Tugas Matematika Ekonomi file · Web viewTentukan jumlah optimal masing-masing yang harus...
Transcript of Tugas Matematika Ekonomi file · Web viewTentukan jumlah optimal masing-masing yang harus...
Tugas Matematika Ekonomi
Pembagian tugas
1. Cynthia Tjoe – 125100134 – Halaman 277 s/d 280
2. Timotius Natanael S. – 125100137 – Halaman 281 s/d 284
3. Ronny Effendy – 125100138 – Halaman 285 s/d 288
4. Darwin Lesmana – 125100139 – Halaman 289 s/d 292
5. Dicky Saputra – 125100140 – Halaman 293 s/d 296
6. Handoyo Irawan – 125100142 – Halaman 297 s/d 300
7. Agustina Cindy – 125100144 – Halaman 301 s/d 304
8. Nadya – 125100147 – Halaman 305 s/d 308
9. Joseph Arifianto S. – 125100148 – Halaman 309 s/d 310 dan
Koordinator
4. Tentukan nilai x1 dan x2 yang memaksimumkan fungsi f(xi,x2)= 3x1+6x2
dengan batasan 2x1+5x2 20
2x1+2x2 10 x1 0 x2 0
5. Tentukan nilai x dan y yang memaksimumkan fungsi f)x,y) = 3x+2y dengan
batasan x+y 2x+3y x y
6. Perusahaan sampo merencenakan memproduksi produk A (untuk rambut
kering dan B (untuk rambut berminyak). Banyak ramuan yang tersedia cukup
untuk masing-masing sampo sebanyak 60.000 botol namun hanya diambil
kedua sampo tersebut sejumlah 60.000 botol. Untuk mengisi 1.000 botol
sampo A diperlukan 4 jam dan untuk mengisi 1000 botol sampo B butuh 3
jam. Waktu yg tersedia untuk itu sebesar 200 jam. Laba per botol sampo A
sebesar 9sen dan sampo B 7sen. Bagaimana menyusun skedul produksi
untuk memaksimumkan keuntungan?
7. Perusahaan Tr-Ply memproduksi 2 peti kayu. Keuntungan satuan peti 1
adalah $9, tiap satuan peti jenis 2 adalah $12. Masing-masing peti melewati 2
jalur produksi. Jumlah jam yang tersedia pada jalur produksi A yaitu 10jam
dan pada jalur produksi B 12jam. Tiap peti 1 membutuhkan 2 jam jalur
produksi A dan 3 jam jalur produksi B. Tentukan jumlah masing-masing peti
yg dapat diproduksi untuk memaksimumkan keuntungan gabungan.
8.Perusahaan tangga Up-Down menghasilkan 3 jenis tangga. Laba tangga
jenis 1 adalah $5, jenis 2 adalah $7, jenis 3 adalah $8. Masing-masing tangga
harus diproses melalui 3 pusat produksi yang membutuhkan waktu sebagai
berikut:
Pusat 1 (menit) Pusat 2( menit) Pusat 3 (menit)
Jenis 1 4 5 6
Jenis 2 5 7 9
Jenis 3 6 7 7
Jumlah yg
tersedia
80 100 120
Untuk memaksimumkan laba, tentukan jumlah masing-masing jenis tangga
yang harus diproduksi!
9. Perusahaan kapal pesiar menghasilkan 2 model kapal. Laba yg diperoleh
dari model 1 sebesar $520 dan model 2 sebesar $450. Model 1 perlu 40jam
pengerjaan dan 24jam untuk menyelesaikan. Model 2 butuh 25jam untuk
pengerjaan dan 30jam penyelesaian. Waktu yg tersedia 400jam untuk
pengerjaan dan 360jam penyelesaian. Tentukan jumlah optimal masing-
masing yang harus dihasilkan perusahaan dan laba yg diperoleh!
10. Perusahaan Douply membuat 3produk. Laba persatuan produk 1 $10,
produk 2 $14, produk 3 $15. Masing-masing menggunakan 3 macam bahan
baku yg kebutuhannya sbb:
Bahan 1 Bahan 2 Bahan 3
Produk 1 3 lb/unit 4 lb/unit 5 lb/unit
Produk 2 5 lb/unit 7 lb/unit 7 lb/unit
Produk 3 4 lb/unit 8 lb/ unit 6 lb/unit
Total lb yg
tersedia
220 280 320
Tentukan campuran produk yg optimal!
11.Perusahaan memproduksi 2 buku text. Laba buku text 1 $2, buku teks 2
$3. Buku text 2 butuh 4 jam untuk mencetak dan 6 jam untuk menjilid. Buku
text 2 membutuhkan 5jam untuk mencetak dan 3 jam menjilid. Waktu yg
tersedia untuk mencetak 200jam, untuk menjilid 210jam. Tentukan jmlh
optimal masing-masing buku text yg diproduksi perusahaan tersebut dan laba
yg diperoleh!
12. Cari pemecahan optimal untuk masalah pemograman linear berikut,
maksimiasi 6x1+3x2 dengan batasan
4x1 + x2
2x1 +2x2
2x1 +4x2
X1,x2
13. Cari pewmecahan optimal untuk masalah pemograman linear berikut
maksimisasi 12x1 – 5x2 dengan batasan
X1 – 2X2
X1- X2
X1
X1, X2
Tuliskan dual dari masalah pemrograman linear berikut.
14. Maksimumkan X1 + X2 + 5X3 dengan batasan 4X1 + 3X2 + X3
2x1 + 10x2 +3x3
X1, X2, X3
15. Minimumkan 3x1 + 5x2 + x3 dengan batasan x1+x2+x3
3x1+8x2+9x3
6x1+7x3
12X2+4X3
X1,X2,X3
16. Maksimumkan 2x1 + 10x2 dengan batasan x1+x2+x3
3x1-2x2+6x3
X2+ 3x3
X1,x2,x3
17. Minimum 2x1+10x2 dengan batasan x1+x2+x3
3x1-2x2+6x3
X2+3x3
X1,x2,x3
18. Maksimum 8x1-3x2 dengan batasan 9x1+2x2
10x1+3x2
X1,x2
19. Maksimum 5x1+3x2+14x3 dengan batasan 2x1+x2+3x3
X1+3x2+2x3
X1+x2+x3
X1,x2,x3
20. Minimum 6x1-3x2+4x3 dengan batasan 3x1+6x2+2x3
5x1+x2+6x3
X1,x2,x3
Teori Permainan
Dikembangkan untuk menganalisis situasi persaingan berupa kepentingan
yang bertentangan. Teori ini mengamsusikan 2 orang atau lebih dengan
tujuan yang berbeda-beda dimana tindakan masing-masing berpengaruh
namun tidak sepenuhnya menentukan hasil permainan.Teori ini juga
mengasumsikan setiap pemain bermaksud memaksimisasi keuntingan
minimum yang diharapkan atau meminimisasi kerugian maksimum yang
diperkirakan. Teori ini dinyatakan sebagai criteria minimaks atau maksimin.
Contoh teori permainan misalnya tik-tak-tu, checkers, catur, backgammon,
poker, bridge. Penera[an teori ini tidak dibatasi pada permainan melainkan
mencakup pula situasi persaingan dalam ekonomi, perusahaan, dan perilaku
social.
Jumlah orang
Kebanyakan teori permainan berurusan dengan permainan 2 orang. Namun
banyak situasi yang tidak membatasi pada 2 orang tidak sulit untuk dianalisis
dengan mengandaikan, sebagai cdontoh permainan kartu dipertimbangkan
sebagai ‘’dia’’ dan ‘’setiap orang’’
Pembayaran
Perbedaannya terletak pada permainan ‘’zero-sum’’ dam ‘’non-zero sum’’.
Jika jumlah pembayaran pada semua pemain 0, maka kemenangan dihutung
positif sedangkan kekalahan negative, permainan itu disebut ‘’zero-sum’’
sebaliknya disebut nonzero-sum. Dalam permainan zero sum tiap
kemenangan bagi seorang pemain adalah kekalahan bagi pemain lainnya
dan sebaliknya. Intinya yaitu permainan zero-sum merupakan suatu system
tertutup dan non-zero sum tidak. Kebanyakan permainan dari ruang adalah
zero sum.
Dalam bagian-bagian berikut berkenaan dengan permainan jenis ini. Sebagai
catatan suatu permainan 'nonzero-sum' dapat dibuat menjadi 'zero-sum'
dengan menambahkan seorang pemain khayalan, katakanlali Nature, tetapi
hal ini menuntut suatu analisis yang lebih baik, khususnya bila permainan
orisinal adalah antara dua orang.
Strategi-StrategiDalam teori permainan suatu strategi bagi seorang pemain ialah
rencana, yang merincikan tindakannya untuk setiap kemungkinan aksi dari
lawannya, yaitu strategi adalah suatu rencana lengkap untuk memainkan
suatu permainan, tanpa suatu konotasi tentang trampilnya pihak pemain.
