TUGASAN 1Model Pemangsa-Mangsa (Lotka-Voltera)( i )Menentukan Masalah SebenarMakhluk hidup dibumi ini sangat beraneka ragam yang terdiri dari campuran populasi dari berbagai spesies yang hidup bersama atau disebut komuniti. Hal ini menunjukkan pada hakikatnya makhluk hidup dibumi ini tidak dapat hidup sendiri secara normal tetapi akan saling berinteraksi dengan berbagai spesies yang ada.Pada umumnya terdapat dua atau lebih spesies yang saling berinteraksi sehingga keadaan suatu spesies dipengaruhi oleh keadaan spesies lain yang berinteraksi dengannya. Interaksi yang terjadi di antara spesies tersebut sama ada makan atau dimakan, persaingan ataupun simbiosis.A.J Lotka (1880-1949) ialah seorang ahli Matematik Austria dan Vito Voltera (1860-1940) pula ialah ahli Matematik Italy telah mencadangkan satu model ringkas mengenai perubahan populasi pemangsa-mangsa. Salah satu contoh pasangan pemangsa-mangsa adalah antara musang dan arnab.( ii )Formulasi Model Matematik

pemangsamangsa

Pada gambar di atas menunjukkan serigala dan arnab yang hidup dalam satu habitat yang tertutup. Bagi meneruskan hidup, serigala akan memakan mangsa dan arnab pula akan memakan makanan lain yang ada di sekitarnya seperti rumput.Andaikan :x = f ( t ) mewakili populasi pemangsa y = g ( t ) mewakili populasi mangsa pada masa t.

Jika pemangsa tidak wujud, populasi mangsa akan meningkat cepat dan tidak terbatas pada kadar py. Tetapi, pemangsa akan makan mangsa pada kadar qxy iaitu hasil darab interaksi bilangan mangsa dan pemangsa. Maka kadar perubahan bersih mangsa ialah : = py qxy ( 1 )di mana, p dan q adalah konstan positif.Tanpa mangsa, pemangsa akan lapar dan populasi mereka akan susut pada kadar rx. Dengan adanya mangsa, kadar pertumbuhan populasi pemangsa akan bertambah dengan bilangan syx. Maka kadar perubahan bersih pemangsa ialah : = - rx + sxy ( 2 )di mana r dan s adalah konstan positif.Persamaan (1) dan (2) akan membentuk system persamaan pembeza yang digelar persamaan Lotka-Volterra.Satu persamaan yang menghubungkan x dan y boleh dicari seperti berikut : = = ataupun = ( 3 )Persamaan (3) boleh diselesaikan bagi nilai-nilai spesifik konstan p, q, r dan s seperti dalam (iii) iaitu di bawah tajuk penyelesaian masalah matematik.

Rajah di atas menunjukkan penyelesaian umum bagi sitem persamaan Lotka-Voltera, di mana P adalah singkatan bagi pemangsa dan M adalah singkatan untuk mangsa. Bagi penyelesaian ini, kita merujuk kepada satah PM sebagai satah fasa (phase plane) manakala penyelesaian kepada lengkungan pula dikenali sebagai fasa trajektori yang mana, fasa trajektori merupakan laluan yang dikesan keluar daripada penyelesaian (P, M) apabila masa berlalu. Fasa portret (phase portrait) pula mengandungi titik keseimbangan dan fasa trajektori tipikal (typical phase trajectories) seperti apa yang diilustrasikan oleh rajah di bawah ini.

Rajah di atas menunjukkan fasa trajektori mengikut kuadran. Penerangan dalam setiap kuadran adalah seperti jadual berikut :KuadranPenjelasan bilangan P dan M

IP menurun, M meningkat

IIP meningkat secara perlahan, M meningkat dengan cepat

IIIP meningkat dengan cepat, P menurun

IvP menurun, M menurun

Huraian ringkas tentang jadual di atas :Kuadran I :Populasi mangsa meningkat kerana pemangsa tidak dapat mengimbangi populasinya berbanding populasi mangsa.Kuadran II :Populasi mangsa boleh dikatakan meningkat pada tahap maksimum pada kuadran ini. Dalam masa yang sama, populasi pemangsa juga meningkat. Ini menggambarkan kepada kita bahawa mangsa agak sukar menghindarkan diri daripada buruan pemangsa.

