Tugas Terstruktur-1 Matakuliah Pengantar Analisis Real (3 sks) Petunjuk : Tugas dikerjakan secara berkelompok, setiap kelompok : 5 orang Hasil pekerjaan dikumpulkan pada 12 Mei 2012, keterlambatan mengurangi penilaian sebagaimana dalam kontrak perkuliahan Pekerjaan yang hanya mengcopypaste, nilai maksimum 50% dari nilai yang diperoleh. 1. Untuk (a) (b) (c) (d) Jika ( Jika ( ) . dan , maka | . . ) ( , buktikan bahwa : , maka ) ( atau ). . .

, maka

2. (a) Buktikan bahwa jika

(b) Tentukan semua bilangan real sehingga | 3. Misalkan batas bawah dari , buktikan terdapat 4. Misalkan atas dan sehingga , sehingga . untuk setiap

jika dan hanya jika untuk setiap

dan

. Buktikan

terbatas di

terbatas di bawah, serta .

5. Misalkan Didefiniskan

adalah dua himpunan bilangan real positif yang terbatas di atas. sebagai * +.

Buktikan bahwa

terbatas di atas, dan ( ) ( )( ). rapat di dalam .

6. Misalkan 7. Jika {(

dengan)

{

}, buktikan bahwa

}, tentukan infimum dan supremum .

8. Dengan definisi limit barisan buktikan bahwa : ( ) 9. Misalkan ( ) ( ) tak kosong dan terbatas di atas. Tunjukkan bahwa terdapat barisan sehingga . .

10. Misalkan

(a) Buktikan bahwa ( (b) Buktikan bahwa ( (c) Tunjukkan bahwa ( 11. Misalkan

) terbatas. ) barisan Cauchy. ) konvergen, dan hitung limitnya. . )

, buktikan bahwa (

12. Tunjukkan bahwa jika 13. (a) Misalkan ( bahwa ( (

dengan

, maka xn c . , buktikan

) barisan Cauchy sehingga xn 1 2 untuk semu ) juga barisan Cauchy.

(b) Misalkan x1 4 dan xn 1 (2 xn 9) 5 buktikan bahwa ( limitnya. 14. Misalkan ( ) barisan yang didefinisikan dengan

) konvergen dan hitung

x1 5 2(a) (b)

2 xn 1 ( xn 6) 5

dengan induksi tunjukkan bahwa 2 xn 3 untuk semua dengan (a) tunjukkan bahwa xn 1 xn 0 (sehingga (

,

) turun),

(c) simpulkan ( xn ) konvergen dan hitung limitmya. 15. (a) Berikan contoh barisan tidak terbatas mempunyai subbarisan Cauchy (b) Berikan contoh barisan bilangan real positif (

(

)

yang konvergen sehingga

)

. ooOoo