TTEEOORRII BBAAHHAASSAA DDAANN OOTTOOMMAATTAADiharapkan setelah mempelajari bab ini mahasiswa akan...

1

1

TTEEOORRII

BBAAHHAASSAA

DDAANN

OOTTOOMMAATTAA

Amir Hamzah

AKPRIND PRESS

2009

i

TTEEOORRII BBAAHHAASSAA DDAANN OOTTOOMMAATTAA

Amir Hamzah

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI INSTITUT SAINS DAN TEKNOLOGI AKPRIND YOGYAKARTA

AKPRIND PRESS 2009

ii

Kata Pengantar

Puji syukur dipanjatkan kehadirat Allah Subhanallah Wa Ta’ala, karena hanya atas

petunjuk dan redhaNya akhirnya diktat ini dapat terselesaikan. Diktat ringkas ini mungkin

masih sangat sedikit dapat membantu dalam penyampaian Teori Bahasa dan Otomata

kepada mahasiswa. Akan tetapi mengingat terbatasnya buku yang ada di perpustakaan dan

masih sedikitnya buku-buku berbahasa indonesia tentang Teori Bahasa dan Otomata,

diharapkan diktat ini dapat membantu mempermudah menerima materi kuliah.

Diktat ini mendukung proses pembelajaran mata kuliah Teori Bahasa dan Otomata,

yang disampaikan dalam 3 sks. Diktat memuat tujuan instruksional setiap bab pembahasan

dan memuat uraian-uraian yang dibuat sesingkat mungkin dengan beberapa contoh

penyelesaian masalah dan beberapa soal latihan sebagai evaluasi pembelajaran. Tentu saja

diperlukan buku-buku tambahan bagi mahasiswa untuk dapat menguasai materi-materi lebih

mendalam.

Akhirnya mudah-mudahan tulisan singkat ini dapat membantu para mahasiswa. Kritik

dan koreksi kami ucapkan terima kasih.

Yogyakarta, Oktober 2009

Penulis

iii

DAFTAR ISI

BAB I KONSEP DASAR OTOMATA DAN BAHASA FORMAL ………… 1

1.1 Tujuan Instruksional ……………………………………………….. 1

1.2 Pengertian Otomata dan Bahasa Formal …………………………… 1

1.3 Hubungan Otomata dengan Bahasa Formal ……………………….. 2

1.4 Bahasa Natural dan Bahasa Formal ……………………………….. 2

1.5 Analogi Bahasa Natural dan Bahasa Formal ……………………... 3

1.6 Elemen Bahasa Formal ……………………………………………. 6

1.7 Latihan …………………………………………………………….. 7

BAB II KELAS-KELAS BAHASA DAN MESIN PENGENALNYA 8

2.1 Tujuan Instruksional ………………………………………………. 8

2.2 Tata Bahasa dan Bahasa …………………………………………… 8

2.3 Hierarchi Tata Bahasa …………………………………………….. 12

2.4 Mesin Pengenal Bahasa ………………………………………….. 16

2.5 Latihan …………………………………………………………….. 17

BAB III EKSPRESI REGULAR DAN KELAS BAHASA REGULAR …… 18

3.1 Tujuan Instruksional ……………………………………………..... 18

3.2 Ekspresi Regular ………………………………………………….. 18

3.3 Tata-Bahasa Regular ………………………………………………. 21

3.4 Pengenal Bahasa Regular …………………………………………. 22

3.5 Latihan ……………………………………………………………. 23

BAB IV FINITE STATE MACHINE (FSM) DAN FINITE STATE AUTOMATA (FSA) 24

4.1 Tujuan Instruksional ………………………………………………. 24

4.2 Finite State Machine (Mesin keadaan terbatas) ………………….. 24

4.3 Finite State Automata (FSA) ……………………………………… 26

4.4 FSA Sebagai Pengenal String …………………………………….. 28

4.5 Deterministik dan Non Deterministik FSA ……………………….. 29

4.6 Konversi dari NFA ke DFA ……………………………………… 30

4.7 FSA Sebagai Pengenal Bahasa Regular …………………………. 33

4.8 Latihan …………………………………………………………… 37

BAB V TATA BAHASA BEBAS KONTEKS (CONTEXT FREE GRAMMAR )

5.1 Tujuan Instruksional ……………………………………………… 38

5.2 Batasan Tata Bahasa Bebas Konteks …………………………….. 38

5.3 Masalah Ambiguity Dalam CFG ………………………………… 39

5.4 Penyederhanaan Tata Bahasa Bebas Konteks …………………… 42

5.4.1 Membuang aturan produksi yang tidak berguna ………….. 43

5.4.2 Menghilangkan produksi unit …………………………….. 45

iv

5.4.3 Menghilangkan produksi epsilon ( ) ……………………. 46

5.5 Latihan ……..........................................................……………… 49

BAB VI BENTUK NORMAL CHOMSKY DAN NORMAL GREIBACH

UNTUK TATA BAHASA BEBAS KONTEKS


6.2 Bentuk Tata Bahasa Bebas Konteks Tidak Normal ……………… 50

6.3 Bentuk Normal Chomsky (CNF) ………………………… 51

6.4 Bentuk Normal Greibach (Greibach Normal Form=GNF) … 54

6.5 Latihan ……………………………………………………. 57

BAB VII PUSH DOWN AUTOMATA (PDA) ……………………………… 58


7.2 Pengertian Push Down Automata (PDA) ………………………… 58

7.3 PDA Sebagai Pengenal Bahasa ……………………………… 59

7.4 Deskripsi Sesaat (Instantoneus Discription) Gerakan PDA 61

7.5 Latihan ……………………………………………………. 66

BAB VIII MESIN TURING ……………………….………………………… 67


8.2 Keterbatasan FSA dan PDA ……………………………………… 67

8.3 Definisi Mesin Turing …………………….............……………… 67

8.4 Deskripsi Sesaat untuk gerakan Mesin Turing …………………… 70

8.5 Mesin Turing sebagai Pengenal Bahasa ………………………… 71

8.5 Loop yang Terus Menerus pada Mesin Turing ……….. 73

8.6 Latihan ……………………………………………… 75

DAFTAR PUSTAKA ………..........……………….………………………… 76

LAMPIRAN …...................................………………………………………… 77

BAB I. Konsep Dasar Otomata & Bahasa Formal

1

1

BAB I

KONSEP DASAR OTOMATA DAN BAHASA FORMAL

1.3 Tujuan instruksional

Pada bab ini akan diuraiakan pengertian dan definisi dari otomata, bahasa,

bahasa formal dan bahasa natural. Hubungan dan analogi antara bahasa natural yang

umumnya telah lebih dahulu diketahui dengan konsep bahasa formal yang lebih

akhir dijumpai akan disajikan sebagai cara pemahaman yang lebih mudah.

Diharapkan setelah mempelajari bab ini mahasiswa akan memahami konsep, urgensi

dan penerapan teori bahasa dalam kajian bidang informatika umumnya dan

khususnya dalam topik bahasa-bahasa pemrograman komputer.

1.4 Pengertian Otomata dan Bahasa Formal

Kata otomata merupakan bentuk jamak dari automaton. Kata ini berasal

dari bahasa Yunani automatos yang berarti self-acting. Dalam Kamus American-

Heritage kata ini diartikan sebagai :

( 1) a robot

(2) one that behaves in automatic or mechanical fashion

Istilah ini sudah dikenal sejak abad 17 yang terkait dengan misalnya : jam mekanik,

mechanical-duck karya de Vaucanson (1738), mesin tenun otomatis (1745).

Dalam matematika istilah otomata terkait dengan teori mesin abstrak yang

antara lain dapat didefinisikan secara sederhana sebagai : "Automata adalah mesin

sekuensial otomatis yang menerima input dan mengeluarkan output yang keduanya

dalam bentuk diskreet". Beberapa sistem yang dapat dibuat model otomatanya

antara lain :

- mesin jaja

- mesin penukar uang

- model transmisi data

- kunci kombinasi

- parser

- compiler


2

2

Sifat-sifat Otomata :

1. Kelakuan mesin otomata bergantung pada rangkaian input yang diterima mesin

tersebut.

2. Setiap saat berada pada status tertentu, dan dapat pindah ke status baru karena

perubahan input.

1.3 Hubungan Otomata dengan Bahasa Formal :

Hubungan otomata dengan bahasa formal dapat dilukiskan sebagai berikut :

- Rangkaian input diskreet pada mesin otomata dapat dianggap sebagai bahasa

yang harus dikenali oleh otomata.

- Mesin otomata dapat pula digunakan untuk membangkitkan bahasa tertentu yang

aturannya ditentukan oleh tatabahasa tertentu.

Dengan demikian dapat dilihat keterkaitan antara : mesin otomata, bahasa yang

dibangkitkan atau dikenali oleh mesin dan tata bahasa yang membangkitkan sebuah

bahasa.

1.4 Bahasa Natural dan Bahasa Formal :

Perlu disini dibatasi pengertian bahasa formal dengan bahasa sehari-hari.

Bahasa manusia sehari-hari (misalnya bahasa inggris) umumnya dinamakan sebagai

bahasa alami (natural language). Bahasa alami memiliki tata bahasa dan aturan

yang lebih luas dan luwes. Bahasa yang lebih kaku dengan aturan-aturan yang lebih

ketat (misalnya bahasa pemrograman komputer) dinamakan dengan bahasa formal

(formal language). Sehingga dengan demikian bahasa formal dapat lebih mudah

dipelajari dan dianalisis dari pada bahasa alami. Sebaliknya analisis dan

pengembangan riset tentang bahasa alami dapat dimulai dengan mempergunakan

bahasa formal sebagai langkah awalnya.

Ada dua hal penting yang terkait dengan bahasa formal, yaitu :

- Pembangkitan kalimat (generation) : Berkaitan dengan algoritma yang dapat

menghasilkan semua kalimat dalam bahasa tertentu yang dikaji berdasarkan

aturan yang dimiliki oleh bahasa tersebut. Aturan ini disebuat tata bahasa

(grammar). Penerapan konsep ini terjadi pada bahasa-bahasa pemrograman

visual seperti Visual Basic, Delphi, Visual C, Java Net Bean dan lain-lain yang


3

3

mana programmer tidak menuliskan kode program tetapi kode tersebut

dibangkitkan ketika sebuah aktivitas dilakukan, misalnya ketika progammer

memasang Button pada sebuah Form maka nama variabel Button dan prosedur

aktifitas Button akan dibangkitkan sehingga progammer tinggal mengisikan kode

intinya saja.

- Pengenalan kalimat (recognition) : Pembuatan algoritma yang dapat

mengetahui apakah suatu string s (kalimat) termasuk anggota himpunan bahasa

L. Algoritma ini memeriksa keanggotaan s dalam bahasa L berdasarkan aturan

yang banyaknya terhingga. Penerapan ini terjadi pada saat sebuah kode program

sudah diparsing menjadi token-token dan proses kompilasi akan dilakukan maka

langkah pertama adalah pemeriksaan apakah token-token sudah berada dalam

sintak yang benar sesuai dengan aturan bahasa yang ada. Jika belum memenuhi

aturan bahasa maka proses kompilasi akan dihentikan, biasanya dengan

memberikan pesan “syntax error”.

1.5 Analogi Bahasa Natural dan Bahasa Formal :

Beberapa analogi bahasa formal dengan bahasa natural dapat digambarkan

antara lain sebagai berikut :

1. He sleeps, adalah sebuah kalimat bahasa inggris yang benar

2. He runs quickly, adalah juga kalimat yang benar

3. The Big rabbit hopes neatly, juga benar.

Sebuah kalimat dikatakan benar apabila ia memenuhi grammar yang ada dalam

suatu bahasa. Dalam bahasa inggris sebuah kalimat dikatakan benar jika memenuhi

grammar berikut :

SENTENCE (S) = NOUN-PHRASE (NP) + VERB-PHRASE (VP)

NOUN-PHRASE dapat berupa : NOUN atau PRONOUN atau ARTICLE +

NOUN atau ARTICLE+ADJECTIVE + NOUN.

VERB-PHRASE dapat berupa : VERB atau VERB + ADVERB.

Dengan notasi yang lebih singkat ditulis :

S = NP + VP

NP dapat berupa : N atau Pro atau Art + ADJ+N


4

4

VP dapat berupa : V atau ADV

Dengan demikian penurunan kalimat He sleeps dapat digambarkan :

SENTENCE

NOUN VERB

He Sleeps

Gambar 1.1 Proses penurunan kalimat dari grammar : N+V

Penurunan kalimat He runs quickly dapat digambarkan (dengan notasi yang lebih

singkat):

S

NP VP

V ADV

He runs quickly

Gambar 1.2 Proses penurunan kalimat dari grammar : N+V+Adj

Dan penurunan kalimat ketiga adalah :

S

NP VP

Art ADJ N V ADV

The big rabbit runs neatly

Gambar 1.3 Proses penurunan kalimat dari grammar : Art+Adj+N+V+Adv


5

5

Selanjutnya Grammar bahasa inggris tersebut dapat dituliskan sebagai himpunan

aturan-aturan produksi sebagai berikut :

S NP VP

NP Noun ; NP Pro ; NP Art ADJ Noun

VP V ; VP V ADV

N rabbit

Pro He

V runs ; V sleeps

ADV neatly ; ADV quickly

Suatu hasil yang secara grammar benar tetapi mungkin aneh dalam

kenyataannya adalah kalimat : The large mathematician sleeps quickly. Hal ini

cukup memberikan gambaran bahwa dalam bahasa natural ada hal-hal yang sulit

dirumuskan secara eksak diluar grammar. Sebuah kalimat yang benar secara

grammar belum tentu dalam realitasnya 'make sense'. Disinilah letak kesulitan

analisis bahasa natural.

Analogi yang digunakan dalam bahasa formal yang diambil dari bahasa

natural bahasa inggris diatas antara lain adalah : Ada sebuah simbol dalam abjad

yang didefinisikan sebagai S, atau start simbol, yang berfungsi seperti SENTENCE.

Dari simbol S inilah seluruh string dalam suatu bahasa dapat diturunkan.

Selanjutnya aturan produksi dalam grammar dapat dianalogikan sebagai rumusan

aturan tata bahasa tersebut. Aturan produksi dinamakan demikian karena aturan

tersebut diciptakan untuk memproduksi suatu kalimat atau “string”

Dalam bahasa formal persoalannya banyak disederhanakan. Suatu aturan

produksi dengan ketat harus diikuti untuk menurunkan string. Misalnya dimiliki

aturan produksi :

S Ab ; S Bb

A aa

B a

Maka dengan aturan tersebut dapat diturunkan suatu string : aab dan ab

String aab dengan penurunan : S Ab aab


6

6

String ab dari jalur penurunan : S Bb ab

Proses penurunan string aab dan ab dapat digambarkan dalam diagram pohon

sebagai berikut :

S S

A b B b

a a a

Gambar 1.4 Penurunan string aab dan ab

1.6 Elemen Bahasa Formal :

Beberapa istilah yang perlu dicatat berkaitan dengan bahasa formal adalah sebagai

berikut :

Abjad (alphabet): Himpunan berhingga dari simbol-simbol yang dapat

disusun untuk membentuk suatu kalimat. Dalam konteks teori bahasa: kalimat,

string atau kata ketiganya digunakan merujuk kepada hal yang sama, yaitu rangkaian

simbol-simbol yang dapat disusun dengan menggunakan simbol yang diambil dari

himpunan abjad. Himpunan abjad biasa dinotasikan dengan simbol .

