Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang ...
Transcript of Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang ...
Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian
Rio Yohanes1, Nora Hariadi2, Kiki Ariyanti Sugeng3
Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia
[email protected], [email protected], [email protected] 1
Abstrak Modul adalah struktur aljabar yang didefinisikan atas suatu gelanggang dilengkapi oleh dua operasi dengan syarat-syarat tertentu. Salah satu jenis modul yang dipelajari dalam teori modul adalah modul Noetherian. Suatu !-modul ! adalah modul Noetherian jika !-modul ! memenuhi kondisi rantai naik (ascending chain condition) atas submodul dari !, sedangkan suatu gelanggang dikatakan gelanggang Noetherian jika gelanggang tersebut memenuhi kondisi rantai naik (ascending chain condition) atas ideal dari !. Dalam makalah ini dibahas mengenai kriteria dari suatu modul agar menjadi modul Noetherian, kriteria dari gelanggang agar menjadi gelanggang Noetherian, dan kriteria dari gelanggang !, sehingga gelanggang polinomial ![!] dan gelanggang hasil bagi !/! menjadi gelanggang Noetherian.
Criteria on Algebraic Structure of Noetherian Modules and Rings
Abstract
Module, together with two operations satisfying some conditions, is an algebraic structure defined over a ring. Noetherian module is one type of module studied in module theory. An !-module ! is said to be Noetherian module if it satisfies an ascending chain condition on its submodules and any ring ! is a Noetherian ring if it satisfies ascending chain condition on ideals of !. This makalah discusses about some criterias for module to be considered as Noetherian module, criteria for any ring to be considered as Noetherian ring, and criteria for a ring ! so that the polynomial ring of ![!] and the quotient ring of !/!, where ! is any ideals of !, is Noetherian as well. Keywords : modules, ring, Noetherian modules, Noetherian rings 1. Pendahuluan Ruang vektor atas lapangan ! merupakan himpunan tak kosong ! yang anggota-anggotanya
disebut sebagai vektor, dilengkapi dengan dua operasi aljabar yang memenuhi syarat tertentu.
Kedua operasi ini disebut sebagai penjumlahan vektor dan perkalian skalar vektor (Kreyzig,
1978). Pada ruang vektor, operasi perkalian skalar vektornya adalah antara vektor di ruang
vektor ! dengan skalar di lapangan !. Apabila skalar ini merupakan elemen dari gelanggang,
yang belum tentu lapangan, maka diperoleh suatu struktur aljabar lain yang disebut sebagai
modul.
Beberapa sifat-sifat pada ruang vektor juga berlaku pada modul. Namun, terdapat sifat dari
ruang vektor yang tidak dimiliki oleh struktur aljabar modul. Salah satunya adalah sifat
subruang yang dibangkitkan secara berhingga. Ruang vektor dibangkitkan secara berhingga
Kriteria struktur aljabar modul..., Rio Yohanes, FMIPA UI, 2014
jika dan hanya jika ruang vektor tersebut memiliki basis yang berhingga. Dengan kata lain
ruang vektor dibangkitkan secara berhingga jika dan hanya jika memiliki dimensi hingga
(Roman, 2008). Telah diketahui pula bahwa subruang dari ruang vektor berdimensi hingga
juga berdimensi hingga, sehingga ruang vektor dibangkitkan secara berhingga memiliki
subruang yang dibangkitkan secara berhingga pula. Hal ini tidak berlaku secara umum pada
struktur aljabar modul. Modul yang dibangkitkan secara berhingga tidak selalu memiliki
submodul yang dibangkitkan secara berhingga. Menurut Roman (2008), modul yang
dibangkitkan secara berhingga atas gelanggang Noetherian memiliki sifat yang paling dekat
dengan ruang vektor, yakni setiap submodulnya merupakan submodul yang dibangkitkan
secara berhingga. Modul yang dibangkitan secara berhingga atas gelanggang Noetherian
disebut modul Noetherian (Roman, 2008).
Gelanggang Noetherian juga merupakan salah satu struktur aljabar yang dipelajari dalam
bidang geometri aljabar. Salah satu teorema yang dibahas dalam makalah ini, yang dijumpai
dalam kajian geometri aljabar, adalah Teorema Basis Hilbert.
2. Tinjauan Teoritis Pada bab ini dijelaskan mengenai definisi dan beberapa konsep dasar dari grup, gelanggang,
dan teori modul yang digunakan dalam pembahasan kriteria modul dan gelanggang
Noetherian. Definisi 2.1 Himpunan tak-kosong G disebut grup jika pada ! didefinisikan operasi " ∗ "
sedemikian sehingga:
a) !, ! ∈ ! mengakibatkan ! ∗ ! ∈ !.
b) Diberikan !, !, ! ∈ !, maka ! ∗ ! ∗ ! = ! ∗ ! ∗ !.
c) Terdapat ! ∈ ! yang tunggal sedemikian sehingga ! ∗ ! = ! ∗ ! = !, untuk setiap ! ∈ !.
d) Untuk setiap ! ∈ ! terdapat anggota ! ∈ ! yang tunggal sedemikian sehinggga
! ∗ ! = ! ∗ ! = !
(! ditulis sebagai !!! dan ! disebut sebagai invers dari ! di !).
(Herstein, 1996)
Himpunan ! ⊆ ! yang tak-kosong disebut subgrup dari ! jika ! membentuk grup atas
operasi yang sama di ! (Herstein, 1996).
Kriteria struktur aljabar modul..., Rio Yohanes, FMIPA UI, 2014
Definisi 2.2 Himpunan tak kosong ! disebut sebagai gelanggang jika ! memiliki dua
operasi, yakni "+ " dan " ∙ " sedemikian sehingga:
a) !, ! ∈ ! mengakibatkan ! + ! ∈ !.
b) ! + ! = ! + ! untuk setiap !, ! ∈ !.
c) ! + ! + ! = ! + (! + !) untuk setiap !, !, ! ∈ !.
d) Terdapat 0 ∈ ! sedemikian sehingga ! + 0 = ! untuk setiap ! ∈ !.
e) Diberikan ! ∈ !, terdapat elemen ! ∈ ! sedemikian sehingga ! + ! = 0
(! dapat ditulis sebagai −!).
f) !, ! ∈ ! mengakibatkan ! ∙ ! ∈ !.
g) ! ∙ ! ∙ ! = ! ∙ ! ∙ ! untuk setiap !, !, ! ∈ !.
h) ! ∙ ! + ! = ! ∙ ! + ! ∙ ! dan ! + ! ∙ ! = ! ∙ ! + ! ∙ !, untuk setiap !, !, ! ∈ !.
