TOPIK 1

TOPIK 1TOPIK 1

LOGIKALOGIKA

PERTEMUAN 1PERTEMUAN 1

PERNYATAANPERNYATAAN

PENGHUBUNG PERNYATAANPENGHUBUNG PERNYATAAN

PERNYATAANPERNYATAAN

Adalah kalimat yang mempunyai Adalah kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar/salah)nilai kebenaran (benar/salah)

Contoh:Contoh:– UKSW berada di Salatiga. (pernyataan UKSW berada di Salatiga. (pernyataan

benar)benar)– 5+3=9. (pernyataan salah)5+3=9. (pernyataan salah)– 100+1=101. (pernyataan, benar/salah 100+1=101. (pernyataan, benar/salah

tergantung konteks biner/desimal)tergantung konteks biner/desimal)– Meja itu besar. (bukan pernyataan)Meja itu besar. (bukan pernyataan)– Apa hobimu? (bukan pernyataan)Apa hobimu? (bukan pernyataan)

PENGHUBUNG PERNYATAAN PENGHUBUNG PERNYATAAN (1)(1)

Untuk membuat pernyataan yang lebih Untuk membuat pernyataan yang lebih kompleks dari pernyataan-pernyataan yang kompleks dari pernyataan-pernyataan yang lebih sederhana dibutuhkan penghubung.lebih sederhana dibutuhkan penghubung.

Pernyataan-pernyataan yang lebih kompleks Pernyataan-pernyataan yang lebih kompleks ini disebut pernyataan majemuk (ini disebut pernyataan majemuk (compound compound statementstatement). Jadi pernyataan primer atau ). Jadi pernyataan primer atau atomik adalah pernyataan-pernyataan yang atomik adalah pernyataan-pernyataan yang tidak mempunyai penghubung. Dalam tidak mempunyai penghubung. Dalam pembahasan ini suatu pernyataan akan pembahasan ini suatu pernyataan akan diberi nama dengan huruf kapital.diberi nama dengan huruf kapital.

PENGHUBUNG PERNYATAAN PENGHUBUNG PERNYATAAN (2)(2)

Negasi (NOT atau Inversi)Negasi (NOT atau Inversi) Konjungsi (AND)Konjungsi (AND) Disjungsi (OR)Disjungsi (OR) Kondisi (Conditional)/ImplikasiKondisi (Conditional)/Implikasi Kondisi Ganda Kondisi Ganda

(Biconditional)/Biimplikasi(Biconditional)/Biimplikasi

NEGASI (1)NEGASI (1)

Notasi: Notasi: ¬ atau¬ atau ~ atau ¯ atau ’ ~ atau ¯ atau ’ Negasi pernyataan P adalah suatu Negasi pernyataan P adalah suatu

pernyataan ~P yang mempunyai nilai pernyataan ~P yang mempunyai nilai kebenaran berlawanan dari nilai kebenaran berlawanan dari nilai kebenaran pernyataan semula. kebenaran pernyataan semula.

Contoh:Contoh:– P : Hari ini hujan.P : Hari ini hujan.– Q : Hari ini panas.Q : Hari ini panas.

Maka pernyataan NOT dari P dan Q adalahMaka pernyataan NOT dari P dan Q adalah– ~P: Hari ini tidak hujan.~P: Hari ini tidak hujan.– ~Q: Hari ini tidak panas.~Q: Hari ini tidak panas.

NEGASI (2)NEGASI (2)

Tabel KebenaranTabel Kebenaran

Rangkaian LogikaRangkaian Logika

DISJUNGSI (1)DISJUNGSI (1)

Notasi: Notasi: atau + atau atau + atau Disjungsi dari dua pernyataan P dan Q Disjungsi dari dua pernyataan P dan Q

adalah suatu pernyataan P adalah suatu pernyataan P Q yang Q yang mempunyai nilai kebenaran T jika P atau Q mempunyai nilai kebenaran T jika P atau Q atau keduanya mempunyai nilai atau keduanya mempunyai nilai kebenaran T, selain itu P kebenaran T, selain itu P Q bernilai F. Q bernilai F.

Contoh:Contoh:P: Hari ini hujan.P: Hari ini hujan.Q: Ada 10 kamar dalam rumah ini.Q: Ada 10 kamar dalam rumah ini.P P Q: Hari ini hujan atau ada 10 kamar dalam Q: Hari ini hujan atau ada 10 kamar dalam

rumah ini.rumah ini.

DISJUNGSI (2)DISJUNGSI (2) Saya akan menonton pertandingan di tv atau pergi Saya akan menonton pertandingan di tv atau pergi

ke lapangan pertandingan.ke lapangan pertandingan.““atau” dipakai dalam bentuk yang eksklusif untuk atau” dipakai dalam bentuk yang eksklusif untuk memilih salah satu dari dua alternatif tetapi tidak memilih salah satu dari dua alternatif tetapi tidak keduanya (P atau Q saja tetapi tidak P dan Q).keduanya (P atau Q saja tetapi tidak P dan Q).