Bahasa (Language): Himpunan seluruh string yang dapat dibangkitkan dari

sebuah tatabahasa (grammar) G. Bahasa yang dibangkitkan oleh tata bahasa G

biasa dinotasikan dengan L(G) atau L saja. Himpunan ini dapat berhingga atau tak

berhingga.

Aturan produksi (production rule : Adalah himpunan berhingga dari

aturan-aturan penataan simbol dalam pembentukan sebuah string. Dengan aturan ini

kita mem-produksi sebuah string , anggota suatu bahasa. Himpunan aturan produksi

biasa disimbolkan sebagai P.


7

7

1.7 Latihan

1. Jelaskan apa pengertian otomata dan berikanlah contoh-contoh otomata

dalam kehidupan sehari-hari?

2. Jelaskan perbedaan prinsip bahasa natural dengan bahasa formal !

3. Apa yang dimaksud dengan penurunan string, dalam pengertian bahasa

natural dan pengertian bahasa formal?

4. Dalam tata bahasa formal dikenal istilah Non terminal, apa analoginya istilah

non terminal ini dalam bahasa natural?

5. Apa bedanya string dalam bahasa formal dengan kalimat dalam bahasa

natural?

BAB II. Kelas-kelas Bahasa dan Mesin Pengenalnya

8

BAB II

KELAS-KELAS BAHASA DAN MESIN PENGENALNYA

2.1 Tujuan Instruksional

Setelah mempelajari bab ini diharapkan mahasiswa dapat memahami tentang

definisi secara formal tentang tata bahasa, bahasa dan kelas-kelas bahasa dengan

pendekatan teori himpunan. Mahasiswa juga akan memahami operasi-operasi dasar

yang dapat dilakukan pada bahasa dan juga mengenali dan memahami kelas-kelas

bahasa berdasarkan karakteristik tata bahasanya. Secara umum juga diharapkan

memahami jenis-jenis otomata yang mengenali bahasa dari berbagai kelas bahasa

tersebut.

2.2 Tata Bahasa dan Bahasa

Dalam bab I telah disinggung secara singkat tentang perbedaan bahasa

natural dengan bahasa formal. Pada kajian selanjutnya yang dimaksud dengan

bahasa dalam pembahasan tulisan ini adalah bahasa formal.

Telah dijelaskan bahwa bahasa tidak lebih dari himpunan, yang dapat

berhingga atau tak hingga dari string-string yang diproduksi dengan aturan-aturan

yang disebut dengan tata bahasa. Berikut ini didefinisikan secara lebih konkrit apa

itu tata bahasa dan bahasa.

Definisi 1 : Tata bahasa (grammar) G didefinisikan sebagai tuple-4 G( , N , S,

P)

Dimana :

: Himpunan berhingga dari simbol-simbol abjad / alphabet / vocabulary. Simbol-

simbol elemen dan rangkaian simbol-simbol yang terdiri dari elemen

dinamakan juga dengan simbol terminal. Simbol terminal dilambangkan

dengan huruf kecil : a,b,c atau abjad 0,1,2.

N : Himpunan berhingga dari simbol-simbol yang disebut sebagai simbol Non

Terminal, yaitu simbol-simbol yang dapat digantikan oleh simbol lain. Dalam

bahasa natural simbol non terminal misalnya : S, NP , VP, ADJ dan lain-lain.

Sedangkan dalam bahasa formal simbol non terminal dilambangkan dengan


9

abjad huruf besar, dan cukup SATU HURUF BESAR saja, misalnya : A, B,

atau C.

S : Sebuah simbol yang dinamakan simbol awal (start symbol). Simbol S

merupakan awal penurunan seluruh string anggota bahasa yang dibangkitkan

oleh tata bahasa G tersebut.

P : Himpunan berhingga aturan-aturan produksi. Aturan produksi merupakan

ekspresi yang dapat dituliskan sebagai , dengan dan masing-masing

adalah string (rangkaian simbol-simbol) yang dapat terdiri dari simbol terminal

dan atau simbol non terminal, misalnya : A Ba

Catatan : Penulisan grammar dibeberapa buku ditulis sebagai G ( V, T,S,P), dengan

V adalah himpunan Vocabulary, atau himpunan seluruh simbol yang ada (baik

simbol terminal maupun non terminal). Sehingga dalam hal ini V terdiri dari S

(start simbol), N (Non terminal simbol) dan T (Terminal simbol), atau dapat di

tulis : V = T N

Operasi-operasi string suatu tata bahasa

Operasi Concatenation :

Pada prinsipnya teori bahasa akan selalu menggunakan sebuah operasi

penggabungan (concatenation), karena pada hakekatnya string/kata/kalimat adalah

penggabungan dari simbol-simbol. Kata adalah penggabungan huruf. Kalimat adalah

penggabungan kata-kata. Tetapi sekali lagi perlu dicatat bahwa dalam bahasa

formal, string, kata (word) atau kalimat (sentence) semuanya dianggap sama, yaitu

:"rangkaian simbol-simbol", disebut sebagai STRING atau UNTAI.

Selanjutnya operasi penggabungan didefinisikan sebagai :

= + = string digandengkan (dirangkaikan) dengan string

adalah rangkaian simbo-simbol dan juga rangkaian simbol-simbol, yang

sekali lagi dapat berupa simbol non terminal atau terminal.

Contoh 2.1 :

= ABab

= BBa

maka = ABabBBa

8


10

dan = BBaABab

Perlu diingat bahwa operasi penggabungan tidak bersifat komutatif , artinya

, kecuali jika =

Panjang string :

Panjang string dimaksudkan sebagai banyaknya simbol dalam string .

Panjang string dilambangkan sebagai || .

Contoh : = ABc maka || = 3

= abc maka || = 3

Panjang string tidak memperhatikan apakah simbol tersebut terminal atau non

terminal, setiap simbol dihitung memiliki panjang satu .

Empty String () atau ( ) :

Suatu string khusus yang panjangnya nol, atau string yang terdiri dari "tak

satupun simbol" disebut sebagai string kosong (empty string) yang dilambangkan

dengan (baca : epsilon) atau (baca: lambda).

String kosong memiliki sifat penggandengan sebagai :

= =

Penutup (Closure) :

Jika dimiliki himpunan A, maka Cleene-closure dari A, dinotasikan dengan A*

didefinsikan sebagai :

A* = A0 A

1 A

2 … A

Dengan notasi An

(baca: A pangkat n) didefinisikan sebagai concatenation

(gandengan) : AAA …A sebanyak n kali, atau A di gandengkan dengan A sebanyak

n kali.

Definisi lebih formal dapat ditulis secara rekursif sebagai:

An = A A

n-1

An-1

= A An-2

An-2

= A An-3


11

…

A = A A0

A0

=

Contoh 2.2 :

Jika A = {0} maka A* = { , 0, 00, 000, 0000, …}

Jika B = {0,1} maka B* = { , 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, …}

B* diperoleh dari : B*={ B0 B

1 B

2 …}

Dimana : B0

= { }

B1

= B = {0,1}

B2

= BB = {0,1}{0,1} = {00, 01, 10, 11}

B3

= BB2 = {0,1} {00, 01, 10, 11} = { 000,001, 010,011, 100,101,110,111}

dst

Dengan demikian perlu dicermati secara hati-hati bahwa :

{0,1}* tidak sama dengan {01}*, karena :

{0,1}* = { , 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, …} sedangkan

{01}* = { , 01, 0101, 010101, …}

Positive Closure :

Selain Cleene-Closure, atas himpunan A juga dapat didefinisikan suatu

closure yang disebut sebagai positive-closure (A+), yang didefinisikan sebagai :

A+ = A1 A

2 … A

Dengan demikian dapat ditulis pula bahwa :

A* = A+ atau A

+ = A* -

Bahasa yang dibangkitkan oleh grammar G.

Definisi 2 : Bahasa yang dibangkitkan oleh tata bahasa G adalah himpunan seluruh

string yang dapat dibangkitkan oleh grammar G, dapat ditulis sebagai L(G):

L(G) = { w * | S * w }


12

Dengan simbol S * w

dibaca : seluruh rangkaian string w yang dapat diturunkan dari S dengan sembarang

produksi dalam P dan sembarang penurunan. String w adalah hanya terdiri dari

simbol-simbol terminal saja atau empty string.

Contoh 2.3:

Dimiliki suatu tata-bahasa G( , N , S, P) dengan :

={ a,b } N = { A, B} dan P ={ SAa ; SAB ; Aaa; Bb; B }

tentukan bahasa yang dibangkitkan oleh grammar G di atas.

Jawab : Bahasa yang dibangkitkan adalah L(G) = { aaa, aab, aa}

aaa , aab dan aa masing-masing diperoleh dari pohon penurunan :

S S S

A a A B A B

aa aa b aa

Gambar 2.1 Penurunan string aaa, aab dan aa

Atau penulisan yang lebih singkat dari proses penurunan adalah :

Untuk aaa : SAaaaa

aab diperoleh dari penurunan : SAB aaBaab

aa diperoleh dari penurunan : SAB aaB aa aa

2.3 Hierarchi Tata Bahasa

Menurut Noam Chomsky (1950), Tata-bahasa formal dapat dikelompokkan

menjadi 4 tingkatan (hierarchi), biasa disebut hierarchi tata-bahasa menurut

Chomsky. Pengelompokan tata-bahasa menurut Chomsky ini ditentukan oleh aturan

produksi yang dimiliki oleh grammar, yaitu tata-bahasa Tipe-0, Tipe-1, Tipe-2 dan

Tipe-3.

Andaikan aturan produksi dalam suatu grammar G dituliskan sebagai :


13

dengan masing-masing dan adalah string-string yang dapat terdiri dari

simbol Non terminal atau pun simbol terminal, atau : , ( N)*

maka masing-masing kelas tata-bahasa dibatasi sebagai berikut:

Tata-bahasa Tipe 0 (Non-restricted Grammar):

Tata-bahasa tipe-0, atau biasa disebut sebagai non-restricted grammar adalah tata-

bahasa yang paling luas, juga biasa disebut PHRASE STRUCTURED GRAMMAR.

Tata-bahasa Tipe-0 adalah tata-bahasa yang memiliki aturan produksi :

dengan batasan :

: minimal terdiri dari 1 simbol Non terminal , atau {( N)* N ( N)*}

: tidak dibatasi, atau : {( N)*

Contoh 2.4. :

Dimiliki grammar G( ,N ,S , P) dengan = { a, b } , N={ A, B , S}

dan P = { SABa, ABB, B ab, ABab, BBBaa}. Perlihatkan

bahwa string : abababa dan aaa adalah string-string yang diproduk

oleh grammar tersebut.

Jawab :

Jika dicermati produksi yang ada , terlihat bahwa seluruh produksi

yang ada memenuhi syarat grammar tipe-0, yaitu string kiri dalam

aturan produksi minimal terdiri SATU non terminal.

Penurunan abababa , ditempuh dari proses penurunan :

S ABa BBBa ababBa abababa

Penurunan string aaa ditempuh dengan penurunan berikut:

S ABa BBBa aaa

Tata-bahasa Tipe 1 (Context Sensitive Grammar):

Tata-bahasa tipe-1, adalah tata-bahasa tipe-0 yang memiliki aturan produksi :

dengan tambahan batasan :

| | < | | jika tidak dalam bentuk S


14

yaitu panjang string lebih kecil atau sama dengan panjang string

Contoh 2.5. :

Dimiliki grammar G( ,N ,S , P) dengan = { a, b } , N={ A, B , S}

dan P = { SABa, ABB, B ab, ABAAA , Aaa , A }

Apakah tatabahasa ini termasuk dalam tipe-1? Bandingkan dengan

tatabahasaa contoh 2.4, apakah termasuk tipe -1? Tunjukkan bahwa

string a termasuk anggota bahasa.

Jawab :

Grammar contoh 2.5 memenuhi tata bahasa tipe-0 dan tipe satu .

Sedangkan tatabahasa pada contoh 2.4 hanya memenuhi tipe-0 dan

tidak memenuhi tipe-1, karena ada aturan produksi : BBBaa pada

contoh 2.4.

Penurunan string "a" ditempuh dengan :

SABa AAAa a a

Tata-bahasa Tipe 2 (Context -Free Grammar):



: HANYA terdiri dari 1 simbol Non terminal saja, atau N


Contoh 2.6.:

Tunjukkan bahwa contoh 2.5. adalah tidak termasuk pada grammar tipe

2.

Jawab:

Jika diperhatika aturan produksi pada contoh 2.5 :

SABa, ABB, B ab, ABAAA , Aaa , A


15

Ada aturan : AB AAA ; yaitu aturan produksi dimana ruas kiri (AB)

memiliki panjang lebih dari 1. Ini melanggar aturan untuk grammar tipe-

2, dengan demikian tidak termasuk grammar tipe-2.

Tata-bahasa Tipe 3 ( Regular Grammar):




: dalam bentuk salah satu diantara : a, aB, atau

dimana a adalah simbol terminal dan B adalah simbol Non terminal.

Tata bahasa tipe-3 (regular) merupakan tata bahasa yang paling ketat (paling banyak

aturan) dari hierarkhi tata bahasa yang ada. Secara diagram keempat tata bahasa

dapat digambarkan sebagai berikut :

Gambar 2.2 Hierarkhi Tata Bahasa (Grammar) menurut Noam Chomsky

Contoh 2.7 :

Dimiliki grammar G( ,N ,S , P) dengan = { a, b } , N={ A, B , S} dan

P = { SaA, AaA, A B, BbB, B }. Tentukan bahasa yang

dibangkitkan oleh tata bahasa regular berikut.

Jawab :

Penurunan : SaAa B aa menghasilkan string : a

Penurunan : SaAaaA aaaA … aaaa..aa B aaa..aaaa..aa

Hasilnya : aaaa..aa

0 = Tipe-0

1 = Tipe-1

2 = Tipe-2

3 = Tipe-3


16

Penurunan : SaAaaA aaaA … aaaa..aa B

aaa..abBaaa..aab

Hasilnya : aaa..aab

Penurunan : SaAaaA aaaA … aaaa..aa B

aaa..abBaaa..aabbB

aaa..aabb…bBaaa..aabb…baaa..aabb…b

Hasilnya : aaa..aabbb..b

Bahasa yang dibangkitkan adalah "sederatan a dengan jumlah minimal SATU buah

diikuti sederetan b dengan jumlah minimal NOL buah" atau dapat dituliskan

sebagai:

L(G)={aa*b*}

Dimana a*={a0 a

1 a

2 … a

}

b*={b0 b

1 b

2 … b

}

2.4 Mesin Pengenal Bahasa

Beberapa tingkatan tata bahasa melahirkan beberapa tingkatan bahasa. Tata bahasa

regular membangkitkan bahasa regular, tata bahasa bebas konteks membangkitkan

bahasa bebas konteks dan seterusnya. Mesin abstract yang merupakan pengenal dari

berbagai tingkatan bahasa tersebut dimulai dari yang paling sederhana adalah :

1. Bahasa regular , mesin pengenalnya : Finite State Automata

2. Bahasa bebas konteks, mesin pengenalnya Push Down Automata

3. Bahasa konteks sensitive, mesin pengenalnya Linear Bounded Automata

4. Bahasa unsrestricted mesin pengenalnya adalah Mesin Turing

Pembahsan menganai mesin-mesin abstract pengenal suatu bahasa akan dibahas

dalam bab-bab selanjutnya.


17

2.5 Latihan

1. Jika dimiliki suatu tata-bahasa G( , N , S, P) dengan ={ a,b } N = { A, B}

dan P ={ SAa ; SAB ; Aaa; B bB; B }, tentukan bahasa yang

dibangkitkan oleh grammar G di atas.

