tugas-metriks

1

RUANG METRIK

A. Definisi 1 Ruang MetrikMisal X adalah himpunan tidak kosong. Suatu fungsi bernilai real d yang didefinisikan pada X x X yaitu pasangan berurutan dalam X, disebut metrik atau fungsi jarak pada X bila dan hanya bila fungsi tersebut memenuhi aksioma aksioma berikut, yaitu untuk setiap a, b, c X:

(i) d(a,b) 0 dan d(a,a) = 0. Definit Positif(ii) d(a,b) = d(b,a) Simetris(iii) d(a,c) d(a,b) + d(b,c) Ketaksamaan Segitiga(iv) Bila maka d(a,b) > 0

Bilangan Real d(a,b) disebut jarak dari a ke b.Himpunan X yang dilengkapi dengan suatu metrik d, dituliskan dengan (X, d) disebut Ruang Metrik (Metric Space).

Anggota ruang metrik (X, d) disebut titik atau point dan untuk setiap ada bilangan non-negatif d(a,b) yaitu jarak titik a dengan b.

1. Metrik Biasa pada garis Real RFungsi di yang didefinisikan oleh d(a,b)=|a-b|, dengan a dan b bilangan-bilangan Real, adalah metrik dan disebut Metrik Biasa pada garis Real R.Bukti:(i) d(a,b) = |a-b| 0 dan d(a,b) = 0 jika dan hanya jika a = b.(ii) (ii) d(a,b) = |a-b| = |b-a| = d(b,a)(iii) (iii) |a-b| + |b-c| |a-b+b-c|

= |a-c|atau d(a,c) d(a,b)+d(b,c) , a<b<c(iv) d(a,b) = |a-b| >0 jika

2. Metrik Biasa pada .

Fungsi d yang didefinisikan oleh , dengan

dan adalah titik dalam bidang adalah metrik dan disebut Metrik Biasa pada .Bukti:

a. 0 dan

d(p,q) = 0

Ruang Matriks Pengantar Topologi

2

Jadi d(p,q) = 0 jika dan hanya jika dan .

b.

c.

=

Jadi

atau dengan , dan

>0 jika , dimana p<q<r.

3. Metrik TrivialMisal X adalah suatu himpunan yang tidak kosong dan d adalah fungsi yang didefinisikan oleh

Maka d adalah metrik pada X. Fungsi jarak d biasanya disebut metrik trivial pada Xatau metrik diskrit pada X.Bukti:a. d(a,b) = 1 0, jika dan d(a,b) = 0 jika dan hanya jika a = b.

b.

d(a,b) = d(b,a)

c.

Jadi d(a,c) d(a,b)+d(b,c) , a<b<c

d.

d(a,b)=1 >0 jika .


3

4. PseudometrikMisal dan adalah titik-titik sebarang pada bidang yaitu pasangan terurut dari bilangan-bilangan real. Fungsi dan yang didefinisikan oleh

dan adalah metrik-metrik yang berbeda pada . Maka d adalah metrik pada X. Fungsi jarak d biasanya disebut pseudometrik pada XBukti:a. 0, 0

karena harga mutlak nilainya selalu positif, dan

= 0

atau

b.

c. Misalkan

Jadi atau dapat ditulis .

Dan

Jadi atau dapat ditulis

d. Bila maka Jelas >0 dan

> 0

B. Jarak dan Diameter Antara Himpunan-Himpunan


4

Misal d adalah metrik pada Himpunan X. Jarak antara titik dan didefinisikan oleh: yaitu batas bawah terbesar dari jarak-jarak p dengan titik-titik dari A.1. Jarak

antara dua subset tidak kosong A dan B dari X didefinisikan oleh:

Yaitu batas bawah terbesar jarak-jarak dari titik-titik dari A dan B.

2. Diameter dari subset tidak kosong didefinisikan oleh

Yaitu batas atas terkecil dari jarak titik-titik dalam A.Bila diameter dari A terhingga, yaitu maka A disebut terbatas, dan bila

maka A disebut tak terbatas.

Contoh:Misal X adalah suatu himpunan yang tidak kosong dan d adalah metrik trivial. Makauntuk dan

,

C. Bola Buka dan Bola TutupDefinisi 2: Misal dan . Bola buka dengan jari-jari r dan titik pusat a adalah himpunan Dan Bola Tutup dengan jari-jari r dan titik

pusat a adalah himpunan .Contoh:Pada R dengan jarak euclid, bola merupakan interval terbuka (a - r, a + r). Pada

dengan jarak euclid, bola merupakan sebuah piringan dengan titik pusat a dan jari2 r.


5

Pada dengan jarak euclid, bola adalah bola yang kita kenal sehari –hari, sedangkan Pada dengan ,

bola berbentuk

Sedangkan pada dengan bola berbentuk

D. Topologi MetrikDefinisi :Misal d adalah metrik pada himpunan tidak kosong X. Suatu topologi pada X yang dibangun oleh kelas dari bola-bola terbuka dalam X disebut topologi metrik (atau topologi yang dibangun oleh metrik d).Himpunan X dengan topologi yang dibangun oleh metrik d disebut ruang metrik dan di tulis dengan (X,d).Jadi ruang metrik adalah ruang topologi dengan topologinya dibangun oleh suatu metrik.Contoh :1. Bila d adalah metrik biasa pada garis real R yaitu d(a,b)=|a-b|, maka bola-bola

terbuka di dalam R adalah interval buka terhingga.Jadi metrik biasa pada R adalah membangun topologi biasa pada R.