Ada sesuatu yang salah dengan bolam itu atau Ada sesuatu yang salah dengan bolam itu atau dengan pengabelannya.dengan pengabelannya.““atau” dipakai dalam bentuk yang inklusif yaitu atau” dipakai dalam bentuk yang inklusif yaitu bisa salah satu atau kedua alternatif terjadi (P, bisa salah satu atau kedua alternatif terjadi (P, atau Q atau P dan Q). “atau” digunakan seperti atau Q atau P dan Q). “atau” digunakan seperti yang dimaksud (simbol yang dimaksud (simbol ). ).

Dua atau tiga orang cedera dalam kecelakaan itu.Dua atau tiga orang cedera dalam kecelakaan itu.““atau” tidak ditujukan dalam arti Penghubung atau” tidak ditujukan dalam arti Penghubung yang dimaksudkan tetapi mengenai jumlah orang yang dimaksudkan tetapi mengenai jumlah orang dalam kejadian itu. dalam kejadian itu.


Sifat simetri: P Sifat simetri: P Q = Q Q = Q P. P. Negasi P Negasi P Q adalah ~P Q adalah ~P ~Q. ~Q. Tabel Kebenaran:Tabel Kebenaran:


Rangkaian Logika:Rangkaian Logika:

KONJUNGSI (1)KONJUNGSI (1)

Notasi: Notasi: , . , , . , , atau , atau Konjungsi dari dua pernyataan P dan Q Konjungsi dari dua pernyataan P dan Q

adalah suatu pernyataan P adalah suatu pernyataan P Q yang Q yang mempunyai nilai kebenaran T bila P dan Q mempunyai nilai kebenaran T bila P dan Q keduanya mempunyai nilai kebenaran T, keduanya mempunyai nilai kebenaran T, selain itu P selain itu P Q bernilai F. Q bernilai F.

Contoh:Contoh:P: Hari ini hujan.P: Hari ini hujan.Q: Ada 10 kamar dalam rumah ini.Q: Ada 10 kamar dalam rumah ini.P P Q: Hari ini hujan dan ada 10 kamar dalam Q: Hari ini hujan dan ada 10 kamar dalam

rumah ini.rumah ini.

KONJUNGSI (2)KONJUNGSI (2) Mawar berwarna merah dan kucing berwarna hitam.Mawar berwarna merah dan kucing berwarna hitam.

““dan” digunakan seperti yang dimaksud (simbol dan” digunakan seperti yang dimaksud (simbol ). ). Prinsip simetri berlaku. PPrinsip simetri berlaku. PQ = QQ = QP P

Inem membuka pintu dan berjalan masuk.Inem membuka pintu dan berjalan masuk.““dan” berarti “kemudian” karena “berjalan masuk” dan” berarti “kemudian” karena “berjalan masuk” terjadi setelah “Inem membuka pintu” terjadi setelah “Inem membuka pintu” tidak tidak dapat diterjemahkan dengan dapat diterjemahkan dengan . Prinsip simetri tidak . Prinsip simetri tidak berlaku. Pberlaku. PQ Q Q QPP

Inem dan Ponim bersaudara.Inem dan Ponim bersaudara.““dan” bukan penghubung, karena hanya satu dan” bukan penghubung, karena hanya satu kalimat bukan dua kalimat setara yang dihubungkan kalimat bukan dua kalimat setara yang dihubungkan dengan AND. Bila dipecah, akan menjadi kalimat dengan AND. Bila dipecah, akan menjadi kalimat berita tidak lengkap. “Inem bersaudara”. Kalimat berita tidak lengkap. “Inem bersaudara”. Kalimat menjadi tidak lengkap karena bersaudara dengan menjadi tidak lengkap karena bersaudara dengan siapa?.siapa?.


Sifat simetri: P Sifat simetri: P Q = Q Q = Q P. P. Negasi P Negasi P Q adalah ~P Q adalah ~P ~Q. ~Q. Tabel Kebenaran:Tabel Kebenaran:


Rangkaian Logika:Rangkaian Logika:

IMPLIKASI (1)IMPLIKASI (1)

Notasi: Notasi: Jika P dan Q adalah dua pernyataan, maka Jika P dan Q adalah dua pernyataan, maka

implikasi pernyataan P implikasi pernyataan P Q dapat dibaca Q dapat dibaca sebagai IF P, THEN Q. P dan Q adalah sebagai IF P, THEN Q. P dan Q adalah suatu pernyataan conditional. P disebut suatu pernyataan conditional. P disebut antecedent dan Q adalah consequent.antecedent dan Q adalah consequent.

Implikasi tidak mempunyai sifat simetri Implikasi tidak mempunyai sifat simetri dalam arti bahwa Pdalam arti bahwa PQ tidak sama dengan Q tidak sama dengan QQP.P.

IMPLIKASI (2)IMPLIKASI (2) Contoh:Contoh:

– P : Langit cerah hari ini. Q: 2+7 >4.P : Langit cerah hari ini. Q: 2+7 >4.PPQ : Jika langit cerah hari ini, maka 2+7 >4.Q : Jika langit cerah hari ini, maka 2+7 >4.