Dalam suatu permainan yang sepenuhnya mud ah ditenma untuk dianalisis,
dimungkinkan paling tidak secara konseptual untuk disajikan semua
kemungkinan yang mungkin teijadi dan begitu semua kemungkinan strategi
dapat didaftarkan. Permainan dikelompokkan menurut jumlah strategi yang
tersedia bagi setiap pemain, bila pemain 1 memiliki m kemungkinan strategi
dan pemain,2, n kemungkinan strategi dan hanya mereka adalah pemain,
maka permainan tersebut adalah m X n yaitu m terhadap n. Pembedaan
terpenting ialah bagaimana mengelompokkan permainan atas dasar strategi
antara permainan yang terbatas dan yang tak-terbatas. Bila jumlah strategi
terbanyak tersedia bagi seorang pemain adalah terbatas, maka permainan
tersebut terbatas; jika sekurang-kurangnya seorang pemain memiliki strategi
yang tak-terbatas, maka permainan tersebut tidak terbatas. Teori tentang
permainan yang tak-terbatas adalah sangat sulit dan tidak dibicarakan dalam
bagian berikut. Untuk analisis permainan yang terbatas, penting untuk
dibedakan tiga kasus; yaitu pemain yang memiliki sekurang-kurangnya dua,
tiga atau lebih dari tiga strategi.
Secara ringkas, bahasan dalam bagian-bagian berikut umumnya
mencakup permainan dua orang yang sifatnya terbatas dan 'zero-sum'.
Matriks PermainanPersoalan umumnya disusun dalam bentuk matriks permainan (game
matrix,)-untuk analisis teori permainan. Suatu matriks permainan atau matriks
pembayarifry berbentuk bujur sangkar, di mana baris menyatakan strategi
dari seorang pemain dan kolom menyatakan strategi dari pemain lain; jadi
permainan m X n dinyatakan dalam matriks permainan m X n. Biasanya
pembay.aran dilihat dari sudut pemain yang strategi-nya berhubungan
dengan baris dari matriks; dalam •permainan 'zero-sum', pembayaran dari
pemain yang lain dinyatakan oleh negatif dari matriks tersebut.
Jadi teori permainan mengasumsikan bahwa strategi yang dimiliki
seorang pemain dapat dihitung dan pembayaran yang berhubungan dengan
itu dapat dinyatakan secara berarti, sekalipun tidak dalam satuan moneter.
Informasi ini cukup untuk me-nyelesaikan permainan tersebut - yaitu untuk
menentukan pilihan strategi yang bakal dilakukan setiap pemain — dengan
mengandaikan setiap pemain bemiat memaksimi-sasi keuntungan minimum
yang diharapkannya. Teori minimaks, sebagai hasil kunci teori permainan
menyatakan, bahwa ada suatu penyelesaian minimaks untuk setiap per-
mainan dua orang 'zero-sum' tertentu. Perlu diingat bahwa minimaks
bukanlah satu-satunya kriteria untuk memecahkan suatu matriks pefrTrainan
dan penggunaannya tertuju pada teori konservatif, sebab lawan diasumsikan
memiliki keterampilan meng-gunakan strategi terbaik.
Nilai dari permainan ini ialah pembayaran rata-rata ajau yang
diharapkan setiap permainan sepanjang suatu rangkaian yang panjang,
dengan asumsi kedua pemain secara konsisten menggunakan strategi
optimum. Secara konvensional nilai dipertimbangkan dari segi pemain yang
strateginya bertalian dengan baris dari matriks pembayaran. Suatu permainan
dikatakan adil bila nilainya sama dengan nol; dalam permainan yang adil tidak
seorang pemain pun mempunyai keuntungan. Dalam suatu permainan yang
tidak adil, seorang pemain akan menang dalam jangka panjang bila keduanya
memain-kan strategi optimumnya; bila nilai dari permainan itu positif, maka
pemain baris mempunyai keuntungan, bila nilai adalah negatif, pemain kolom
mempunyai keunggulan.
Titik-Titik PelanaBila suatu matriks permainan memiliki suatu pos (entry) yang secara simultan
adalah maksima dari minima baris dan minima dari maksima kolom, maka
pos minimaks ini disebut titik pelana (saddle point) dari permainan dan
permainan dikatakan ditentukan secara ketat. Dalam kasus ini, sesuai dengan
kriteria minimaks teori permainan, strategi optimum bagi pemain-pemain
tersebut dinyatakan oleh baris dan kolom yang berpotongan pada titik pelana.
Nilai dari permainan yang ditentukan secara ketat ialah nilai titik pelana.
Langkah pertama dalam memecahkan matriks permainan ialah dengan
memeriksa titik pelana; bila ditemukan maka permainan terselesaikan, bila
tidak analisis fliteruskan. Pemeriksaan suatu titik pelana biasanya dilakukan
dengan menulis minima baris di tepi setiap baris dan maksima kolom pada
tepi bawah setiap kolom. Maksima dari suatu minima dan minima dari suatu
maksima ditentukan apabila adalah sama yang berarti di-temukannya titik
pelana. Titik pelana dapat pula ditentukan dengan memeriksa suatu pos yang
secara serentak adalah minima dari baris dan maksima dari kolom (Lihat label
8.13).
Tabel 18.13 Permainan Y
Permainan X
1 2 a1n
maks min a1j
i j
1 a11 a12 … a1n min a1j
j
2 a21 a22 … a2n min a2j
j
aij
m am1 am2 … amn min amj
j
maks ai1 maks ai1 maks ain
Min maks aij
j i
Contoh
Periksalah apakah permainan berikut memiliki tiitik pelana
(a) 12 2 25 -10 -10
16 3 4 10 3 maks min = 3
-2 -1 26 0 -2
14 -4 8 6 -4
16 3 26 10
Min maks = 3
Terdapat titik.pelana pada perpotongan baris kedua (strategi optimum pemain
X) dan kolom kedua (strategi optimum pemain Y): nilai dan permainan adalah
3.
(b)
- 15 22 10 8 6 - 14 - 8 -15
- 3 4 - 6 0 - 4 22 - 10 -10 maks min = -6
- 2 3 4 10 - 1 0 (3) -6
-2 22 10 10 6 22 -6
Min maks = -6
Terdapat titik pelana pada perpotongan baris ketiga (strategi optimum pemain
X) dan kolom ketujuh (strategi optimum pemain Y); nilai permainan adalah
– 6
(c)
-3 2 4 -3
6 1 3 1
3 10 12 3 maks min = 3
5 0 -2 -2
0 -4 6 -4
6 10 12
Min maks = -6
Tidak terdapat titik pelana
(d)
2 0 6 -4 8 10 25 -10 12 14 -10 maks min = -10
-14 -2 0 14 9 12 15 0 -10 -3 -14
2 0 6 14 9 12 25 0 12 14
Min maks = 0
Tidak ada titik pelana.
PENYELESAIAN PERMAINAN DUA-ORANG, DUA-STRATEGIKonsep dasar dari analisis teori perinainan yang dibahas di atas diilustrasi
dalam bagian-bagian berikut untuk permainan 'zero-sum' dua orang dan dua
strategi. Menurut konven-si strategi pemain X dicatat dan diindeks dalam
kolom sepanjang tepi kiri dari matriks permainan dan strategi pemain Y
dicatat dan diindeks dalam baris sepanjang tepi atas. Pembayaran dilakukan
bagi X, yang dinyatakan oleh bilangan positit sebagai pembayaran oleh Y
kepada X dan bilangan negatif menyatakan pembayaran dari pemain X ke-
pada pemain Y.
PermainanPermainan dua-strategi yang paling mudah dianaljsis ialah 2X2 permainan di
mana se-tiap pemain hanya mempunyai dua strategi kemungkinan.
Penyelesaian sub permainan 2X2 juga sering berguna sebagai langkah untuk
memecahkan permainan dua strategi yang lebih besar (2 X n atau m X 2).
Ada tidaknya suatu titik pelana, mudah ditentukan untuk permainan
2x2, baik dengan metode yang dibicarakan di atas, maupun dengan teori
berikut.
TEOREMA: Matriks permainan 2x2 G =
G=a b
c d
tidak ditentukan secaraketat hanya bila syarat-syarat berikut terpenuhi.
1. a < b, a < c, d < h, dan d < c.
2. a > b, u > c, d > h. dan d > c.
Artinya suatu matriks.permainan 2x2 tidak ketat ditentukan hanya bila setiap
dari dua pos pada diagonal matriks adalah lebih besar dari setiap dua pos
dari diagonal lainnya.
CONTOHPermainan
Pemain Y
1 2
Pemain X 1 (0) 1
2 -3 10
Ditentukan secara ketat dan adil. Pemaih X mempunyai strategi optimum 1;
pemain Y mempunyai strategi optimum 1.
CONTOH
Pemain Y
1 2
Pemain X 1 5 (2)
2 -7 -4
secara ketat ditentukan tetapi tidak adil (nilai 2). Pemain X memiliki strategi
optimum 1, pemain Y memiliki strategi optimum 2.
Contoh
Pemain Y
1 2
Pemain X 1 0 1
2 2 0
tidak ditentukan secaraketat.Dalam permainan yang tidak ketat, tidak ada strategi optimum yang
jelas untuk di-gunakan oleh kedua pemain secara konsisten, dan selanjutnya
penggunaan strategi secara konsisten oleh salah satu pemain akan
dimaniaatkan oleh pemain lain. Jadi terdapat per-bedaan penting antara
permainan yang ditentukan secara ketat dan tidak. Dalam permainan yang
ditentukan secara ketat terdapat strategi optimum bagi setiap pemain dan
tidak diperlukan "tindakan pengamanan"; dalam permainan yang tidak
ditentukan secara ketat, permainan yang optimal mencakup menghindari agar
lawan mengetahui strategi apa yang harus digunakan untuk suatu permainan
tertentu. Hal ini terpenuhi dengan menyeleksi strategi yang bakal digunakan
untuk setiap permainan secara acak. Strategi yang demikian yang terdiri dari
campuran probabilitas lebih dari satu strategi mumi, disebut strategi
campuran.