(Herstein, 1996) Suatu gelanggang disebut gelanggang komutatif apabila operator operasi perkalian “ ∙ “
memenuhi hukum komutatif dan sembarang gelanggang disebut sebagai gelanggang dengan
satuan (ring with unit) bila terdapat 1 ∈ ! sedemikian sehingga ! ∙ 1 = ! , untuk setiap
! ∈ !. Adapun subhimpunan tak-kosong ! ⊆ ! disebut ideal dari ! jika ! merupakan subgrup
aditif dari ! dan jika ! ∈ !, maka !" ∈ ! dan !" ∈ ! untuk setiap ! ∈ ! (Herstein, 1996).
Berikut diberikan definisi dari pemetaan yang mengawetkan kedua operasi pada gelanggang
atau yang dikenal sebagai homomorfisma gelanggang.
Definisi 2.3 Pemetaan ! ∶ ! → !′ dari gelanggang ! ke !! adalah homomorfisma jika
a) ! ! + ! = ! ! + ! ! dan
b) ! !" = ! ! !(!) untuk setiap !, ! ∈ !.
(Herstein,1996)
Kernel dari homomorfisma ! adalah ker ! = ! ∈ ! ! ! = 0 , dimana elemen 0
merupakan elemen identitas atas operasi penjumlahan pada gelanggang !′.
Misalkan ! adalah ideal dari gelanggang !. Karena ! merupakan subgrup aditif dari !, maka
!/! terdefinisi sebagai grup yang selanjutnya disebut sebagai grup hasil bagi, dimana !/!
merupakan himpunan yang berisi seluruh koset ! + ! (Herstein,1996). Lebih jauh, jika !/!
dilengkapi pula dengan operasi perkalian yang didefinisikan sebagai ! + ! ! + ! = !" +
!, maka !/! membentuk struktur gelanggang yang disebut sebagai gelanggang hasil bagi.
Kriteria struktur aljabar modul..., Rio Yohanes, FMIPA UI, 2014
Berikut diberikan beberapa teorema yang terkait dengan gelanggang hasil bagi yang dikutip
dari Herstein (1996).
Teorema 2.4 Misalkan ! adalah ideal dari ! . Maka grup hasil bagi !/! sebagai grup
komutatif adalah gelanggang dengan operasi perkalian ! + !
! + ! = !" + !. Lebih jauh, pemetaan !:! → !/! didefinisikan sebagai ! ! = ! + !
untuk ! ∈ ! adalah homomorfisma dari ! pada !/! dengan ! sebagai kernelnya.
Teorema 2.5 (Teorema Korespondensi) Misalkan !:! → !! merupakan homomorfisma
dari ! pada !′ dengan kernel ! . Jika !′ adalah ideal dari !′ dan ! = {! ∈ !|! ! ∈ !!} ,
maka ! adalah ideal dari !, ! ⊃ ! dan !/! ≃ !′.
Salah satu gelanggang yang dibahas dalam makalah ini adalah gelanggang polinomial.
Himpunan polinomial dalam ! atas gelanggang komutatif ! dinotasikan dengan ! ! adalah
himpunan yang beranggotakan ! ! = !!!! + !!!!!!!! +⋯+ !!! + !! , dengan ! ≥ 0,
!! ∈ ! adalah koefisien dari polinomial ! ! , dan koefisien !! disebut sebagai koefisien
utama dari ! ! .
Dua polinomial ! ! = !!!! + !!!!!!!! +⋯+ !!! + !! dan
! ! = !!!! + !!!!!!!! +⋯+ !!! + !! anggota ![!] dikatakan sama jika dan hanya
jika koefisien-koefisien yang bersesuaian sama, yaitu !! = !! untuk setiap ! ≥ 0 (dengan
!! = 0 ketika ! > ! dan !! = 0 ketika ! > !).
Misalkan !(!) = !!!! + !!!!!!!! +⋯+ !!! + !! dan ! ! = !!!! + !!!!!!!! +
⋯+ !!! + !! berada di ![!]. Didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian polinomial
sebagai berikut:
a) ! ! + ! ! = !! + !! !! + !!!! + !!!! !!!! +⋯+ !! + !! ! + !! + !! , dengan
! = max{!,!}, !! = 0 ketika ! > ! dan !! = 0 ketika ! > !.
b) ! ! ! ! = !!!!!!!! + !!!!!!!!!!!! +⋯+ !!! + !! , dimana !! = !!!! +
!!!!!! +⋯+ !!!!!! + !!!! untuk setiap ! = 0,… ,! + !.
Maka ! ! yang dilengkapi penjumlahan dan perkalian polinomial tersebut membentuk
struktur aljabar gelanggang atau yang biasa dikenal sebagai gelanggang polinomial.
(Gallian, 2010)
Dilandasi oleh keinginan untuk membuat struktur aljabar atas suatu gelanggang, diperoleh
pendefinisian struktur aljabar lain (abstraksi dari ruang vektor) yang disebut sebagai struktur
aljabar modul. Modul atas gelanggang ! (!-modul) secara fundamental bergantung pada
Kriteria struktur aljabar modul..., Rio Yohanes, FMIPA UI, 2014
struktur dari gelanggangnya itu sendiri. Perhatikan bahwa jika gelanggang ! memiliki
struktur aljabar lapangan, maka struktur !-modul tersebut merupakan struktur yang selama ini
dikenal sebagai ruang vektor. Pada subbab ini dibahas mengenai definisi-definisi dan
teorema-teorema terkait dengan !-modul.