– P: Ibu ke pasar. Q: Didi ke sekolah.P: Ibu ke pasar. Q: Didi ke sekolah.PPQ : Jika ibu ke pasar, maka Didi ke sekolah.Q : Jika ibu ke pasar, maka Didi ke sekolah.

– Tulis dalam bentuk simbolis: “Kalau William Tulis dalam bentuk simbolis: “Kalau William mengambil Kalkulus atau Harry mengambil mengambil Kalkulus atau Harry mengambil Sosiologi, maka Charles akan mengambil Sosiologi, maka Charles akan mengambil Bahasa Inggris.”Bahasa Inggris.”J: William mengambil Kalkulus.J: William mengambil Kalkulus.

K: Harry mengambil Sosiologi.K: Harry mengambil Sosiologi. L: Charles mengambil Bahasa Inggris.L: Charles mengambil Bahasa Inggris.

Hasilnya adalah: (J Hasilnya adalah: (J K) K) L L


P P Q Q (ekuivalen dengan) ~P (ekuivalen dengan) ~P Q. Q.

Buktikan dengan tabel kebenaran!Buktikan dengan tabel kebenaran! ~(P ~(P Q) Q) ~(~P ~(~P Q) Q) P P ~Q. ~Q. Tabel Kebenaran:Tabel Kebenaran:


Dari suatu implikasi, bisa dibentuk Dari suatu implikasi, bisa dibentuk implikasi yang lain, yaitu:implikasi yang lain, yaitu:– Konvers (Q Konvers (Q P) P)– Invers (~P Invers (~P ~Q) ~Q)– Kontraposisi (~Q Kontraposisi (~Q ~P) ~P)

P P Q Q ~Q ~Q ~P ~P Buktikan dengan tabel kebenaran!Buktikan dengan tabel kebenaran!

Jika saya tidak masuk, maka kalian senang.Jika saya tidak masuk, maka kalian senang.

Kn: Jika kalian senang, maka saya tidak Kn: Jika kalian senang, maka saya tidak masuk.masuk.

In: Jika saya masuk, maka kalian tidak In: Jika saya masuk, maka kalian tidak senang.senang.

Kt: Jika kalian tidak senang, maka saya Kt: Jika kalian tidak senang, maka saya masuk.masuk.

Ng: Saya tidak masuk dan kalian tidak Ng: Saya tidak masuk dan kalian tidak senang.senang.

BIIMPLIKASI (1)BIIMPLIKASI (1)

Notasi: Notasi: Jika P dan Q adalah dua pernyataan, Jika P dan Q adalah dua pernyataan,

maka biimplikasi pernyataan P maka biimplikasi pernyataan P Q Q (dibaca P jika dan hanya jika Q) (dibaca P jika dan hanya jika Q) mempunyai nilai T bilamana baik P mempunyai nilai T bilamana baik P dan Q keduanya mempunyai nilai dan Q keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama. kebenaran yang sama.

PPQ mempunyai sifat simetri yaitu: Q mempunyai sifat simetri yaitu: PPQ = QQ = QP.P.

BIIMPLIKASI (2)BIIMPLIKASI (2)

Contoh:Contoh:– P=Q jika dan hanya jika PP=Q jika dan hanya jika PQ dan QQ dan QP.P.

P P Q Q ( (PPQ) Q) ( (QQP)P) Tabel Kebenaran:Tabel Kebenaran:

TAUTOLOGI dan TAUTOLOGI dan KONTRADIKSIKONTRADIKSI

Tautologi adalah pernyataan yang Tautologi adalah pernyataan yang nilainya selalu benar.nilainya selalu benar.

Contoh: P Contoh: P ~P (buktikan!) ~P (buktikan!) Kontradiksi adalah pernyataan yang Kontradiksi adalah pernyataan yang

nilainya selalu salah.nilainya selalu salah. Contoh: P Contoh: P ~P (buktikan!) ~P (buktikan!)

KONVERS, INVERS, KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI (1)KONTRAPOSISI (1)

Jika A merupakan suatu Jika A merupakan suatu bujursangkar atau trapesium, maka bujursangkar atau trapesium, maka A merupakan suatu 4 persegi A merupakan suatu 4 persegi panjang.panjang.

Kn: Kn:

In:In:

Kt:Kt:

Ng: Ng:

KONVERS, INVERS, KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI (2)KONTRAPOSISI (2)

Jika n adalah bilangan prima > 2 Jika n adalah bilangan prima > 2 dan n bulat, maka n adalah dan n bulat, maka n adalah bilangan ganjil.bilangan ganjil.

Kn: Kn:

In:In:

Kt:Kt:

Ng: Ng:

PERTEMUAN 2PERTEMUAN 2

EKUIVALENSI SUATU EKUIVALENSI SUATU FORMULAFORMULA

Ekuivalensi dari Suatu Formula Ekuivalensi dari Suatu Formula (1)(1)

Misalkan A dan B adalah 2 Misalkan A dan B adalah 2 pernyataan dan P1, P2, …, Pn adalah pernyataan dan P1, P2, …, Pn adalah variabel dalam A dan B. Jika seluruh variabel dalam A dan B. Jika seluruh nilai kebenaran dari A sama dengan nilai kebenaran dari A sama dengan nilai kebenaran B untuk setiap nilai kebenaran B untuk setiap kombinasi nilai-nilai kebenaran yang kombinasi nilai-nilai kebenaran yang diberikan pada P1, P2, …, Pn, maka A diberikan pada P1, P2, …, Pn, maka A dan B adalah ekuivalen.dan B adalah ekuivalen.