Penyelesaian permainan 2X2 yang tidak ditentukan secara ketat terdiri
dari sepasang probabilitas P1 dan p2 - 1 — P1 dengan mana pemain X memilih
secara acak strategi 1 dan 2, dan sepasang probabilitas q1 dan q2 = 1 – q1
dengan mana pemain Y memilih strategi 1 dan 2. Probabilitas ini
menghasilkan strategi optimum campuran, yaitu strategi dengan setiap
pemain secara berturut-turut dapat memaksimisasi keuntungan minimum
yang diharapkan atau meminimisasi kerugian maksimum yang diperkirakan
terhadap permainan optimal oleh setiap pemain lain.
Nilai dari P1 dapat diperoleh dengan menyamakan dua kemungkinan
pembayaran yang diharapkan untuk pemain X dan penyelesaian untuk p1 ,
sebab setiap p1 yang lain, salah satu dari pembayaran yang diharapkan
adalah lebih kecil dari yang lain dan dengan demikian kriteria minimaks
dilanggar. Sama halnya q1 dapat diperoleh dengan menyamakan dua
kemungkinan pembayaran yang diharapkan untuk pemain Y dan
menyelesaikannya.
Jika
G=a b
c d
menyatakan matriks permainan, maka pembayaran yang diharapkan oleh
pemain X bila pemain Y menggunakan strategi 1 adalah:
ap1 + c (1-p1)
dan bila pemain Y menggunakan strategi 2 adalah:
ap1 + d (1-p1)
Jadi dengan menyarankan pembayaran yang diharapkan,
ap1 + c (1-p1) = bp1 + d (1 – p1)
p1 (a – b – c + d) = d – c
Sama halnya, menyamakan pembayaran negatif yang diharapkan pada
pemain Y,
aq1 + b (1-q1) = cq1 + d (1 – q1)
q1 (a – b – c + d) = d – b
Nilai dari permainan mempunyai arti sama untuk permainan yang ditentukan
secara ketat atau tidak ketat. Nilai permainan adalah pembayaran yang
diharapkan diperoleh oleh seorang peniain untuk setiap permainan; rata-rata,
seorang pemain tidak dapat me-nang lebih dari nilai permainan, jika lawannya
tidak main jelek, dan tidak akan di-menangkan lebih kecil dari nilai suatu
permainan jika ia tidak main jelek. Nilai dari permainan
G=a b
c d
(bagi pemain X) adalah
V = ap1 + c (l – p1) = bp1 + d (1 – P1)
= - [aq1 +b (l –q1)] = -[cq1 + d (1 – q1)]
=
Negatif dari jumlah ini adalah pembayaran untuk pemain Y.
CONTOHPermainan
2 0
0 2
tidak ditentukan secara ketat. Strategi campuran optimal adalah
p1 =
p2 =
q1 =
q2 =
dan nilai adalah ; permainan ini menyimpang menguntungkan pemain
X.
CONTOHPermainan
-1 0
0 -2
tidak ditentukan secara ketat. Strategi campuran optimal adalah
p1 =
p2 =
q1 =
q2 =
dan nilai adalah v ; permainan ini menyimpang menguntungkan
pemain X.
CONTOHPermainan
7 -6
5 8
tidak ditentukan secara ketat. Strategi campuran optimal adalah
p1 =
p2 =
q1 =
q2 =
dan nilai v ; permainan menyimpang keuntungan pemain X.
CONTOHPermainan
10 -30
-10 20
tidak ditentukan secara ketat. Strategi campuran optimal adalah
p1 =
p2 =
q1 =
q2 =
dan nilai v ; permainan menyimpang keuntungan pemain Y.
Memainkan permainan, yaitu strategi optimum tidak dipengaruhi dengan
menam-bahkan konstan pada semua pembayaran atau mengalikan semua
pembayaran dengan konstanta positif. Nilai permainan dipengaruhi oleh
transformasi yang sama sebagaimana diterapkan pada matriks permainan.
CONTOHUntuk setiap permainan
G1=8 1
4 6
G2=11 4
7 9
16 2
G3= 8 12
p1 = . Catatan bahwa G2 = G1 + 3; nilai G1 adalah
dan nilai G2 adalah . G3 = 2G1 adalah Nilai G3 adalah .
Pemecahan Permainan 2X2 melalui Aljabar Matriks
Strategi optimum dan nilai permainan 2x2 yang tidak ditentukan secara ketat
diper-oleh dengan menggunakan aljabar matriks sebagai berikut: Jika matriks
pembayaran dinyatakan oleh
A =
Maka strategi optimal bagi X adalah:
[p1, p2] =
Strategi optimal bagi Y
[q1, q2] =
Nilai dari permainan dinyatakan dengan
v =
secara alternative, nilai permainan dinyatakan sebagai:
v = [p1, p2] =
contoh-contoh pada halaman 286 dan 287 dapat digunakan untuk
menggambarkan penyelesaian dengan metode ini.
CONTOHPermainan
2 0
0 2
tidak ditentukan secara ketat
[p1, p2] =
=
[q1, q2] =
=
v =
=
Secara alternative
V = [p1, p2]
=
=
= 1
(seperti diperoleh dengan menggunakan metode aljabar)
CONTOH:Permainan
-1 0
0 -2
tidak ditentukan secara ketat
[p1, p2] =
=
[q1, q2] =
=
v =
=
Secara alternative
V = [p1, p2]
=
=
=
(seperti diperoleh dengan menggunakan metode aljabar)
CONTOH:Permainan
7 -6
5 8
tidak ditentukan secara ketat
[p1, p2] =
=
[q1, q2] =
=
v =
=
Secara alternative
V = [p1, p2]
=
=
=
(seperti diperoleh dengan menggunakan metode aljabar)
CONTOH:Permainan
tidak ditentukan secara ketat
[p1, p2] =
=
[q1, q2] =
=
v =
=
Secara alternative
V = [p1, p2]
=
10 -30
-10 20
=
=
(seperti diperoleh dengan menggunakan metode aljabar)
Permainan 2 x n dan Permainan m x 2.
Dalam permainan 2 x n dan m x 2, seorang pemainmemiliki dua strategi dan
pemain lain memiliki lebih dari dua strategi; penyelesaian dari permainan 2 x
n dan m x 2 dapat disederhanakan menjadi sub permainan 2 x 2.
Seperti halnya pemecahan permainan 2 x 2, langkah pertama ialah
memeriksa ada tidaknya titik pelana; strategi optimum murni dan nilai dari
permainan dengan begitu di tentukan.
CONTOHPermainan
4 4
5 3
6 (5)
1 3
5 4
Mempunyai titik pelana pada perpotongan baris ketiga (strategi optimal
pemaian X) dan kolom kedua (strategi optial pemain Y); permainan adalah 5.
CONTOHpermainan
1 7 (0) 3
4 8 -1 6
mempunyai titik pelana pada perpotongan baris pertama (strategi optimal X)
dan kolom ketiga (strategi optimal pemain Y); nilai permainan nol.
DominasiDalam matriks m X n, baris i dikatakan mayor atau mendominasi baris h jika
setiap pos dalam baris i adalah sebesar atau lebih besar dari pos baris h yang
berhubungan. Sama halnya, kolom j dikatakan minor atau dominasi kolom k
jika setiap pos kolom; adalah sekecil atau lebih kecil dari kolom k pos yang
bersangkutan. Catatlah bahwa setiap baris yang mendominasi (mayor) atau
kolom yang didominasi (minor) dapat diabaikan dari matriks permainan tanpa
mempengaruhi pemecahan, sebab strategi demikian tidak optimal. Bila
permainan 2 X n atau m x 2 tidak mempunyai titik pelana, yaitu tidak
ditentukan secara ketat, semua baris mayor dan kolom minor harus
dieliminasi seperti langkah berikutnya dalam pemecahan.
Pemecahan permainan 2 x n terdiri dari probabilitas p1 dan p2 = 1- P1,
dengan man a pemain X memilih secara acak strategi 1 dan 2 secara
berurutan dan probabilitas q1, q2, -.., qn, di mana Σni =1 q1 = 1, dengan mana
pemain Y memilih strategi secara acak berturut-turut 1, 2, . .. n. Sama halnya
pemecahan permainan m X 2 terdiri dari kemungkinan p1, p2,..., pm, di mana
Σni =1 p1 = 1, untuk pemain X dan 4, dan q2 -1 — q2 untuk pemain Y.
CONTOHPermainan
2 5
4 3
3 6
5 4
4 4
tidak memiliki titik pelana. Akan tetapi baris 3 mendominasi baris 1 dan baris
4 mendominasi baris 2 dan 5. Jadi peYmainan ini disederhanakan, untuk
kalkulasi. menjadi sub-permainan.
CONTOHPermainan
-6 -1 1 4 7 4 3
7 -2 6 3 -2 -5 7
3 6
5 4
tidak mempunyai titik pelana. Akan tetapi kolom 3, 4, 5 dan 7 didominasi
kolom 2. Jadi permainan disederhanakan untuk kalkulasi menjadi sub-
permainan.