Kuadran III :Pada kuadran ini, pemangsa berada pada tahap maksimum. Hal ini mungkin disebabkan penghijrahan pemangsa ke tempat baharu yang mempunyai bekalan makanan (mangsa) yang banyak.Kuadran IV :Kuadran ini memperlihatkan populasi mangsa dan juga pemangsa mengalami penurunan secara serentak. Situasi ini ekoran daripada persaingan antara pemangsa sendiri, manakala mangsa menjadi buruan pemangsa yang banyak. ( iii )Penyelesaian Masalah MatematikAnggapkan bahawa x = f (t)(ratusan pemangsa) dan y = g (t)(ribuan mangsa) memuaskan persamaan Lotka-Volterra (1) dan (2) dengan p = 3, q = 1, r = 4 dan s = 2. Anggapkan bahawa pada satu masa apabila terdapat 100 pemangsa (x=1), ada 1000 mangsa (y=1). Cari satu persamaan yang menghubungkan x dan y.Penyelesaian :Dengan nilai p, q, r dan s, persamaan (3) akan jadi : = Dengan memisahkan pembolehubah-pembolehubah itu, kita akan memperoleh : = Atau = = Diberi apabila 2 4 (0) = 3 (0) 1 + c C = 3Maka persamaan yang dikehendaki ialah :Lakaran graf persamaan ini adalah seperti berikut :

Graf persamaan

( iv)Mentaksir PenyelesaianDaripada penerangan tentang perubahan populasi pemangsa dan mangsa, kita boleh melakar dua lagi graf iaitu graf populasi mangsa sebagai fungsi masa t, M(t) dan graf populasi pemangsa sebagai fungsi masa t, W(t). Oleh kerana kajian kes ini telah dilakukan oleh Dr. Rolf Peterson, maka grafnya adalah seperti berikut :

Graf populasi mangsa (arnab, M) sebagai fungsi masa t.

Graf populasi pemangsa (serigala, W) sebagai fungsi masa,t.

Perbandingan populasi arnab dan serigala.

Untuk mudah membuat perbandingan populasi pemangsa (serigala, W) dan mangsa (arnab, M), kita perlu menggabungkan kedua-dua populasi di dalam satu graf yang sama seperti dilihat pada graf-graf di atas.( v )Membandingkan Dengan RealitiPada hakikatnya, makhluk tidak dapat hidup dengan sendirian sehingga memerlukan interaksi antara berbagai populasi dan berbagai spesies yang hidup secara bersama. Dalam populasi tersebut akan terjadi satu interaksi antara spesies di mana kedua-dua spesies berinteraksi dalam suatu rantai makanan.Dari sifat hubungannya dan keadaan populasi kedua spesies tersebut, maka kita akan menjangkakan bagaimana populasi kedua-dua spesies tersebut pada masa akan datang. Apabila populasi pemangsanya lebih sedikit berbanding dengan populasi mangsa, maka populasi mangsanya berkembang dengan lebih cepat. Hal ini akan mengakibatkan sumber alam yang dimakan oleh mangsa akan lebih cepat berkurang daripada kecepatan pertumbuhannya. Sebaliknya apabila populasi pemangsanya jauh lebih besar berbanding dengan populasi mangsa, maka populasi mangsanya semakin cepat berkurang bahkan lama-kelamaan populasi mangsa akan pupus. Ini juga akan mengakibatkan populasi pemangsa juga akan berkurang juga kerana sumber makanan telah tiada.