Menentukan ke-ekuivalensi-an suatu Menentukan ke-ekuivalensi-an suatu formula:formula:– Menurunkan ruas kiri sehingga didapat Menurunkan ruas kiri sehingga didapat

ruas kananruas kanan– Menurunkan ruas kanan sehingga Menurunkan ruas kanan sehingga

didapat ruas kirididapat ruas kiri– Menurunkan ruas kiri dan kanan Menurunkan ruas kiri dan kanan

sehingga didapat formula yang samasehingga didapat formula yang sama

Ekuivalensi dari Suatu Formula Ekuivalensi dari Suatu Formula (2)(2)

Contoh:Contoh: ((P) P) P P– P P P P P P– (P (P P) P) Q Q Q Q

Rumus Ekuivalensi Rumus Ekuivalensi TambahanTambahan

P P Q ≡ ~P Q ≡ ~P Q ≡ ~Q Q ≡ ~Q ~P ~P ~(P ~(P Q) ≡ P Q) ≡ P ~Q ~Q P P (Q (QR) ≡ (P R) ≡ (P Q) Q) RR ~(P ~(P Q) ≡ P Q) ≡ P ~Q ~Q P P Q ≡ (P Q ≡ (PQ) Q) (Q (QP)P) (P (P Q) ≡ (P Q) ≡ (P Q) Q) (~P (~P ~Q) ~Q) Q Q P ≡ ~P P ≡ ~P ~Q ~Q P P ~Q ≡ Q ~Q ≡ Q ~P ~P Q Q ~P ≡ P ~P ≡ P ~Q ~Q

Contoh SoalContoh Soal

Buktikan ekuivalensi kalimat-Buktikan ekuivalensi kalimat-kalimat berikut dengan tabel kalimat berikut dengan tabel kebenaran dan dengan rumus kebenaran dan dengan rumus ekuivalensi:ekuivalensi:1.1. ~ (p ~ (p ~q ) ~q ) (~p (~p ~q ) ≡ ~p ~q ) ≡ ~p

2.2. ~ ((~ p ~ ((~ p q ) q ) (~p (~p ~q )) ~q )) (p (p q) ≡ p q) ≡ p

3.3. (p (p (~ (~p (~ (~p q))) q))) (p (p q) ≡ p q) ≡ p

4.4. P P (Q (Q R) ≡ P R) ≡ P (~Q (~Q R) ≡ (P R) ≡ (PQ) Q) R R

5.5. (~P (~P (~Q (~Q R)) R)) (Q (Q R) R) (P (P R) ≡ R R) ≡ R

Apakah pernyataan-pernyataan berikut Apakah pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen? (bukti dengan rumus ekuivalen? (bukti dengan rumus ekuivalensi)ekuivalensi)

1.1. ((P ((P Q) Q) ~(~P ~(~P (~Q (~Q ~R))) ~R))) (~P (~P ~Q) ~Q) (~P (~P ~R) ≡ T ~R) ≡ T

2.2. ((~P ((~P Q) Q) (P (P ~R)) ~R)) (~P (~P ~Q) ≡ ~Q) ≡

~(P ~(P R) R)

3. (R 3. (R P) P) ((~R ((~R (P (P Q)) Q)) (R (R Q)) ≡ P Q)) ≡ P Q Q4. (P 4. (P Q) Q) (~P (~P (~P (~P Q)) ≡ ~P Q)) ≡ ~P Q Q5. ~(P 5. ~(P Q) Q) (~P (~P (~P (~P Q)) ≡ ~P Q)) ≡ ~P Q Q

PERTEMUAN 3PERTEMUAN 3KALKULUS PREDIKAT/KALKULUS PREDIKAT/

KALIMAT BERKUANTORKALIMAT BERKUANTORPENARIKAN KESIMPULANPENARIKAN KESIMPULAN

PEMBUKTIAN MATEMATIKAPEMBUKTIAN MATEMATIKA

PendahuluanPendahuluan

Telah dibahas kalimat-kalimat yang Telah dibahas kalimat-kalimat yang dihubungkan kata penghubung dihubungkan kata penghubung tertentu. Akan tetapi, kalimat yang tertentu. Akan tetapi, kalimat yang dibicarakan tidak memandang dibicarakan tidak memandang banyaknya obyek yang terlibat di banyaknya obyek yang terlibat di dalamnya.dalamnya.

Akan dibahas konsep logika yang Akan dibahas konsep logika yang diperluas dengan cara menyertakan diperluas dengan cara menyertakan jumlah (kuantitas) obyek yang jumlah (kuantitas) obyek yang terlibat di dalamnya.terlibat di dalamnya.