-6 -1 4
7 -2 -5
Setelah dominasi digunakan untuk menyederhanakan permainan 2 x'n atau m
x 2 untuk kalkulasi, semua permainan 2X2 yang mungkin dapat diturunkan
dari matriks permainan yang disederhanakan dapat dipecahkan. Nilai dari
permainan orisinil adalah salah satu nilai yang diturunkan dari permainan 2X2
dan strategi optimal dari permainan orisinil ialah permainan 2X2 yang
diturunkan, diperluas untuk seprang pemain dengan menambalikan nilai nol.
Permainan yang diturunkan mana yang bisa meng-hasilkan pemecahan dari
permainan orisinil dapat ditentukan melalui coba-coba atau se-cara grafik.
Prosedur coba-poba terdiri dari pemecahan permainan 2X2 yang
diturunkan sampai diperoleh satu di mana dua strategi paling sedikit sebaik
(biasanya lebih,baik) dibandingkan strategi lawannya oleh karena ia bertindak
melawan pasangan yang muncul dalam sub-permainan 2X2. Jika suatu
permainan yang demikian ditemukan, pemecahannya memberikan
pemecahan terhadap permainan orisinil.
CONTOHDari contoh pertama di atas hanya tertinggal satu sub-permainan 2X2.
3 6
5 4
Pemecahannya pi = , p2 = ; q1 = , q2 = ; dan pemecahan permainan 5
x 2 ialah p1 = 0, p2 = 0, p3 = , p3 = , p5 = 0; q1 = , q2 = ; Baik untuk
sub-permainan dan permainan orisinil v =
CONTOHDalam contoh kedua di atas sub-permainan 2X3 menjadi
-6 -1 4
7 -2 -5
dengan begitu terdapat tiga permainan 2x2 yang mungkin dipecahkan.
Permainan 2X2 pertama.
-6 -1
7 -2
mempunyai pemecatan p1 = , p2 = ; q1 = p1 = , q2 = p1 = ; nilainya
adalah
Terhadap yang lain tertinggal strategi untuk pemain Y, kolom 3 dari
permainan yang disederhanakan, p1 = , p2 = p1 = mempunyai nilai
yang lebih hesar dari , sehingga pemecahan permainan 2X2 yang
diperluas ialah pemecahan untuk permainan orisinil.
P1 = P2 =
q1 = q2 =
q3 = q4 = q5 = q6 = q7 = 0
CATATAN : Permainan 2X2.
-1 4
-2 -5
mempunyai titik pelana; jadi P1 = 1, p2 = 0, dan nilai permainan adalah .
Terhadap strategi permainan untuk pemain Y, kolom 2 dari permainan yang
disederhanakan, p1 = 1 , p2 = 0 mempunyai nilai —6 sesuatu yang lebih besar
—1, sehingga pemecahan permainan orisinil tidak tercapai.
Permainan 2X2
-6 4
7 -5
mempunyai pemecahan p1 = , p2 = dan nilai dari permainan adalah -
. Terhadap strategi yang tertinggal pada pemain Y, kolom 2 dari
permainan yang disederhanakan p1 = p2 = mempunyai nilai . yang
tidak lebih besar dari , sehingga pemecahan permainan ini bukanlah
pemecahan permainan orisinil.
Pemecahan GrafisSecara grafts, permainan 2X2 yang merupakan pemecahan permainan 2 X n
ditentu-kan sebagai berikut. Gambarkanlah pasangan pembayaran dari
jumlah n strategi pemain Y pada kedua sumbu vertikal dan hubungkan
pasangan tersebut dengan garis lurus tempatkan titik tertinggi pada segmen
garis yang menjadi batas terendah suatu grafik. Garis-garis yang berpotongan
pada titik ini menyatakan strategi pemain Y optimum yang harus digunakan
pemain Y. Perlu dicatat bahwa permainan mungkin sekali disederhanakan
melalui dominasi sebelum pemecahan diperoleh dengan analisis grafis.
CONTOHDalam permainan
2 -2 3 7 6
6 5 1 4 0
kolom 5 mendominasi kolom 4 dan kolom 2 mendominasi kolom 1.
Permainan 2x3 untuk dipecahkan adalah
-2 3 6
5 1 0
yang dapat dipecahkan dengan menyelesaikan permainan 2X2.
-2 3
5 1
(Lihat Gambar 8.5).
Pemecahan sub-permainan 2 x 2 p1 = p2 = ; q1 = , q2 = ; nilainya .
Jadi pemecahan permainan orisinil ialah p1 = , p2 = ; q1 = 0, q2 = , q3 =
, q4 = 0, q5 = 0; nilainya adalah
Pembayaran bertalian dengan semua lima strategi pemain Y dilukiskan
dalam Gambar 8,5, sekalipun strategi pertama dan keempat dapat dihilankan
oleh dominasi. Catatlah bahwa garis bertalian dengan pembayaran untuk
strategi pertama terletak di atas pembayaran yang bertalian dengan strategi
dua. Sama halnya, garis bertalian dengan pembayaran strategi empat,
keseluruhannya terletak di atas garis pembayaran untuk strategi kelima yang
mendominasi.
Sama halnya untuk permainan m x 2, m jumlah strategi pembayaran
untuk pemain X dilukiskan pada perpotongan garis di titik terendah segmen
garis yang membentuk batasan atas dari gambar yang menyatakan strategi
yang harus digunakan pemain X dalam strategi optimumnya.
CONTOHPermainan
-3 6
6 3
8 -2
Tidak memperlihatkan strategi yang mendominasi; permainan 2 x 2 yang harus
dipecahkan (lihat gambar 8,6)
--3 6
6 3
Pemecahan dari sub-permainan 2 x 2 adalah p1 = , p2 = , q1 = , q2 =
nilainya . Jadi pemecahan permainan orisnil adalah p1 = , p2 = , p3 =
0, q1 = , q2 = , nilainya
CONTOH:Sebuah perusahaan mobil mengajukan lima rancangan mobil baru untuk
tahun-tahun berikutnya. Rancangan mana menghasilkan penjualan terbaik
sangat tergantung pada apakah model baku dari saingannya adalah
memuaskan, baik, cukup atau sederhana. Bila model adalahmemuaskan,
keuntungan bersih (dalam jutaan dolar) secara berturut-turut adalah 100, 150,
50, 125 dan 90; bila model itu baik keuntungannya berturut-turut 80, 55, 55,
60 dan 70; bila cukup keuntungan adalah 150, 100, 100 dan 125; bila
modelnya sederhana keuntungan adalah 50, 80, 25, 80 dan 75. Rancangan
manakah yang harus dipilih agar memaksisasi keuntungan minimum yang
diharapkan?
Model Saingan
Memuaskan Baik Cukup Sederhana
1 100 80 150 50
2 150 55 100 80
Rancangan 3 50 55 100 25
4 125 60 100 80
5 90 70 125 75
Kolom pertama dan ketiga didominasi oleh kolom kelima; baris ketiga
didominasi baris pertama, dan baris kedua didominasi baris keempat.
Permainan 2 x 2 yang harus dipecahkan (Lihat gambar 7.8)
80 50
70 75
Pemecahan sub-permainan 2 x 2 adalah P1 = 1/7 , P2 = 6/7 dan Q1 = 5/7 , Q2
= 2/7. Jadi pengusaha pabrik ahrus menghasilkan model 1 dengan
probabilitas 1/7 dan model kelima dengan probabilitas 6/7; pesaingnya harus
menghasilkan model dengan probabilitas yang baik dengan probabilitas 5/7
dan model sederhana dengan probabilitas 2/7; nilai = 500/7 = 71 3/7. Ingatlah
bahwa pembayaran dalam persoalan ini semuanya profit dan pesaing dengan
begitu memiliki alasan eksternal (seperti usaha memasuki pasar)
untuk ,menghasilkan tanpa terhindar dari kerugian. Ini dengan membuat
asumsi bahwa matriks menyatakan keuntungan bersih dan bukan beberapa
tipe penghasilan tambahan.
Contoh
Departemen Pertahanan merencanakan untuk menawarkan kontrak untuk
jenis persenjataan baru di antara lokasi A dan B. Suatu real state yang
berspekulasi bermaksud mangadakan investasi pada setiap lokasi. Bila lokasi
A dibeli, tanah akan bernilai $10.000 bila pabrik senjata dibangun di sana,
tetapi $3.000 bila dibangun di lokasi B. Apabila lokasi B dibeli tanah bernilai
$4.000, bila persenjataan dibangun di lokasi A dan $8.000 bila di bangun di
lokasi B. Jika dibangun kedua lokasi tanah akan bernilai $6.000 jiak pabrik
senjata dibangun pada pabrik A dan $5.000 bila dibangun di lokasi B. Agar
keuntungan minimum yang diharapkan dimaksimumkan apa yang harus
dibuat oleh speculator?
Investasi
Tidak ada strategi yang mendominasi; sub-permainan 2 x 2 yang harus
dipecahkan (liat gambar 8.8)
10.000 3.000
10.000 3.000
4.000 8.000
6.000 5.000
Pabrik Senjata A B
A
B
A dan B
10.000
8.000
6.000
4.000
2.000
10.000
8.000
6.000
4.000
2.000
4.000 8.000
Penyelesaian sub-permainan 2 x 2 ialah P1 = 4/11, P2 = 7/11. Jadi speculator
harus menginvestasi uang dalam kekayaan A dengan probabilitas 4/11 dan
dalam kekayaan B dengan probabilitas 7/11; nialinya $6.181,82. Jika
Departemen Pertahanan dipandang membuat rencana melawan speculator,
ia harus memilih lokasi A dengan probabilitas 5/11 dan lokasi B. 6/11. Secara
alternatif spekulator dapat mempertimbangkan akan memilih untuk
melindunginya terhadap kemungkinan kejadian terjelek, apakah kejadian itu
terjadi secara acak, atau sebagai hasil dari tindakan berlawanan dari
Departemen Pertahanan.