Definisi 2.6 Misalkan ! adalah gelanggang komutatif dengan satuan, yang elemen-elemennya
disebut sebagai skalar. Himpunan tak kosong ! disebut ! -modul (atau modul atas
gelanggang) jika ! dilengkapi dua operasi, yaitu penjumlahan, yang diberi simbol "+ ",
dimana untuk setiap pasangan !, ! ∈ !×! dipetakan ke ! + ! ∈ ! dan perkalian, dimana
untuk setiap pasangan !, ! ∈ !×! dipetakan ke elemen !" ∈ !, sedemikian sehingga sifat-
sifat berikut berlaku:
1. ! merupakan grup abelian terhadap penjumlahan.
2. Untuk setiap !, ! ∈ ! dan !, ! ∈ !
! ! + ! = !" + !" dan ! + ! ! = !" + !"
!" ! = ! !"
1! = !.
Gelanggang ! disebut sebagai gelanggang dasar (base ring) dari !.
(Roman, 2008)
Untuk selanjutnya, ! disebut ! -modul ditulis sebagai ! -modul ! . Berikut ini adalah
beberapa contoh dari modul, yaitu:
1. Ruang vektor atas lapangan ! merupakan !-modul (Rotman, 2002).
2. Gelanggang komutatif ! dengan satuan merupakan modul atas dirinya sendiri (!-modul
! ) dengan perkalian skalar modul !×! → ! didefinisikan sebagai operasi perkalian
anggota-anggota di ! yang diberikan (Rotman, 2002).
3. Misalkan ! adalah gelanggang komutatif dengan satuan. Himpunan
!! = !!,!!,… ,!! !! ∈ !, 1 ≤ ! ≤ !}, himpunan ! − !"#!" terurut anggota-anggota
!, juga merupakan !-modul (Roman, 2008).
Berikut diberikan contoh suatu himpunan dilengkapi dengan dua operasi penjumlahan dan
perkalian yang membentuk struktur aljabar !-modul, dimana gelanggang ! yang digunakan
adalah himpunan bilangan bulat ℤ.
Kriteria struktur aljabar modul..., Rio Yohanes, FMIPA UI, 2014
Contoh 2.7 Misalkan ! merupakan himpunan bilangan riil positif dilengkapi dengan operasi
penjumlahan "+ " yang didefinisikan sebagai perkalian bilangan riil positif yang telah
dikenal, yaitu ! + ! = !" untuk setiap !, ! ∈ ! , dan perkalian " ∗ " yang didefinisikan
sebagai ! ∗ ! = !!, ! ∈ ℤ.
Perhatikan bahwa himpunan bilangan riil positif dilengkapi dengan operasi perkalian yang
telah dikenal membentuk struktur aljabar grup, sehingga ! merupakan grup abelian atas
operasi penjumlahan. Kemudian untuk setiap !,! ∈ ! dan !,! ∈ ℤ, berlaku ! ∗ ! + ! =
! ∗ !" = !" ! = !!!! = !! + !! = ! ∗ ! +! ∗ ! , kemudian ! + ! ∗ ! =
!!!! = !!!! = !! + !! = ! ∗ ! + ! ∗ ! , lalu !" ∗ ! = !!" = !!" = !! ! = ! ∗
!! = ! ∗ (! ∗ !), dan untuk 1 ∈ ℤ, berlaku 1 ∗ ! = !! = ! untuk setiap ! ∈ !. Sehingga
menurut Definisi 2.1, ! dengan dua operasi tersebut membentuk struktur aljabar ℤ-modul.
Sama halnya dengan struktur ruang vektor yang memiliki subruang, pada struktur aljabar
modul juga dikenal istilah submodul seperti yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.8 Submodul dari !-modul ! adalah subgrup aditif S dari M sedemikian sehingga
! ∈ ! mengakibatkan !" ∈ ! untuk setiap ! ∈ !.
(Grillet, 2007)
Himpunan ! merupakan submodul dari ! dinotasikan dengan ! ≦ ! (Grillet, 2007). Telah
diketahui sebelumnya bahwa gelanggang ! dapat dipandang sebagai modul atas dirinya
sendiri (!-modul !). Jika gelanggang ! merupakan gelanggang komutatif dengan satuan,
maka submodul dari !-modul ! merupakan ideal gelanggang !, seperti yang dijelaskan pada
lema di bawah ini.
Lema 2.9 Misalkan ! adalah gelanggang komutatif dengan satuan dan !-modul ! adalah
modul atas dirinya sendiri. Maka untuk setiap submodul dari !-modul ! merupakan ideal
dari !. Demikian pula sebaliknya, untuk setiap ideal dari ! merupakan submodul dari !-
modul !.
Konsep dari himpunan merentang (spanning set) pada ruang vektor juga didefinisikan pada
struktur modul, yang dinyatakan sebagai berikut.
Definisi 2.10 Submodul terentang (terbangkitkan) oleh subset ! dari !-modul !, adalah
himpunan seluruh kombinasi linear dari elemen-elemen !:
≪ ! ≫= !!!! + !!!! +⋯+ !!!! !! ∈ !, !! ∈ !,! ≥ 1}.
Kriteria struktur aljabar modul..., Rio Yohanes, FMIPA UI, 2014
Subset ! ⊆ ! dikatakan membangkitkan ! jika ! =≪ ! ≫.
(Roman, 2008)
Definisi 2.11 !-modul ! dikatakan modul yang dibangkitkan secara berhingga (finitely
generated) jika ! memuat himpunan hingga yang membangkitkan !.
(Roman, 2008)
Dengan kata lain, ! dibangkitkan secara berhingga jika terdapat himpunan berhingga
! = !!,… , !! ⊆ ! sedemikian sehingga ! = ≪ ! ≫ . Sebagai kesepakatan, modul !
dibangkitkan secara berhingga oleh himpunan ! = !!,… , !! dapat ditulis sebagai ! = ≪
! ≫ atau ! =≪ !!, !!,… , !! ≫ . Di bawah ini diberikan satu contoh modul yang
dibangkitkan secara berhingga.