2. Dimiliki grammar G( ,N ,S , P) dengan = { a, b } , N={ A, B , S} dan P = {

SABa, ABB, B ab, ABab, BBBaa}. Perlihatkan bahwa string : aba

dan abababa adalah string-string yang diproduk oleh grammar tersebut.

3. Dimiliki grammar G( ,N ,S , P) dengan = { a, b } , N={ A, B , S} dan P = {

SABC, ABB, B Bab, B , Caa , A }. Termasuk tipe apakah tata

bahasa tersebut? Apakah alasannya?

4. Dimiliki grammar G( ,N ,S , P) dengan = { a, , c } , N={ A, B ,C, S} dan P =

{ SABC, AaA, A B, BbB, BC, CcC, C }. Tentukan bahasa

yang dibangkitkan oleh tata bahasa tersebut.

5. Dimiliki grammar G( ,N ,S , P) dengan = { a, b, c } , N={ A, B , C, S} dan P

= { SABC, AaA, A, BbB, B, CcC, C }. Tentukan bahasa

yang dibangkitkan oleh tata bahasa tersebut. Apakah perbedaan bahasa yang

dibangkitkan dengan tata bahasa nomor 4? Jelaskan alasannya

6. Tentukan tata bahasa yang mengenali bahasa-bahasa berikut ini :

a) L = { (abc)n | n > 0 }

b) L = { (ab)n

c| n > 0 }

c) L = { an b

mc

k | n,m,k > 0 }


a) L = { 1*0* }

b) L = { 10* }

c) L = { 1*0 }

d) L = (1,0)*


a) L = { a*aa, b*a }

b) L = { a*bbbb* }

c) L = { abcd }

BAB III. Ekspresi Regular dan Kelas Bahasa Regular

18

BAB III

EKSPRESI REGULAR DAN KELAS BAHASA REGULAR


Setelah mempelajari bab ini diharapkan mahasiswa dapat memahami

pengertian ekspresi regular, kaidah-kaidah ekspresi regular dan operasi-operasi yang

dapat dikerjakan pada eksprfesi regular. Setelah pemahaman ekspresi regular dapat

dikuasai selanjutnya dapat mengaitkan ekspresi regular dengan bahasa regular dan

selanjutnya dengan tata bahasa regular. Diharapkan pula penguasaan hubungan

timbal balik antara bahasa dan tata bahasa sedemikian sehingga jika dimiliki suatu

bahasa akan dapat ditetapkan tata bahasanya dan sebaliknya jika dimiliki tata bahasa

akan dapat ditetapkan bahasanya.

3.2 Ekspresi Regular

Sebelum memasuki bahasan tentang ekspresi regular dan bahasa regular, dapat

dinyatakan suatu kenyataan berikut. Jika adalah suatu himpunan abjad (yang tentu

saja jumlahnya terhingga), maka :

1. * = himpunan seluruh string yang dapat disusun dari abjad dalam (seperti

yang telah disampaikan dalam bab II) adalah berjumlah TAK HINGGA

(countably inifinite).

2. Kumpulan dari semua bahasa yang dapat dibangkitkan dari abjad dalam

berjumlah tak terhitung (uncountably)

Selanjutnya ekspresi regular dapat didefinisikan secara rekursif dari definisi-definisi

berikut :

Definisi Ekspresi Regular :

1. = {} = (himpunan kosong) adalah sebuah ekspresi regular

2. { } =string kosong adalah ekspresi regular

3. Untuk setiap a , maka a adalah ekspresi regular

4. Jika a dan b adalah ekspresi regular maka ab , ab dan a* adalah ekspresi

regular.


19

Selanjutnya untuk menghindari kebingungan perlu dibedakan dengan jelas

antara yang melambangkan himpunan kosong, atau tidak punya anggota,

sedangkan { } adalah himpunan yang memiliki satu anggota , yaitu string kosong.

Notasi ab , ab dan a* adalah penyederhanaan notasi yang diperoleh dari notasi asli

sebagai berikut : Jika dimiliki himpunan A,B sebagai himpunan berikut :

Ekspresi ab maksudnya :

A={a} dan B={b}

AB = gabungan/union antara himpunan A dengan himpunan B = {a,b}

Ini dinotasikan secara singkat sebagai : ab

Ekspresi ab maksudnya :

A={a} dan B={b}

AB = CONCATENATION antara himpunan A dengan himpunan B = {ab}

Ini dinotasikan secara singkat sebagai : ab

Ekspresi a* maksudnya :

A={a}

A* = CLEENE closure dari himpunan A, seperti yang telah didefinisikan

dalam bab II : A0 A

1 A

2 … A

, yang menghasilkan suatu

himpunan : { , a, aa, aaa, aaaa, ….}, dinotasikan sebagai a*

Dari definisi tentang ekspresi regular selanjutnya dapat dituliskan beberapa akibat

logis, berdasarkan aturan-aturan dalam teori himpunan, sebagai berikut :

Jika a,b,c adalah ekspresi regular dalam

1. ab = ba

2. a = a

3. aa = a

4. (ab) c = a(bc)

5. a = a = a

6. a = a =

7. (ab)c=a(bc)

14


20

8. a(bc)=abac = dan (ab)c = acbc

9. a* = a** = a*a* = (a)*=a*(a) = (a )a* = aa*

10. aa*= a*a

Contoh 3.1:

Ekspresikan dalam bentuk ekspresi reguler kalimat-kalimat berikut :

1. Sederatan NOL minimal nol buah

2. Sederatan NOL minimal satu buah

3. Sederetan NOL minimal satu buah diikuti sederetan SATU sebanyak satu buah

atau lebih

4. Sederetan bit NOL dan SATU sembarang yang diawali dengan NOL dan

diakhiri dengan SATU

5. Sederetan SATU dengan jumlah GENAP

6. Sederetan NOL dengan jumlah GENAP diikuti sederetan SATU dengan jumlah

GANJIL

Jawab :

1. Ekspresinya : 0*

2. Ekspresinya : 00*

3. Ekspresinya : 00*11*

4. Ekspresinya : 0(0,1)*1 atau ditulis : 0(01)*1

5. Ekspresinya : 11(11)*

6. Ekspresinya : 00(00)*1(11)*

Contoh 3.2:

String apakah ekspresi-ekspresi regular berikut :

1. Ekspresi : (1,0)*

2. Ekspresi : (10)*

3. Ekspresi : (0,1)*1*

4. Ekspresi : (00)*(11)*

5. Ekspresi : (11)* (00)*


21

Jawab :

1. Sederetan bit NOL dan SATU dengan jumlah sembarang dan susunan

sembarang

2. Sederetan 10 berulang-ulang dengan jumlah ulangan nol atau lebih

3. Sederetan bit NOL dan SATU dengan jumlah sembarang urutan sembarang

diikuti dengan deretan bit SATU dengan jumlah nol atau lebih

4. Deretan NOL kosong atau Genap diikuti deretan SATU kosong atau genap

5. String kosong atau berisi bit NOL genap atau bit SATU genap dengan posisi

sembarang

3.3 Tata-Bahasa Regular

Seperti telah dituliskan dalam bab sebelumnya, bahasa regular merupakan

kelas bahasa yang dibangkitkan oleh tata bahasa regular. Tata bahasa ini memiliki

aturan produksi dengan batasan :



Contoh 3.3:

Tentukan bahasa yang dihasilkan oleh tata bahasa regular berikut :

G(, N, S, P) ; dimana ={ a,b } N = { A, B} dan

P ={ SaS ; SaB ; SA ; Bb; BbB; B ; Aa}

Jawab :

Untuk menurunkan bahasa dari suatu grammar yang diketahui, maka seluruh

kemungkinan penurunan yang dapat dilakukan oleh grammar tersebut harus

dilakukan. String-string yang dihasilkan dihimpun membentuk suatu bahasa dari

grammar tersebut. Untuk mempermudah pelacakan, tetapkan cacah aturan produksi

yang ada , dalam grammar tersebut ada 7 aturan produksi, yaitu :

1. SaS ;

2. SaB ;


22

3. SA ;

4. Bb;

5. BbB;

6. B ;

7. Aa

Kemungkinan 1 : aturan (1,1,1,…)(2)(4) aa*ab

Kemungkinan 2 : aturan (1,1,1,…)(2)(6) aa*a

Kemungkinan 3 : aturan (1,1,1,…)(2)(5,5,5,…)(4) aa*abb*b

Kemungkinan 4 : aturan (1,1,1,…)(2)(5,5,5,…)(6) aa*abb*

Kemungkinan 5 : aturan (1,1,1,…)(3)(7) aa*a

Setelah kemungkinan penurunan seluruhnya dievaluasi selanjutnya hasil evaluasi

yang mungkin sama digabung :

- Kemungkinan 2 dengan kemungkinan 5 adalah sama

- Kemungkinan 1 adalah kemungkinan 2 digandeng dengan b

- Kemungkinan 3 adalah kemungkinan 4 digandeng dengan b

Dengan demikian bahasa yang dihasilkan adalah :

L(G) = { aa*a aa*ab aa*abb* aa*abb*b}

= { aa*a aa*abb*)( b)

3.4 Pengenal Bahasa Regular

Pengenal pada bahasa regular adalah mesin abstrak yang disebut dengan

otomata berhingga (Finite State Automata , biasa disingkat FSA). Secara mendetail

akan di bahas pada bab selanjutnya.


23

3.5 Latihan

1. Tuliskanlah notasi untuk ekspresi regular-ekspresi regular di bawah ini :

a) Sederetan a dengan panjang minimal 1

b) Sederatan a dengan panjang minimal nol dan diakhiri dengan b

c) a atau b dengan panjang minimal nol

d) Sederetan ab dengan panjang minimal nol

2. Bagaimanakah mengungkapkan kalimat untuk ekspresi regular berikut

a) {a,b}

b) {ab}

c) {ab*}

d) {a*b}

e) {a*,b}

f) {a,b*}

g) {a*b*}

h) {a*,b*}

3. Tentukan bahasa yang dihasilkan oleh tata bahasa regular berikut :

G(, N, S, P) ; dimana ={ a,b } N = { A, B} dan jika aturan produksi

masing-masing bahasa adalah sebagai berikut :

a) P ={ SaS ; S }

b) P ={ SaS ; S a}

c) P ={ SaS ; SB ; BbB; Bb }

d) P ={ SaS ; S ; SB ; BbB; B }

e) P ={ SaS ; SB ; BbB; B }

4. Tentukan bahasa yang dihasilkan oleh tata bahasa regular berikut :

G(, N, S, P) ; dimana ={ a,b,c } N = { A, B, C} dan jika aturan produksi

masing-masing bahasa adalah sebagai berikut :

a) P ={ SaA ; AaA; AbB; BbB; BcC; CcC; C }

b) P ={ SaA ; AaA; AbB; BbB; BcC; CcC; C; B }

c) P ={ SaA ; AbB; BcC; CcC; C }

d) P ={ SaA ; AbB; BcC; C }

BAB IV. Finite State Machine(FSM) dan Finite State Automata (FSA)

24

BAB IV

FINITE STATE MACHINE (FSM) DAN

FINITE STATE AUTOMATA (FSA)

Tujuan Instruksional

Setelah mempelajari bab ini mahasiswa diharapkan dapat memahami konsep

Finite State Machine (FSM) dan Finite State Automata (FSA) sebagai suatu konsep

abstrak matematis yang menggambarkan perilaku suatu mesin logik yang

menggambarkan cara kerja dari suatu mesin fisik, suatu program, algoritma atau

konsepsi pemecahan masalah. Dalam konteks teori bahasa, mesin FSA dapat

diterapkan untuk mengenali suatu string yang berasal dari bahasa regular yang

dibangkitkan dari suatu grammar regular. Dengan demikian ada hubungan timbal

balik antara bahasa regular dan FSA, yaitu jika dimiliki bahasa rtegular pasti dapat

dikonstruksi suatu mesin FSA, dan sebaliknya jika dimiliki suatu FSA pasti dapat

diturunkan suatu bahasa yang akan dikenali oleh mesin tersebut.

Finite State Machine (Mesin keadaan terbatas)

Finite State Machine adalah suatu mesin abstrak yang diwakili oleh

sekumpulan keadaan, sekumpulan masukan, sekumpulan aturan transisi

(perpindahan kedudukan mesin) dan (mungkin) sekumpulan keluaran.

Contoh dari mesin seperti ini adalah :

- Mesin Jaja (Vending Machine)

- Pintu otomatis

- Telepon Umum

Contoh 4.1. FSM Dengan Output : Mesin Jaja (Vending Machine) :

Misalkan dimiliki sebuah mesin jaja yang dapat mengeluarkan dua macam

keluaran yaitu Juss Jeruk dan Juss Apel. Mesin ini memiliki kedudukan sebanyak 7

(misalkan dicatat sebagai : S0, S1, S2,…, S6). Mesin ini dapat menerima masukan

uang pecahan yang dapat berupa 5-an, 10-an dan 25-an. Mesin ini selain dapat

menerima masukan uang pecah juga disediakan dua tombol kuning (K) dan merah

(M). Jika mesin dalam kedudukan S6, maka jika ditekan ditekan K akan keluar Juss


25

Jeruk dan jika ditekan R akan keluar Juss Apel. Tabel transisi kedudukan dari mesin

ini dapat disajikan seperti tabel 4.1.

Penggunaan tabel 4.1 sebagai fungsi transisi dari mesin Jaja dapat dipahami dalam

beberapa contoh, misalnya :

- Pada saat awal mesin selalu dalam state S0

- Jika pada state S0 menerima masukan 5-an maka akan pindah ke-state S1





Output mesin jaja diperoleh jika mesin dalam state-S6, yaitu :

- Jika pada state S6 menerima masukan K maka akan pindah ke-state S0 dan

menghasilkan OUTPUT JJ= yaitu keluar Juss Jeruk

- Jika pada state S6 menerima masukan R maka akan pindah ke-state S0 dan

menghasilkan OUTPUT JA= yaitu keluar Juss Apel

Tabel 4.1. Fungsi Transisi Untuk Mesin Jaja

Tabel transisi kedudukan mesin

State Next State Output

Input

5-an 10-an 25-an K M

Input

5-an 10-an 25-an K M

S0

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S1 S2 S5 S0 S0

S2 S3 S6 S1 S1

S3 S4 S6 S2 S2

S4 S5 S6 S3 S3

S5 S6 S6 S4 S4

S6 S6 S6 S5 S5

S6 S6 S6 S0 S0

n n n n n

n n n n n

n n 5 n n

n n 10 n n

n n 15 n n

n 5 20 n n

5 10 25 JJ JA

Keterangan : n = tidak ada keluaran

K=tombol Kuning ditekan

M=tombol Merah ditekan

JJ/JA = mesin mengeluarkan Juss Jeruk / Juss Apel


26

Mesin jaja tersebut hanya bisa menerima uang receh maksimum 30. Isi mesin adalah

30 ditunjukkan dengan keadaan S6. Pada kondisi S6 ini mesin berharap menerima

masukan pencet tombol K atau R, bukan menerima masukan uang lagi. Ini nampak

jika dalam state tertentu dimasukkan uang receh sehingga nilai uang dalam mesin

jaja diatas 30 maka akan dikeluarkan kembaliannya. Misalnya :

- Jika pada state S6 menerima masukan 5-an maka akan TETAP pada state

S6 dan menghasilkan OUTPUT (kembalian) 5-an

- Jika pada state S2 menerima masukan 25-an maka akan PINDAH menuju

state S6 dan menghasilkan OUTPUT (kembalian) 5-an

Finite State Automata (FSA)

Finite State Machine dapat berupa suatu mesin yang tidak memiliki output.