PEMECAHAN DARI PEMAINAN LEBIH BESAR
Untuk permainan 3 x 3 dan lebih besar, bila tidak ada titik pelana dan
permainan orisinil tidak dapat disederhanakan menjadi permainan sederhana
yang dominan, pemrograman linear memberikan cara pemecahan yang
efisien. Seperti dibahas dalam bagian 8.4 pemrograman linear berurusan
dengan persoalan maksimisasi atau minimisasi fungsi linear yang variabel –
variabelnya dibatasi pada nilai yang memenuhi sistem batasan linear. Suatu
matriks, pemainan dapat dinyatakan sebagai persoalan sejenis, karena setiap
permainan bermaksud memaksimisasi nilai permainan tetapi bertalian dengan
batasan yang dikenakan pada matriks pembayaran.
Seperti di atas matriks, pembayaran dinyatakan dengan
Gambar 8.8
A = a11 a12 ……. a1
a21 a22 …..a2n
am1 am2……..amn
Dan strategi optimal dari y dinyatakan oleh (q1, q2, … qn ) sedangkan
ketidaksamaan manyatakan ekspektasi dari Y.
a 11q1 + a12q2 + … + a1nqn ≤ r
a21q1 + a22q2 + … + a2nqn ≤ r
am1q1 + am2q2 +… + amnqn ≤ r
q1 + q2 + … + qn = 1
Subtitusi qi = qi / v,
a11q1 + a12q2 + … + a1nqn ≤ 1
a21q1 + a22q2 + … + a2qn ≤ 1
am1q1 + am2q2 + … + amnqn ≤ 1
q1 + q2 + … + qn = 1/v
Tujuan pemain Y ialah minimisasi v atau setara dengan maksimisasi
1/v. Jadi pemecahan matriks permainan dapat dirumuskan dalam bentuk
persoalan pemograman linear:
Maksimisasi q1 + q2 + … = qn
dengan batasan
a11q1 + a12q2 + … + a1nqn ≤
a21q1 + a22q2 + … + a2qn ≤ 1
am1q1 + am2q2 + … + amnqn ≤ 1
q1 + q2 + … + qn = 1/v
atau lebih ringkas
maksimisasi ∑q1 dengan batasan
∑aijqj ≤ 1 untuk i = 1, 2, …, m
soal – soal
dengan menggunakan kriteria minimaks, carilah strategi untuk setiap pemain
dengan matriks permainan sebagai berikut.
1. 8 10 13 16 9
10 12 6 15 10
16 18 9 13 25
4 9 18 20 6
14 3 5 8 4
-3 -1 6 -2 5
2 12 10 13 16
4.
n
J=1nJ=1
n∑qj = 1/ v
J=1
2.
3.
Carilah strategi optimal bagi setiap pamain dari matriks permainan berikut
dengan menggunakan kriteria minimaks dan tentukanlah nilai setiap
permainan.
7.
10.
12.
15 -20 -12 3
4 2 -10 -6
20 -18 -15 -8
-12 8 -10 6
10 9 -11 4
5 8 7
-1 -3 10
2 12 -6
3 10 20 18 0
-9 -8 46 10 4
2 0 17 18 0
-1 1 13 5 3
10 8 6 2
15 12 2 4
-4 6 -3 1
12 -2 8 -6
16 13 7 12
7 -1 7
10 -2 -5
9 5 6
3 5 2 1
0 4 8 3
2 7 14 9
5 4 -2 1
4 -6 3 6
12 8 10 9
6 18 -9 143 -10 -5
2 -4 -3
4 -5 -2
-6 -4 0
10 -8 1
12 -10 8 -6 7 -11
18 2 -3 -4 8 10
5 -3 14 0 -10 -12
3 12 16 1 8 2
-15 16 12 -2 9 -9
10 8 11 -2
14 6 -5 5
9 7 5 -4
15 4 -3 3
4 6
9 5
3 1
7 8
10 2
6 -10 12 25 0 5 3 -2
2 -8 4 -6 -
7
9 4 10
5.
6.
8. 9.
11.
14.
11
13.
15.
17. Seorang kontraktor bermaksud membangun sejumlah besar rumah untuk
pengembalian perumahan. Empat tipe rumah telah dibahas: kolonial,
peternak, tingkat yang bias dipisahkan dan mutakhir. Panitia pengembangan
akan memilih dua diantara tipe yang akan dibangun oleh kontraktor.
Kontraktor mempunyai kesempatan membeli material dalam jumlah besar,
sehingga menghemat uang yang berarti, tetapi harus dipertimbangkan
terlebih dahulu keputusan panitia sehingga hanya bisa dipesan satu tipe
material. Bila panitia memilih model colonial dan peternak, kontraktor akan
memperoleh keuntungan (ekstra) 125,120,60 dan 50 (dalam ribuan rupiah)
jika ia memesan colonial, peternak dan tingkat yang terpisahkan dan material
mutakhir. Bila panitia memilih colonial dan model tingkat terpisahkan,
kontraktor akan memperoleh keuntungan masing-masing 90,40,80 dan 75;
bila dipilih colonial dan mutakhir ia akan memperoleh untung 150,30,75 dan
100; jika panitia memilih peternak dan tingkat terpisahkan, akan diperoleh
70,70,75,65 berturut-turut; jika panitia memilih peternak dan mutakhir akan
memperoleh keuntungan 90,80,80, dan 120; jika panitia memilih tingkat
terpisahkan dan mutakhir akan diperoleh keuntungan 80,40,130 dan 80.
Bagaimana cara kontraktor memesan agar memaksimalkan keuntungan
minimum ekstra yang diharapkan.
18. manager pabrik harus membangun reactor untuk menghasilkan tipe
politena dnegan menggunakan proses 1,2,3,4. Sayangnya bahan baku kimia
bervariasi dalam kadar nitrogen 3,4,5 atau 6%. Kadar nitrogen mempengaruhi
0 2
1 3
-1 0
2 0
9 -5 7 1 -3
-10 4 -8 -6 216.
efisiensi relative fdari lima proses. Dengan kadar 3%, kelima proses
mempunyai output 50,45,60,50,30 ton. Dengan kadar 4%, output berturut-
turut 60,70,75,90,60 ton. Dengan 5%, nitrogen output adalah 30,55,60,45,70
ton. Dengan 6% nitrogen, output adalah 45,80,80,65,85 ton. Pengujian kadar
nitrogen praktis terlalu mahal. Proses manakah harus digunakan menajer
pabrik untuk memaksimisasi output minimum yang diharapkan?
19. Sebuah perusahaan pembuat mesin menggantungkan penampilannya
pada kesahihan bahan bakar motor. Perusahaan dapat membeli motor yang
mahal,diasuransi penuh termasuk biaya penggantian seharga $500 ,
perusahaan dapat pula membeli motor yang cukup mahal $400 , yang
diasuransi separuh harganya termasuk biaya penggantian , yang berarti suatu
kegagalan menyebabkan perusahaan membayar $600 untuk motor tersebut ;
atau perusahaan dapat membeli motor yang lebih murah seharga $300 ; bila
dibeli motor yang lebih murah , tidak dijamin biaya penggantian bernilai total
$700, atau dapat membayar $50 untuk motor diperiksa sebelum di
instalasi ,sehingga biaya total bila motor itu rusak $650. Apakah harus
diperbuat perusahaan , untuk minimisasi biaya maksimum yang diharapkan?
20. Tuan Smith dan Tuan Jones masing – masing memiliki rumah kecil
dengan perencanaan yang bias ditanami dengan tanaman untuk dijual.
Mereka menanam tomat,bunga ,arbei setiap tahun tetapi merahasiakan
tanaman mereka .Jika Tuan Smith menanam tomat ia memperoleh laba $100
jika Tuan Jones menanam tomat $150. Jika Tuan Jones menanam arbei dan
$200 jika Tuan Jones menanam bunga.Jika Tuan smith menanam arbei , ia
memperoleh laba $180, $125, $200 jika Tuan Jones menanam tomat ,arbei ,
bunga secara berturut –turut. Agar Tuan Smith memaksimisasi laba minimum
yang diharapkan apa yang harus ditanaminya?
21. Tuan Reno memutuskan untuk taruhan $5 untuk pertandingan antara
Angelwood dan Barleyville . Tuan Las dan Tua Vegas menawarkan Tuan
Reno untuk taruhan .Las bertaruh untuk Barleyville dan bersedia membayar
Tuan Reno $10 jika angelwood menang dan menerima $5 jika Barleyville
menang dan menerima .Tuan Vegas bertaruh Angelwood dan bersedia
membayar Tuan Reno $4 jika Barleyville menang dan menerima $5 jika
Angelwood menang. Jika ia ingin maksimisasi kemenangan minimum yang
diharapkan apa yang harus dilakukan Tuan Reno?
