Perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku Siku

Segitiga siku siku didefinisikan sebagai segitiga dengan salah satu sudutnya adalah siku siku ( ). Sisi yang terpanjang di dalam segitiga siku siku yaitu sisi yang tepat di hadapan sudut siku siku disebut dengan hipotenusa atau sisi miring, sementara dua sisi lainnya (dari sudut pandang ) adalah sisi siku siku di hadapan dan sisi siku siku di samping . Dalam segitiga siku siku berlaku teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa merupakan jumlah dari kuadrat dua sisi lainnya. Secara matematis, teorema Pythagoras dinyatakan sebagai berikut.

Perbandingan trigonometri adalah perbandingan antar sisi sisi pada segitiga siku siku. Misalnya , antara sisi siku siku di samping dengan hipotenusa, antara sisi siku siku di hadapan dengan hipotenusa, antara sisi siku siku di hadapan dengan sisi siku siku di samping , dan seterusnya. Besarnya perbandingan trigonometri bergantung pada besar sudut dan bukan bergantung pada panjang sisi sisi segitiga siku siku. B

Hipotenusa

c a Sisi siku siku di hadapan

A

b Sisi siku siku di samping

C

Dari segitiga siku siku di atas menghasilkan perbandingna perbandingan trigogometri. 1. Sinus (Sin )

Definisi : Pada segitiga siku siku, sinus suatu sudut adalah perbandingan antara panjang sisi siku siku di depan sudut tersebut dengan hipotenusa.

2.

Cosinus

(Cos )

Definisi : Pda segitiga siku siku , kosinus suatu sudut adalah perbandingan antara panjang sisi siku- siku di samping sudut tersebut dengan hipotenusa.

3.

Tangen

(Tan )

Definisi : Pada segitiga siku siku, tangent suatu sudut adalah perbandingan antara panjang sisi siku siku di depan sudut dengan sisi siku siku di samping sudut tersebut.

4.

Kotangen

(Cot )

Definisi : Pada segitiga siku siku, kotangen suau sudut adalah perbanfingan antara panjang sisi siku- siku di samping sudut dengan sisi siku siku di depan sudut tersebut.

5.

Sekan

(Sec )

Definisi : Pada segitiga siku siku, sekan suatu sudut adalah perbandingan antara panjang hipotenusa dengan sisi siku siku di samping sudut tersebut.

6.

Kosekan

(Cosec )

Definisi : Pada segitiga siku siku, kosekan suatu sudut adalah perbandingan antara panjang hipotenusa dengan sisi siku siku di depan sudut tersebut.

SOAL SOAL

1.

Pada gambar di samping segitiga sikusiku ABC dengan panjang a 24 dan c 25. Tentukan keenam perbandingan trigonometri untuk . Penyelesaian: Nilai b dihitung dengan teorema Pythagoras

B

a

c

C b

A

b 252 242 625 576 49 7

a 24 c 25 b 7 cos c 25 a 24 tan b 7 sin

c 25 a 24 c 25 sec b 7 c 7 cot a 24 csc

2.

Jika

, tentukan nilai perbandingan trigonometri lainnya.

Penyelesaian : Diketahui

buat sketsa gambar yang mewakili informasi ini.

Perhatikan sketsa gambar baru

2p

p

3.

Diketahui siku-siku di B. Jika AB = 1 cm dan AC = 3 cm, hitunglah semua perbandingan trigonometri Penyelesaian : Gambarlah sketsanya. BC2 = AC2 AB2 =91=8 BC sin cos tan sec cot csc

= =

4.

Diketahui

adalah salah satu sudut segitiga siku-siku ABC. Jika diketahui sin adalah 4 cm, hitunglah cos , tan

dan

panjang sisi siku-siku di depan Penyelesaian : sin b=8 c2 = b 2 42 = 8 2 42 = 64 16 = 48 Sketsa baru cos tan cot Saring informasi dari soal sin

, sec , dan csc .

Tentukan samua sisi-sisi segitiga yang lain.

sec csc5.

Tentukan nilai dari sinus, kosinus, dan tangent untuk ABC , jika a = 6 dan b = 8

BAC dan

ABC pada segitiga

Penyelesaian : Pada gambar di bawah ini, diketahui AC = b = 8, BC = a = 6, dan AB = c. Nilai c dapat ditentukan menggunakan teorema Pythagoras.Ac

8

B

6

C

Maka

6.

Tentukan nilai sin , cos dan tan

dari segitiga di samping ini, jika DE = 6 dan DF = 8.

Penyelesaian : Pandang DEF yang salah satu sudutnya siku-siku (90 ), berarti DEF merupakan segitiga siku-siku sehingga berlaku teorema phytagoras, yaitu: EF2 = DE2 + DF2 = 62 + 82 = 36 + 64 =100 EF = = 10 Jadi sin cos tan

7.

Perhatikan segitiga di samping ini, kemudian tentukan panjang SR, QS dan PS! Penyelesaian : QR2 = PQ2 + PR2 = 82 + 152

= 64 + 225 = 289 QR = = 17 Pandang PQR: cos Pandang PSR: cos Nilai cos dari PQR = nilai cos dari PSR, hal ini dikarenakan besar suatu sudut yang sama adalah sama ( besarnya sama). Jadi, berlaku persamaan berikut ini. 17SR = 15 x 15 = 225 SR = QR QS

= QS + SR = QR SR = 17 - 13 =3

Untuk mencari PS dapat dipakai beberapa cara: Cara 1. Pandang PQR: sin Pandang PSR: sin Sehingga berlaku: PS = Cara 2. Pandang PQR: sin Pandang PQS: sin Sehingga berlaku: PS = Cara 3. 17 PS = 8 x 15 PS = 8 x 15

Pandang PQS, segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan sudut siku di titik P. Karena PQ = 8 dan QS sudah kita temukan nilainya yaitu , maka untuk mencari nilai PS kita gunakan teorema phytagoras sebagai berikut: PQ2 PS2 = QS2 + PS2 = PQ2 QS2 = 82 ( )2

= 64 ( )2 = 64 PS 8. a =

Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk setiap segitiga siku-siku berikut : b

Jawab :

a

b Dengan menggunakan aturan Pytagoras :

9.Jawab:

Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut

pada PQR berikut.

Langkah 1 Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal. Diketahui PR = q = 13 cm, QR = p = 12 cm, RPQ = . Ditanyakan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut . Langkah2 Menentukan panjang salah satu sisi yang belum diketahui. Sisi yang belum diketahui adalah PO = r. Anda akan dapat menggunakan rumus Pythagoras untuk menentukan nilai tersebut. r= r=5 langkah 3 menentukan perbandingan-perbandingan trigonometri berdasarkan nilai-nilai yang diketahui sin cos tan cosec sec

cotan dan adalah sudut lancip. Tentukan nilai-nilai perbandingan

10. diketahui cosec trigonometri lainnya Penyelesaian : Langkah 1

Menggambar sebuah segitiga siku siku berdasarkan nilai nilai yang diketahui. Misalkan anda menggmbar SRT dengan siku siku di S dan TRS = Cosec =

Langkah 3 Menentukan perbandingan trigonometri berdasarkan nilai nilai yang diketahui

Langkah 2 Menentukan panjang sisi yang belum diketahui yaitu