Finite State Machine yang tidak mengeluarkan output ini dikenal sebagai FINITE

STATE AUTOMATA (FSA). Pada FSA mesin mula-mula dalam state S0 dan

menerima sederatan masukan yang dapat mengubahnya ke state-state berikutnya.

Dalam FSA juga dikenal himpunan state-state tertentu yang disebut sabagai FINAL

STATE. Perubahan dari satu state ke state berikutnya mengikuti sturan tertentu yang

dirumuskan sebagai suatu FUNGSI transisi .

Secara formal FSA dapat didefinisikan sebagai TUPLE-5 : Kumpulan dari 5

himpunan, atau dinotasikan sebagai :

FSA adalah M = ( S, , , S0 dan F)

Dimana :

S = himpunan terhingga dari state-state

= himpunan terhingga dari simbol-simbol masukan pada mesin

= fungsi transisi yang mengatur gerakan mesin

S0=State AWAL

F = himpunan state-state FINAL

Perilaku Finite State Automata diekspresikan dalam bentuk tabel transisi atau dalam

bentuk diagram transisi.


27

Contoh 4.2

Buatlah diagram transisi dari FSA yang didefinisikan sebagai :

M = ( S, , , S0 dan F) dimana :

S={S0 , S1 , S2 , S3 }

={ 0,1 }

F={ S0 , S3 }

Dengan fungsi transisi ada pada tabel transisi adalah sebagi

berikut:

Tabel 4.2.

Tabel transisi

State

Input

0 1

S0

S1

S2

S3

S0 S1

S0 S2

S0 S0

S2 S1

Jawab : Diagram transisi dari FSA tersebut dapat digambarkan sebagai :

Gambar 4.1. Diagram transisi

Cara kerja FSA :

- Mula-mula dalam state S0

- Jika dari S0 menerima 1 : akan ke State-S1

- Jika dari S0 menerima 11 : akan ke State-S1 lalu ke S2

- Jika dari S0 menerima 0 : akan tetap di State-S0

- Jika dari S0 menerima 10 : akan tetap kembali lagi State-S0

S0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

S3

S2

S1

1,0 0

1

1

0

1 0

Start


28

- Jika dari S0 berturut-turut menerima masukan : 111, maka ia akan kembali

ke-S0

4.4 FSA Sebagai Pengenal String

Mesin FSA tersebut jika menerima masukan sederetan simbol masukan dari

simbol-simbol yang diijinkan maka akan menuju suatu state tertentu. Jika state

akhir yang ditempuh setelah suatu FSA menerima sederetan simbol adalah state

FINAL, maka deretan simbol (string) tersebut dikatakan DIKENALI oleh FSA, atau

dengan kata lain FSA mengenali string tersebut.

Untuk FSA diatas string-string yang dikenali adalah antara lain :

0

00..0 atau 0*

10

010

010010

100*

110

111

Kumpulan seluruh string yang dikenali oleh FSA merupakan suatu BAHASA yang

dikenali oleh FSA tersebut. Jika dimiliki FSA M maka bahasa yang dikenali oleh

FSA di notasikan sebagai :

L(M) = { x | x semua string yang mengantar M dari S0 ke (Si F) }

Untuk mesin FSA diatas :

L(M) = { 0* , 0*(10)0* , 0*(110,111)0* }

Contoh 4.3. : Tentukan bahasa L(M) yang dikenali oleh Mesin M berikut ini :

0

start

S3

Gambar 4.2

S0 S1 0,1 1

0

S2 1


29

Jawab : Dari diagram terlihat bahwa final-state adalah S3. Pergerakan state yang

mengantar ke final-state adalah S0S1S2S3 yakni string : 011 atau

string 111 yang dapat ditulis sebagai (0,1)11.

Pergerakan yang lain adalah dari S0 langsung ke S2 yaitu : S0S2S3

yang dilakukan melalui string : 01

Setelah berada pada final state masih ada pergerakan yang bersifat

rekursif pada S3 yaitu apabila diberikan masukan 0,00,000,… atau : 0*.

Dengan demikian jika seluruh string tersebut digabungkan akan menjadi :

(0,1)110* 010*, sehingga bahasa yang dikenali adalah :

L(M)= { (0,1)110* 010* } = { ((0,1)11 01)0* }

4.5 Deterministik Dan Non Deterministik FSA

FSA dapat dikelompokkan menjadi Deterministik FSA (DFA) dan Non

deterministik FSA (NFA) berdasarkan sifat fungsi transisinya.

DFA (Deterministik FSA):

Jika pada setiap state dari FSA tersebut apabila menerima input sebuah simbol

maka HANYA ada SATU NEXT STATE yang mungkin dituju.

NFA (NON Deterministik FSA):

Jika FSA tersebut menerima input simbol maka minimal ada satu state yang

akan berpindah ke LEBIH DARI SATU NEXT STATE yang mungkin dituju.

Contoh 4.4 :

Perhatikan gambar FSA a) (Gambar 4.3) dan FSA b) (Gambar 4.4) berikut. Ini

adalah contoh-contoh DFA dan NFA

Tunjukkan gambar a) ini adalah NFA :

0,1

a).

start

Gambar 4.3.

S0 S1 0,1 1

0

S2


30

Jawab : Dari S0 jika menerima masukan 0 dapat memilih ke salah satu NEXT

state yaitu S1 atau S2.

Dari S1 jika menerima masukan 1 dapat ke S2 atau tetap di S1.

Dengan demikian gambar diatas adalah NFA

Tunjukkan gambar b) berikut adalah DFA :

0

b).

start

Gambar 4.4.

Jawab : Pada setiap state , jika menerima masukan selalu HANYA satu NEXT

state yang dituju. Dengan demikian gambar b) adalah DFA.

4.6 Konversi dari NFA ke DFA

Apabila dimiliki suatu FSA, misalnya M= ( S, , , S0 dan F) yang

merupakan suatu NFA, maka selalu akan dapat dibuat FSA baru yang merupakan

DFA yang akan mengenali string yang sama dengan NFA. Misalkan DFA baru

tersebut adalah M*={ S*, *, * , S0* dan F* }

dimana :

* = ; S0* = S0

S* = himpunan state yang baru

* = fungsi transisi yang baru

F* = himpunan final state yang baru

DFA hasil konversi NFA berbeda dalam himpunan statenya, fungsi transisi dan

final statenya. Himpunan state yang baru merupakan gabungan dari next-state yang

lebih dari satu membentuk himpunan state sedangkan final state yang baru adalah

gabungan next state-next state yang lama apabila ia mengandung satu atau lebih

final state. Untuk proses konversi NFA ke DFA dapat dilakukan dengan membuat

diagram pohon transisi.

S0 S1 1 1

0

S2


31

Contoh 4.4 : FSA berikut merupakan FSA pengenal bilangan kelipatan 4 yang

merupakan suatu NFA. Carilah konversi NFA tersebut menjadi suatu

DFA.

NFA: Pengenal string : (0,1)*00 (bilangan kelipatan 4 (biner))

0,1

start

Gambar 4.5.

Jawab:

Jika diperhatikan FSA di atas , yang menyebabkan merupakan NFA adalah

pada state S0 apabila menerima masukan 0 maka next-state nya tidak pasti, yaitu

dapat tetap di S0 atau pindah ke S1. Apabila unsur ini dapat dieliminir maka konversi

dapat dilakukan. Jika diamati diagram di atas NFA tersebut adalah :

M= ( S, , , S0 dan F)

dengan : S ={S0,S1 S2 }

= {0,1}

F={S2}

: ( S0,0) = {S0,S1}

( S0,1)=S0

( S1,0)=S2

Selanjutnya dapat disusun diagram pohon transisi sebagai berikut :

({S0,S1,S2},0)= {S0,S1,S2}

({S0,S1}, 0 )={S0,S1,S2}

(S0,0)={S0,S1} ({S0,S1,S2},1)= {S1}

S0 ({ S0,S1}, 1 )={ S0}

( S0,1)={ S0}

Gambar 4.6 Proses konversi

S0 S1 0 0

S2


32

Penjelasan :

Pohon transisi diperoleh dengan menggabungkan next-state yang mungkin

lebih dari satu menjadi suatu himpunan-next state yang pada gilirannya ini dianggap

sebagai suatu state baru. Misalnya apabila pada state S0 diberi masukan 0 maka ada

dua next-state yang mungkin, yaitu S0 dan S1, ini dihimpun menjadi satu himpunan,

yaitu {S0,S1}. Jika dilanjutkan apabila { S0,S1 } mendapat masukan 0 maka next-

state nya menjadi himpunan dari : next-state jika S0 mendapat masukan 0 dan next-

state jika S1 mendapat masukan 0, yakni menjadi {S0,S1,S2}. Demikian seterusnya

apabila next-state next-state yang mungkin dihimpun sampai keseluruhan

kemungkinan selesai dikonstruksi dalam suatu pohon penurunan.

Hasil akhir yang dapat diperoleh adalah :

M*= ( S*, *, * , S0* dan F*)

Dengan :

S*={ {S0}, { S1}, {S0,S1} dan {S0,S1,S2} }

F*={{S0,S1,S2} }

* = seperti terlihat dalam diagram pohon atau dapat dibandingkan sebagai berikut :

Tabel 4.3. Untuk FSA semula (NFA)

State

0 1

S0 S0,S1 S0

S1 S2 -

S2 - -

Tabel 4.4. Dikonversi menjadi (lihat diagram pohon)

State *

0 1

{ S0} {S0,S1} S0

{S0,S1} {S0,S1,S2} S0

{S0,S1,S2} {S0,S1,S2} S0


33

Dengan demikian diagram konversi nya adalah :

DFA: string yang dikenali adalah sama, yaitu : (1,0)*00

1

start

Gambar 4.7 Hasil konversi NFA ke DFA

4.6 FSA Sebagai Pengenal Bahasa Regular

FSA baik itu DFA maupun NFA merupakan pengenal terhadap kelas bahasa

regular yang dapat dicirikan sebagai berikut :

Aturan bahasa regular memiliki aturan produksi :

: HANYA terdiri dari 1 simbol Non terminal saja, atau | | =1


Tiap aturan produksi yang mungkin dapat diwakili oleh gerakan dalam FSA

sebagai berikut :

1. Ekspresi regular diwakili oleh gerakan :

2. Ekspresi regular diwakili oleh gerakan :

3. Ekspresi regular a, atau r Aturan produksi : A a di wakili oleh :

4. Aturan A aB di wakili oleh :

A Start

a S1

S0 Start

S0 Start

A Start a

B

{S0,S1) S0 0

{S0,S1,S2} 0

0

1

0


34

5. Aturan A di wakili oleh :

6. Aturan produksi rekursif : A aA di wakili oleh :

a

Dengan demikian jika dimiliki suatu grammar regular G tertentu maka akan dapat

ditemukan FSA yang mampu mengenali bahasa yang dibangkitkan oleh grammar

tersebut. Demikian juga jika dimiliki suatu FSA maka akan dapat ditentukan tata

bahasa regular yang membangkitkan bahasa yang dikenali FSA tersebut.

Contoh 4.5. : Tentukan tata bahasa yang mengenali bahasa yang dibangkitkan oleh

FSA berikut :

0

start

Gambar 4.8

Jawab : G(, N, S, P) ; dimana ={ 0 , 1 } N = { S, A, B} yakni dengan

mengamati diagram dan menaganalogikan state-state sebagai non terminal,

yaitu : S0 terkait dengan non terminal S, S1 terkait dengan non terminal A

dan S2 terkait dengan nonterminal B. Jika diagram tersebut diuraikan setiap

tahapnya akan berkait dengan aturan-aturan produksi P seperti uraian

berikut :

S0 S1 1 1

0

S2

A

A


35

Start analog dengan aturan S 1A

0

analog dengan aturan A 0A

analog dengan A 1B

start analog dengan S 0B

Analog dengan B

Dengan demikian ada 5 aturan produksi yang menjadi bagian dari tata bahasa yang

membangkitkan bahasa yang sama dengan bahasa yang dikenali oleh FSA tersebut,

yaitu :

P={ S1A, A 0A , A1B , S0B, B }

Contoh 4.6 : Tentukan FSA yang mampu mengenali bahasa yang dibangkitkan

oleh grammar berikut ini :

G(, N, S, P) ; dimana ={ 0 , 1 } N = { A, B} dan dengan

P: S0A; A0A; A1B; B1B dan B

Jawab :

Jika aturan produksi tersebut di rinci menjadi :

1. S 0A

2. A 0A

3. A 1B

S0 S1 1

S1

S1 1

S2

S0

0

S2

S2


36

4. B 1B

5. B

Penurunan string dapat menempuh aturan : 1,3, 5 yaitu : S 0A01B01 =01

Atau aturan : 1 diteruskan 2 (diulang tak terbatas), dilanjutkan 3, kemudian 4

(diulang tak tertentu) dan aturan 5 : yaitu :

S 0A 00A000A…0 ….0A0…01B0…011B0…0111B 0..01..

Sehingga bahasa yang dibangkitkan oleh grammar tersebut adalah :

L(G) = { 00*11* }

Adapun FSA yang mengenali bahasa tersebut adalah :

0

start

Gambar 4.8

Contoh 4.7 : Tentukan FSA yang mampu mengenali bahasa dan Tata bahasa nya

untuk bahasa yang mewakili ekspresi bilangan real yang dapat ditulis

sebagai : xxx.yyyy ; dimana {x,y | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Jawab :

Untuk tata bahasa dapat dituliskan sebagai berikut

G(, N, S, P) ; dimana ={ 0 , 1 } N = { S, A} dengan aturan produksi :

S 0S|1S|2S|3S|4S|5S|6S|7S|8S|9S|.A

A 0A|1A|2A|3A|4A|5A|6A|7A|8A|9A|ε

FSA sebagai berikut :

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

start

S0 S1 0 1

1

S2

S0 S1 .


37

4.7 Latihan

1. Tentukan bahasa dan grammar yang dikenali oleh FSA berikut :

0

start

1

2. Tentukan bahasa dan grammar yang dapat dikenali oleh FSA berikut ini :

0

start

3. Tentukanlah FSA yang mampu mengenali bahasa berikut ini dan tentukan pula

grammar yang membangkitkan bahasa tersebut.

a). 1*0*

b). 10*11)

c). (1*0*11)

d). (10*11*)

4. Tentukan bahasa dan mesin pengenal bahasa dari suatu grammar dengan aturan

produksi berikut ini :

S aA

AaA | bB

BbB | b

5. Tentukan bahasa dan mesin pengenal bahasa dari suatu grammar dengan aturan

produksi berikut ini :

S aA

AaA | bB

BbB | b

S0 S1 0 1 S2 S3

1

S0 S1 1 1

0

S3 S2 0,1

BAB V. Tata Bahasa Bebas Konteks (Context Free Grammar)

38

BAB V

TATA BAHASA BEBAS KONTEKS (CONTEXT FREE GRAMMAR )

5.1. Tujuan Instruksional

Setelah mempelajari bab ini diharapkan mahasiswa menguasai konsep tentang

tata bahasa dalam kelas bebas konteks dan bahasa bebas konteks. Bentuk tat bahasa

bebas konteks yang hanya mengikat simbol di sebelah kiri, yaitu panjangnya 1 non

terminal, sedangkan di sebelah kanan tidak terikat menyebabkan tata bahasa ini

bebas untuk ruas kanannya, sehingga terkadang memerlukan penyederhanaan.

Penyederhanaan tata bahasa dari berbagai bentuk yang tidak efisien seperti adanya

rekursif kiri dan pelebaran dan peninggian pohon penurunan string juga akan di

bahas.