Predikat (1)Predikat (1) Dalam tata bahasa, predikat menunjuk pada Dalam tata bahasa, predikat menunjuk pada

bagian kalimat yang memberi informasi bagian kalimat yang memberi informasi tentang subjek. tentang subjek.

Contoh:Contoh:– “… “… terbang ke bulan”terbang ke bulan”– “… “… lebih tebal dari kamus”lebih tebal dari kamus”yang merupakan kalimat tidak lengkap. yang merupakan kalimat tidak lengkap. Agar menjadi suatu kalimat yang lengkap, Agar menjadi suatu kalimat yang lengkap, haruslah disubstitusikan subyek di bagian haruslah disubstitusikan subyek di bagian depan kalimat. Misalnya, subyek “Buku ini” depan kalimat. Misalnya, subyek “Buku ini” disubstitusikan pada kalimat “… lebih tebal disubstitusikan pada kalimat “… lebih tebal dari kamus”, menjadi “Buku ini lebih tebal dari kamus”, menjadi “Buku ini lebih tebal dari kamus”.dari kamus”.

Predikat (2)Predikat (2) Dalam ilmu logika, kalimat-kalimat yang

memerlukan subyek disebut predikat. Jadi, misalkan p : “terbang ke bulan” dan q : “lebih tebal dari kamus”, maka baik p maupun q adalah predikat. Untuk menyatakan perlunya substitusi subyek (yang tidak diketahui), maka dituliskan p(x) dan q(y).

Salah satu cara untuk mengubah predikat menjadi suatu kalimat adalah dengan mensubstitusi semua variabelnya dengan nilai-nilai tertentu.

Predikat (3)Predikat (3) Misalkan :Misalkan :

p(x) : “x habis dibagi 5” dan p(x) : “x habis dibagi 5” dan x disubstitusikan dengan 35, maka x disubstitusikan dengan 35, maka p(x) menjadi kalimat benar karena :p(x) menjadi kalimat benar karena : 35 habis dibagi 5. 35 habis dibagi 5.

Cara lain adalah dengan menambahkan Cara lain adalah dengan menambahkan kuantor pada kalimat. Kuantor adalah kata-kuantor pada kalimat. Kuantor adalah kata-kata seperti “beberapa”, “semua”, dan lain-kata seperti “beberapa”, “semua”, dan lain-lain yang menunjukkan berapa banyak lain yang menunjukkan berapa banyak elemen yang dibutuhkan agar predikat elemen yang dibutuhkan agar predikat menjadi benar.menjadi benar.

KuantorKuantor

2 macam kuantor untuk menyatakan 2 macam kuantor untuk menyatakan jumlah obyek yang terlibat yaitu jumlah obyek yang terlibat yaitu – Kuantor Universal (simbol Kuantor Universal (simbol ) ) – Kuantor Eksistensial (simbol Kuantor Eksistensial (simbol ).).

Kuantor UniversalKuantor Universal Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap

obyek dalam semestanya mempunyai sifat obyek dalam semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya.kalimat yang menyatakannya.

Kata yang digunakan: semua atau setiapKata yang digunakan: semua atau setiap Misalnya: Misalnya:

p(x) : “x dapat mati”. p(x) : “x dapat mati”. Karena semua manusia dapat mati, maka hal Karena semua manusia dapat mati, maka hal tersebut dinyatakan dengan :tersebut dinyatakan dengan :

((x) x x) x manusia, x manusia, x p(x). p(x). Kalau semesta sudah jelas, maka dapat Kalau semesta sudah jelas, maka dapat dihilangkan. Jadi, jika semesta pembicaraannya dihilangkan. Jadi, jika semesta pembicaraannya sudah jelas, yaitu himpunan manusia-manusia di sudah jelas, yaitu himpunan manusia-manusia di bumi, maka dituliskan: (bumi, maka dituliskan: ( x) p(x). x) p(x).

Kuantor EksistensialKuantor Eksistensial Kuantor Eksistensial menunjukkan bahwa di Kuantor Eksistensial menunjukkan bahwa di

antara obyek-obyek dalam semestanya, paling antara obyek-obyek dalam semestanya, paling sedikit ada satu obyek (atau lebih, asal tidak sedikit ada satu obyek (atau lebih, asal tidak semua) yang memenuhi sifat kalimat yang semua) yang memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya. menyatakannya.

Kata yang digunakan: terdapat, ada, beberapa, Kata yang digunakan: terdapat, ada, beberapa, paling sedikit satupaling sedikit satu

Contoh:Contoh:(( x x D) q(x), disingkat ( D) q(x), disingkat (x) q(x) bernilai T jhj x) q(x) bernilai T jhj paling sedikit ada satu x dalam D yang paling sedikit ada satu x dalam D yang menyebabkan q(x) benar, dan hanya bernilai menyebabkan q(x) benar, dan hanya bernilai salah jika untuk semua x salah jika untuk semua x D, q(x) bernilai salah. D, q(x) bernilai salah.

ContohContoh

Misalkan D adalah himpunan Misalkan D adalah himpunan bilangan bulat.bilangan bulat.

Buktikan bahwa kalimat (Buktikan bahwa kalimat ( m m D) D) mm22=m bernilai benar.=m bernilai benar.

