasil sebagai berikut:

- Tentukan ,gunakan aturan simpson n=4.


Jadi,

B.Integrasi Romberg dan Kuadratur Gauss

1.Integrasi Romberg

Metode ini digunakan untuk memperbaiki hasil pendekatan integrasi

metode trapesium, karena kesalahan metode trapesium “cukup” besar

untuk polinom pangkat tinggi dan fungsi transeden. Caranya, hitung

integral tertentu dengan metode trapesium untuk sejumlah nilai h yang

berbeda. Misalkan hasilnya I(h), I(½h), I(¼h), dan I(⅛h); cantumkan

pada kolom pertama tabel.Untuk kolom kedua, hitunglah I(h, ½h),

I(½h, ¼h), I( ¼h, ⅛h) dengan formula :

I(9h, ½h)= ⅓.[4.I(½h)-I(h)],

I(½h, ¼h)= ⅓.[4.I( ¼h)-I(½h)],

I( ¼h, ⅛h)= ⅓.[4.I( ⅛h)-I( ¼h)],

Lanjutkan pola serupa untuk kolom ketiga dan seterusnya.

SOAL

- Hitunglah dengan metode Romberg bentuk :

Penyelesaian: (oleh Rama Danil Fitra)

Untuk n=2, diperoleh h=2, dan dengan metode trapesium diperoleh hasil = 320

Untuk n=4, diperoleh h=1, dan dengan metode trapesium diperoleh hasil = 272

Untuk n=8, diperoleh h=0,5, dan dengan metode trapesium diperoleh hasil = 260.

kolom kedua :

kolom ketiga :

Hasil terakhir adalah 256.

3.Kuadratur Gauss

Dengan metode ini bentuk

diubah menjadi

melalui transformasi :

Kuadratur Gauss 2 titik :

Kuadratur Gauss 3 titik :

Metode ini mempunyai kesalahan pemotongan :

-Kuadratur Gauss 2 titik :

-Kuadratur Gauss 3 titik :

Metode in tepat untuk polinom ordo 3.

SOAL

- Diketahui Carilah integrasinya dengan batas bawah = 0, batas atas

=1½, menggunakan metode :

a. Kuadrat Gauss 2 titik

b. Kuadrat Gauss 3 titik


ditransformasikan dengan

Menjadi :

Sehingga

Jadi,

-Kuadratur Gauss 2 titik menghasilkan nilai 0,8907.

-Kuadratur Gauss 3 titik menghasilkan nilai 0,8906

SUMBER TEORI DAN SOAL

http://lecturer.eepis-its.edu.

http://saifoemk.lecture.ub.ac.id/files/2012/08/Metnum4-Pencocokan-Kurva-

Interpolasi.pdf

http://saifoemk.lecture.ub.ac.id/files/2012/08/Metnum4-Pencocokan-Kurva-

Regresi.pdf

http://saifoemk.lecture.ub.ac.id/files/2012/08/Metnum5-Integral-Numerik.pdf

http://marzukisilalahi.blog.esaunggul.ac.id/files/2012/04/Pertemuan-

11_Integrasi-Numerik.pdf

http://ivanky.files.wordpress.com/2013/02/scientific_software_modul5.pdf

http://asimtot.files.wordpress.com/2010/06/sistem-persamaan-aljabar-linear-

metode-gauss-jordan.pdf

http://syaifulhamzah.files.wordpress.com/2012/12/soal-latihan-persiapan-

uas-metode-numerik.pdf

http://teoriMENUM/Saifoe%20%20Manajemen%20Konstruksi

%20»%20Metode%20Numerik.htm

http://teoriMENUM/Metode%20BagiDua%20(Bisection%20Method)%20_

%20Math%20IS%20Beautiful.htm



http://teoriMENUM/Saifoe%20%20Manajemen%20Konstruksi%20

http://teoriMENUM/Saifoe%20%20Manajemen%20Konstruksi%20





http://ivanky.files.wordpress.com/2013/02/scientific_software_modul5.pdf

http://marzukisilalahi.blog.esaunggul.ac.id/files/2012/04/Pertemuan-11_Integrasi-Numerik.pdf

http://marzukisilalahi.blog.esaunggul.ac.id/files/2012/04/Pertemuan-11_Integrasi-Numerik.pdf

http://saifoemk.lecture.ub.ac.id/files/2012/08/Metnum5-Integral-Numerik.pdf

http://saifoemk.lecture.ub.ac.id/files/2012/08/Metnum4-Pencocokan-Kurva-Regresi.pdf

http://saifoemk.lecture.ub.ac.id/files/2012/08/Metnum4-Pencocokan-Kurva-Regresi.pdf



http://lecturer.eepis-its.edu/

Tugas_Besar_Metoda_Numerik.docx

Documents

Transcript of Tugas_Besar_Metoda_Numerik.docx