5.2. Batasan Tata Bahasa Bebas Konteks

Telah disinggung pada Bab II bahwa tata bahasa bebas context (Context Free

Grammar, biasa disingkat dengan CFG memiliki batasan sebagai berikut :

Tata-bahasa Tipe 2 (Context -Free Grammar) G( ,N ,S , P) , adalah tata-

bahasa tipe-1 yang memiliki aturan produksi : dengan tambahan batasan :



Sehingga dengan demikian perbedaan dengan bahasa regular adalah pada string sisi

kanan tanda panah untuk bahasa regular harus satu terminal tunggal atau terminal

tunggal diikuti non terminal sedang untuk bahasa bebas konteks tidak dibatasi :

Contoh 5.1. :

Grammar dengan aturan :

Sa|aA

AbB

B

Adalah tata bahasa regular

Contoh 5.2. :

Grammar dengan aturan :


39

Sa|aA

AbB | AA

B

Adalah tata bahasa bebas konteks karena ada aturan produksi :

AAA

Contoh 5.3. :

Tentukan bahasa yang dibangkitkan oleh grammar pada contoh 5.2.

Jawab :

1. Anggota bahasa yang pertama adalah a, jika digunakan aturan : Sa

2. Jika aturan SaA, kemudian AbB dan B diperoleh :

SaAabBabab

3. Jika aturan SaA, kemudian AAA , AbB dan B diperoleh :

SaAaAAabBbBabbabb

Atau

SaAaAAabBAAabbBbBabbbabbb

Kesimpulan : Bahasa yang dibangkitkan adalah :

L(G)={a,ab,abb,abbb,abbbb,…}

5.3. Masalah Ambiguity Dalam CFG

Sebuah tata bahasa bebas konteks dkatakan mendua arti (ambiguous) apabila

dalam menurunkan string dapat ditempuh dua atau lebih pohon penurunan string.

Perhatikan suatu CFG berikut ini :

SAB

AaA|a

BbB|b

Suatu string aabbb dapat diturunkan melalui proses penurunan :

AABaABaaBaabBaabbBaabbb

Jika digambarkan dalam pohon penurunan diperoleh seperti gambar 5.1.

Dapat dicatat bahwa penurunan yang mungkin dapat ditulis adalah :

38


40

AABAbBAbbBAbbbaAbbbaabbb atau

AABaABaAbBaAbbBaabbBaabbb

Dan masih banyak kemungkinan yang lain.

S

A B

a A b B

a b B

b

Gambar 5.1

Akhirnya dapat dicatat bahwa untuk menghasilkan string aabbb ada banyak jalur

penurunan, akan tetapi semua jalur penurunan itu akan memiliki pohon penurunan

yang sama. CFG yang untuk penurunan suatu string hanya memiliki satu pohon

penurunan yang sama disebut CFG yang tidak mengandung ambiguity.

Sekarang perhatikan CFG berikut ini :

SSbS | ScS |a

Untuk menurunkan string abaca dapat dibuat penurunan :

SSbSabSabScSabacSabaca

Atau dapat juga

SScSSbScSSbacSSbacaabaca

Jika jalur penurunan yang pertama dibuat pohon penurunan diperoleh :

S

S b S

a S c S

b

a a

Gambar 5.2


41

Sedangkan untuk jalur penurunan yang kedua jika dibuat pohon penurunan :

SScSSbScSSbacSabacSabaca

S

S c S

S b S a

a a

Gambar 5.3

Jika dicermati gambar 5.2 dan gambar 5.3 menghasilkan string yang sama yaitu

:abaca, tetapi ternyata pohon penurunan yang dihasilkan adalah berbeda, untuk

menurunkan string yang sama. Hal ini terjadi karena pada gambar 5.2 S disebelah

kanan diturunkan rekursif baru ke terminal sedangkan pada gambar 5.3 S yang

sebelah kiri yang diturunkan rekursif baru ke terminal. Grammar seperti ini

dikatakan grammar yang memiliki sifat ambiguity.

Ambiguity dapat menjadi sebuah masalah untuk bahasa-bahasa tertentu jika

artinya tergantung pada struktur, seperti halnya pada bahasa alami (natural

language) atau bahasa pemrograman. Meskipun dalam bahasa natural ambiguity ini

tidak menjadi masalah apabila konteksnya diketahui.

Sebagai contoh kalimat :

“Ali melihat seorang laki-laki dengan sebuah teropong”

dapat berarti bahwa “Ali menggunakan alat teropong untuk melihat seorang laki-

laki” atau “Ali melihat seorang laki-laki dengan mata telanjang dan laki-laki yang

dilihat Ali tersebut sedang memegang teropong”

Contoh lain kalimat :

“Silahkan makan sama kambing!!”

dapat berarti “Silahkan makan dengan lauk daging kambing” atau dapat pula

“Silahkan makan bersama kambing yang juga sedang makan”. Jika konteksnya kita

sedang berada di restoran dan mempersilahkan makan tentunya arti yang pertama


42

yang mungkin, tetapi bila kita sedang berada di padang gembala menggembalakan

kambing bisa jadi arti yang kedua yang mungkin.

Dalam bahasa pemrograman BASIC dapat kita jumpai potongan statemen

yang mendua arti, misalnya :

X=5

Dalam konteks :

IF X=5 THEN … berarti membandingkan isi variabel X apakah sama

dengan 5 atau tidak, sedang dalam konteks :

LET X=5 berarti menugasi variabel X untuk menampung nilai data 5.

Dalam beberapa hal jika suatu tata bahasa bebas konteks memiliki ambiguity , tata

bahasa yang lain yang menghasilkan bahasa yang sama dapat dibuat, meskipun tidak

selalu dapat dibuat. Misalnya tata bahasa berikut :

SA|B

Aa

Ba

Tata bahasa yang lain yang tidak mendua arti adalah : Sa

Jika suatu tata bahasa bebas konteks yang mendua arti tidak dapat dicari

padanan tata bahasa lain yang tidak mendua arti maka tata bahasa tersebut disebut

sebagai “Inherently ambiguous context free grammar”

5.4. Penyederhanaan Tata Bahasa Bebas Konteks

Kadangkala dijumpai dalam sebuah tata bahasa bebas konteks terdapat beberapa

aturan produksi yang tidak berperan dalam penurunan string, atau aturan produksi

yang terlalu panjang sehingga pada pohon penurunan berakibat percabangan terlalu

lebar dan sulit dikendalikan. Perhatikan tata bahasa berikut :

SabcdefS | abcdef

akan melahirkan pohon penurun yang melebar kesebelah kanan.

Sedangkan tata bahasa berikut akan menghasilkan pohon yang tinggi dan sempit :

SA

AB

BC


43

CD

Da|A

Jika dicermati grammar yang terakhir ini terlihat bahwa sebenarnya aturan produksi

yang sangat panjang tersebut dapat disederhanakan menjadi hanya :

S a

dengan membuang SABCDA yang merupakan proses penurunan yang

“melingkar” dan dapat ditiadakan tanpa mengurangi bahasa yang dihasilkan oleh

tata bahasa tersebut.

Secara garis besar penyederhanaan tata bahasa bebas konteks dapat ditempuh

dengan :

1. Membuang aturan produksi yang tidak berguna

2. Menghilangkan produksi unit

3. Menghilangkan produksi epsilon ( )

5.4.1. Membuang aturan produksi yang tidak berguna

Aturan produksi yang secara umum dapat ditulis P={} adalah

sekumpulan aturan yang digunakan untuk pengubahan simbol S menjadi simbol

terminal untuk menyusun suatu string anggota suatu bahasa. Dengan demikian setiap

aturan produksi harus dapat terlibat dalam penyusunan suatu string terminal. Apabila

aturan produksi ternyata dapat dibuktikan tidak berfungsi atau gagal dalam

penurunan string menuju string terminal maka aturan produksi tersebut dapat

dibuang dari himpunan aturan produksi P.

Perhatikan grammar bebas konteks dengan aturan produksi berikut :

Contoh 5.4

G ={ SaSa | Aab | Baa | b

Aab|

B Baa }

Bahasa yang dibangkitkan oleh grammar G tersebut dapat dilacak dari :

Aturan penurunan : SaSaaaSaa aaaSaaa aa...aSa...a aa..aba..aa

Atau penurunan : S... aa...aSa...a aa..aAaba..aa aa...aababa..aa


44

Atau penurunan : S... aa...aSa...a aa..aAaba..aa aa...aaba..aa

Hasilnya adalah : L(G) ={a*ba*, a*ababa*, a*aba*}

Jika diperhatikan aturan produksi ABaa dan aturan BBaa dan dicoba diturunkan

suat string dari S menggunakan aturan tersebut:

SaSa aBaaa aBaaaaa aBaaaaaaa ...

Maka string yang dihasilkan tidak akan pernah sampai pada string terminal karena

tidak adanya aturan produksi Bterminal. Dengan demikian atruan produksi

tersebut adalah aturan produksi yang tidak berguna dalam grammar tersebut dan

oleh karenanya ia dapat dibuang. Jika aturan produksi yangh tidak berguna dibuang,

maka grammar menjadi lebih sederhana dengan bahasa yang tetap, yaitu :

G ={ SaSa | Aab | b

Aab| }

Perhatikan grammar bebas konteks dengan aturan produksi berikut :

Contoh 5.5

G ={ SAaB | ABab | Baa | b

Aab| aa | Ba |

B aa | b

C Cbb | aaD

D Ef }

Jika dicermati satu demi satua aturan tersebut, ada beberapa aturan yang tidak

berperan dalam penurunan string terminal atau gagal memproduksi string terminal.

Penurunan : SAaBabaB abab ,berhasil memproduksi string terminal

Penurunan : SABabbabbab , berhasil memproduksi string terminal

Terlihat bahwa aturan produksi yang melibatkan non terminal A dan non terminal B

dapat digunakan untuk memproduksi string terminal. Akan tetapi, aturan produksi

yang melibatkan C,D,E tidak akan dapat digunakan memproduksi string terminal,

karena tidak dapat dilacak mundur sedemikian sehingga ia merupakan aturan

produksi yang berasal dari S. Dengan demikian aturuan produksi tersebut dapat

dibuang, sebagai berikut :



45

Aab| aa | Ba |

B aa | b

C Cbb | aaD

D Ef }

Hasil penyederhanaan adalah :


Aab| aa | Ba |

B aa | b }

Jika diperhatikan contoh 5.4 dan 5.5 dapat disimpulkan bahwa aturan produksi

dinyatakan tidak berguna karena dua sebab, yaitu :

1. Aturan produksi tersebut dapat diturunkan dari S tetapi jika proses

penurunan dilanjutkan akan “buntu” dan tidak menghasilkan string terminal.

Contoh : aturan produksi SBaa dalam contoh 5.4

2. Aturan produksi tersebut mungkin dapat sampai kepada terminal tetapi ia

merupakan aturan produksi yang dapat dibuktikan tidak berangkat dari start

simbol S, sehingga keberadaannya tidak berperan dalam penurunan string

terminal. Contoh : aturan produksi C Cbb | aaD , D Ef dalam contoh

5.5.

Dengan demikian membuang aturan produksi yang tidak berguna adalah membuang

semua aturan produksi yang memiliki karakteristik tersebut diatas.

5.4.2. Menghilangkan produksi unit

Aturan produksi dikatakan sebagai aturan produksi unit jika ruas kiri dan ruas kanan

dalam aturan produksi tersebut berupa satu buah non terminal : AB, dengan A dan

B adalah non terminal. Aturan produksi unit dapat dihilangkan sehingga bentuk

grammar menjadi lebih sederhana. Perhatikan grammar dengan aturan produksi

sebagai berikut :

SA | Sa

AB

BC


46

CD | ef

Dd

Perhatikan penurunan string : S A B C D d

Penurunan tersebut dapat disederhanakan menjadi : S d

Sedangkan penurunan string : S A B C ef

Penurunan tersebut dapat disederhanakan menjadi : Sef

Dengan demikian grammar tersebut dapat disederhanakan menjadi :

S Sa | d | ef

Contoh 5.6

Sederhanakan grammar berikut dengan membuang aturan produksi unit.

S A | Aa

A B

B C | b

C D | ab

D b

Jawab :

Penyederhanaan dilakukan dengan memperhatikan aturan beberapa penurunan

string :

S A B b disederhanakan menjadi : S b

S A B C ab disederhanakan menjadi : S ab

S A B C D b disederhanakan menjadi : S b

Dengan demikian grammar dapat disederhanakan menjadi :

S Aa | b | ab

5.4.3. Menghilangkan produksi epsilon ( )

Produksi epsilon () adalah aturan produksi yang berbentuk :

Dalam semua aturan produksi yang ada dalam grammar, aturan produksi epsilon

dapat dihilangkan.


47

Perhatikan grammar berikut :

S bcAaa | a

A

Grammar tersebut jika aturan A disubstitusikan pada aturan pertama akan

dihasilkan suatu grmmar :

S bcaa | a

Perhatikan grammar berikut :

S bcAaa | a

Add |

Pada grammar terakhir ini nonterminal A tidak dapat dihilangkan sama sekali

karena ada dua kemungkinan penurunan dari A. Akan tetapi aturan produksi A

dapat dihilangkan dengan cara disubstitusikan pada aturan yang memuat A.

Jika A disubstitusikan menghasilkan : S bcaa

Dengan demikian hasil penyederhanaan adalah :

S bcAaa | a | bcaa

Add

Contoh 5.7:

Sederhanakan grammar berikut dengan menghilangkan produksi epsilon

S Aa | Ba | B

A Aa |

B aA | BB |

Jawab :

Karena produksi ada dua, yaitu A dan B maka dihilangkan satu-

persatu, yaitu menghilangakan aturan yangh melibatkan A dan kemudaian

yang melibatkan B

Substitusikan aturan A pada seluruh aturan yang melibatkan A

Untuk aturan yang melibatkan S Aa, jika disubstitusi A akan muncul

aturan S a. Sehingga aturan yang melibatkan S menjadi : S Aa | Ba | B | a

Untuk aturan yang melibatkan A Aa, menjadi : A Aa | a


48

Untuk atuan yang melibatkan B aA, menjadi : BaA | BB | | a

Setelah A dihilangkan Grammar menjadi sebagai berikut :

S Aa | Ba | B | a

A Aa | a

B aA | BB | | a

Selanjutnya substitusikan produksi epsilon B kedalam grammar yang

mengandung non-terminal B, menjadi :

S Aa | Ba | B | a |

A Aa | a

B aA | BB | a

Hasil akhir penyederhanaan grammar tidak mungkin dibebaskan sama sekali

dari produksi epsilon karena grammar tersebut merupakan grammar dari bahasa

yang mengandung epsilon. Dengan demikian hasil penyederhanaan akan

mengandung S


49

5. 5 Latihan

1. Tentukan bahasa-bahasa yang dibangkitkan dari CFG-CFG berikut:

a) SbSb ; S

b) SaSb ; S

c) SbSa ; S

d) SbSb | aSa ; S

2. Sederhanakanlah tata bahasa berikut dengan membuang produksi yang tidak

berguna:

a) G ={SAaB | Aaa| ABab | Baa | b

Aab| aa | Ba |

B Ba | Bbb

C Cbb | aaD

D Ef }

b) G ={SABC | ABab | Baa | b

AAab| aa | Ba |

B Caa | a

C Cbb | aaD }

3. Sederhanakan tata bahasa berikut dengan membuang produksi unit :

G ={SAC | ABab ; A B; BC ;

CabC | aa | }

4. Sederhanakan tata bahasa berikut dengan membuang produksi ε :

SbB | AA | aA

BaaB |

AbA |

5. Sederhanakan CFG berikut sesederhana mungkin :

SABCD| bB | aAA | aA

BaaB |

AbA | a

C cC | dD

D aaD | abcD

BAB VI. Bentuk Normal Chomsky dan Normal Greibach untuk CFG

50

BAB VI

BENTUK NORMAL CHOMSKY DAN NORMAL GREIBACH

UNTUK TATA BAHASA BEBAS KONTEKS


Setelah mempelajari bab ini diharapkan mahasiswa dapat mengenal bentuk-

bentuk tata bahasa bebas konteks yang umum dan bentuk yang normal berdasarkan

kriteria tertentu. Sebuah tata bahasa bebas konteks dapat berbentuk sangat melebar,

sangat menyempit, atau terjadi rekursif kiri, yang semuanya sering dinamakan

bentuk tidak normal. Ada dua bnetuk normal, yaitu normal Chomsky dan normal

Greibach. Pada bab ini akan dibahas juga upaya yang harus dilakukan jika kita

memiliki tata bahasa yang tidak normal, bagaimana merubahnya ke dalam bentuk

normal chomsky (CNF) dan normal greibach (GNF).