Contoh 2.12 Misalkan ℝ merupakan himpunan bilangan riil yang dilengkapi dengan operasi
penjumlahan dan perkalian yang sudah dikenal. Karena himpunan bilangan riil merupakan
gelanggang dengan satuan, maka untuk setiap ! ∈ ℝ berlaku ! = 1!, dimana 1 merupakan
elemen satuan di ℝ. Sehingga terdapat {1} ⊆ ℝ sedemikian sehingga ℝ =≪ 1 ≫. Dengan
demikian, ℝ -modul ℝ merupakan modul yang dibangkitkan secara berhingga, dengan
1 ⊆ ℝ sebagai pembangkitnya.
Berikut ini diberikan teorema terkait submodul yang dibangkitkan secara berhingga, yang
digunakan dalam pembahasan.
Lema 2.13 Misalkan ! adalah submodul dari suatu ! -modul. Misalkan pula
!!,!!,… ,!! ⊆! adalah subhimpunan hingga di ! dan ! = !!,!!,… ,!! adalah
submodul yang dibangkitkan secara berhingga. Maka ! ⊆!.
Sama halnya dengan grup dan gelangggang, konsep pemetaan homomor-fisma juga terdapat
pada struktur aljabar modul. Berikut diberikan definisi dari homomorfima pada !-modul dan
salah satu lema yang berkaitan dengan homomorfisma modul.
Definisi 2.14 Misalkan ! dan ! adalah ! -modul. Pemetaan ! ∶ ! → ! disebut sebagai
homomorfisma !-modul jika
(a) ! ! + ! = ! ! + ! ! , untuk setiap !,! ∈ !, dan
(b) ! !" = !" ! , untuk setiap ! ∈ ! dan ! ∈ !.
Kriteria struktur aljabar modul..., Rio Yohanes, FMIPA UI, 2014
Homomorfisma R-modul disebut epimorfisma jika homomorfisma modul tersebut surjektif,
monomorfisma jika homomorfisma modul tersebut injektif, dan isomorfisma jika
homomorfisma modul tersbut bersifat injektif dan surjektif.
(Bosch, 2013)
Lema 2.15 Misalkan ! dan ! adalah ! -modul. Misalkan ! ∶ ! → ! merupakan
homomorfisma ! -modul. Maka peta dari homomorfisma ! , !" ! = ! ∈ ! ! ! =
!,! ∈ !}, adalah submodul dari !.
3. Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. 4. Pembahasan Pada bab ini dibahas mengenai salah satu kriteria suatu modul agar menjadi modul
Noetherian, kriteria suatu gelanggang agar menjadi gelanggang Noetherian, dan kriteria
gelanggang polinomial dan gelanggang hasil bagi agar menjadi gelanggang Noetherian.
Adapun definisi dari modul dan gelanggang Noetherian diberikan sebagai berikut.
Definisi 4.1 Modul Noetherian
!-modul ! dikatakan memenuhi kondisi rantai naik (ascending chain condition), disingkat
a.c.c, atas submodul jika untuk setiap barisan naik dari submodul-submodul di !,
!! ⊆ !! ⊆ !! ⊆ ⋯ ,
pada suatu saat akan konstan (eventually constant), yaitu terdapat ! ∈ ℕ sedemikian sehingga
!! = !!!! = !!!! = ⋯. Modul yang memenuhi a.c.c atas submodul disebut sebagai modul
Noetherian.
(Roman, 2008)
Definisi 4.2 Gelanggang Noetherian
Gelanggang ! dikatakan memenuhi kondisi rantai naik (ascending chain condition),
disingkat a.c.c, atas ideal jika untuk setiap barisan naik dari ideal-ideal di !,
!! ⊆ !! ⊆ !! ⊆ ⋯,
pada suatu saat akan konstan (eventually constant), yakni terdapat ! ∈ ℕ sedemikian
sehingga !! = !!!! = !!!! = ⋯ . Gelanggang yang memenuhi kondisi di atas disebut sebagai
gelanggang Noetherian.
Kriteria struktur aljabar modul..., Rio Yohanes, FMIPA UI, 2014
(Roman, 2008)
Konsep dari modul dibangkitkan secara berhingga dipelajari dalam kajian modul Noetherian,
dengan salah satu teorema kriteria modul Noetherian dalam makalah ini menyatakan bahwa
!-modul ! adalah modul Noetherian jika dan hanya jika setiap submodul dari ! merupakan
submodul yang dibangkitkan secara berhingga. Namun, akan dibahas terlebih dahulu satu
lema yang berguna dalam pembuktian kriteria modul Noetherian tersebut, yaitu gabungan dari
submodul-submodul dengan tambahan syarat tertentu merupakan submodul dari modul yang
sama.
Lema 4.3 Misalkan ! adalah ! -modul dengan !! ⊆ !! ⊆ !! ⊆ ⋯ adalah barisan naik
submodul-submodul dari ! pada suatu saat akan konstan. Maka ! = !!! juga merupakan
submodul dari !.
Berikut diberikan syarat cukup dan perlu suatu !-modul merupakan modul Noetherian, yang
menjadi salah satu kriteria suatu modul agar menjadi modul Noetherian.
Teorema 4.4 !-modul ! dikatakan Noetherian jika dan hanya jika untuk setiap submodul
dari ! merupakan submodul yang dibangkitkan secara berhingga (finitely generated).
(Roman, 2008)
Bukti.
(⇐) Misalkan setiap submodul dari ! dibangkitkan secara berhingga dan misalkan barisan
naik submodul dari ! adalah
!! ⊆ !! ⊆ !! ⊆ ⋯.
Berdasarkan Lema 4.3, himpunan ! = !!! membentuk submodul dari !. Sehingga menurut
premis, ! merupakan submodul yang dibangkitkan secara berhingga. Misalkan ! ditulis
sebagai ! = !!,!!,… ,!! . Karena !! ∈ !, maka terdapat !! ∈ ℕ sedemikian sehingga
!! ∈ !!! . Dengan memilih suatu ! yang merupakan nilai maksimum dari !!, !!,… , !! ,
! = max !!, !!,… , !! , diperoleh
!!,!!,… ,!! ⊆ !!.