2. Misal d adalah metrik trivial pada suatu himpunan X. Untuk sebarang p(X, S(p, ½ ))={p}.Jadi setiap himpunan singelton adalah buka. Dengan demikian metrik trivial pada X membangun topologi diskrit pada X.

a) Sifat-Sifat dari Topologi Metrik


6

1. Bila p titik dalam ruang metrik X, maka kelas kontabel dari bola-bola terbuka, {S(p,1), S(p, ½ ), S(p, 1/3 ), ... } adalah basis lokal di p.

2. Penutup A dari subset A dari ruang metrik X adalah himpunan dari titik-titik yang berjarak nol dari A yaitu A

3. Dalam ruang metrik X, semua himpunan berhingga adalah tutup.4. Aksioma Pemisah : Bila A dan B subset-subset yang saling lepas dan tertutup

dari ruang metrik X, maka ada set-set buka G dan H yang saling lepas, sedemikian hingga dan .

Dari Sifat ke 4, mungkin akan diduga bahwa jarak antara dua himpunan yang saling lepas lebih besar dari nol, tetapi hal tersebut belum tentu, seperti ditunjukkan oleh contoh berikut:Misal himpunan berikut terletak dalam dan ditunjukkan pada diagram berikut: dan

b) Basis Untuk TopologiDefinisi :Misal (X, t) suatu ruang topologi. Suatu kelas B yang terdiri dari himpunan-himpunan bagian buka dari X yaitu adalah basis untuk topologi bila dan hanya bila: Setiap himpunan buka adalah gabungan dari anggota-anggota B, dkl adalah basis untuk topologi bila dan hanya bila untuk suatu titik p yang termasuk pada himpunan buka G ada dengan .Contoh:

Topologi untuk S={a,b,c,d}

Jadi Basis


A

G

B

H

BA

-1 1

7

E. Metrik-Metrik EquivalenDefinisi :Dua metrik d dan d* pada himpunan X disebut equivalen bila dan hanya bila d dan d* dibangun oleh topologi yang sama pada X, yaitu bila dan hanya bila bola-bola buka d dan bola-bola buka d * dalam X adalah basis-basis untuk topologi yang sama pada X.Contoh:Bila d adalah metrik biasa, dan misal dan adalah titik-titik sebarang pada bidang yaitu pasangan terurut dari bilangan-bilangan real. Fungsi dan adalah metrik yang didefinisikan oleh

dan Maka d, d1 dan d2 ketiganya membangun topologi biasa pada bidang , karena kelas dari bola-bola buka dari tiap-tiap metrik adalah basis untuk topologi pada .Jadi metrik-metrik tersebut adalah equivalen.

F. Ruang Metrik IsometrisDefinisi :Ruang metrik (X,d) disebut isometris dengan ruang metrik (Y,e) bila dan hanya bila ada fungsi f : X Y yang satu-satu dan onto dengan jarak-jarak yang utuh untuk setiap

, maka

Contoh:Misal d adalah metrik trivial pada himpunan X, dan mmisalkan e adalah metrik pada Y yang didefinisikan oleh :

Kita asumsikan bahwa X dan Y mempunyai kardinalitas yang sama yang lebih dari satu. Maka (X,d) dan (Y,e) tidak isometris karena jarak-jarak antara titik-titik dalam tiap-tiap ruang adalah berbeda. Tetapi d dan e keduanya membangun topologi diskrit dan dua ruang diskrit dengan kardinalitas sama adalah homoemorphik, jadi (X,d) dan (Y,e) adalah homeomorphik.

G. RUANG M-EUCLIDDefinisi :

adalah notasi untuk produk dari m buah himpunan R dari bilangan-bilangan real yaitu yangmemuat semua m tuple (a1, a2, …, am) dari bilangan-bilangan real.Suatu fungsi d yang didefinisikan oleh:

Dimana p = (a1, a2, ... , am) dan q = (b1, b2, ..., bm) adalah metrik dan disebut METRIK EUCLID pada

H. RUANG HILBERTDefinisi :Kelas dari semua barisan real tak hingga (a1, a2, ... , am) sedemikian hingga


8

yaitu sedemikian hingga konvergen, ditulis oleh . Sekarang

dimisalkan p=<an> dan q =<bn> adalah titik di dalam . Fungsi d yang didefinisikan oleh:

adalah metrik dan disebut metrik -l pada disebut Ruang

Hilbert atau ruang -l dan ditulis dengan H.Contoh:Perhatikan barisan-barisan :p = <1, 1, 1, ... > dan q = <1, ½ , ¼ , 1/8, ...>karena tidak konvergen maka p bukan titik dalam R. Sebaliknya, deret

adalah konvergen, jadi q adalah titik dalam R.

I. RUANG TERHUBUNGDefinisi :

ruang topologi terhubung jika tidak terdapat A,B , terbuka maka .

Definisi : ruang topologi dan ,

i. A, B terpisah di S jika ii. Jika A, B terpisah di S dan maka A, B bentuk pemisahan dari S.


tugas-metriks

Documents

Transcript of tugas-metriks