BAB 1PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Dalam dunia keilmuan, tak ada ilmu yang berdiri sendiri. Pasti ada keterkaitan antara

ilmu yang satu dengan yang lainnya. Tak terkecuali dengan ilmu geodesi. Dalam menyelesaikan permasalahan geodesi dalam hal pengukuran permukaan bumi, misalnya pemetaan suatu kawasan perairan (pemetaan hidrologi) dibutuhkan juga pengetahuan mengenai faktor-faktor yang berpengaruh disitu. Faktor yang berpengaruh dalam pemetaan misalnya faktor tinggi. Untuk penentuan tinggi biasanya orang geodesi menggunakan sipat datar atau waterpass dimana tingginya terhadap muka air laut rata-rata (MSL). Kemudian ditambah dengan tinggi MSL terhadap geoid. Faktor tinggi antara MSL dengan geoid disini tidak semata-mata dihitung dari garis lurus antara geoid engan MSL tetapi ada persamaan untuk menyelesaikan hal itu. Disinalah ilmu pengukuran gaya berat diperlukan yang notabene bidang ilmu geofisika.

Selain itu, dalam membagi bumi menjadi lintang dan bujur seperti yang kita ketahui sekarang ini adalah tidak semata-mata dengan membaginya begitu saja tetapi ada persamaan yang digunakan dalam menyelesaikan permasalahan itu. Persamaan ini disebut dengan persamaan atau fungsi Legendre. Terdapat berbagai jenis spherical yang dapat diselesaikan dengan persamaan Legendre diantaranya adalah zonal, tesseral, sectoral. Makalah ini akan menjelaskan bagaimana menerapkan persamaan Legendre untuk spherical atau bentuk bola jenis zonal.

Diharapkan dengan adanya makalah ini dapat menjadi bahan untuk penelitian lain dan sebagai bahan dalam mempelajari persamaan Legendre pada bidang spherical atau bentuk bola.

1.2 Perumusan Masalah

Bagaimana menerapkan persamaan Legendre pada bidang spherical atau bentuk bola jenis zonal.

1.3 Tujuan 1. Menyelesaikan persamaan Legendre pada bidang spherical atau bentuk bola jenis zonal.2. Membuat representasi persamaan Legendre pada bidang spherical atau bentuk bola jenis

zonal.

1.4 Manfaat 1. Mengetahui asal usul dalam penentuan garis lintang dan garis bujur. 2. Menjadi bahan dalam kajian penelitian lain.

1

BAB 2TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Fungsi Harmonic Secara umum sebagai fungsi dari persamaan Laplace, fungsi harmonic adalah

Δ V = 0Fungsi dikatakan harmonic dalam daerah v dari ruang jika itu memenuhi persamaan Laplace di setiap titik dari v. jika daerah luar tertutup permukaan S, lalu itu harus ditambahkan 1/l untuk ltak terhingga. Hal itu ditunjukkan bahwa setiap fungsi harmonic adalah analitik (ketika memenuhi persamaam Laplace) yaitu mempunyai turunan berlanjut dan dapat dikembangkan dalam deret Taylor. Fungsi harmonic paling mudah adalah hubungan jarak

(2.1)

Jika ada titik dimana l=0 dan 1/l=tak terhingga maka tak berlaku turunan diatas sehingga 1/l tidak harmonic di titik tunggal ini.

2.2 Persamaan Laplace dalam Koordinat Spherical Fungsi harmonic penting adalah spherical harmonic. Sebelum itu, ada koordinat spherical yaitu r (radius vector), (jarak polar), (garis bujur geosentrik). Hubungan antara koordinat spherical dan koordinat rectangular adalah :

Gambar 2.1 Koordinat Spherical dan Rectangular

Persamaan yang dihasilkan adalah

(2.2)

2

Kebalikannya adalah

(2.3)

Untuk memperoleh persamaan Laplace dalam koordinal spherical, yaitu dengan :

(2.4)

Persamaan (1.4) disubtitusi ke persamaan :

(2.5)

maka akan menghasilkan :

(2.6)

Bentuk umum untuk koordinat orthogonal adalah

(2.7)

Dapat ditunjukkan dari Laplace dalam koordinatnya adalah :

(2.8)

untuk koordinat spherical, . Persamaan (2.6) menunjukkan bahwa

(2.9)Substitusi persamaan ini ke persamaan (2.8)

(2.10)

Hasil turunannya adalah

(2.11)

Dimana apabila dikali r2 hasilnya :

(2.12)

3

2.3 Spherical Harmonic Sekarang mencoba untuk menyelesaikan persamaan Laplace (2.12) dengan memisah variabel yaitu menjadi :

(2.13)

dimana f fungsi dari r dan Y fungsi dari v dan lamda. Substitusi menghasilkan :

(2.14)

Pemisahan dilakukan sehingga untuk fungsi f :

(2.15)

Untuk fungsi Y : (2.16)

Solusinya adalah :

(2.17)Fungsi ini disebut dengan solid spherical harmonics

2.4 Surface spherical harmonics Diketahui persamaan :

(2.18)Dan juga persamaan :

(2.19)

(2.20)

Sehingga fungsi (1.18) menjadi :

(2.21)

Dengan demikian solusi dari persamaan Laplace Δ V = 0, yaitu fungsi harmonic adalah :

(2.22)

Dimana fungsi Vi adalah untuk dibagian dalam sperichal /bola (interior)

(2.23)Dimana fungsi Ve adalah untuk dibagian luar sperichal /bola (eksterior) Dapat disimpulkan bahwa spherical harmonic dapat digunakan dalam geodesy.