Sehingga, menurut Lema 2.13, diperoleh ! = !!,!!,… ,!! ⊆ !!, lebih jauh
! = !!,!!,… ,!! ⊆ !! ⊆ !!!! ⊆ ⋯ ⊆ !! = !!
yang menunjukan sembarang barisan submodul naik, !! ⊆ !! ⊆ !! ⊆ ⋯ , pada suatu saat
akan konstan. Terbukti bahwa ! merupakan modul Noetherian.
Kriteria struktur aljabar modul..., Rio Yohanes, FMIPA UI, 2014
(⇒) Untuk arah sebaliknya, pembuktian dilakukan dengan kontradiksi. Andaikan S
merupakan submodul dari ! yang tidak dibangkitkan secara berhingga. Misalkan !
merupakan !-modul Noetherian, yakni pada ! memenuhi kondisi a.c.c. Misalkan !! ∈ ! dan
pandang submodul !! sebagai submodul yang di-bangkitkan oleh !!, yakni !! = !! ⊆ !.
Karena S tidak dibangkitkan secara berhingga, maka tidak mungkin !! = !. Dengan kata lain,
!! ≠ !. Sehingga terdapat !! ∈ ! − !!. Sekarang misalkan !! merupakan submodul yang di-
bangkitkan secara berhingga oleh !! dan !! , atau !! = !!,!! . Karena ! tidak
dibangkitkan secara berhingga, maka tidak mungkin !! = !. Sehingga terdapat !! ∈ ! − !!.
Misalkan submodul !! merupakan submodul yang dibangkitkan secara berhingga oleh
!!,!!, dan !! , dengan alasan yang serupa tidak mungkin ! = !! . Sehingga terdapat
!! ∈ ! − !!.
Dengan meneruskan langkah di atas, diperoleh barisan naik submodul di !,
!! ⊆ !!,!! ⊆ !!,!!,!! ⊆ ⋯ ⊆ !,
yang merupakan barisan naik tak-terhingga atas submodul dari !. Hal ini kontradiksi dengan
premis yang menyatakan bahwa ! Noetherian, dimana setiap barisan naik submodulnya pada
suatu saat akan konstan (eventually constant). Sehingga, haruslah S merupakan submodul dari
! yang dibangkitkan berhingga.∎
Dari Teorema 4.4, diperoleh kriteria dari modul Noetherian yaitu setiap submodulnya
merupakan submodul yang dibangkitkan secara berhingga. Karena gelanggang ! dapat
dipandang sebagai modul atas dirinya sendiri dan sembarang submodul dari !-modul !
merupakan ideal dari !, maka melalui cara yang serupa dengan pembuktian Teorema 4.4,
diperoleh kriteria untuk sembarang gelanggang agar menjadi gelanggang Noetherian yang
dinyatakan dalam teorema berikut.
Akibat 4.5 Gelanggang ! dikatakan Noetherian jika dan hanya jika untuk setiap ideal dari !
merupakan ideal yang dibangkitkan secara berhingga.
(Roman, 2008)
Berikut ini merupakan contoh penggunaan Teorema 4.4 dan Akibat 4.5 untuk membuktikan
ℝ -modul ℝ! merupakan modul Noetherian dan gelanggang ℤ merupakan gelanggang
Noetherian.
Kriteria struktur aljabar modul..., Rio Yohanes, FMIPA UI, 2014
Contoh 4.6 Misalkan ℝ merupakan himpunan bilangan riil. Perhatikan bahwa ℝ-modul ℝ!
merupakan modul dengan submodul yang terdiri dari {0}, ! = !" ! ∈ ℝ, ! ≠ 0}, dan ℝ! itu
sendiri. Menurut konvensi, ruang nol memiliki basis himpunan kosong, sehingga {0}
dibangkitkan secara berhingga oleh himpunan kosong. Lalu, untuk submodul !, terdapat
! ⊆ ! sedemikian sehingga ! =≪ ! ≫, dan untuk submodul ℝ!, terdapat 1,0 , 0,1 ⊆
ℝ! sedemikian sehingga ℝ! =≪ 1,0 , (0,1) ≫.
Dari ketiga hal di atas diperoleh kesimpulan bahwa untuk setiap submodul dari ℝ-modul ℝ!,
merupakan submodul yang dibangkitkan secara berhingga. Sehingga menurut Teorema 4.4,
ℝ-modul ℝ! merupakan modul Noetherian.
Contoh 4.7 Misalkan ℤ merupakan gelanggang bilangan bulat. Perhatikan bahwa untuk
sembarang ideal ! dari ℤ, ideal ! dinyatakan sebagai ! = !ℤ, dengan ! ≥ 0. Karena ! dapat
dinyatakan sebagai ! = !ℤ, maka terdapat ! ⊆ ℤ sedemikian sehingga ! = ≪ ! ≫. Dengan
kata lain, ideal ! merupakan ideal yang dibangkitkan secara berhingga. Sehingga menurut
Akibat 4.5, gelanggang ℤ merupakan gelanggang Noetherian.
Akibat 4.5 di atas menjelaskan bahwa salah satu kriteria dari sembarang gelanggang ! agar
menjadi gelanggang Noetherian adalah setiap ideal dari ! merupakan ideal yang dibangkitkan
secara berhingga.
Teorema yang akan dibahas selanjutnya merupakan hubungan antara modul Noetherian
dengan gelanggang Noetherian, sehingga dari teorema tersebut diperoleh kriteria lain dari
modul Noetherian dan gelanggang Noetherian. Namun, sebelumnya dibahas terlebih dahulu
lema-lema terkait yang nantinya digunakan dalam pembuktian teorema tersebut.
Lema 4.8 Misalkan !! adalah !-modul yang berisi ! − !"#$% anggota-anggota gelanggang
!. Misalkan pula !-modul ! dibangkitkan secara berhingga, ! = !!,!!,… ,!! , dan !
adalah submodul dari !. Definisikan pemetaan
! ∶ !! → !,
dengan ! !!, !!,… , !! = !!!! + !!!! +⋯+ !!!!. Maka berlaku ketiga hal berikut:
a) ! merupakan epimorfisma modul.
b) !!! ! = ! ∈ !! !(!) ∈ !} membentuk submodul dari !-modul !!.
c) ! !!!(!) = !.
