TUGAS 1

STRUKTUR ALJABAR

Oleh : Kelompok 2

Anggota :

1. Ikhsan Magribi NIM. 09075042. Novaliyosi NIM. 09075643. Tintin Kartini NIM. 09076044. Lia Yuliawaty NIM.0907560

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKASEKOLAH PASCA SARJANA

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA2009

Paradoks Russel

Seorang matematikawan bernama Bertrand Russell pada tahun 1901, mengungkapkan apa yang dikenal sebagai paradoks Russell (Russell paradox). Paradoks ini timbul dalam kaitannya antara suatu himpunan yang menjadi bagian dari berbagai himpunan namun bukan anggota itu sendiri. Paradok ini mengikuti pandangan logika klasik ,semua pernyataan akan selalu diikuti oleh suatu kontradiksi.

Logika Russell terdiri dari dua proposisi atau argumen .

1. Semua kebenaran – kebenaran matematika dapat ditetapkan sebagai bagian dari logika.

2. Semua pembuktian matematika dapat dimanisfestasikan sebagai pembuktian –

pembuktian logika atau dengan kata lain teorema-teorema matematika menjadi tak

terpisahkan dari logika.

Pada paradoks ini Russell membedakan himpunan menjadi dua, yaitu:

1. Himpunan normal adalah himpunan yang tidak berisikan dirinya sendiri sebagai anggota himpunan.

Contoh: himpunan semua kelinci bukanlah kelinci. himpunan kereta bukanlah kereta.

2. Himpunan tak-normal adalah himpunan yang berisikan dirinya sendiri sebagai anggota.

Contoh: himpunan semua yang bukan kelinci, himpunan semua yang bukan kereta.

Misal

Pertanyaannya adalah apakah anggota dari ?

Jika , maka memenuhi kriteria menjadi anggota himpunan , dan paradoksial terjadi, .

Jika , tidak dapat memenuhi kriteria menjadi anggota himpunan , dan paradoksial terjadi,

Hal tersebut di atas kontradiksi:

Jika maka ; jika , maka disebut dengan paradoks Russell.

Agar lebih jelas Paradoks Russell ini juga terkenal sebagai paradoks tukang cukur. Menurut paradoks ini, hanya terdapat seorang tukang cukur di dalam sebuah kampung. Dan, tukang cukur tersebut hanya mencukur mereka yang tidak mencukur sendiri rambutnya. Di sinilah timbulnya paradoks, kerana siapa yang mengunting rambut tukang cukur dalam kampung tersebut.

Penjelasan lainnya tentang paradoks Russell

Dalam matematika himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek,  contoh himpunan {a,b,c} artinya himpunan tersebut  mengandung elemen a,b,dan c dan {b,c} merupakan himpunan bagian dari {a,b,c}

Himpunan juga bisa mengandung himpunan contoh {{a,b},{x,y}} mengandung 2 himpunan {a,b} dan {x,y} dan juga mengandung himpunan kosong, semua himpunan mangandung himpunan kosong.

Kita juga bisa membuat himpunan yang memuat dirinya sendiri contoh bisa kita lihat S memuat dirinya,S element dari S dari sini kita akan mengkontruksikan suatu himpunan yang sangat unik

R adalah himpunanan yang berisikan semua himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri sebagi anggota

Atau bisa kita notasikan

Itu artinya  A elemen  R jika hanya jika A bukan elemen dari  A

Pertanyaan sekarang apakah  R elemen dari R ? Ini hampir serupa dengan pertanyaan kita sebelumnya “Apakah si tukang cukur mencukur rambutnya sendiri?” kita akan salalu mendapatkan kontradiksi pada setiap jawabannya. Itu  berarti Himpunan R Inkonsistensi. Himpunan  R tersebut dikenal sebgai paradoks Russell.

Contoh lainnya yang terkait di antaranya :1. Pak Ahmad seorang petugas memandikan mayat laki-laki. Semua peduduk desa laki-

laki yang meninggal pasti dimandikan oleh pak Ahmad tetapi jika pak Ahmad

meninggal, maka siapa yang akan memandikan ?