6.2 Bentuk Tata Bahasa Bebas Konteks Tidak Normal

Pada tata bahasa bebas konteks aturan produksi hanya dibatasi ruas kirinya

satu buah simbol non terminal, sedangkan sisi kanan tidak dibatasi. Dengan

demikian dapat terjadi dalam pohon penurunan terbentuk pohon dengan jumlah

ranting-ranting yang kompleks sehingga sulit dikontrol. Perhatikan tata bahasa

berikut ini :

S ABCa | AAB | a | b

A AAB | aa

B bB | bb |

C c

Misalkan akan diturunkan suatu string aaaaaaca dengan proses penurunan sebagai

berikut (substitusi ditandai pda simbol yang dicetak tebal) :

S ABCa AABBCa AABABBCa aaABABBCa aaaaBABBCa

aaaaABBCa aaaaaaBBCa aaaaaaCa aaaaaaca

Jika digambarkan pohon penurunan diperoleh pohon :


51

S

A B C a

A A B c

A A B a a

a a a a

Gambar 6.1.

Terlihat bahwa pohon penurunan merupakan pohon yang relatif kompleks. Hal ini

disebabkan aturan produksi mengandung ruas kanan yang tidak terkontrol (panjang

sisi kanan bebas). Jika suatu tata bahasa bebas konteks dapat dimodifikasi ruas

kanan aturan produksinya sedemikian sehingga panjangnya hanya satu atau dua,

tentu dapat dengan mudah dibayangkan bahwa pohon penurunan string yang

terbentuk akan menjadi lebih sederhana, yaitu POHON BINER dimana setiap

simpul hanya akan memiliki cabang satu atau dua. Tata bahasa dengan batasan

seperti ini disebut tata bahasa bebas konteks dalam bentuk NORMAL CHOMSKY

(Chomsky Normal Form =CNF).

6.3 Bentuk Normal Chomsky (CNF)

Definisi bentuk CNF:

Sebuah tata bahasa bebas konteks dikatakan dalam bentuk Normal Chomsky

apabila setiap aturan produksinya memenuhi satu diantara dua bentuk berikut :

1). A BC atau

2). A a

Dengan maksud bahwa A,B,C adlah non terminal simbol dan a adalah terminal

simbol.


52

Contoh 6.1

Ubahlah bentuk tata bahasa berikut menjadi bentuk normal chomsky.

S ABC | Aa

AAA | ab

B aB | a | b

C c

Jawab :

Dalam tata bahasa tersebut yang belum dalam bentuk normal chomsky adalah

aturan produksi :

S ABC , S Aa , A ab, B aB

Sedangkan yang sudah dalam bentuk normal chomsky adalah :

B a , B b dan C c

Aturan yang belum dalam bentuk normal chomsky diubah dengan cara mengusulkan

nonterminal yang baru, yaitu :

X1 yang diturunkan menjadi AB

Xa yang dapat diturunkan menjadi a

Xb yang dapat diturunkan menjadi b

Dengan demikian tata bahasa yang baru dalam bentuk normal chomsky adalah :

S X1C

X1 AB

S AXa

Xa a

A AA

A XaXb

B XaB


53

B a

C c

Pohon penurunan string ‘ababc’ dari tata bahasa semula adalah :

S

A B C

a a a B c

b

Gambar 6.2.

Jika menggunakan tata bahasa yang sudah dalam bentuk normal chomsky,

pohon penurunannya berupa pohon biner seperti gambar 6.3. Pohon biner memiliki

beberapa keuntungan, antara lain bahwa struktur pohon tersebut akan lebih mudah

dalam representasi pada memori komputer. Representasi pada memori komputer

dengan pohon yang memiliki struktur cabang yang tidak pasti akan sangat sulit

dibuat, yang pada gilirannya ini akan sangat berpengaruh dalam pemrograman

komputernya.

S

X1 C

A B c

Xa Xb Xa B

a b a b

Gambar 6.3.


54

6.4 Bentuk Normal Greibach (Greibach Normal Form=GNF)

Tiadanya batasan pada ruas kanan aturan produksi tata bahasa bebas konteks

memungkinkan diciptakannya tata bahasa bebas konteks berikut :

S abcd S |

Tata bahasa seperti ini apabila digunakan untuk menurunkan string maka proses

penurunan akan memiliki rekursif kiri. Pada beberapa keadaan rekursif kiri tidak

diinginkan, misalnya pada implementasi program dengan array yang hanya dapat

bergerak ke kanan, sehingga diupayakan untuk dihilangkan. Rekursif kiri ini dapat

dihindari bila pada aturan produksi simbol terkiri dari ruas kanan berbeda dengan

simbol ruas kiri. Bentuk tata bahasa yang bebas dari rekursif kiri dinamakan

memiliki bentuk NORMAL GREIBACH (Greibach Normal Form =GNF).

Definisi bentuk GNF :

Sebuah tata bahasa bebas konteks dikatakan berada dalam bentuk normal

greibach apabila semua aturan produksinya berbentuk :

A B

dengan A dan B adalah non terminal dan dapat berupa terminal atau non terminal.

Transformasi suatu tata bahasa bebas konteks ke bentuk GNF ditempuh

dengan mendefinisikan ulang aturan produksinya, sehingga jika terjadi simbol terkiri

ruas kanan sama dengan ruas kiri maka produksi tersebut harus dimodifikasi.

Misalkan dimiliki tata bahasa bebas konteks dengan aturan produksi :

AA1 | A2 | … | An adalah produksi rekursif kiri untuk A

A1 | 2 | … | m adalah produksi yang bukan rekursif kiri untuk A

Maka tata bahasa tersebut dapat diubah dengan mengusulkan non terminal baru Z

sehingga aturan produksi dapat diganti menjadi :

A1 | 2 | … | m | 1Z | 2Z | … | m Z

Z1 | 2 | … | n | 1 Z |2 Z | … | n Z


55

Contoh 6.2.

Ubahlah tata bahasa bebas konteks berikut menjadi berbentuk normal greibach.

SSa | Sb | cA

AAa | a |

Jawab :

Aturan produksi rekursif kiri untuk S : SSa | Sb dengan formula dapat

dianalogikan 1 = a dan 2=b

Aturan produksi non rekursif kiri untuk S : ScA dengan formula dianalogikan

1=cA

Penghilangan rekursif kiri dilakukan dengan mengusulkan Z1, menjadi :

S cA | cA Z1 dan

Z a | b | a Z1 | b Z1

Sehingga aturan produksi : SSa | Sb | cA diganti dengan

S cA | cA Z1 dan

Z a | b | a Z1 | b Z1

Selanjutnya rekursif kiri yang berhubungan dengan non terminal A adalah : A

Aa

Dan non rekursif yang berhubungan dengan A adalah : A a |

Untuk menghilangkan rekursif kiri diusulkan non terminal baru Z2, sehingga aturan

produksi : AAa | a | dapat diganti menjadi :

A a | | aZ2 | Z2

Z2 a | aZ2

Sehingga hasil perubahan ke bentuk normal greibach secara lengkap adalah :

S cA | cA Z1 dan

Z a | b | a Z1 | b Z1


56

A a | | aZ2 | Z2

Z2 a | aZ2

Contoh 7.3

Konversikan kebentuk normal greibach :

S Sab | SbbA | a | abc |

A Aaa | Aabc | b

Jawab :

Untuk non terminal S : 1=ab ; 2=bbA

1=a ; 2=abc ; 3=

Aturan produksi : S Sab | SbbA | a | abc | dengan diusulkan non terminal Z1

dapat dubah menjadi :

S a | abc | | a Z1 | abc Z1 | Z1

Z1ab | bbA ab Z1 | bbAZ1

Untuk non terminal A : 1=aa ; 2=abc

1=b

Aturan produksi : A Aaa | Aabc | b dengan diusulkan non terminal Z2 dapat

dubah menjadi :

A b | bZ2

Z2 aa | abc |aaZ2 |abcZ2

Hasil konversi tata bahasa dalam bentuk greibach adalah :

S a | abc | | a Z1 | abc Z1 | Z1

Z1ab | bbA ab Z1 | bbAZ1

A b | bZ2

Z2 aa | abc |aaZ2 |abcZ2

BAB VII. Push Down Automata (PDA)

58

BAB VII

PUSH DOWN AUTOMATA (PDA)


Setelah mempelajari bab ini diharapkan mahasiswa dapat memahami konsep

Push Down Automata (PDA) sebagai mesin pengenal bahasa bebas konteks.

Diharapkan mahasiswa mampu menguasai hubungan timbal balik antara ketiga hal,

yaitu Tata bahasa bebas konteks (CFG), bahasa bebas konteks (CFL) dan PDA

sebagai mesin pengenalnya, sehingga apabila diberikan salah satu dari ketiganya

maka dua yang lain dapat ditentukan.

7.2 Pengertian Push Down Automata (PDA)

Push Down Automata (PDA) adalah FSA dengan diberi kemampuan

tambahan STACK. PDA memiliki kemampuan yang lebih luas dari FSA dengan

tambahan kemampuan memori yang disebut STACK. PDA mampu mengenali

bahasa bebas konteks.

Perhatikan grammar regular berikut :

S aS | a

Grammar tersebut dapat dikenali oleh FSA berikut :

start

Apabila grammar diubah sedikit menjadi :

S aSa | c

Maka grammar tersebut sudah bukan merupakan grammar regular lagi tetapi

grammar bebas konteks yang tidak akan dapat ditentukan FSA yang mengenali

bahasa yang dibangkitkan oleh grammar tersebut. Grammar tersebut akan

membangkitkan bahasa { anca

n | n>=0 } yang bukan bahasa regular tetapi

merupakan bahasa bebas konteks.

S0 a

a

S1


59

Definisi PDA :

PDA adalah himpunan dari 7 tuple M={Q, ,, ,S,F,Z } dimana :

Q=himpunan state

= himpunan simbol masukan

= himpunan simbol elemen STACK

= fungsi transisi

S=state awal, S Q

F=himpunan state final

Z=simbol awal STACK

7.3 PDA Sebagai Pengenal Bahasa

PDA dapat menerima sederetan simbol dari suatu string. PDA dinamakan

menerima suatu bahasa apabila setiap string anggota bahasa tersebut diinputkan

kedalam PDA akan menyebabkan salah satu dari dua kemungkinan, yaitu :

1. PDA akan berada dalam keadaan STACK kosong

2. PDA berada dalam final state

PDA yang mengenali bahasa dengan STACK kosong disebut sebagai PDA null

stack, sedangkan yang mngenalai bahasa dengan keadaan final state disebut PDA

final state.

Gerakan PDA

Suatu PDA memiliki fungsi yang dituliskan sebagai :

(qi, i , i) = (qj, j) memiliki makna PDA dalam keadaan state qi dan elemen

STACK teratas i membaca salah satu simbul input i , setelah membaca simbol

PDA akan berubah menjadi kedudukan state qj dan STACK akan berubah (karena

operasi PUSH atau operasi POP) menjadi i .

Contoh :

Andaikan q1 adalah state dalam Q, a adalah simbul masukan, dan A,Z adalah simbol

stack, maka :


60

(q1, a , Z) = (q1, AZ) , berarti :PDA dalam state q1 dan elemen stack Z

(stack kosong) membaca simbol masukan a : PDA melakukan operasi PUSH elemen

stack A kedalam stack sehingga keadaan PDA menjadi : state q1 dan stack menjadi

AZ (elemen atas stack ditulis sebelah kiri dari elemen dibawahnya).

(q1, b , Z) = (q1, ) , berarti :PDA dalam state q1 dan elemen stack Z

membaca simbol masukan b : PDA melakukan operasi POP elemen Z dari dalam

STACK sehingga keadaan PDA menjadi : state q1 dan stack menjadi (kosong).

(q1, , Z) = (q2, Z) , berarti :PDA dalam state q1 dan elemen stack Z membaca

simbol (tidak menerima masukan) : PDA melakukan gerakan merubah state

menjadi q2, dan stack tetap seperti semula.

Contoh 7.1

Diketahui mesin PDA M={Q, ,, ,S,F,Z } dimana :

Q={q1,q2}

= {a,c}

= {A,Z}

F={q3}

S={q1}

:

(q1, a , Z) = (q1,AZ)

(q1, c , Z) = (q2,Z)

(q2, a , AZ) = (q2,Z)

(q2, , Z) = (q3,Z)

Apakah string aacaa dapat diterima oleh PDA tersebut ?

Jawab:

Andaikan PDA tersebut diberi masukan aacaa maka gerakan PDA dapat dilukiskan

sebagai :


61

Membaca a yang pertama : (q1, a , Z) = (q1,AZ) , karena state tetap dan push A ke

stack

Membaca a yang kedua : (q1, a , AZ) = (q1,AAZ) , karena state tetap dan push

A ke stack

Membaca c : (q1, c , Z) = (q2,AAZ), karena stack tetap dan pindah

state ke q2

Membaca a yang ketiga : (q2, a , AAZ) = (q2,AZ)

Membaca a yang keempat: (q2, a , AZ) = (q2,Z)

Simbul habis, membaca simbul kosong :

(q2, , Z) = (q3,Z)

q3 = final state, dengan demikian string aacaa dapat dikenali oleh PDA tersebut .

Selanjutnya PDA tersebut apabila diumpankan string dalam bentuk { anca

n | n>0 }

akan menghantar PDA pada final state, jelas bahwa PDA tersebut adalah pengenal

bagi bahasa { anca

n | n>0 } dari grammar yang telah dibicarakan diatas.

7.4 Deskripsi Sesaat (Instantoneus Discription) Gerakan PDA

Untuk menyajikan gerakan PDA yang menerima sederetan simbol dari suatu

sting masukan, diskripsi sesaat dapat diunakan sebagai ekspresi yang lebih singkat.

Misalnya untuk PDA dalam contoh 6.1. yang menerima string aacaa dapat dituiskan

diskripsi sesaat sebagai berikut :

(q1,aacaa,Z) |-- (q1,aacaa,AZ)

|-- (q1,aacaa,AAZ)

|-- (q2,aacaa,AAZ)

|-- (q2,aacaa,AZ)

|-- (q2,aacaa,Z)

|-- (q3,aacaa,Z) final state


62

Dalam diskripsi sesaat dengan cara diatas, setiap simbol yang akan dibaca diberi

tanda dengan garis bawah, perubahan state dan perubahan stack dicantumkan pada

gerakan berikutnya.

