Trik Pembuktian

7/22/2019 Trik Pembuktian

1/9

Smart Mathematics 2012

1

Sifat-sifat dasar Gelanggang dan Lapangan

1. Buktikan bahwa himpunan bilangan bulat tidak memiliki balikan pada operasi perkalian!Bukti dengan Kontradiksi:

Andaikan himpunan bilangan bulat memiliki balikan pada operasi perkalian. Artinya,

Pilih , maka:

ontradiksi dengan pernyataan bahwa .Jadi haruslah himpunan bilangan bulat tidak memiliki balikan pada operasi perkalian

2. Buktikan bahwa { }dimana bukan bilangan prima, makabukanlapangan!

Jawab:

Misal bukan bilangan prima, maka sehingga Artinya sehingga Untuk menunjukkan bahwa pada kasus di atas bukan lapangan, cukup denganmenunjukan bahwa tidak memiliki balikan pada operasi perkalianDengan Kontradiksi:

Andaikan memiliki balikan pada operasi perkalian, maka , sehingga . sifat pada persamaan sifat unsur dan sifat assosiatif perkalian sifat balikan pada operasi perkalian

sifat unsur

di

kontradiksi dengan pada persamaan Jadi haruslah tidak memiliki balikan pada operasi perkalia.Jadi karena ada yang tidak memiliki balikan pada operasi perkalian, maka { }dimana bukan bilangan prima, makabukan lapangan


2/9


2

3. Buktikan bahwa setiap lapangan merupakan Daerah Integral.Bukti:

Misal Daerah Integral, maka dengan dan maka . Artinya tidak memuat pembagi nol.Dengan Kontradiksi:

Andaikan memuat pembagi nol. Artinya dengan dan yangmemenuhi . Maka; sifat setiap unsur tak nol di laspangan sifat Assosiatif pada opersai perkalian dan sifat unsur

sifat unsur balikan pada opersai perkalian di

sifat unsur kontradiksi dengan yang diketahui bahwa .Jadi, haruslah tidak memuat pembagi nol. Artinya adalah Daerah Integral

4. Buktikan bahwa . Jika , maka untuk suatu Bukti:

() () sifat setiap unsur tak nol di () sifat setiap unsur balikan pada operasi penjumlahan di () sifat Assosiatif perkalian di ( ) sifat Distributif di Karena dan bukan pembagi nol maka haruslah: sifat setiap unsur tak nol di

sifat balikan pada operasi penjumlahan di

sifat unsur di Jadi, . Jika , maka


3/9


3

5. Jika lapangan dan Buktikan bahwa !Bukti:

sifat unsur

sifat balikan penjumlahan di sifat Assosiatif penjumlahan di sifat Distributif di sifat unsur sifat balikan penjumlahan di Jadi lapangan dan Buktikan bahwa

6. Buktikan bahwa . Jika , maka untuk suatu Bukti:

Misalkan Karena , maka terdapat yang memenuhi . Maka; sifat Assosiatif Penjumlahan di sifat sifat unsur

7. Berikan contoh yang menguatkan bahwa pada Gelanggang tidak selalu berlaku hokumpembatalan terhadap operasi perkalian.

Jawab :

Misal gelanggang dengan , tetapi Pilih gelanggang , , maka: tetapi

8. Misal lapangan, . Jika unit di , maka adalah unit.Bukti:

Misal dua buah unit di , maka terdapat . () Sifat assosiatif perkalian di

() Sifat assosiatif perkalian di Sifat balikan perkalian di


4/9


4

Sifat unsur 1 di

Jadi Jika unit di , maka adalah unit.Karena terdapat

9. Misal ring komutatif. daerah integral jika dan hanya jika pada berlakuhukumpembatalan pada perkalian.

Bukti: () () sifat setiap unsur tak nol di () sifat setiap unsur balikan pada operasi penjumlahan di

() sifat Assosiatif perkalian di ( ) sifat Distributif di Karena dan bukan pembagi nol maka haruslah: sifat setiap unsur tak nol di sifat balikan pada operasi penjumlahan di sifat unsur di Jadi, . Jika , maka Bukti:Akan dibuktikan bahwa pada tidak memiliki pembagi nol.Ambil sebarang yang memenuhi dengan , akan ditunjukkan bahwa . Sifat unsur

Sifat pembatalan di

Karena dengan diperoleh , maka tidak memuat pembagi nol. Artinyamerupakan daerah Integral.