Kriteria struktur aljabar modul..., Rio Yohanes, FMIPA UI, 2014
Lema 4.9 Misalkan ! -modul !! = !!, !!,… , !! !! ∈ !, 1 ≤ ! ≤ !} . Jika ! sembarang
submodul dari !! , maka himpunan !! = !!,!!,…!!!!,!! ∈ ! !! = !! = ⋯ = !!!! =
0 } dan himpunan !! = { !!,!!,… ,!!!!,!! ∈ !| !! = 0} juga membentuk submodul dari
!!.
Lema 4.10 Misalkan ! merupakan submodul dari ! -modul !! dan
! = !!,!!,…!!!!,!! ∈ ! !! = !! = ⋯ = !!!! = 0}. Definisikan pemetaan !:! → !
dengan aturan 0,0,… , 0, !! ↦ !! . Maka pemetaan ! merupakan monomorfisma modul
antara ! dan !.
Lema 4.11 Misalkan ! submodul !! , dan ! = { !!,!!,… ,!!!!,!! ∈ !| !! = 0} .
Definisikan pemetaan !:! → !!!! dengan aturan (!!,!!,… ,!!!!, 0) ↦ (!!,!!,… ,!!!!).
Maka pemetaan ! merupakan monomorfimsa modul antara ! dan !!!!.
Lema 4.12 Misalkan !:! → ! adalah monomorfisma modul antara ! dan !. Misalkan
!" ! ≦ ! merupakan submodul yang dibangkitkan secara berhingga, yaitu !" ! =≪
!!,!!,… ,!! ≫ . Jika !!! adalah invers dari ! , maka ! merupakan modul yang
dibangkitkan secara berhingga, dengan
! =≪ !!!!!,!!!!!,… ,!!!!! ≫.
Lema berikut merupakan bagian dari pembuktian salah satu teorema yang diambil dari
Roman (2008), halaman 135. Adapun lema beserta bukti lengkapnya diberikan sebagai
berikut.
Lema 4.13 Untuk ! ∈ ℕ, misalkan ! merupakan gelanggang Noetherian dan ! sembarang
submodul dari ! -modul !! , maka ! merupakan submodul yang dibangkitkan secara
berhingga.
Berikut merupakan teorema yang menyatakan hubungan antara modul Noetherian dan
gelanggang Noetherian, dimana struktur modul yang berperan dalam hal ini merupakan
struktur modul yang dibangkitkan secara berhingga.
Teorema 4.14 Misalkan ! adalah gelanggang komutatif dengan satuan. Gelanggang !
merupakan gelanggang Noetherian jika dan hanya jika untuk setiap ! -modul yang
dibangkitkan secara berhingga merupakan modul Noetherian.
(Roman, 2008)
Bukti.
Kriteria struktur aljabar modul..., Rio Yohanes, FMIPA UI, 2014
(⇐) ! adalah gelanggang komutatif dengan satuan. Sehingga, ! dapat dipandang sebagai !-
modul ! atau modul atas dirinya sendiri, yang dibangkitkan secara berhingga dengan 1!
sebagai pembangkitnya. Menurut premis, !-modul ! merupakan modul Noetherian, maka
berdasarkan Teorema 4.4 untuk setiap submodul dari !-modul ! merupakan submodul yang
dibangkitkan secara berhingga. Menurut Lema 2.9, ideal dari ! merupakan submodul dari !-
modul ! , sehingga sembarang ideal dari ! merupakan ideal yang dibangkitkan secara
berhingga. Dengan menggunakan Akibat 4.5, terbukti bahwa gelanggang ! merupakan
gelanggang Noetherian.
(⇒) Misalkan ! Noetherian dan misalkan ! = !!,!!,… ,!! merupakan !-modul yang
dibangkitkan secara berhingga. Perhatikan pemetaan berikut
! ∶ !! → !,
dengan ! !!, !!,… , !! = !!!! + !!!! +⋯+ !!!! . Berdasarkan Lema 4.8, ! merupakan
epimorfisma modul. Misalkan ! adalah submodul dari !, maka menurut Lema 4.8 pula
prapeta !!! ! = ! ∈ ! !(!) ∈ !} adalah submodul dari !! dan ! !!!(!) = ! .
Berdasarkan Lema 4.13, sembarang submodul !! membentuk suatu modul yang dibangkitkan
secara berhingga. Sehingga, !!! ! , yang merupakan submodul dari !!, dibangkitkan secara
berhingga. Misalkan !!! ! =≪ !!, !!,… , !! ≫ . Karena ! !!!(!) = ! , maka ! adalah
submodul yang dibangkitkan secara berhingga oleh !(!!), !(!!),… , !(!!) ⊆ ! atau
! =≪ !(!!), !(!!),… , !(!!) ≫ . Menurut Lema 4.3, ! -modul ! merupakan modul
Noetherian. Untuk sembarang ! -modul yang dibangkitkan secara berhingga dengan
gelanggang ! Noetherian terbukti merupakan modul Noetherian.∎
Telah dibahas sebelumnya kriteria dari gelanggang abstrak menjadi gelanggang Noetherian.
Pada teorema selanjutnya dibahas satu gelanggang yang cukup dikenal, yaitu gelanggang
polinomial, agar menjadi gelanggang Noetherian. Pada teorema tersebut dijelaskan bahwa
dibawah kondisi gelanggang ! Noetherian, gelanggang polinomial ! ! juga merupakan
gelanggang Noetherian. Namun sebelumnya, akan dibahas terlebih dahulu dua lema yang
merupakan bagian dari pembuktian suatu teorema yang diambil dari Roman (2008), halaman
136, yang nantinya digunakan untuk membuktikan pernyataan tersebut. Berikut lema beserta
bukti lengkapnya.
Lema 4.15 Misalkan ! ! adalah gelanggang polinomial dengan sembarang ideal ! ⊆ ! ! .
Himpunan !! didefinisikan sebagai himpunan yang berisi 0 ∈ ! dan seluruh koefisien utama
Kriteria struktur aljabar modul..., Rio Yohanes, FMIPA UI, 2014
(leading coefficient) dari polinomial-polinomial yang berderajat ! di ! ⊆ ![!]. Maka !!
merupakan ideal dari !.