Misalkan E adalah himpunan Misalkan E adalah himpunan bilangan bulat antara 5 dan 10.bilangan bulat antara 5 dan 10.

Buktikan bahwa kalimat (Buktikan bahwa kalimat ( m m E) E) mm22=m bernilai salah.=m bernilai salah.

Contoh Contoh

Nyatakan bilangan berkuantor di Nyatakan bilangan berkuantor di bawah ini dalam bahasa sehari-haribawah ini dalam bahasa sehari-hari– (( bilangan real x) x bilangan real x) x2 2 0 0– (( bilangan real s) x bilangan real s) x22 ≠ -1≠ -1– (( bilangan bulat m) m bilangan bulat m) m22 = m = m

ContohContoh

Tentukan kebenaran kalimat berikut, Tentukan kebenaran kalimat berikut, jika semesta pembicaraannya adalah jika semesta pembicaraannya adalah himpunan bilangan bulathimpunan bilangan bulat– ((x) xx) x2 2 – 2 – 2 0 0– ((x) xx) x22 – 10x + 21 = 0 – 10x + 21 = 0– ((x) xx) x22 – 10x + 21 = 0 – 10x + 21 = 0– ((x) xx) x22 – 3 = 0 – 3 = 0

ContohContoh

Terjemahkan kalimat berikut dengan Terjemahkan kalimat berikut dengan menggunakan kuantor menggunakan kuantor universal/eksistensialuniversal/eksistensial– Beberapa orang rajin beribadah.Beberapa orang rajin beribadah.– Semua bayi mempunyai wajah yang Semua bayi mempunyai wajah yang

berbeda.berbeda.– Setiap bilangan adalah negatif atau Setiap bilangan adalah negatif atau

mempunyai akar real.mempunyai akar real.– Ada bilangan yang tidak real.Ada bilangan yang tidak real.– Tidak semua mobil mempunyai karburator.Tidak semua mobil mempunyai karburator.

Ingkaran Kalimat Ingkaran Kalimat BerkuantorBerkuantor

Secara umum:Secara umum:– Ingkaran kalimat “Semua x bersifat p(x)” Ingkaran kalimat “Semua x bersifat p(x)”

adalah :adalah :

““Ada x yang tidak bersifat p(x)”, Ada x yang tidak bersifat p(x)”, – Ingkaran kalimat : “Ada x yang bersifat q(x)” Ingkaran kalimat : “Ada x yang bersifat q(x)”

adalah :adalah :

““Semua x tidak bersifat q(x)”. Semua x tidak bersifat q(x)”. Secara formal:Secara formal:

((((x x D) p(x)) D) p(x)) ( (x x D) D) p(x) p(x) ((((x x D) q(x)) D) q(x)) ( (x x D) D) q(x) q(x)

ContohContoh

Tuliskan ingkaran kalimat berikutTuliskan ingkaran kalimat berikut– Terdapatlah bilangan bulat x sedemikian Terdapatlah bilangan bulat x sedemikian

hingga xhingga x22 = 9. = 9.– Semua dinosaurus telah musnah.Semua dinosaurus telah musnah.– Tidak ada ahli komputer yang malas.Tidak ada ahli komputer yang malas.– Beberapa bilangan real adalah rasional.Beberapa bilangan real adalah rasional.– Semua program Pascal mempunyai Semua program Pascal mempunyai

panjang lebih dari 10 baris.panjang lebih dari 10 baris.

ContohContoh

Tuliskan simbolnya, kemudian tulis Tuliskan simbolnya, kemudian tulis ingkarannya (S: himpunan bilangan bulat)ingkarannya (S: himpunan bilangan bulat)– Untuk setiap x, jika x bilangan genap maka Untuk setiap x, jika x bilangan genap maka

xx22+x juga genap.+x juga genap.– Terdapatlah x sedemikian hingga x bilangan Terdapatlah x sedemikian hingga x bilangan

genap dan x bilangan prima.genap dan x bilangan prima.– Untuk setiap x, xUntuk setiap x, x22+3>5 atau x<2.+3>5 atau x<2.– Terdapatlah x yang memenuhi relasi xTerdapatlah x yang memenuhi relasi x22=25 =25

dan x>0.dan x>0.– Tidak ada x sedemikian sehingga x bilangan Tidak ada x sedemikian sehingga x bilangan

prima dan (x+6) bilangan prima.prima dan (x+6) bilangan prima.

Kalimat Berkuantor GandaKalimat Berkuantor Ganda

Kalimat berkuantor dapat diperluas Kalimat berkuantor dapat diperluas dengan menambahkan beberapa dengan menambahkan beberapa kuantor sekaligus pada kalimat yang kuantor sekaligus pada kalimat yang sama.sama.

menjadi kalimat berkuantor gandamenjadi kalimat berkuantor ganda

Kalimat Berkuantor GandaKalimat Berkuantor Ganda

Ada 8 cara berbeda dalam menggunakan 2 Ada 8 cara berbeda dalam menggunakan 2 kuantor kuantor dan dan dalam 2 variabel x dan y, dalam 2 variabel x dan y, masing-masing adalah:masing-masing adalah:– ((x) (x) (y)y) – (– (x) (x) (y)y)– ((y) (y) (x)x) – (– (y) (y) (x)x)– ((x) (x) (y) y) – (– (x) (x) (y)y)– ((y) (y) (x) x) – (– (y) (y) (x)x)

Jika semua kuantornya sama, maka urutan Jika semua kuantornya sama, maka urutan penulisan kuantor dapat dibalik, tetapi jika penulisan kuantor dapat dibalik, tetapi jika tiidak, penulisan belum tentu dapat dibalik.tiidak, penulisan belum tentu dapat dibalik.

