TUGAS KUANTUM LANJUT
3
3. Hubungan antara gelombang bebas sferis dan gelombang bidang Seperti yang telah kita ketahui bahwasanya terdapat dua buah basis yang berbeda dari sebuah keadaan eigen H 0 : yang pertama yaitu gelombang bidang v k (0 ) ( r) yang merupakan sebuah fungsi eigen dari 3 buah komponen momentum P; dan gelombang bebas sferis φ k,l,m ( 0) ( r ) yang merupakan fungsi eigen dari L 2 dan L z . Kedua basis ini berbeda dikarenakan P tidak ‘komut’ dengan L 2 dan L z . Sebuah fungsi tertentu dari salah satu basis ini dapat secara jelas diperluas dalam kaitannya dengan basis lainnya. Sebagai contoh, ketika kita akan mengungkapkan sebuah gelombang bidang v k (0 ) ( r) sebagai sebuah superposisi linear dari ketiga buah gelombang bebas sferis. Dengan menganggap bahwasanya sebuah vektor k berada dalam sebuah ruang biasa. Gelombang bidang v k (0 ) ( r ) yang mencirikan sebuah fungsi eigen dari H 0 dengan nilai eigen ℏ 2 k 2 2 μ . Oleh karena itu perluasan ini hanya akan termasuk jika φ k,l,m ( 0) yang mana berseuaian dengan nilai energi ini, bahwa mereka yang : k= | k| (63) Perluasan ini akan berbentuk : v k (0 ) ( r ) = ∑ l=0 ∞ ∑ m=−1 +1 c l,m ( k) φ k,l,m ( 0) ( r ) (64) Indeks bebas k dan k dihubungkan melalui persamaan (63). Hal ini dapat secara mudah ditunjukan, dengan menggunakan sifat- sifat dari sebuah sferis harmonik (cf, pelengkap A VI ) dan fungsi- fungsi Bessel sferis, yang mana: e ikz =4 π ∑ l=0 ∞ ∑ m=−1 +1 i l Y l m ∗¿ ( θ k ,φ k) j l (kr) Y l m (θ,φ) ¿ (65)
-
Upload
zaenal-t-arifin -
Category
Documents
-
view
15 -
download
7
description
merdeka
Transcript of TUGAS KUANTUM LANJUT
3. Hubungan antara gelombang bebas sferis dan gelombang bidangSeperti yang telah kita ketahui bahwasanya terdapat dua buah basis yang berbeda dari sebuah keadaan eigen : yang pertama yaitu gelombang bidang yang merupakan sebuah fungsi eigen dari 3 buah komponen momentum ; dan gelombang bebas sferis yang merupakan fungsi eigen dari dan . Kedua basis ini berbeda dikarenakan tidak komut dengan dan .Sebuah fungsi tertentu dari salah satu basis ini dapat secara jelas diperluas dalam kaitannya dengan basis lainnya. Sebagai contoh, ketika kita akan mengungkapkan sebuah gelombang bidang sebagai sebuah superposisi linear dari ketiga buah gelombang bebas sferis. Dengan menganggap bahwasanya sebuah vektor k berada dalam sebuah ruang biasa. Gelombang bidang yang mencirikan sebuah fungsi eigen dari dengan nilai eigen . Oleh karena itu perluasan ini hanya akan termasuk jika yang mana berseuaian dengan nilai energi ini, bahwa mereka yang : (63)Perluasan ini akan berbentuk : (64)Indeks bebas k dan k dihubungkan melalui persamaan (63). Hal ini dapat secara mudah ditunjukan, dengan menggunakan sifat-sifat dari sebuah sferis harmonik (cf, pelengkap AVI) dan fungsi-fungsi Bessel sferis, yang mana: (65)Dimana dan adalah sudut polar yang menentukan arah dari vector k. Apabila k diarahkan sepanjang Oz , peluasan (65) tereduksi menjadi : (66)Dimana adalah polinomial Legendre dari derajat l [cf. Persamaan (57) dari pelengkap AVI].Mari kita pertama-tama demonstrasikan hubungan (66). Untuk melakukan ini, kita dapat mengasumsikan sebuah vektor k yang terpilih adalah sejajar dengan Oz : (67)dan titik-titik berada dalam arah yang sama. Dalam kasus ini, persamaan (63) menjadi : (68)Dan kita ingin memperluas fungsi ini menjadi: (69)Didalam basis . sejak fungsi ini tidak bergantung pada , hal ini merupakan kombinasi linear dari hanya fungsi-fungsi basis dengan m=0 : (70)Untuk menghitung angka dari cl, kita dapat mempertimbangkan untuk menjadi sebuah fungsi dari variabel , dengan r memainkan peran sebagai parameter. Sejak bentuk harmonik-harmonik sferis dari sebuah basis orthonormal untuk fungsi dari dan , koefisien dapat diekspresikan sebagai:
Menggantikan oleh ungkapannya dalam kaitannya dengan [rumusan (25) dari pelengkap Avi], kita memperoleh :
Karena L+ merupakan adjoint dari operator L-. Perumusan (16) dari pelengkap