TUGASAN 1Model Penularan Penyakit( i )Menentukan Masalah SebenarSaat ini banyak sekali penyakit menular yang cukup membahayakan, penyakit menular biasanya disebabkan oleh faktor lingkungan yang cukup baik untuk pembiakan virus, penyakit akan merebak melalui hubungan langsung dengan individu yang telah dijangkiti virus, udara, batuk, bersin, mahupun makanan dan minuman. Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi di bidang kedoktoran memiliki peranan penting dalam mencegah penyebaran penyakit agar tidak meluas, iaitu dengan cara pemberian vaksin. Perkembangan ilmu pengetahuan dalam bidang Matematik juga memberikan peranan penting dalam pencegahan wabak suatu penyakit. Peranan matematik ini berupa model matematik, yang disebut model epidemi. Hepatitis B adalah suatu penyakit hati yang disebabkan oleh "Virus Hepatitis B" (HBV), suatu anggotafamili Hepadnavirusyang dapat menyebabkan peradangan hati atau yang ada pada sebahagian kecil kasus dapat berlanjut menjadi sirosi hati ataukanker hati.Mula-mula dikenal sebagai "serum hepatitis" dan telah menjadiepidemi pada sebahagianAsia danAfrika.Hepatitis B telah menjadiendemik diTiongkok dan berbagai negaraAsia. Penyebab Hepatitis ternyata tak semata-matavirus.Keracunanubat,dan paparan berbagai macamzat kimia seperti karbon tetraklorida, chlorpromazine, chloroform, arsen, fosfordan zat-zat lain yang digunakan sebagaiobat dalam industri moden, juga menyebabkanHepatitis.Zat-zatkimia ini mungkin saja tertelan, terhirup atau diserap melaluikulit penderita. Menetralkan suatu racun yang beredar di dalam darah adalah pekerjaan hati. Jika banyak sekali zat kimia beracun yang masuk ke dalam tubuh, hati bisa saja rusak sehingga tidak dapat lagi menetralkan racun-racun lain. Hepatitis B merupakan bentuk Hepatitis yang lebih serius dibandingkan dengan jenis hepatitis lainnya. Penderita Hepatitis B bisa terjadi pada setiap orang dari semua golongan umur. Ada beberapa hal yang dapat menyebabkan virus Hepatitis B ini menular.

( ii )Formulasi Model Matematik

MODEL MATEMATIKA :

KETERANGAN : X= populasi yang rentan terinfeksi HBV Y= populasi yang terinfeksi oleh HBV V= populasi yang terbebas dari HBV = laju kelahiran = laju individu yang rentan terinfeksi = laju kematian K= laju individu yang terinfeksi = laju pengobatan = efektivitas terapi dalam menghalangi infeksi baru

( iii )Penyelesaian Masalah Matematik

Analisis Model Matematika

Mencari titik kesetimbangan (bebas Penyakit) :

maka didapati

Mencari titik kesetimbangan (terkena Penyakit) :

Jadi titik kesetimbangan endemik

A=M-DDengan

Masukan titik kestimbangan (bebas penyakit) maka didapati

Maka

Maka

Maka

Sistem persamaan pada model matematika mempunyai satu titik kesetimbangan yaitu . Karena < 1 maka individu yang terinfeksi dapat menularkan infeksi virus ke 1 individu lain atau tidak sama sekali, dan saat > 1 maka individu yang terinfeksi dapat menularkan infeksi virus ke 1 individu lain atau lebih.

Analisis Kestabilan :

Maka dapat diperoleh nilai eigennya adalah :

dari nilai eigen terlihat bahwa 1 dan 2 adalah negatif, sedangkan 3 negatif ketika

0 < 1, dengan demikian akan stabil asimtotik.

( iv )Membandingkan Dengan Realiti

Dari Model SIR penyebaran HBV mempunyai satu titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit. Titik kesetimbangan bebas penyakit stabil jika rasio reproduksi dasar (R0) ?.

Selain itu, untuk mengendalikan infeksi HBV, langkah pertama adalah meningkatkan laju pengobatan. Hal ini dilakukan dengan memberikan vaksin kepada setiap individu yang rentan terinfeksi dan memberikan pengobatan kepada penderita Hepatitis B. Keefektivitasan pengobatan sangat berpengaruh terhadap penyebaran HBV kepada individu yang rentan terinfeksi.