22. Casey mempunyai konsesi di Stadium Yankee untuk menjual kaca mata
panas dan paying. Ia telah mengamati bahwa ia dapat menjual 500 payung
jika hujan dan 100 jika panas ; jika panas ia dapat pula menjual 1000
kacamata panas.Payung berongkos $0,50. Ia bersedia mengadakan investasi
$250 untuk proyek ini .Andaikan jika tidak sesuatu pun terjual terjadi kerugian
total apa yang harus dibeli untuk maksimisasi keuntungan minimum yang
diharapkan?
23. Tuan Hilton Conrad menghadapi keputusan berikut : State Medical
Society akan menggunakan hotel unutk konvensi tahunan;pada dasarnya
semua fasilitas hotel akan digunakan (sehingga bisnis dari sumber lain harus
diabaikan) dan akan membayar $20.000 untuk privilese ini. Biasanya hotel
akan menghasilkan $10.000 selama waktu konvensi berjalan ; akan tetapi
ada kemungkinan World Series dipertunjukkan di kota pada saat itu , yang
akan memberikan hasil $50,000.Apakah Tuan Hilton Conrad menerima atau
melepaskan tawaran Medical Society agar memaksimisasi bisnis minimum
yang diharapkan?
24. Seorang investor harus memilih antara membeli tiga jenis saham :A,B,
atau C. Hasil dari pembeliannya tergantung pada apakah suatu perusahaan
khusus melakukan merger , menanggalkan diri sebagai subsidier atau
mempertahankan status quo. Dalam kasus merger saham A menghasilkan
20,saham B rugi 25 dan saham C menghasilkan 12. Dalam kasus
menanggalkan diri sebagai subsidier saham A rugi 5 dan saham B rugi 10
dan saham C rugi 12. Dalam status quo, saham A menghasilkan 5 saham B
menghasilkan 30 dan saham C rugi 4 (jumlah dalam ribuan dollar). (a) Untuk
memaksimisasi hasil minimum yang diharapkan , saham manakah yang
harus dibeli? (b) Bila menanggalkan diri sebagai subsidier tidak mungkin ,
sedangkan keuntungan dan kerugian tidak berobah, saham manakah akan
dibeli untuk maksimisasi keuntungan minimum yang diharapkan?
25. Komuter harus memutuskan apa yang harus dilakukan dengan membeli
asuransi mobilnya .Ia pasti bersedia menanggungkan kewajiban asuransi ,
tetapi mobilnya sudah sangat tua dan ia tidak pasti apakah asuransi terhadap
tabrakan masih berarti. Ia dapat pula tidak menutup asuransi tabrakan dan
membeli polis yang dapat didedukasi $50 untuk $60, atau menutup polis
penuh seharga $70 .Komuter hanya mengendarai mobil pergi pulang tempat
kerja dan ia memperkirakan tiga kemungkinan kejadian $50 , atau kecelakaan
besar tidak melebihi nilai $250(mobil hanya bernilai sekitar $400 – sehingga
optimism e ini masuk akal).Komuter menyadari ia mungkin akan memperoleh
lebih dari satu kecelakaan ,sepanjang tahun , tetapi atas dasar
pengalamannya ia mengasumsikan tidak akan terjadi .Apa yang harus
diperbuat untuk minimisasi biaya maksimum yang diharap;kan?
26. Di musim panas Tuan Smith mempertimbangkan persoalan batu bara
untuk musim dingin. Selama musim dingin normal diperlukan 15 ton bstu bsrs
untuk pemanasan ,dan ia memperkirakan minimal 10 ton atau maksimal 20
ton. Harga per ton berfluktuasi dengan musim antara $10 ,$15 dan $20 per
ton selama dingin ringan ,normal dan sangat dingin. Sekarang ini ia dapat
membeli $10 per ton. Tuan Smith mempertimbangkan tiga
alternative :membeli 10,15 atau 20 ton sekarang dan sisanya kemudian.
Andaikan tidak semua batu bara digunakan , kerugian total , apa yang harus
dilakukan untuk minimisasi kerugian maksimum yang diharapkan?
27. Seorang mahasiswa harus memutuskan bagaimana belajar untuk ujian
akhir ilmu sejarah .Ia belajar untuk salah –benar ,pilihan berganda atau tipe
tes uraian .Dan dia tidak mengetahui tipe ujian mana yang akan
dipakai .Mahasiswa itu berpikir, jika ia belajar untuk salah-benar ia akan
mencapai nilai 85,80 pada pilihan berganda dan 75 atas tes uraian. Jika ia
belajar untuk tipe pilihan berganda ia mengharapkan nilai 85 atas tes salah-
benar,90 pilihan berganda dan 90 tes uraian .Agar maksimisasi nilai minimum
yang diharapkan tip tas manakah yang harus dipelajari?
28. Sebuah Stasion Servis harus memiliki servis dan daerah parkir setelah
setiap curah salju yang hebat.Manajer dapat membayar $10 setiap kali
daerah ini diperlukan untuk dibajak , ia dapat membuat kontrak untuk $50
yang menyediakan bajak sampai enam kali curah salju ,dengan biaya $6,-
untuk setiap bajak tambahan ; ia dapat pula kontrak $60,- yang menyediakan
bajak sebanyak diperlukan.Apa yang harus dilakukan manajer untuk
minimisasi biaya maksimum bajak yang harus diharapkan jika ia
berasumsi(atas dasar pengalaman)akan terjadi 3 dan 8 kali turun salju
selama musim dingin?
Jawaban Soal – Soal Gasal
1. p1=p2=0,p3=⅔,p4=⅓
q1=3/7 ,q2 =0 ,q3=4/7 ,q4=q5 =0
3. p1=p2=p3=0,p4 = 5/19,p5=14/19
q1=q2=0,q3=18/19,q4=1/19
5. p1=0,p2=1,p3=p4=p5=0
q1=q2=0,q3=1,q4=0
7. p1=p2=0,p3=1
q1=0,q2=1,q3=0
ν=5
9. p1=p2=0,p3=27/29,p4=2/29
Qq1= 0,q2=19/29,q3=10/29 ,q4=1/19
ν=252/9
11. p1=p2=p3=0,p4=1,p5=0
Qq1=q2=q3=0,q4=1,q5=q6=0
ν=1
13. p1=0,p2= ,p⅕ 3=0,p4= ,p⅘ 5=0
q1= ,q⅗ 2=⅖ ν=37/5
15. P1=0,P2= ,P⅕ 3=0,P4 = ,P5=0⅘ q1=3/4,q2=1/4
ν=3/2
17. beli tipe colonial dengan probabilitas 3/14 dan tingkat terpisah
dengan probabilitas 11/14
19. beli motor yang mahal
21. taruhan las dengan probabilitas 3/8 dan Vegas dengan probabilitas
5/8
23. terima tawaran konversi
25. beli polis penuh
27. belajar tipe pilihan berganda
8.6. Proses Markov Derajat PertamaUrutan observasi atau hasil eksperimentasi sering dipandang tidak tergantung
satu-sama lain ; yaitu probabilitas mengalami suatu hasil khas diasumsikan
konstan sepanjang urutan. Generalisasi paling sederhana dari model ini
memungkinkan probabilitas hasil untuk setiap eksperimen atau pengamatan
tergantung pada observasi yang langsung mendahului , tetapi bukan hasil
yang jauh mendahului. Suatu proses urutan jenis ini disebut proses berantai
Markov derajat pertama atau proses Markov derajat pertama. Proses Markov
derajat pertama dan tingkat keseimbangan dirumuskan dan dilukiskan dalam
seksi ini.
DEFINISI DARI PROSES MARKOV ORDE PERTAMAAndaikan setiap urutan eksperimen atau observasi mempunyai saru dari
jumlah kemungkinan hasil yang pasti a1,a2,…,ar.Probabilitas hasil aj untuk
setiap eksperimen tertentu atau observasi tergantung pada hasil langsung
dari observasi yang mendahului.Probabilitas dinyatakan oleh P ij, i = 1,2,… r
dan j = 1,2,…r di mana Pij menyatakan probabilitas hasil aj untuk setiap
observasi khas, dengan syarat ai terjadi untuk observasi yang langsung
mendahului. Hasil a1,a2 . . . ar disebut keadaan(states) dan Pij disebut
probabilitas transisi dari rangkaian Markov orde pertama . Jika diasumsikan
proses mulai pada keadaan khusus ,probabilitas dari berbagai urutan dapat
dihitung. Jadi rangkaian Markov orde pertama dinyatakan dengan
merumuskan kemungkinan keadaan,menyatakan distribusi probabilitas awal
untuk kondisi tersebut , sehingga menyatakan pula matriks transisi.
Probabilitas transisi dapat dirangkumkan dalam matriks bujur sangkar.
Proses Markov dengan kondisi a1,a2…ar mempunyai matriks probabilitas
transisi.
P={Pij}=Perlu dicatat bahwa jumlah dari setiap unsru baris matriks P adalah 1,sebab
unsure baris ke ί menyatakan probabilitas untuk semua transisi yang mungkin
,jika proses adalah pada kondisi ai .Jadi,
untuk i= 1,2…rJadi jika distribusi probabilitas dari keadaan pada percobaan n adalah [p1,p2 ,
…p3],
Distribusi probabilitas untuk kondisi pada percobaan n +1 p11
[p1,p2,…,pr] =
KEADAAN AJEK ATAU KESEIMBANGAN
Distribusi probabilitas dari hasil untuk observasi ke – n dari proses Markov
orde pertama adalah hasil kali dari vector probabilitas awal dan matriks
transisi berpangkat n.Hal ini dapat ditunjukkan dengan memperluas argumen
dari bagian terdahulu. Jika vector probabilitas awal dinyatakan dengan p0 dan
vector probabilitas langkah ke n dinyatakan oleh pn, maka p1=p0P,P2,=p1
P=P0P2
, p2 =p2p =p0p3 …pn=popn. Atas dasar asumsi matematika yang tidak begitu
ketat,dapat diperlihatkan bahwa proses Markov orde pertama mendekati
keadaan ajek atau keseimbangan jika jumlah observasi terus meningkat ,yaitu
jika n mendekati tak terhingga.