(q1,aacaa,Z) |-- (q1,acaa,AZ)

|-- (q1,caa,AAZ)

|-- (q2,aa,AAZ)

|-- (q2,a,AZ)

|-- (q2,,Z)

|-- (q3,,Z) final state

Contoh 7.2

Tentukan bahasa bebas konteks dan grammar bebas konteks yang dikenali oleh

PDA berikut ini :

M={Q, ,, ,S,F,Z } dimana :

Q={q1,q2}

= {a,b}

= {A,B,Z}

F=q2

S=q1

:

(q1, , Z) = (q2,Z)

(q1, a , Z) = (q1,AZ)

(q1, b , Z) = (q1,BZ)

(q1, a , A) = (q1,AA)

(q1, b , A) = (q1,)

(q1, a ,B) = (q1,)

(q1, b ,B) = (q1,BB)

Jawab :

PDA yang akan ditentukan mengenali bahasa apa dicoba diberi masukan string

abba. Deskripsi sesaat pembacaan string abba adalah sebagai berikut :


63

(q1,abba,Z) |-- (q1,bba,AZ)

|-- (q1,ba,Z)

|-- (q1,a,BZ)

|-- (q1,,Z)

|-- (q2,,Z) Final state

Dapat disimpulkan bahwa string ‘abba’ dapat dikenali oleh PDA tersebut. Sekarang

bagaimana menentukan bahasa yang dikenalaioleh PDA tersebut. Untuk dapat

menentukan bahasa dapat dicoba string lain yang memiliki pola yang sama,

misalnya bbaaaabb. Deskripsi sesaat adalah sebagai berikut :

(q1,bbaaaabb,Z) |-- (q1,baaaabb,BZ)

|-- (q1,aaaabb,BBZ)

|-- (q1,aaabb,BZ)

|-- (q1,aabb,Z)

|-- (q1,abb,AZ)

|-- (q1,bb,AAZ)

|-- (q1,b,AZ)

|-- (q1,,Z)

|-- (q2,,Z) Final state

Ternyata string ‘bbaaaabb’ dapat dikenali oleh PDA tersebut. Kesimpulan apa yang

dapat ditarik?. Jika dicermati PDA tersebut memiliki perilaku sebagai berikut :

Pada state q1 :

- Jika top stack Z membaca a maka push A ke dalam stack

- Jika top stack A membaca a maka push A ke dalam stack

- Jika top stack B membaca a maka POP A dari dalam stack

- Jika top stack Z membaca b maka push B ke dalam stack

- Jika top stack A membaca b maka POP A dari dalam stack

- Jika top stack B membaca b maka POP B dari dalam stack

Pada state q2 :

- Jika top stack Z membaca maka state berubah ke q2 (final state)


64

Dapat disimpulkan bahwa sederetan a dibaca maka sederatan A akan di PUSH, dan

deretan A tersebut akan di POP dari stack apabila membaca sederetan b. Dan

sebaliknya jika sederetan b dibaca maka sederatan B akan di PUSH ke dalam stack

dan akan di POP apabila deretan a dibaca. Sehingga bila dimiliki string dimana

jumlah a dan jumlah b adalah sama maka dapat dipastikan string tersebut dapat

dikenalai oleh PDA tersebut. String-string tersebut misalnya :aabb, abab, aaabbb,

ababab, bbbaaa dan lain-lain.

Dapat disimpulkan bahasa yang dikenali dirumuskan menjadi :

L = {deretan a atau b dengan jumlah 0 atau lebih dengan syarat jumlah simbol a dan

simbol b dalam string adalah sama }

Adapun tata bahasa yang membangkitkan bahasa tersebut adalah :

S aSb | bSa |

Contoh 7.3

Tentukan tata bahasa bebas konteks (CFG) dari bahasa bebas konteks

L={anb

n | n > 0} dan tentukan pula PDA yang mengenalinya.

Jawab :

Bahasa tersebut adalah : ε, ab, aabb, aaabbb dan seterusnya. Dengan kata lain bahasa

tersebut adalah a diikuti b dengan jumlah nol atau lebih dengan syarat banyaknya a

dan b harus sama.

Tata bahasa yang mengenali bahasa tersebut adalah :

S aSb | ε

Untuk merancang PDA yang mengenali bahasa dengan karaktersitik tersebut yang

harus diingat adalah PDA harus dapat mengingat berapa a yang telah dibaca dan

apabila sejumlah a telah dibaca maka jika PDA membaca b statusnya harus diubah

dan ketika membaca b maka harus dapat dipastikan banyaknya b yang dibaca sama

banyak dengan banyaknya a yang sudah dibaca. Caranya adalah ketika membaca a,


65

kita PUSH A kedalam STACK dan ketika membaca b kita POP A dari dalam

STACK. Jika jumlah a dan b sama maka stcak akan kembali seperti semula.

Mesin tersebut adalah :


Q={q1,q2, q3}

= {a,b}

= {A,B,Z}

F=q3

S=q1

:

(q1, , Z) = (q3, Z)

(q1, a , Z) = (q1, AZ)

(q1, a , A) = (q1, AA)

(q1, b , A) = (q2, A)

(q2, b , A) = (q2, )

(q2, , ) = (q3, )


66

7.5 Latihan

1. Jika dimiliki CFG sebagai berikut :

S aSbb | c

Tentukanlah bahasa yang dibangkitkan oleh CFG tersebut dan rancanglah PDA

yang dapat mengenali bahasa tersebut.

2. Jika dimiliki bahasa : xcxr dengan x adalah string terdiri dari a dan atau b dan

notasi xr menggambarkan urutan terbalik dari x, misalnya jika x=’aab’ maka x

r

=’baa’, dan jika x=’bbaaa’, maka xr=’aaabb’

Tentukanlah CFG yang dapat mengenali bahasa tersebut dan tentukan pula PDA

yang mengenalinya.

3. Tentukanlah bahasa dan tata bahasa yang dikenali oleh PDA berikut ini :


Q={q1,q2, q3}

= {a,b}

= {A,B,Z}

F=q3

S=q1

:

(q1, , Z) = (q3, Z)

(q1, a , Z) = (q1, AAZ)

(q1, a , A) = (q1, AAA)

(q1, b , A) = (q2, A)

(q2, b , A) = (q2, )

(q2, , ) = (q3, )

4. Tentukanlah bahasa dan PDA yang mengenalinya jika berikut ini diberikan

CFG:

S aaSb | c

BAB VIII. Mesin Turing

67

BAB VIII

MESIN TURING


Setelah mempelajari bab ini diharapkan mahasiswa mampu menguasai

konsep mesin turing sebagai mesin abstrak yang mampu mengenali bahasa yang

lebih luas dari bahasa regular dan bebas konteks. Akan dibahas definisi mesin

turing, pemodelan, cara kerja, gerakan dan deskripsi gerakan mesin turing.

Pemahaman cara kerja mesin turing dan penarapannya dalam pengenalan suatu

bahasa akan sangat menentukan kemampuan merancang suatu abstraksi otomata

pada jenis bahasa yang lebih luas daripada yang dapat dikenali oleh PDA dan FSA.

8.2 Keterbatasan FSA dan PDA

Tidak semua jenis bahasa dapat dikenali oleh FSA atau PDA. Sebagaimana

telah diuraikan di pembahasan sebelumnya bahwa kelemahan FSA adalah bahwa ia

tidak mampu ‘mengingat’ simbol-simbol yang pernah dibaca. Kelemahan FSA

inilah yang kemudian diatasi oleh PDA. Tetapi ternyata PDA juga memiliki

kelemahan, yaitu meskipun PDA dapat mengingat simbol yang dibaca dengan stack,

tetapi simbol stack hanya dapat diases dari satu arah, yaitu hanya simbol-simbol

teratas.

Mesin Turing dirancang mengatasi kelemahan FSA dan PDA, yaitu dengan

merepresentasikan logika kerja mesin tidak menggunakan stack sebagaimana

representasi dalam PDA, tetapi menggunakan representasi pita yang dapat dibaca

dan ditulisi. Mesin turing diwakili oleh sebuah pita panjang takterhingga. Pada pita

dapat ditulis/ dibacakan sebuah simbol. Setelah pita ditulisi maka simbol pada pita

kemudian akan berubah menjadi simbol yang baru saja dituliskan.

8.3 Definisi Mesin Turing :

Mesin turing didefinisikan sebagai 7 tuple M={ Q, ,, S,F,b, }

Q=himpunan state

= himpunan simbol masukan

= himpunan simbol pita yang ditulis atau dibaca ke dalam pita


68

S =state awal, S Q

F =himpunan state final

b =simbol blank pada pita

= fungsi transisi : Q X Q X X {R,L}

R = posisi baca/tulis bergerak kekanan (RIGHT)

L = posisi baca/tulis bergerak kekiri (LEFT)

Gerakan Mesin Turing

Gerakan mesin turing diwakili oleh fungsi transisi :

(qi,a)=(qj,b,X) : Mesin kedudukan qi membaca simbol masukan a, gerakan : mesin

berubah ke status qj, menulis b dan posisi baca /tulis bergerak X (berupa R=gerak

kekanan atau L=gerak kekiri).

Contoh gerakan mesin

Untuk gerakan fungsi transisi (q1,a)=(q3,b,R) artinya:

a b b

Posisi baca/tulis kedudukan : q1

Gambar 8.1 Posisi mesin awal sebelum membaca a

Setelah membaca simbol a, kedudukan mesin = q3, menulis b dan bergerak kekanan.

Hasil sebagai berikut :

b b b

Posisi baca/tulis kedudukan baru : q3

Gambar 8.2 Posisi mesin setelah membaca simbol a

Contoh 8.1

Dimiliki mesin turing dengan definisi M={ Q, ,, S,F,b, }

Q={q1,q2}


69

= {a,b}

= {a,b, b }

S={ q1}

F={ q2}

: (q1,a)= (q1,a,R)

(q1,b)= (q1,a,R)

(q1, b)= (q2, b ,L)

Pada state awal q1, bila mesin membaca a, maka ia tetap di q1, kemudian

menulis a dan gerak kekanan.

Bila membaca b tetap q1 , menulis a dan bergerak kekanan.

Jika membaca blank kedudukan jadi q2 dan bergerak ke kiri.

Dengan demikian apabila diberikan umpan deretan string yang terdiri dari

deretan a dan b maka hasil adalah sederatan a dan kedudukan akhir adalah q2 yang

merupakan kedudukan final.

Berikut ini gerakan mesin tersebut apabila diberi masukan string : abbba

a b b b a a b b b a a a b b a

q1 q1 q1

a A a b a a a a a a a a a a a b

q1 q1 q1

a a a a a b

q2 (final)

Gambar 8.3 Gerakan mesin ketika membaca abbba


70

Dapat dinyatakan bahwa mesin turing tersebut apabila diumpankan sederetan simbol

a dan atau simbol b dengan jumlah 0 atau lebih akan mengantar pada kedudukan

final q2. Dengan kata lain mesin turing tersebut dapat mengenali bahasa (a,b)*.

8.4 Deskripsi Sesaat untuk gerakan Mesin Turing

Gerakan mesin tergantung pada kedudukan awal, simbol yang dibaca, simbol

yang ditulis dan gerakan posisi tulis/baca maka diskripsi sesaat dapat diekspresikan

dengan menggunakan simbol sebagai berikut :

(q1,abbba) : mesin pada kedudukan q1 dan siap membaca simbol a (digaris bawah)

Deskripsi sesaat mesin turing contoh 8.1. membaca: ‘abbba’ :

(q1,abbba)

|-- (q1,abbba)

|-- (q1,aabba)

|-- (q1,aaaba)

|-- (q1,aaaaa)

|-- (q1,aaaaab )

|-- (q2,aaaaa b) Final state

Deskripsi sesaat dapat juga dengan cara pemisahan string yang telah dibaca dan

yang belum dibaca dengan ekspresi :

qiw |-- w1qjw2

qi : kedudukan saat ini dan w = string yang akan dibaca, qj = kedudukan baru

setelah membaca simbol dan w1= substring yang telah dibaca dan w2 = substring

yang belum dibaca.

Pembacaan string ‘abbba’ dapat dituliskan deskripsi sesaat:

q1abbba

|-- aq1bbba

|-- aaq1bba

|-- aaaq1ba

|-- aaaaq1a


71

|-- aaaaaq1b

|-- aaaaaq2 (final state)

8.5 Mesin Turing Sebagai Pengenal Bahasa

Apabila M={ Q, ,, S,F,b, } adalah suatu mesin turing, maka bahasa yang

dikenali oleh mesin turing tersebut dapat diungkapkan sebagai himpunan dengan

sarat sebagai berikut :

L(M)={w* | q1w |-- w1pw2 dengan pF dan wi *}

Ungkapan tersebut mengandung makna bahwa mesin turing M dikatakan dapat

mengenali bhasa L, atau L fungsi dari M, yaitu L(M) : himpunan string dalam

bahasa L berisi string-string w sedemikian sehingga jika mesin turing semula dalam

kedudukan q1 setelah membaca w dan mengikuti gerakan yang ditentukan mesin M

tersebut maka ia akan mengantar mesin M ke kedudukan p, dengan p adalah

kedudukan final dalam mesin M.

Contoh

Tentukan bahasa yang dikenali oleh mesin turing berikut :

Mesin Turing dengan Q={q1,q2}, S={q1}, F={q2} dan berikut :

(q1,a)=(q1,a,R)

(q1, b) =(q2, b,R)

Jawab : uji dengan pemasukan :

b hasil q2

a hasil q2

aa hasil q2

aaa hasil q2

Kesimpulan :

Mesin tersebut menerima : b,a,aa,aaa,... atau {a*}

Contoh 8.2

Bahasa seperti apakah yang dikenali oleh mesin turing berikut ini :


72

M={ Q, ,, S,F,b, }

Q={q1,q2,q3,q4,q5}

= {a,b}

= {a,b,c,d, b }

S={q1}

F={q5}

:

(q1,a)= (q2,c,R)

(q2,a)= (q2,a,R)

(q2,d)= (q2,d,R)

(q2,b)= (q3,d,L)

(q3,d)= (q3,d,L)

(q3,a)= (q3,a,L)

(q3,c)= (q1,c,R)

(q1,d)= (q4,d,R)

(q4,d)= (q4,d,R)

(q4,b)= (q5, b ,L)

Jawab :

mesin tersebut mengenali bahasa : { an

bn | n>=1 }.

