7/24/2019 Tugas wajib 1

1/1

Teorema Lagrange

Apabila H subgrup dari grup berhingga G, maka (H)

(G).

Bukti

Pandang H mempunyai r elemen dan terdapat s koset kanan yang berbeda, koset memartisi G

menurut teorema berikut:

Misalkan H adalah sebuah subgrup dari sebuah grup G. Koleksi koset kanan Ha

membentuk sebuah partisi dari G.

Bukti

karena

,He

maka

Haeaa =

; karenanya setiap elemen termasuk suatu koset,

yaituHa

.

Sekarang pandang Ha dan Hb adalah tidak saling lepas. KatakanlahHbHac

.

Bukti lengkap dengan menunukkan bah!a Ha"Hb.

Karena # termasuk kedua Ha dan Hb, diperoleh

ahc$

=

dan

bhc%

=

dengan

Hhh %$

, bhhabhah%

$

$%$

==

Misalkan.HaxMaka

bhhhahx %$

$&&

==

dengan

.& Hbh

Karena ' adalah sebarang elemen dari Ha, maka kita peroleh Ha adalah subset Hb.

(engan #ara yang sama diperoleh Hb subset Ha.

Hal ini berakibat Ha"Hb, dan teorema terbukti.

dan masing)masing koset mempunyai r elemen menurut teorema berikut:

Misalkan H adalah sebuah subgrup hingga dari G, maka H dan sebarang koset Ha

mempunyai umlah elemen berbeda yang sama.

Bukti

Misalkan H"*h$, h%, ..., hk+, dengan H mempunyai k elemen, maka Ha"*h$a, h%a, ..., hka+.

Karena hia " ha berakibat hi"h; maka pada Ha uga terdapat k elemen yang berbeda.

maka, G mempunyai rs elemen dan karena itu order dari H membagi order dari G.