ContohContoh

Misalkan p(x,y) : “y adalah ibu dari Misalkan p(x,y) : “y adalah ibu dari x”x”

Nyatakan arti simbol logika berikut Nyatakan arti simbol logika berikut dalam bahasa sehari-hari dan dalam bahasa sehari-hari dan tentukan nilai kebenarannyatentukan nilai kebenarannya– ((x) (x) (y) p(x,y)y) p(x,y)– ((y) (y) (x) p(x,y)x) p(x,y)

ContohContoh

Apa ingkaran kalimat berikutApa ingkaran kalimat berikut– (( bilangan bulat n) ( bilangan bulat n) ( bilangan bulat k) bilangan bulat k)

n=2kn=2k

Atau: Semua bilangan bulat adalah Atau: Semua bilangan bulat adalah bilangan genap.bilangan genap.

– (( masalah P) ( masalah P) ( program komputer C) C program komputer C) C tidak dapat menyelesaikan Ptidak dapat menyelesaikan P

Atau: Ada suatu masalah yang tidak Atau: Ada suatu masalah yang tidak dapat diselesaikan oleh semua program dapat diselesaikan oleh semua program komputer.komputer.

Aplikasi Logmat dalam Bahasa Aplikasi Logmat dalam Bahasa PemrogramanPemrograman

Perhatikan tumpukan kotak berikut:Perhatikan tumpukan kotak berikut:

ContohContoh

Nyatakan kalimat berikut dengan Nyatakan kalimat berikut dengan kuantorkuantor– Ada bintang film yang disukai semua Ada bintang film yang disukai semua

orang.orang.– Untuk setiap bilangan positif, terdapat Untuk setiap bilangan positif, terdapat

bilangan positif lain yang lebih kecil bilangan positif lain yang lebih kecil darinya.darinya.

– Terdapat bilangan positif x sedemikian Terdapat bilangan positif x sedemikian hingga untuk semua bilangan positif x, hingga untuk semua bilangan positif x, berlakulah y<x.berlakulah y<x.

PENARIKAN KESIMPULANPENARIKAN KESIMPULAN

Modus PonensModus Ponens Modus TollensModus Tollens Penambahan DisjungtifPenambahan Disjungtif Penyederhanaan KonjungtifPenyederhanaan Konjungtif Silogisme DisjungtifSilogisme Disjungtif

Modus PonensModus Ponens Diasumsikan pDiasumsikan pq benar. Jika diketahui p q benar. Jika diketahui p

benar, supaya pbenar, supaya pq benar, maka q harus q benar, maka q harus benar.benar.

p p q qpp------------------qq

Contoh:Contoh:– Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka

bilangan tersebut habis dibagi 10.bilangan tersebut habis dibagi 10.– Digit terakhir suatu bilangan adalah 0.Digit terakhir suatu bilangan adalah 0.– Disimpulkan: Bilangan tersebut habis dibagi 10.Disimpulkan: Bilangan tersebut habis dibagi 10.

Modus TollensModus Tollens Hampir sama dengan modus ponens. Hanya saja Hampir sama dengan modus ponens. Hanya saja

pada modus tollens, digunakan kontraposisi dari pada modus tollens, digunakan kontraposisi dari implikasi.implikasi.

Diasumsikan p Diasumsikan p q benar. Jika diketahui ~q benar, q benar. Jika diketahui ~q benar, supaya p supaya p q benar, maka ~p harus benar. q benar, maka ~p harus benar.p p q q~q~q------------------~p~p

Contoh:Contoh:– Jika saya kangen, maka saya akan melihat fotomu.Jika saya kangen, maka saya akan melihat fotomu.– Saya tidak melihat fotomu.Saya tidak melihat fotomu.– Disimpulkan: Saya tidak kangen.Disimpulkan: Saya tidak kangen.

Penambahan DisjungtifPenambahan Disjungtif Didasarkan pada fakta bahwa jika suatu Didasarkan pada fakta bahwa jika suatu

kalimat dapat digeneralisasikan dengan kalimat dapat digeneralisasikan dengan penghubung penghubung , maka kalimat tersebut akan , maka kalimat tersebut akan bernilai benar jika salah satu komponennya bernilai benar jika salah satu komponennya bernilai benar.bernilai benar.

pp qq------------------ atauatau ------------------p p q q p p q q

Contoh: Contoh: – Saya suka jeruk.Saya suka jeruk.– Disimpulkan: Saya suka jeruk atau durian.Disimpulkan: Saya suka jeruk atau durian.