Untuk mendemonstrasikan gerakan mesin turing saat membaca string dari

bahasa tersebut dapat diujikan dengan disuruh membaca string :’aaabbb’. Gerakan

mesin dapat diikuti dari deskripsi sesaat sebagai berikut :

(q1,aaabbb )

|-- (q2,caabbb)

|-- (q2,caabbb)

|-- (q2,caabbb)

|-- (q2,caabbb)

|-- (q3,caadbb)

|-- (q3, caadbb)

|-- (q3, caadbb)

|-- (q3, caadbb)

|-- (q1, caadbb)

|-- (q2, ccadbb)

|-- (q2, ccadbb)

|-- (q2, ccadbb)

|-- (q2, ccadbb)

|-- (q2, ccadbb)

|-- (q3, ccaddb)

|-- (q3, ccaddb)

|-- (q3, ccaddb)

|-- (q1, ccaddb)

|-- (q2, cccddb)

|-- (q2, cccddb)

|-- (q2, cccddb)

|-- (q3, cccddd)

|-- (q3, cccddd)

|-- (q3, cccddd)

|-- (q3, cccddd)

|-- (q1, cccddd)

|-- (q1, cccddd)

|-- (q1, cccddd)

|-- (q1, cccdddb)

|-- (q5, cccdddb)

=FINAL STATE


73

8.5 Loop yang Terus Menerus pada Mesin Turing

Jika diperhatikan bahwa suatu mesin turing dapat memiliki transisi yang mengatur

perilaku mesin sehingga dapat bergerak ke-kanan atau ke kiri, maka dimungkinkan

ada suatu mesin yang aturan transisinya justru menyebabkan gerakan tersebut

berulang terus menerus tidak dapat berhenti. Perhatikan mesin turing berikut :

M={ Q, ,, S,F,b, }

Q={q1,q2,q3}

= {a,b}

= {a,b, b }

S={q1}

F={q3}

: (q1,a)= (q2,a,R)

(q1,b)= (q2,b,R)

(q1,b)= (q3, b,R)

(q2,a)= (q1,a,L)

(q2,b)= (q1,b,L)

(q2,b)= (q3, b,L)

Jika dicoba diinputkan string : ‘aaaa’ maka gerakan mesin adalah :

(q1,aaaa)

|-- (q2,aaaa)

|-- (q1,aaaa)

|-- (q2,aaaa)

|-- (q1,aaaa)

|-- ....

mesin akan terus bergerak kekanan dan kekiri sepanjang state q1 dan q2 dan tidak

pernah sampai pada state final q3.

Jika dicoba diinputkan string : ‘bbaa’ maka gerakanmesin adalah :

(q1,bbaa)

|-- (q2,bbaa)


74

|-- (q1,bbaa)

|-- (q2,bbaa)

|-- (q1,bbaa)

|-- ....

Ternyata untuk masukan ini juga mesin turing bergerak terus tidak ada

akhirnya. Kalau dicermati dalam definisi gerakan di atas dapat disimpulkan bahwa

jika mesin turing diberi string ‘aa’, ‘bb’,’ba’ dan ‘ab’ mesin terus bergerak “bolak-

balik” dari karakter pertama ke karakter kedua ketika membaca string. Hal ini

menyebabkan string apapun yang diberikan akan menyebabkan gerakan “bolak-

balik” itu selalu terjadi, sehingga mesin turing tidak akan pernah mencapai

kedudukan final.

Tentunya sebagai pengenal bahasa definisi mesin turing seperti tersebut di

atas perlu dihindari. Sehingga dalam mendifinisikan suatu mesin turing harus ada

jaminan dalam definisi gerakan mesin turing bahwa tidak ada definisi fungsi gerakan

mesin yang jika diberikan umpan string menyebabkan mesin bergerak secara “loop”,

berputar tidak pernah sampai kedudukan final.


75

8.6 Latihan

1. Modifikasikan mesin turing pada contoh 8.2 yang mengenali bahasa { an

bn |

n>=1 } menjadi menali bahasa { an

bn | n>=0 }

2. Konstruksikan mesin turing yang mengenali bahasa { a* }

3. Konstruksikan mesin turing yang mengenali bahasa a*b*

4. Konstruksikan mesin turing yang mengenali bahasa aabb*

5. Bahasa apakah yang dikenali mesin turing berikut ini :

M={ Q, ,, S,F,b, } Q={q1,q2} = {a,b}

= {a, b } S={q1} F={q2}

: (q1,a)= (q1,a,R)

(q1,b)= (q1,b,R)

(q1, b)= (q2, b ,L)


M={ Q, ,, S,F,b, } Q={q1,q2 , q2} = {a,b}

= {a, b } S={q1} F={q3}

: (q1,a)= (q2,a,R)

(q2,b)= (q2,b,R)

(q2, b)= (q3, b ,L)


M={ Q, ,, S,F,b, } Q={q1,q2 , q2} = {a,b}

= {a, b } S={q1} F={q3}

: (q1,a)= (q2,a,R)

(q2,b)= (q2,b,R)

(q2, b)= (q3, b ,L)

8. Tentukan mesin turing yang mengenali bahasa (abc)*

Daftar Pustaka

76

DAFTAR PUSTAKA

Hopcroft , J.E., Motwani,R., and Ullma J.D., 2007, Teori Bahasa dan Otomata,

Penerbit Andi, Yogyakarta.

Keley, Dean, 1998, “Otomata dan Bahasa-Bahasa Formal”, Terjemahan,

Prenhalindo, Jakarta.

Utdirartatmo, Firrar, 2001, “Teori Bahasa dan Ototamata”, JJ-Learning,

Yogyakarta.

Lampiran

77

LAMPIRAN: JAWABAN LATIHAN NOMOR TERPILIH

BAB I

1. -

2. Perbedaan prinsip bahasa natural dan bahasa formal adalah dalam bahasa natural

aturan-aturan tata bahasa lebih kompleks dan lebih luwes, sedangkan dalam

bahasa formal lebih sempit dan kaku. Dalam bahasa natural banyak terjadi

ambiguity sedangkan dalam bahasa formal ambiguity sangat sedikit, dan

kosakata serta simbul yang digunakan cenderung sangat besar sedangkan dalam

bahasa formal kata kunci dan simbol terbatas.

3. Penurunan string dalam bahasa natural adalah penurunan kalimat berdasarkan

kaidah tata bahasa yang tersedia, misalnya dalam bahasa indonesia

kalimat/string :”saya lari” adalah kalimat yang diturunkan dari kaidah bahasa

Indonesia KALIMAT=SUBJEK + PREDIKAT, sedangkan kalimat /string :”saya

makan nasi” adalah diturunkan dari kaidah KALIMAT = SUBJEK +

PREDIKAT + OBJEK. Penurunan string dalam bahasa formal adalah membuat

string berdarakan kaidah produksi yang tersedia sehingga string yang terjadi

adalah sah berdasarkan aturan produksi yang ada

4. –

5. –

BAB II

1. Pencarian bahasa dilakukan dengan mencoba seluruh kemungkinan penurunan

string, yaitu :

Penurunan 1 : S Aa aaa

Penurunan 2 : S AB aaB aabB aabbB aabbbB ... aa...b

Hasil bahasa L = penurunan 1 penurunan 2 = {aaa, aab*}

2. –

3. Penentuan tipe tata bahasa dan bahasa berdasarkan karakteristik aturan produksi.

Aturan yang ada adalah : SABC, ABB, B Bab, B , Caa , A

Aturan S ABC, ABB, B Bab sisi ruas kanan simbol “” tidak

memenuhi syarat tata bahasa tipe-3 (regular), yaitu harus berbentuk : a, aB atau

Lampiran

78

, sehingga hanya tata bahasa tersebut memenuhi tipe-2: sebelah kiri simbol “”

dari seluruh aturanproduksinya adalah satu Non terminal. Kesimpulan : tata

bahas tersebut adalah tipe-2 (tata bahasa bebas konteks).

4. –

5. Tata bahasa :{ SABC, AaA, A, BbB, B, CcC, C }

Dari aturan produksi S ABC, maka karena setiap A hanya dapat diturunkan

ke aA atau , B hanya dapat diturunkan ke bB atau , C hanya dapat diturunkan

ke cC atau , yang berarti cacah a,b atau c yang diturunkan sebagai produk akhir

penurunan adalah sembarang dengan nilai minimal nol. Dengan demikian bahasa

yang dihasilkan dari tata bahasa tersebut adalah : L = { a* b* c* }. Perbedaan

bahasa yang dibangkitkan dengan no 4 adalah tidak ada, karena no.4 juga

menghasilkan bahasa a*b*c*. Perbedaan hanya diungkapan tata bahasanya.

6. –

7. Tata-bahasa tata-bahasa tersebut adalah :

a) L = { 1*0* } tata bahasanya adalah :

P = {S AB; A1A|; B0B | }

b) L = { 10* } tata bahasanya adalah :

P = { S1A; A0A | }

c) L= {1*0} tata bahasanya adalah :

P = { S1S|A; A0 }

d) L = (1,0)* tata bahasanya :

P = { S1S | 0S | }

8. –

BAB III

1. Notasi regularnya adalah :

a) a*a

b) -

c) (a,b)*a

Lampiran

79

d) –

2. Kalimat ungkapannya adalah :

a) a atau b

b) -

c) a diikuti b sebanyak minimal nol

d) -

e) a sebanyak minimal nol atau b

f) -

g) a sebanyak minimal nol diikuti b minimal nol buah

h) –

3. Bahasa yang dihasilkan adalah :

a) a*

b) -

c) a*b*b

d) -

e) a*b*

4. Bahasa yang dihasilkan adalah :

a) aa*bb*cc*

b) -

c) abcc*

d) -

BAB IV

1. Bahasa yang dikenali FSA tersebut adalah L={01,10*1}

2. -

3. FSA yang mengenali dan tata bahasa yang membangkitkan bahasa

a) 1*0*

Lampiran

80

FSA :

1 0

start

Tata bahasa nya adalah :

S 1S | 0A | ε ; A 0A | ε

b) -

c) 1*0*11

FSA adalah :

1 0

start

1

Tata bahasanya adalah :

S 1S | 0A; A 0A | 1S | ε

d) –

4. - FSA yang mengenali dan tata bahasa yang membangkitkan bahasa

5. Tata bahasa :

S aA

AaA | bB

BbB | b

Bahasanya adalah : L = { aa*bbb* }

FSA yang mengenali adalah :

a b

start

S0 S1 0

S0 S1 0

S0 S1 a

S2 S3 b

b

Lampiran

81

BAB V

1. Bahasa yang dibangkitkan adalah :

a) L = { (bb)n | n > 0 }

b) -

c) L = { bna

n | n > 0 }

d) -

2. -

3. Tata bahasa berikut :

G ={SAC | ABab ; A B; BC ;

CabC | aa | }

Produksi unit yang melibatkan A yang dapat di buang adalah : A B dan B C

diganti menjadi A C dan selanjutnya karena C abC | aa | ε maka dapat

diganti menjadi A abA | aa | ε

Produksi unit yang melibatkan B hanya dapat diturunkan menjadi B C, dan

selanjutnya karena C abC | aa | ε maka dapat diganti menjadi B abB | aa | ε

Dengan demikian CFG tersebut dapat disederhanakan menjadi :

G ={SAC | ABab ;

A abA | aa | ε ;

B abB | aa | ε;

C abC | aa | }

4. -

5. Penyederhanaan CFG :

SABCD| bB | aAA | aA

BaaB |

AbA | a

C cC | dD

D aaD | abcD

Jika diperhatikan aturan produksi yang melibatkan non terminal C tidak dapat

sampai sting final. Demikian juga aturan produksi yang melibatkan non terminal

D juga tidak dapat sampai ke string final. Dengan demikian kita harus

menghilangkan produksi yang melibatkan C dan D, hasilnya CFG menjadi :

Lampiran

82

S bB | aAA | aA

BaaB |

AbA | a

CFG masih mengandung produksi , yaitu B . Dapat disederhanakan

dengan menghilangkan produksi tersebut dengan mensubstitusi produksi

yang melibatkan B, yaitu :

S bB dan B aaB, jika disubstitusi dengan produjksi B , menjadi :

S b dan B aa

Dengan demikian produksi dapat dihilangkan dan CFG menjadi :

S bB | aAA | aA | b

BaaB | aa

AbA | a

BAB VI

1. a). --

b). Tata bahasa CFG :

S aSA| aBB | Aa

AaA | aa

B aBB | aB | bB

C c

Jika dicermati tata bahasa tersebut akan terlihat bahwa non terminal yang

melibatkan B tidak dapat menghasilkan string final dan non terminal yang

melibatkan C tidak dapat dilacak dari S. Oleh karena itu penyederhanaan

dimulai dengan membuang produksi yang mengandung B dan C karena tidak

berguna untuk penurunan string final. Tata bahasa menjadi :

S aSA| Aa

AaA | aa

Lampiran

84

BAB VII

1. –

2. CFG mengenali xxr dengan x string terdiri dari a dan b

S aSa | bSb | c

PDA yang mengenali dirancang sedemikian sehingga pada kedudukan q1, jika ia

membaca a maka mempush A ke stack, jika membaca b ia mempush B ke dalam

stack. Jika PDA membaca c maka status diubah menjadi q2. Pada kedudukan q2

jika ia membaca a maka PDA melakukan POP A dari stack dan jika ia membca

b maka PDA melakukan POP B dari stack. Dengan demikian ketika jumlah a

dan b yang dibaca telah seimbang dengan yang pernah dibaca sebelum membaca

c maka string tepat akan membaca kebalikan dari a dan b yang pernah debaca

dengan mempush A dan B. Secara formal dapat dirumuskan PDA sebagai

berikut :


Q={q1,q2, q3}

= {a,b}

= {A,B,Z}

F=q3

S=q1

(q1, c , Z) = (q3, Z)

(q1, c , A) = (q2, Z)

(q1, c , B) = (q2, Z)

(q1, a , Z) = (q1, AZ)

(q1, a , A) = (q1, AA)

(q1, a , B) = (q1, AB)

(q1, b , Z) = (q1, BZ)

(q1, b , A) = (q1, BA)

(q1, b , B) = (q1, BB)

(q2, b , B) = (q2, )

(q2, a , A) = (q2, )

(q2, , ) = (q3, )

Lampiran

85

3. –

4. Bahasa yang dihasilkan oleh Tata bahasa CFG :

S aaSb | c

Adalah : L = { (aa)ncb

n | n >1 }

PDA yang mengenali dirancang untuk mem-push A ke dalam stack jika ia

membaca a dalam posisi state 1, berpindah ke state 2 jika ia membaca c dan

mem-pop AA dari stack setiap membaca b pada state 2 dan berpindah state ke

state 3 jika ia membaca c, baik dari state 1 maupun state 2. PDA tersebut dapat

dituliskan sebagai berikut :


Q={q1,q2, q3}

= {a,b}

= {A,B,Z}

F=q3

S=q1

:

(q1, c , Z) = (q3, Z)

(q2, c , Z) = (q3, Z)

(q1, a , Z) = (q1, AZ)

(q1, a , A) = (q1, AA)

(q1, c , A) = (q2, A)

(q2, b , AA) = (q2, )

(q2, , ) = (q3, )

BAB VIII

1. –

2. Mesin turing pengenal a*

M={ Q, ,, S,F,b, }

Q={q1,q2}

= {a,b}

Lampiran

86

= {a, b }

S={q1}

F={q2}

:

(q1,a)= (q1,a,R)

(q1, b)= (q2, b ,L)

3. –

4. Mesin turing pengenal aabb*

M={ Q, ,, S,F,b, }

Q={ q1, q2, q3, q4, q5}

= {a,b}

= {a, b }

S={q1}

F={q5}

(q1,a)= (q2,a,R)

(q2,a)= (q3,a,R)

(q3,b)= (q4,b,R)

(q4,b)= (q4,b,R)

(q4, b)= (q5, b ,L)

5. –

6. Bahasa yang dikenali : L = {ab* }

7. –

8. Mesin turing sebagai berikut mengenali (abc)*

M={ Q, ,, S,F,b, }

Q={ q1, q2, q3, q4, }

= {a,b}

= {a, b }

S={q1}

F={q4}

: (q1,a)= (q2,a,R)

(q1, b )= (q4, b ,L)

(q2,b)= (q3,b,R)

(q3,c)= (q1,c,R)

(q3, b )= (q4, b ,L)

TTEEOORRII BBAAHHAASSAA DDAANN OOTTOOMMAATTAADiharapkan setelah mempelajari bab ini mahasiswa akan...

Documents

Transcript of TTEEOORRII BBAAHHAASSAA DDAANN OOTTOOMMAATTAADiharapkan setelah mempelajari bab ini mahasiswa akan...