5/9


5

Sifat-sif at dasar Suku Banyak

1. Jika [] tentukanlah solusi dari!Jawab:

atau atau atau atau Jadi, solusi dari adalah atau

2. Misal []adalah suku banyak atas lapangan . Buktikan bahwa [] , makatidak memiliki balikan pada operasi perkalian di [].Bukti:

Misalkan []dengan .Andaikan []yang memenuhi Tinjau dua kasus. Jika

Jadi kontradiksi

Jika ()Karena () Jadi kontradiksi.

Jadi, haruslah

[] , maka

tidak memiliki balikan pada

operasi perkalian di [].


6/9


6

3. Misal []adalah suku banyak atas lapangan . Buktikan bahwa []() , makamemiliki balikan pada operasi perkalian di [].Bukti:

() , maka . Berdasarkan sifat lapangan, , yangmemenuhi Jadi [] () , sehingga

4. Buktikan bahwa , tak tereduksi di [].Bukti:

Dengan Kontradiksi:

Andaikan , tereduksi di [], maka terdapat

[] dan bukan unit sehingga . Karena () , maka () dan () .Misalkan

, dengan dan Diperoleh:

Substitusi: pers dan pers ke pers

Tiap ruas dikalikan

Kontradiksi, karena


7/9


7

Jadi, , tak tereduksi di [].5. Misalkan []suku banyak atas lapangan dan []dengan ()

Jika pemfaktoran trivial, maka atau .Bukti:

Misalkan pemfaktoran trivial, artinya atau merupakan unit. Untuk kasus unit

Jika unit, maka dan [] .Artinya () ( )()()()() Jika () maka kontradiksi dengan Jika () maka () . Sehingga tidak mungkinJika () maka memenuhi

Untuk kasus unit, caranya sama6. Misalkan []suku banyak atas lapangan dan []

Jika ()() |, maka .Bukti:

Misal ()()dan |.|, artinya []sedemikian hingga: ()()()()()()Karena ()(), maka:

() . Artinya

. Sehingga

,Jadi, jika ()() |, maka


8/9


8

7. Misalkan []suku banyak atas lapangan dan []dengan () Pemfaktoran nontrivial jika dan hanya jika ()()dan()().Bukti:

Misalkan []dan Misal nontrivial, maka dan bukan unit.Sehinga () dan () .Akan ditunjukkan ()()dan ()()Misalkan () , maka()()()()()()Karena () , maka()() ( ) ( )Jadi ()().Dengan cara yang sama akan diperoleh ()().

Misal () dan () Misal ()()dan ()()akan ditunjukkan bahwa nontrivialDengan Kontradiksi:

Andaikan () dan () .Misal , maka

()()() Kontradiksi dengan yang diketahui bahwa () Jadi haruslah () dan () .Artinya, dan bukan unit. Sehingga, nontrivial.


9/9


9

8. Misalkan []suku banyak atas lapangan dan []Jika |, maka . Dimana atau ()(). Buktikan bahwa adalah tunggal.Bukti:

Misalkan

Dimana atau ()()dan Dimana atau ()()Dengan eliminasi, diperoleh:

( ) ( )Akan ditunjukkan bahwa ( ) Dengan kontradiksi

Andaikan , maka( )(). Karena atau ()()dan atau ()().( ) ( )()Kontradiksi.Jadi haruslah , sehingga .

Trik Pembuktian

Documents

Transcript of Trik Pembuktian