4

2.5 Fungsi Legendre Dalam fungsi Legendre dikenal bahwa :

Dimana n menunjukkan derajat dan m dari persamaan . Persamaan yang tepat untuk subtitusi adalah :

Fungsi legendre didefinisikan dengan :

(2.24)

Sebagai contoh adalah :

(2.25)

Apabila m=0 maka fungsinya menjadi :

(2.26)Ini disebut dengan Polinomial Legendre.

Sebagai contoh diberikan Polinomial Legendre untuk n=0 sampai n=5 :

Ingat bahwa Fungsi Polinomial Legendre ini dapat juga dinyatakan dari fungsi sebelumnya yaitu :

(2.27)Gambar dari Polinomial Legendre ditunjukkan pada gambar 1.2

Ditunjukkan bahwa :

(2.28)

Sehingga didapatkan :

5

Gambar 2.2 Polinomial Legendre sebagai fungsi dari t=cosv

Jika m tidak nol misalnya m=1,2,……,n. Fungsi Legendre disebut dengan Associated Legendre. Persamaan dapat disederhanakan ke polynomial legendre :

(2.29)

Ingat bahwa Contoh :

Atau persamaan dapat dinyatakan dengan :

(2.30)

6

Dimana r adalah

Surface spherical harmonic adalah fungsi Legendre dikali dengan

Harmonic dengan m=0 mengubah tanda n kali di intervalnya, selanjutnya itu tak tergantung pada lamda. Geometri direpresentasikan pada gambar 1.3. Semenjak itu membagi bola ke dalam beberapa zone, itu disebut zonal harmonics.

Associated Legendre mengubah tanda n-m kali dalam interval . Fungsi mempunyai 2m nol di interval untuk m≠0 direpresentasikan

dalam gambar 1.3 Ini membagi bola ke dalam positif dan negative seperti papan catur yang disebut dengan tesseral harmonics. “Tessera” berarti kotak atau segiempat. Faktanya, untuk n=m, itu mendegenerasikan ke dalam fungsi bahwa membagi bola ke dalam sektor positif dan negative, yang mana disebut dengan sectorial harmonic seperti gambar 1.3.

Gambar 2.3 Jenis spherical harmonic a) zonal, b) tesseral, c) sectorial

7

Studi LiteraturPersamaan Legendre

Matlab

Pengumpulan DataPersamaan Legendre

Pengolahan Data

Analisa

Penyusunan Laporan

Identifikasi MasalahRepresentasi Zonal

harmonics

BAB 3METODOLOGI PEKERJAAN

3.1 Alat dan Bahan

Alat :- Software Matlab Bahan :- Persamaan Polinomial Legendre yaitu

(2.26)Dimana n = 7

3.2 Metodologi Pelaksanaan Pekerjaan 3.2.1 Tahap Pe kerjaan

Tahapan yang dilaksanakan dalam pekerjaan ini adalah :

Gambar 3.1 Diagram Alir Tahapan Pekerjaan

8

Berikut adalah penjelasan diagram alir metode pekerjaan :1. Identifikasi Masalah

Permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana menerapkan persamaan Legendre pada bidang spherical atau bentuk bola jenis zonal.

2. Tahap PersiapanPada tahap ini, kegiatan-kegiatan yang dilakukan adalah : Studi Literatur

Bertujuan untuk mendapatkan referensi yang berhubungan dengan Persamaan Legendre, tutorial matlab dan literatur lain yang medukung baik dari buku, jurnal, majalah, koran, internet dan lain-lain.

Pengumpulan DataPengumpulan data berupa persamaan Legendre.

3. Tahap Pengolahan dataPada tahapan ini dilakukan pengolahan dari data-data yang telah diambil dari lapangan dan data penunjang lainnya untuk selanjutnya dilakukan analisa.

4. Tahap AnalisaData yang telah diolah kemudian dianalisa sedemikian rupa sehingga didapatkan suatu hasil dan kesimpulan yang nantinya digunakan untuk menyusun laporan ini.

5. Penyusunan Laporan Penyusunan laporan merupakan tahap akhir.

9

BAB 4PELAKSANAAN PEKERJAAN

4.1 Pengolahan Data Dalam pembuatan representasi spherical harmonic jenis zonal diperlukan pembuatan

koding terlebih dahulu. Dimana koding ini dibuat berdasarkan rumus yang ada pada dasar teori. Dimana kodingnya pada matlab adalah sebagai berikut :

2.1 Analisa dan Hasil Setelah pengolahan data, koding tersebut akan direpresentasikan yaitu dengan

memplotnya menjadi gambar dengan matlab. Hasilnya akan terlihat seperti berikut ini :

Berdasarkan hasil yang didapatkan dilakukan analisa bahwa untuk persamaan legendre (2.26) atau disebut polynomial Legendre, dimana n = 40 maka akan menghasilkan 40 bidang lintang yaitu spherical atau bentuk bola dibagi secara horizontal menjadi 40 bagian. Ini membuktikan bahwa untuk jumlah pembagian bidang lintang tergantung jumlah n yang diproses.

10

BAB 5PENUTUP

6.1 Kesimpulan Berikut adalah kesimpulan dari makalah ini : 1. Persamaan Polinomial Legendre digunakan dalam representasi zonal harmonic.2. Zonal harmonic digunakan untuk merepresentasikan lintang dari spherical atau bola.3. Jumlah pembagian bidang lintang pada spherical atau bentuk bola tergantung pada jumlah

dari n.

6.2 Saran 1. Agar mencoba merepresentasikan zonal harmonics dengan n yang lebih besar.2. Menggunakan variasi warna yang memperjelas representasi dari zonal harmonics.

11