2. Bu Siska adalah seorang juru masak satu-satunya di suatu hotel. Semua penghuni

hotel kecuali bu Siska tidak bisa memasak. Jika bu Siska sakit siapa yang akan

memasak makanan di hotel?

Pembahasan :

Contoh 1.1.4 Misal S adalah himpunan semua segitiga pada bidang datar. Dua segitiga dikatakan ekivalen jika mereka sebangun. (Contoh, memiliki sudut yang sesuai). Hal ini menunjukkan relasi ekivalen pada S.

Jawab:Misal : ambil 2 buah segitiga sembarang

dengan sudut dengan sudut

Akan ditunjukkan ~ relasi ekivalen, yaitu :1. ~ 2. ~ maka ~3. , maka

Akan ditunjukkan ~ memenuhi (1)

Artinya memenuhi sifat reklesif

Akan ditunjukkan ~ memenuhi (2)Misalkan artinya Maka artinya

Akan ditunjukkan ~ memenuhi (3)Ambil dengan Misal dan Maka artinya artinya artinya Sehingga Artinya ~

Contoh 1.1.5 Misal S adalah himpunan titik-titik pada bidang datar. Dua titik a dan b dikatakan ekivalen jika keduanya memiliki jarak yang sama pada titik asalnya. Buktikan secara sederhana bahwa hal ini menunjukkan relasi ekivalen pada S.

Jawab:Misal p adalah titik asal S adalah himpunan titik-titik pada bidang datar

Akan ditunjukkan ~ relasi ekivalen, yaitu :1. ~ 2. ~ maka ~3. , maka

Akan ditunjukkan ~ memenuhi (1)

Berarti

Akan ditunjukkan ~ memenuhi (2) artinya

Misal P adalah titik asal dimana Maka jarak a ke p = b ke pArtinya

Akan ditunjukkan ~ memenuhi (3) dan

Perhatikan bahwa maka maka

Karena : artinya jarak a ke p = jarak b ke p dan artinya jarak b ke p = jarak c ke p, maka artinya jarak a ke p = jarak c ke p

sehingga artinya

Contoh 1.2.3 Misal S adalah himpunan bilangan rasional positif dan , dimana J adalah

himpunan bilangan bulat. Diberikan bilangan rasional s, dapat kita tulis , dimana m dan

n tidak mempunyai faktor yang sama.Buktikan adalah pemetaan

Jawab:

Misalkan S adalah himpunan bilangan rasional positif, dengan J himpunan bilangan bulat

Ambil dengan m dan n tidak mempunyai faktor yang sama dan

Adt. adalah pemetaanMisalkan

Contoh

Bukti

Jawab :

Misal himpunan semua pemetaan 1-1 dari S ke S

Ambil sebarang maka 1. Adt bahwa Misalkan

Akan ditunjukkan Ambil sebarang dengan Karena maka Akibatnya Artinya

2.

3. Misalkan:

Akan ditunjukkan .

i.

ii.

iii.

Ambil sebarang

adalah suatu elemen di sedemikian sehingga

Jika dan maka

Sehingga

Dengan kata lain

iv.

Ambil sebarang

adalah suatu elemen di sedemikian sehingga

Jika dan maka

Sehingga

Dengan kata lain Jadi .

4. Ambil .

Apabila maka selalu ada , di sebut invers pemetaan .

Tugas Tambahan

Misal A dan A= dengan

Tunjukkan bahwa terhadap sebuah relasi ekivalen ~ pada A sedemikian sehingga , merupakan kelas-kelas ekivalen yang berbeda.

Jawab:Ambil sebarang untuk

Didefinisikan jika dan

Akan ditunjukkan ~ relasi ekivalen pada A, yaitu:(1) (2) (3)

Adt ~ memenuhi (1)Ambil sebarang untuk Akibatnya

Adt ~ memenuhi (2)Misalkan artinya dan Untuk akibatnya

Adt ~ memenuhi (3)Misalkan dan

Perhatikan bahwadan dan

Akibatnya Jadi ~ relasi ekivalen pada AKarena untuk Dan maka merupakan kelas ekivalen yang berbeda