Menurut definisi jika proses Markov orde pertama mencapai
keseimbangan,probabilitas dari setiap keadaan atau hasil adalah konstan
untuk setiap observasi yang berurutan. Proses Markov orde pertama
digunakan untuk melukiskan situasi bisnis dan ekonomi yang hamper tanpa
variasi memenuhi asumsi matematika untuk keseimbangan sering menjadi
yang ciri yang menarik dari proses ini.
Dapat diperlihatkan jika rangkaian Markov orde pertama mendekati
keadaan ajek atayu kseseimbangan jika jumlah observasi mendekati tak
terhingga ,distribusi probabilitas stasioner (keseimbangan) adalah unik dan
hanya tergantung pada matriks transisi dan tidak pada distribusi probabilitas
keadaan awal. Signifikansi pisik dan perhitungan dari keadaan stasioner
hanya menjadi nyata, jika jumlah proses Markov berasa dalam keadaan
keseimbangan secara serentak .Dalam kasus ini bila terdapat N jumlah
proses dan Pi adalah probabilitas keseimbangan dari keadaan I,piN dari
proses diharapkan berada dalam keadaan I,piN dari proses diharapkan
Nerada dalam keadaan I , untuk setiap observasi. Jadi bila N adalah besar ,
keadaan keseimbangan makroskopis dijamin oleh sejumlah besar transisi
dengan arah yang berlawanan.Kebanyakan keseimbangan statistic dalam
fisika tergolong jenis ini.
Menurut perhitungan , distribusi probabilitas stasioner [P1,p2….pr] dari
rangkaian Markov diperoleh dengan memecahkan matriks :
[p1,p2,. . . ,pr] =[P1,P2,…Pr]Di mana pί adalah probabilitas berada dalam keadaan ί , ί = 1 . . . r dan
.Hal ini mencakup pemecahan dari sejumlah r persamaan
linear yang bebas satu sama lain.
untuk ϳ = 1,2, . . .r (r—1 adalah tidak tergantung)
Ingatlah bahwa persamaan – persamaan ini sesungguhnya
menyatakan keseimbangan.Jika
[p1,p2,. . . ,pr] adalah distribusi probabilitas dari keadaan untuk suatu
observasi tertentu ,hasil kali ialah
p1,p2,. . . ,pr] menghasilkan distribusi probabilitas dari keadaan untuk observasi
berikutnya.Jika distribusi itu juga p1,p2,. . . ,pr] sama dengan observasi
yang mendahuluinya maka sistem berada dalam keseimbangan.
CONTOH
Andaikan pada 1 September, para pelanggan surat kabar di sualu daerah
untuk Herald, untuk Gazatte Tribune dan untuk Gazette. Selama bulan
September, Herald mempertahankan dan langganannya dan kehilangan
kepada Tribune; Tribune mempertahankan dari langganannya dan
kehilangan kepada Herald dan kepada Gazette; Gazette mempertahankan
langganannya, dan kehilangan kepada Herald dan kepada Tribune.
Andaikan tidak ada pelanggan baru.
(a) Berapakah proporsi pelanggan yang dimiliki setiap surat kabar pada
1 Oktober?
(b) Jika pola untung dan rugi sama berlanjut untuk bulan Oktober, berapa
proporsi langganan dimiliki setiap ha nan pada 1 Nopember'.'
(c) Jika pola untung dan rugi sama berlanjut setiap bulan, berapa
proporsi pelanggan yang dimiliki setiap harian pada keseimbangan?
Matriks transisi
Herald Tribune Gazette
HeraldTribuneGazette
(a)
[ ] [ ]
Jadi pada 1 Oktober, di antara para pelanggan Herald memiliki ,
Tribune , dan Gazette .
(b)
[ ] [ ]
Jadi pada 1 Nopember, di antara para pelanggan Herald memiliki —,
Tribune dan Gazette .
(c)
[p1, p2, p3] [p1, p2, p3]
Kalikan persamaan pertama dengan 8 dan persamaan kedua dengan 24 dan
persamaan ketiga dengan 6.
-3p1 + 6p2 + 4p3 = 0
3p1 – 22p2 + 4p3 = 0
p1– 4p3 = 0
p1 + p2 + p3 = 1
Selesaikan secara sirnultan persamaan satu, tiga dan empat (setiap 3 dari 4
persamaan adalah tidak berganfungan satu sama lain).
Jadi dalam jangka panjang Herald memiliki . Tribune , dan Gazette
pelanggan.
CONTOH Dalam masyarakat Gardenville setiap 5 persen dari penduduknya di kota
berpindah ke desa dan 2 persen penduduk desa berpindah ke kota. Andaikan
penduduk total adalah tetap dalam masyarakat, tentukanlah proporsi jangka
panjang dari penduduk kota dan desa.
Matriks transisi
Kota Desa
dan probabilitas keseimbangan ditentukan oleh
[p1, p2] [p1, p2]
0,95p1 + 0,02p2 = p1
0,05p1 +0,98p2 = p2
Kalikan dua persamaan pertama dengan 100,
-5p1 + 2p2 = 0
5p1 – 2p2 = 0
P1 + p2 = 1
Pecahkanlah secara simultan persamaan pertama dan ketiga (setiap dua dari
tiga persamaan adalah tidak bergantung satu sama lain).
Jadi mungin terjadi, orang dalam masyarakat, adalah penduduk kota dan
penduduk desa. Catatlah, bahwa keadaan keseimbangan adalah 0,05 X =
orang yang setiap tahun berpindah dari kota ke desa dan 0,02 X =
KotaDesa
orang yang setiap tahun berpin-dah dari desa ke kota sehingga jurnlah
penduduk kota dan desa tidak berubah atau stabil.
CONTOH
Seorang makelar mempelajari gerak harga dari berbagai saham di pasaran
dan khususnya berminat dalam perusahaan yang disebut Astronaut
Instruments, la telah mengamati bahwa jika saham meningkat pada suatu
hari, maka hari berikutnya terdapat kemungkinan 50 : 50 untuk meningkat
lagi, dan kemungkinan tetap dan kemungkinan menurun. Jika saham tetap
pada suatu waktu, akan sama dengan kecenderungan meningkat, tt'tap sama
atau mi-nurun hari berikutnya. Jika menurun suatu hari maka hari berikutnya
50 : 50 kemungkinan menurun lagi kemungkinan tetap dan kemungkinan
meningkat. Dalam proporsiwaktu berapa (dalam jangka panjang) saham itu
meningkat, tetap s.ama atau menurun?
Matriks transisi
Meningkat Sama Menurun
dan probabilitas keseimbanga'n ditentukan dengan
p1 + p2 + p3 = 1
Kalikan persainaan pertama dengan 6, kedua dengan 3 dan ketiga dengan 6,
-3p1 + 22 + p3 = 0
p1 – 2p2 + p3 = 0
Meningkat
Sama
Menurun
p1 + 2p2 – 3p3 = 0
p1 + p2 + p3 = 1
Selesaikanlah secara simultan persamaan kedua, ketiga dan keempat (tiga di
antara em-pat persamaan adalah tidak tergantung satu sama lain).
Dalam jangka panjang, saham meningkat , tetap dan menurun .
SOAL-SOAL1. Suatu. negara mempunyai sistem tiga partai politik dan hasil pemilihan
mengikuti suatu pola yang pasti. Jika suatu parti memenangkan pemilihan,
peluang untuk me-menangkan pemilihan berikut 50:50 dan bila kalah
pemilihan berikutnya, masing-masing dari dua partai berpeluang 50 : 50
untuk menang. Berapa proporsi kemenangan setiap partai dalam jangka
panjang?
2. Sebuah perusahaan angkutan menawarkan tiga jalur yang diijinkan antara
dua kota kepada para pengemudinya: melalui Mystic Bridge, sepanjang
Interstate Parkway dan pada jalur 1. Jika melalui Mystic Bridge, peluang
menemui hambatan lalu lintas ; Jika ia mengalami kemacetan lalu lintas
hari berikutnya ia akan menempuh Insterstate Parkway dengan
probabilitas dan jalur 1 dengan probabilitas ; jika ia tidak mengalami
kemacetan lalu lintas, hari berikutnya ia akan mengambil Mystic Birdge
dengan probabilitas , Interstate Parkway dengan probabilitas dan jalur
1 dengan probabilitas . Jika ia menempuh Interstate Parkway peluang
mene-mui kemacetan lalu lintas , Jika ia menemui kemacetan lalu lintas,
hari berikutnya ia memilih Mystic Bridge,'Interstate Parkway dan Jalur 1'
dengan probabilitas sama. Jika ia mengambil Jalur 1, ia akan terlambat
tidak menentu, sehingga ia tidak pernah mengambil Jalur 1 dua hari
berturut-turut dan hari berikutnya ia mengambil Mystic Bridge dengan
probabilitas dan Interstate Parkway dengan probabilitas Berapa
proporsi waktu diambil melalui Mystic Bridge, Interstate Parkway dan Jalur
1? '
3. Setiap tahun keluarga Smith pergi berlibur suatu trip untuk berkemah (di-
sukai oleh anak-anak), perkunjungan kota (disukai oleh Ny. Smith) atau
libur musim dingin (djsukai Tuan Smith). Mereka tidak pernah mengambil
libur yang sama dua tahun/.berturut-turut. Setiap tahun diundi dua jenis
yang mereka tidak ambil tahun lalu dan diambil pada tahun berjalan.