Lema 4.16 Misalkan ! ! adalah gelanggang polinomial dengan sembarang ideal ! ⊆ ![!].
Himpunan ! didefinisikan sebagai himpunan yang berisi 0 ∈ ! dan seluruh koefisien utama
(leading coefficient) dari polinomial-polinomial di !. Maka ! merupakan ideal dari !.
Teorema 4.17 Teorema Basis Hilbert (Hilbert Basis Theorem)
Jika ! adalah suatu gelanggang Noetherian, maka gelanggang polinomial ![!] juga
merupakan gelanggang Noetherian.
(Roman, 2008)
Bukti.
Misalkan ! adalah sembarang ideal dari ![!] , akan ditunjukkan ! adalah ideal yang
dibangkitkan secara berhingga. Misalkan ! merupakan himpunan dari seluruh koefisien utama
dari polinomial-polinomial di ! dan 0 ∈ !, Berdasarkan Lema 4.15, ! merupakan ideal dari !.
Karena ! adalah ideal, dan ! adalah Noetherian, maka menurut Akibat 4.5, ! merupakan
ideal yang dibangkitkan secara berhingga dan ! dapat ditulis sebagai ! =≪ !!, !!,… ,!! ≫.
Karena !! ∈ ! , maka terdapat polinomial !! ! ∈ ! dengan koefisien utama !! . Dengan
mengalikan !! ! dan variabel ! yang berderajat tertentu, diperoleh
deg !! ! = ! = max{deg(!! ! ), deg( !! ! ),… , deg( !! ! )}
untuk setiap ! = 1,2,… ,!.
Perhatikan untuk ! = 0,… ,! − 1, misalkan himpunan !! berisi 0 ∈ ! dan seluruh koefisien
utama dari polinomial-polinomial berderajat ! di !. Berdasarkan Lema 4.15, !! merupakan
ideal dari !, sedemikian sehingga menurut Akibat 4.5, !! dibangkitkan secara berhingga.
Misalkan !! =≪ !! ≫ , dimana !! = {!!,!, !!,!,… , !!,!!} . Sehingga terdapat polinomial-
polinomial !! = !!,! ! ,!!,! ! ,… ,!!,!!(!) , dimana !!,! merupakan koefisien utama dari
polinomial yang bersesuaian !!,! , untuk setiap ! = 1,2,… ,!!.
Pandang himpunan hingga berikut
! = !!
!!!
!!!
∪ !! ! ,… , !! ! .
Misalkan ! adalah ideal yang dibangkitkan oleh !, ! =≪ ! ≫. Perhatikan bahwa !!!!!!!! ⊆
! (karena !! ⊆ !) dan !! ! ,… , !! ! ⊆ ! , maka ! ⊆ !. Sehingga, menurut Lema 2.13
Kriteria struktur aljabar modul..., Rio Yohanes, FMIPA UI, 2014
diperoleh ! = ≪ ! ≫ ⊆ ! . Selanjutnya ditunjukkan bahwa ! ⊆ ! . Pembuktian dilakukan
melalui induksi matematika pada derajat polinomial di !. Misalkan ! = 0, akan tunjukan
sembarang polinomial berderajat 0 di ! merupakan polinomial yang berada di !. Misalkan
! ! ∈ ! merupakan polinomial berderajat 0, maka koefisien utama dari ! ! merupakan
!(!) itu sendiri. Sehingga ! ! ∈ !!.
Karena !! merupakan pembangkit dari !! , maka ! ! ∈ ≪ !! ≫ . Lebih jauh, !! = !! .
Sehingga, ! ! ∈≪ !! ≫ ⊆ ! . Diperoleh kesimpulan bahwa sembarang polinomial
berderajat 0 di ! merupakan polinomial yang berada di ! . Sehingga dapat dirumuskan
hipotesis induksi yaitu, untuk 0 ≤ ! < !, sembarang polinomial berderajat kurang dari ! di !
merupakan polinomial di !.
Langkah selanjutnya yang dilakukan adalah menunjukan bahwa asumsi berlaku untuk ! = !.
Pandang kasus ! < !. Misalkan ! ! ∈ ! berderajat !. Misalkan koefisien utama dari !(!)
adalah !. Karena !! dibangkitkan secara berhingga oleh !!, maka ! dapat dinyatakan sebagai
! = !!!!,! + !!!!,! +⋯+ !!!!!,!! untuk suatu !! ∈ ! , !!,! ∈ !! , dengan ! = 1,2,… ,!! .
Untuk setiap !!,! ∈ !! terdapat !!,!(!) ∈ !! dimana !!,! adalah koefisien utama untuk
polinomial !!,!(!) , ! = 1,2,… ,!!.
Perhatikan bentuk jumlahan berikut.
!!!!,! !!!!!! = !! !!,!!! +⋯+ !!!
!!!
= (!!!!,!!!!!!!! +⋯+ !!!)
= !!!!,!!!!!!!! +⋯+ !!!
!!!!!
= !!! +⋯+ !!!!!!!! .
Sehingga terdapat ℎ ! = !!!!,! !!!!!! ∈ ≪ !! ≫ ⊆ ! , sedemikian sehingga polinomial
! ! ∈ ! dan ℎ ! ∈ ! ⊆ ! memiliki koefisien utama yang sama.
Pandang kasus ! ≥ !. Misalkan ! ! ∈ ! berderajat ! dengan koefisien utama !. Perhatikan
bahwa !! ! ∈ ! , !!!! ∈ ! ! , dan ! adalah ideal, maka !!!!!! ! ∈ ! dengan
deg !!!!!! ! = ! untuk setiap ! = 1,2,… ,! . Karena ! ∈ ! dan !!,… ,!! pembangkit
dari ! , maka ! dapat dinyatakan sebagai ! = !!!! +⋯+ !!!! untuk suatu !! ∈ ! ,
! = 1,2,… ,!. Pandang bentuk jumlahan berikut.
!!!!!!!! !!!!! = !!!!!!(!!!! +⋯+ !)!
!!!
= (!!!!!! +⋯+ !!!!!!!!!!! )
= !!!!!! +⋯+ !!!!!!!!!!!