Penyederhanaan KonjungtifPenyederhanaan Konjungtif

Jika beberapa kalimat dihubungkan dengan Jika beberapa kalimat dihubungkan dengan penghubung penghubung , maka kalimat tersebut dapat , maka kalimat tersebut dapat diambil salah satunya secara khusus.diambil salah satunya secara khusus.

p p q q p p q q------------------ atauatau ------------------

pp qq Contoh:Contoh:

– Saya menguasai Matematika dan Komputer.Saya menguasai Matematika dan Komputer.– Disimpulkan: Saya menguasai Matematika.Disimpulkan: Saya menguasai Matematika.

Silogisme DisjungtifSilogisme Disjungtif Jika kita dihadapkan pada dua pilihan (A Jika kita dihadapkan pada dua pilihan (A

atau B), sedangkan kita tidak memilih A, atau B), sedangkan kita tidak memilih A, maka kita akan memlih B.maka kita akan memlih B.

p p q q p p q q~p~p ~q~q------------------ atauatau ------------------qq pp

Contoh:Contoh:– Dompetku ada di sakuku atau tertinggal di Dompetku ada di sakuku atau tertinggal di

rumah.rumah.– Dompetku tidak ada di sakuku.Dompetku tidak ada di sakuku.– Disimpulkan: Dompetku tertinggal di rumah.Disimpulkan: Dompetku tertinggal di rumah.

Silogisme Hipotesis Silogisme Hipotesis

PPQQ

QQRR

Kesimpulan: PKesimpulan: PRR Contoh:Contoh:

Jika saya tidak masuk, maka kalian Jika saya tidak masuk, maka kalian senang.senang.

Jika kalian senang, maka pulang ke kos.Jika kalian senang, maka pulang ke kos.

Kesimpulan: Jika saya tidak masuk, maka Kesimpulan: Jika saya tidak masuk, maka kalian pulang ke kos.kalian pulang ke kos.

Contoh (1)Contoh (1)

Jika saya belajar dan jika saya jenius, maka Jika saya belajar dan jika saya jenius, maka saya akan lulus ujian Matematika.saya akan lulus ujian Matematika.

Saya tidak diizinkan mengambil mata kuliah Saya tidak diizinkan mengambil mata kuliah Matematika Diskrit.Matematika Diskrit.

Jika saya lulus ujian Matematika, maka saya Jika saya lulus ujian Matematika, maka saya diizinkan mengambil mata kuliah diizinkan mengambil mata kuliah Matematika Diskrit.Matematika Diskrit.

Saya belajar.Saya belajar.

Dari keempat implikasi tersebut, Dari keempat implikasi tersebut, kesimpulannya?kesimpulannya?

Contoh (2)Contoh (2) Jika kacamataku ada di meja dapur, maka aku Jika kacamataku ada di meja dapur, maka aku

pasti sudah melihatnya ketika sarapan pagi.pasti sudah melihatnya ketika sarapan pagi. Aku membaca koran di ruang tamu atau aku Aku membaca koran di ruang tamu atau aku

membacanya di dapur.membacanya di dapur. Jika aku membaca koran di ruang tamu, maka Jika aku membaca koran di ruang tamu, maka

pastilah kacamata kuletakkan di meja tamu.pastilah kacamata kuletakkan di meja tamu. Aku tidak melihat kacamataku pada waktu Aku tidak melihat kacamataku pada waktu

sarapan pagi.sarapan pagi. Jika aku membaca buku di ranjang, maka Jika aku membaca buku di ranjang, maka

kacamata kuletakkan di meja samping ranjang.kacamata kuletakkan di meja samping ranjang. Jika aku membaca koran di dapur, maka Jika aku membaca koran di dapur, maka

kacamataku ada di meja dapur.kacamataku ada di meja dapur.

PEMBUKTIAN MATEMATIKAPEMBUKTIAN MATEMATIKA

KontraposisiKontraposisi KontradiksiKontradiksi Induksi MatematikaInduksi Matematika dll.dll.

Induksi MatematikaInduksi Matematika

Induksi matematika merupakan salah satu Induksi matematika merupakan salah satu teknik pembuktian matematis dengan teknik pembuktian matematis dengan membuktikan teorema-teorema di mana membuktikan teorema-teorema di mana pernyataan-pernyataannya melibatkan pernyataan-pernyataannya melibatkan bilangan-bilangan bulat positif.bilangan-bilangan bulat positif.

Langkah:Langkah:– Tunjukkan bahwa pernyataan benar untuk Tunjukkan bahwa pernyataan benar untuk nn = =

nn00..

– Tunjukkan bahwa pernyataan benar untuk Tunjukkan bahwa pernyataan benar untuk nn = = kk + 1, dengan mengasumsikan bahwa pernyataan + 1, dengan mengasumsikan bahwa pernyataan benar untuk benar untuk nn = = kk, dengan , dengan kk nn00..

ContohContoh

Buktikan bahwa Buktikan bahwa 1 + 2 + 3 + ... + 1 + 2 + 3 + ... + nn = , untuk = , untuk n n 1 ! 1 !

TOPIK 1

Documents

Transcript of TOPIK 1