Berapa propbrsi waktu bagi keluarga Smith pergi berkemah, mengunjungi
kota atau mengambil liburan musim dingin?
4. Seorang ahli mesin memiliki mobil yang sangat tidak dipercaya.
Setiap .pagi dia pergi ke garase untuk menghidupkan mesin, adakalanya
mesin hidup sendiri dan ada kalanya diperlukan bantuan tetangga untuk
mendorongnya, dan ada waktu di mana stasiun sends harus dipanggil.
Bila dihidupkan suatu saat probabilitas untuk hidup adalah harus
didorong dan harus memanggil stasiun servis. Jika ia mendorongnya
peluang untuk mesin hidup. dan memanggil stasiun servis, harus di-
panggil hari berikutnya (tidak pernali didorong dua hari berturut-turuti. Jika
stasiun servis dipanggil suatu hari, peluang untuk hidup adalah dan
didorong . (Stasiun servis tidak pernan dipanggil-dua hari berurutan).
Dalam jangka panjang berapakah proporsi hari mobil itu akan hidup
sendiri, didorong atau menggunakan stasiun servis?
5. Para mahasiswa dari seorang Profesor Geologi tidak pernah tahu apa
yang akan terjadi dalam kelas; proiesor dapat membuat tes mendadak,
membawa mereka untuk suatu trip, membahas tugas harian atau
memberikan kuliah. Bila ia memberi-kan tes mendadak, hari berikut selalu
merupakan trip. Jika ada suatu trip lapang-an, tidak pernah ada tes
mendadak atau trip lapangan hari berikutnya, tetapi pembahasan tugas
harian atau memberikan kuliah mempunyai peluang yang sama. Jika
tugas harian dibahas terdapat peluang untuk tes mendadak, peluang
trip lapangan, peluang membahas tugas harian dan peluang untuk tes
mendadak, trip lapangan, membahas tugas harian atau kuliah di hari beri-
kutnya masing-masing , , dan . Seorang mahasiswa memperkirakah
tes mendadak trip lapangan membahas tugas harian dan kuliah
Apakah perkiraan ini benar?
6. Tuan S (yang menyukai steak), Tuan C (menyukai ayam) dan Tuan H
(menyukai ham) sering diundang ke rumah teman yang hanya
menyuguhkan tiga jenis hidangan ini. Mereka harus menentukan untuk
bertaruh sebelum setiap jamuan makan, hidangan apa yang akan
disajikan. Andaikan nyonya rumah menyajikan steak pada suatu
pertemuan, ia tidak pernah menyajikannya kembali padakesempatan
berikut; ia membuang undi dengan sebuah mata uang; bila hasilnya
kepala ia menyuguhkan ayam dan bila sebaliknya ia menyuguhkan ham.
Jika ayam disuguhkan pada suatu pertemuan, kali berikut ia memutar dua
dadu, dan menyuguhkan ayam bila muncul angka yang sama; jika dadu
menghasilkan angka berbeda, dadu kembali diputar dan menyediakan
steak apabila nilainya sama, dan ham apabila sebaliknya. Jika disuguhkan
ham pada suatu kesempatan, kali berikutnya ditarik sebuah kartu secara
acak, dan menyediakan ayam bila jika keluar wajik dan bila tidak ham
disediakan. Jika setiap orang selalu bertaruh untuk preferensinya, berapa
proporsi kemenangan setiap orang dalam jangka panjang?
7. Setiap musim panas Stormy Lakes Yachting Association harus
memutuskan apakah membuat pertemuan tahunannya dalam bulan Juni,
Juli atau Agustus. Jika pertemuan di bulan Juni, probabilitas cuaca baik
jika cuaca baik, tahun berikutnya pertemuan dilakukan bulan Juni dengan
probabilitas , dan bulan Juli -, Agustus ; jika cuaca buruk tahun
berikutnya pertemuan tahun berikut dilakukan bulan Juli dan Agustus
dengan probabilitas sama. Jika pertemuan di bulan JulTprobabilitas baik-
buruknya cuaca adalah sama, jika cuaca baik, tahun berikut pertemuan
dilakukan bulan Juli. Jika cuaca buruk, pertemuan dilakukan Agustus
dengan probabilitas
dan Juni dengan probabilitas . Jika pertemuan
Agustus probabilitas cuaca baik ; jika cuaca baik tahun berikutnya
pertemuan dilakukan Juli dan Agustus dengan probabilitas yang sama;
jika cuaca buruk, perteniuan dilakukan Juni dan Juli dengan probabilitas
dan . Eerapa proporsi kemungkinan pertemuan dilakukan dalam bulan
Juni, Juli dan Agustus?
8. Sebuah Klub Buku Ilmiah memiliki tiga daftar alamat; (a) terdiri dari
anggota 3 tahun atau lebib, (b) anggota sekarang dan (c) anggota
tambahan yang terdiri dari tam-bahan anggota sekarang dan mereka yang
pemah berminat terhadap kegiatan Klub. Untuk setiap publikasi baru
harus ditentukan daftar manakah yang harus diguna-kan untuk
mengirimkan literatur yang dijual. Setelah pengiriman yang baru lalu,
ternyata hanya sedikit yang memesan, sekretaris menggunakan daftar
anggota dengan probabilitas dan daftar tambahan dengan probabilitas
; jika setelah pengiriman yang baru berlalu terdapat banyak pemesan,
sekretaris menggunakan daftar anggota dan daftar tambahan dengan
probabilitas sama; jika setelah pengiriman yang lain publikasi dijual habis,
sekretaris menggunakan daftar yang diseleksi dengan probabilitas dan
daftar anggota dengan probabilitas -. Jika daftar seleksi digunakan,
hanya sedikit yang terjual atau jumlah yang cukup terjual dengan
probabilitas sama; jika digunakan daftar anggota, terlalu sedikit terjual
dengan probabilitas , dan jumlah memadai terjual dengan probabilitas .
Jika daftar tambahan digunakan, penjualan memadai dengan probabilitas
dan terjual lebih dengan probabilitas . Berapa proporsi penjualan
terlalu kecil, memadai dan berlebihan?
9. Seorang ibu rumah tangga sefalu membeli salah satu jenis detergen A, B
atau C. Merek apa yang hams dibeli sebagian tergantung pada apakah
ketiga perusahaan mempunyai kegiatan promosi (mencuci bersih). Waktu
karnpanye dilakukan secara acak, tidak memberikan perhatian pada
apakah persaingan dilakukan pada saat yang sama. Perusahaan A
menjalankan kali, perusahaan B
kali dan perusahaan C kali. Jika ibu
rumah tangga membeli merek A satu kali, waktu berikutnya ia membeli
merek A bila merek A mengadakan karnpanye atau tidak satu pun merek
menjalankan karnpanye, ia membeli merek B jika merek B dikampanyekan
tetapi merek A tidak dan ia membeli merek C bila C dikampanyekan
sendiri. Jika ia membeli merek B satu waktu, berikutnya ia membeli A bila
hanya A dikampanyekan dan bila tidak ia membeli B. Jika ia membeli C
satu saat, berikutnya ia membeli A jika A satu-satunya yang
dikampanyekan, dan C bila C dikampanyekan dan B tidak, sebaliknya B
dibeli. Berapa proporsi ibu rumah tangga membeli A, B atau C?
PETUNJUK: Dari P(A) = , P(B) = ,P(C) = maka dapat diperoleh
probabilitas sebagai berikut:
P (hanya A) = P (A dan C, B tidak) =
P (hanya B) = P(B dan C, A tidak) =
P(hanya C) = P(A, B dan C) =
P(A, B, C tidak) = P(tidak ada karnpanye) =
10.Perusahaan Komputer memesan sebuah antene dua kaki untuk
digunakan dalam model eksperimen dari seorang rekanan yang
menyatakan bahwa antene tersebut mempunyai kekuatan khusus yang
diperlukan oleh insinyur komputer. Setiap pengiriman dinilai memuaskan
oleh para insinyur yang menggunakan (jika tidak ada laporan kepada
rekanan), di bawah standar (rekanan diberitahukan bahwa pengiriman
tidak sesuai pesanan) atau tidak dapat diterima (bila pengiriman
dikembali-kan dan penggantian alat rekanan dengan jaminan). Klasifikasi
tergantung pada se-jauh pengiriman memenuhi atau gagal memenuhi
pernyataan rekanan tentang kekuatannya. Insinyur telah mengamati
bahwa bila pengiriman adalah memuaskan, pengiriman berikut akan
memuaskan dengan probabilitas , di bawah standar atau tidak dapat
diterima ; Jika pengiriman tergolong di bawah standar, maka pengiriman
selanjutnya adalah . di bawah standar dan tidak pernah dapat di-
terima. Berapa proporsi pengiriman tergolong memuaskan, di bawah
standar dan : tidak dapat diterima dalam jangka panjang?
Jawaban Soal-soal Gasal
1. 7.
3. 9.
5. yes