Model Autoregressive (AR)Data time series merupakan jenis data yang dikumpulkan menurut urut-an waktu dalam suatu rentang waktu tertentu. Pada suatu pengamatanberhingga, dapat dibangun model dengan parameter berhingga untuk meng-gambarkan proses time series.

Proses AR menggambarkan kondisi dimana nilai Z saat t bergantung padanilai terdahulu (Zt1) dan variabel noise. Selain itu, model autoregrresive,dengan bobot () berhingga dan tidak sama dengan 0, didefinisikan sebagaiberikut:

Zt = 1Zt1 + 2Zt2 + . . .+ pZtp + t

Berdasarkan definisi di atas, nilai Yt merupakan kombinasi linier dari Yt1, Yt2, . . . , Ytpdan t. Untuk setiap t, t saling bebas dengan Yt1, Yt2, . . . , Ytp.

Model AR(1)Model AR(1) merupakan model Autoregressive orde-1, didefinisikan sebagai:

Zt = Zt1 + t

dengan asumsi t berdistribusi normal, mean 0 dan variansi 2.

E(Yt) = 0

V ar(Yt) = 0

=2

1 2diperoleh bahwa 2 < 1 atau || < 1. Untuk menghitung kovariansi, perha-tikan bahwa:

E(YtkYt) = E(YtkYt) + E(tYtk)

k = k1 + E(tYtk)

karena t saling bebas dengan Ytk, maka

k = k1, k = 1, 2, 3, . . .

Misalkan k = 1, diperoleh 1 = 0 =2

(12) . Untuk k = 2, 2 =22

(12) .Secara umum dapat ditulis:

k = k

2

(1 2)diperoleh autokorelasi sebagai berikut:

k =k0

= k, k = 1, 2, 3, . . .

1

Berikut adalah plot Autocorrelation Function (ACF) AR(1) pada berbagainilai :

Gambar 1: Grafik ACF saat = 0.98

Gambar 2: Grafik ACF saat = 0.35

Gambar 3: Grafik ACF saat = 0.78

2

Gambar 4: Grafik ACF saat = 0.78

Berdasarkan grafik di atas, nilai yang dekat dengan 1 (Gambar 1 danGambar 3), plot ACF turun secara eksponensial (exponential decay) dengansemakin besarnya lag. Semakin kecil nilai (Gambar 2 dan Gambar 4), plotACF cut off setelah lag 1.

Nilai yang dekat dengan 1, menunjukkan korelasi kuat pada hampir se-mua lag, dengan grafik yang cenderung smooth untuk positif dan berganti-an naik-turun untuk yang negatif. Secara umum, AR(1) mempunyai plotACF dengan trend exponential decay dimulai pada lag 0. Untuk > 0, makatrend ACF bernilai positif. Sedagkan untuk < 0, maka trend ACF beni-lai positif dan negatif secara bergatntian. Selain itu, grafik PACF (PartialAutocorrelation) memperlihatkan plot yang cut off setelah lag ke 1. Hal inimenunjukkan bahwa model AR pada grafik berorde-1.

Gambar 5: Grafik PACF saat = 0.98

3

Gambar 6: Grafik PACF saat = 0.35

Gambar 7: Grafik PACF saat = 0.78

Gambar 8: Grafik PACF saat = 0.78

4

Model AR(2)Model AR(2) merupakan model Autoregressive orde-2, didefinisikan sebagai:

Yt = 1Yt1 + 2Yt2 + t

dengan t berdistribusi normal, mean 0 dan variansi 2.

E(Yt) = 0

V ar(Yt) = Cov(Yt, Yt)

=2121 +

2

1 2122Persamaan Yule-Walker untuk kovarian dan korelasi AR(2) adalah

k = 1k1 + 2k2, k = 1, 2, 3, . . .

k =k0

= 1k1 + 2k2, k = 1, 2, 3, . . .

Persamaan karakteristik AR(2) adalah

(x) = 1 1x 2x2yang berkorespondensi dengan persamaan karakteristik AR(2)

1 1x 2x2 = 0x(1) =

1 +21 + 4222

x(2) =1

21 + 4222

dimana |x(1)| > 1 dan |x(2)| > 1. Misalkan g(1) = 1x(1) dan g(2) =1x(2)

, maka

g(1) =1

21 + 422

dan g(2) =1 +

21 + 422

dengan |g(1)| < 1, |g(2)| < 1 dan 21 + 42 > 0, sehingga diperoleh syaratkestasioneran AR(2) sebagai berikut:

1 + 2 < 1, 2 1 < 1 dan |2| < 1

5

Berikut adalah plot Autocorrelation Function (ACF) AR(2) pada berbagainilai 1 dan 2:

Gambar 9: Grafik ACF saat 1 > 0 dan 2 < 0

Gambar 10: Grafik ACF saat 1 < 0 dan 2 > 0

Gambar 11: Grafik ACF saat 1 < 0 dan 2 < 0

6

Gambar 12: Grafik ACF saat 1 > 0 dan 2 > 0

Berdasarkan grafik di atas, jika nilai salah satu negatif, grafik menunjukkankecenderungan nilai positif dan negatif bergantian. Sedangkan untuk keduanilai positif, grafik menunjukkan nilai positif pada semua lag dan expo-nential decay. Secara umum AR(2) memiliki beberapa trend ACF. Namun,jika akar persamaan karakteristik bernilai kompleks maka memiliki plot ACFcosine decay.

Grafik ACF AR(2) belum dapat menunjukkan orde dari model AR. Namun,dari grafik PACF AR(2), kita dapat melihat bahwa plot PACF (Partial Au-tocorrelation) cut off setelah lag ke 2. Hal ini menunjukkan bahwa modelAR pada grafik berorde-2.

Gambar 13: Grafik PACF saat 1 > 0 dan 2 < 0

7

Gambar 14: Grafik PACF saat 1 < 0 dan 2 > 0

Gambar 15: Grafik PACF saat 1 < 0 dan 2 < 0

Gambar 16: Grafik PACF saat 1 > 0 dan 2 > 0

8

Simulasi Data dengan Software R

1 clear;2 clc;3 format long4

5 phi1 = input('phi1 = ');6 variansi = input('variansi e(t) = ');7 n = input('banyaknya data yang diinginkan = ');8

9 Y(1) = randn(1);10 sigmae = sqrt(variansi);11 e = normrnd(0,sigmae2,n);12

13 for t = 2:n14 Y(t) = (phi1 * Y(t1)) + e(t);15 end16

17 figure(1)18 plot(Y);19 title('Model AR(1)')20 xlabel('t')21 ylabel('y')22

23 figure(2)24 autocorr(Y);25

26 figure(3)27 parcorr(Y);

1 clear;2 clc;3 format long4

5 phi1 = input('phi1 = ');6 phi2 = input('phi2 = ');7 variansi = input('variansi e(t) = ');8 n = input('banyaknya data yang diinginkan = ');9

10 sigmae = sqrt(variansi);11 e = normrnd(0,sigmae2,n);12 Y(1) = randn(1);13 Y(2) = randn(1);14

15 for t = 3:n16 Y(t) = (phi1 * Y(t1)) + (phi2 * Y(t2)) + e(t);

9

17 end18

19 figure(1)20 plot(Y);21 title('Model AR(2)')22 xlabel('t')23 ylabel('y')24

25 figure(2)26 autocorr(Y);27

28 figure(3)29 parcorr(Y);

10