!!!!
Kriteria struktur aljabar modul..., Rio Yohanes, FMIPA UI, 2014
= !!! +⋯+ !!!!!!!!!!! .
Sehingga terdapat ℎ ! = !!!!!!!! !!!!! , dimana ℎ ! ∈≪ !!!!!! ! , !!!!!! ! ,… ,
!!!!!! ! ≫ ⊆ ! , sedemikian sehingga ! ! ∈ ! dan ℎ ! ∈ ! ⊆ ! memiliki koefisien
utama yang sama.
Pada kedua kasus di atas diperoleh suatu polinomial ℎ ! ∈ ! ⊆ ! yang memiliki koefisien
utama yang sama dengan koefisien utama dari polinomial ! ! ∈ ! . Karena ℎ ! ∈ ! ,
! ! ∈ ! dan kedua polinomial tersebut memiliki koefisien utama yang sama dengan derajat
polinomial yang sama pula (sama dengan ! ), maka ! ! − ℎ ! ∈ ! dan deg(! ! −
ℎ(!)) < !. Sehingga menurut hipotesis, ! ! − ℎ ! ∈ ! mengakibatkan ! ! − ℎ ! ∈ !.
Perhatikan bahwa ! ! dapat dinyatakan sebagai ! ! = ! ! − ℎ ! + ℎ(!). Diketahui
bahwa ! ! − ℎ ! ∈ ! dan ℎ ! ∈ ! , maka ! ! ∈ ! . Diperoleh kesimpulan sembarang
! ! ∈ ! mengakibatkan ! ! ∈ ! . Sehingga, dengan induksi matematika terbukti untuk
sembarang polinomial di ! berderajat ! juga berada di !. Dengan kata lain, ! ⊆ !. Karena
! ⊆ ! dan ! ⊆ ! dan ! merupakan ideal yang dibangkitakan secara berhingga oleh !, maka
! = ! merupakan ideal yang dibangkitkan secara berhingga. Berdasarkan Akibat 4.5 terbukti
bahwa gelanggang polinomial ![!] Noetherian. ∎
Teorema berikut menyatakan bahwa gelanggang hasil bagi !/! merupakan gelanggang
Noetherian jika gelanggang ! adalah gelanggang Noetherian.
Teorema 4.18 Misalkan ! adalah gelanggang Noetherian. Jika ! merupakan ideal dari !,
maka !/! merupakan gelanggang Noetherian.
(Roman, 2008)
Bukti.
Misalkan !! ⊆ !! ⊆ ⋯ ⊆ !! ⊆ !!!! ⊆ ⋯ merupakan sembarang barisan naik dari ideal-ideal di
!/! . Definisikan pemetaan !:! → !/! dengan ! ! = ! + ! . Menurut Teorema 2.4, !
merupakan pemetaan yang surjektif. Misalkan !! = ! ∈ ! ! ! ∈ !!} untuk setiap !, maka
menurut Teorema 2.5 (Teorema Korespondensi), !! adalah suatu ideal dari !, ! ⊆ !!, dan
!!/! ≅ !!. Lebih jauh, !!/! = !!, dengan !! ⊆ !!!! untuk setiap !. Maka ! ⊆ !! ⊆ !! ⊆ ⋯ ⊆
!! ⊆ ⋯ merupakan suatu barisan naik dari ideal-ideal di !. Karena ! merupakan gelanggang
Noetherian, tedapat suatu ! ∈ ℕ sedemikian sehingga !! = !! untuk ! ≥ ! , sehingga
!! = !!/! = !!/! = !! untuk ! ≥ !. Maka dari itu berdasarkan Definisi 4.2, gelanggang hasil
bagi !/! merupakan gelanggang Noetherian.∎
Kriteria struktur aljabar modul..., Rio Yohanes, FMIPA UI, 2014
5. Kesimpulan
Dalam makalah ini telah dibahas kriteria dari suatu modul agar menjadi modul Noetherian.
Dari Teorema 4.4 diperoleh kesimpulan bahwa !-modul merupakan modul Noetherian jika
setiap submodulnya merupakan modul yang dibangkitkan secara berhingga. Karena
gelanggang ! dapat dipandang sebagai modul atas dirinya sendiri dan sembarang ideal dari !
merupakan submodul dari !-modul !, diperoleh kriteria dari gelanggang Noetherian, yang
tertulis dalam Akibat 4.5, yaitu setiap ideal dari ! merupakan ideal yang dapat dibangkitkan
secara berhingga.
Dari Teorema 4.14, diperoleh kriteria dari suatu !-modul yang dibangkitkan secara berhingga
dikatakan modul Noetherian, jika gelanggang ! merupakan gelanggang Noetherian. Dari
Teorema 4.14 pula diperoleh kriteria lain dari gelanggang Noetherian, yaitu setiap modul
yang dibangkitkan secara berhingga atas gelanggang tersebut merupakan modul Noetherian.
Berdasarkan Teorema 4.17, gelanggang polinomial ![!] merupakan gelanggang Noetherian,
jika gelanggang ! adalah gelanggang Noetherian. Di bawah kondisi yang sama, gelanggang
hasil bagi !/!, dengan ! ideal dari !, merupakan gelanggang Noetherian menurut Teorema
4.18.
6. Daftar Referensi [1] Bosch, Siegfried. 2013. Algebraic Geometry and Commutative Algebra. London: Springer-Verlag.
[2] Gallian, Joseph. 2010. Contemporary Abstract Algebra. USA: Brooks/Cengange Learning
[3] Grillet, Pierre Antonie. 2007. Abstract Algebra. USA: Springer.
[4] Herstein, I.N. 1996. Abstract Algebra. New Jersey: Prentice Hall, Inc.
[5] Kreyzig, Erwin. 1978. Introductory functional analysis with applications. USA: John Wiley & Sons, Inc.
[6] Roman, Steven. 2008. Advanced Linear Algebra 3ed. USA: Springer.
[7] Rotman, Joseph. 2002. Advanced Modern Algebra. New Jersey: Pearson Education, Inc.
Kriteria struktur aljabar modul..., Rio Yohanes, FMIPA UI, 2014