TIM DOSEN - · PDF fileGambar 1.1 menyatakan elemen-elemen utama dalam sebuah mesin ... dalam...

1

TIM DOSEN

BUKU AJAR

KINEMATIKA DAN DINAMIKA 1

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS WIJAYA PUTRA SURABAYA

1

Bab I

KKOONNSSEEPP –– KKOONNSSEEPP DDAASSAARR

1.1 KINEMATIKA

Kinematika mesin adalah suatu pengetahuan tentang gerak relatif

dari bagian -bagian mesin yaitu posisi, kecepatan dan percepatan.

1.2 DIAGRAM KINEMATIS

Dalam mempelajari gerakan -gerakan dari bagian -bagian mesin,

biasanya kita gambarkan bagian-bagian tersebut dalam bentuk sketsa

sehingga hanya bagian-bagian yang akan memberi efek pada gerakan

yang diperhatikan.

B

3

A 2

4 C

1

Gambar 1.1 Diagram kinematis

Gambar 1.1 menyatakan elemen-elemen utama dalam sebuah mesin

diesel. Bagian -bagian yang diam, terdidri dari bantalan -bantalan kruk as

dan dinding silinder diberi label 1. Engkol dan kruk as adalah batang

penghubung 2, batang penghubung 3, dan torak atau peluncur adalah

penghubung 4.

2

Batang penghubung (link0 adalah suatu nama yang diberikan pada

setiap benda yang mempunyai gerakan relatif terhadap yang lainnya.

Posisi, kecepatan dan percepatan sudut dari batang tergantung hanya

pada panjang dari engkol dan batang hubung dan tidak dipenguruhi

oleh lebar atau ketebalan dari batang.

Gambar sksla yang menyatakan suatu mesin sehingga hanya dimensi

yang memberi efek pada gerakannya disebut diagram kinematis.

1.3 MEKANISME

Sebuah rantai kinematis adalah sebuah system dari batang

batang penghubung yang berupa benda benda kaku yang apakah

digabungkan bersama atau dalam keadaan saling bersinggungan

sehingga memungkinkan mereka untuk bergerak relatif satu terhadap

yang lain . Jika salah satu dari batang penghubungnya tetap dan

gerakan dari sebarang batang penghubung yang lain ke posisinya yang

baru akan menyebabkan setiap batang penghubung yang lain bergerak

ke posisi posisi tertentu yang telah diramalkan system tersebut adalah

sebuah rantai kinematis yang dibatasi .Jika salah satu dari batang

penghubung ditahan tetap gerakan dari batang penghubung yang lain

ke posisinya yang baru tidak akan menyebabkan setiap batang batang

penghubung yang lain bergerakke posisi tertentu yang telah diramalkan

maka system tersebut adalah suatu rantai kinematis tak terbatas.

3

1.4 INVERSI

3 2

4

1

Dengan membuat suatu batang penghubung yang berbeda

dalam rantai kinematis sebagai bagian yang tidak bergerak, kita

memperoleh mekanisme yang berbeda.

Penting untuk dicatat bahwa inverse dari suatu mekanisme tidak akan

mengubah gerakan antara batang-batang penghubungnya. Sebagai

contoh, gambar diatas jika batang penghubung 2 berputar ?0 searah

jarum jam relatif terhadap batang penghubung 1, batang penghubung 4

akan bergerak kekanan sepanjang garis lurus pada penghubung1. Hal ini

akan selalu demikian tidak peduli batang penghubung mana yang

ditahan tetap.

1.5 PASANGAN

Dua benda yang saling kontak akan membentuk suatu pasangan.

Pasangan lebih rendah (lower pairing) terjadi jika dua permukaan saling

kontak. Contohnya dari pasangan lebih rendah adalah sebuah torak

dengan dinding silindernya.

4

3

2

4

1

Pasangan lebih tinggi (higher pairing) menyatakan suatu kontak yang

berupa titik atau garis. Contohnya dari pasangan lebih tinggi adalah

torak dengan silindernya tetapi toraknya dibuat seperti bola, maka

toraknya akan kontak dengan dinding silinder sepanjang suatu lingkaran.

3

2

4

1

1.6 BIDANG GERAKAN

Sebuah benda mempunyai bidang gerakan jika semua titik-titiknya

bergerak dalam bidang-bidang parallel terhadap bidang referensinya.

Bidang referensi tersebut dise but bidang gerakan (plane motion). Bidang

gerakan dapat merupakan salah satu dari 3 tipe : gerakan menurut garis

lurus (translasi0, putaran atau kombinasi dari translasi dan rotasi.

1.7 TRANSLASI

Sebuah benda mempunyai gerakan berupa translasi, jika ia

bergerak sedemikian hingga semua garis-garis lurus dalam benda

5

tersebut bergerak mengikuti posisi-posisi yang sejajar. Translasi garis lurus

(rectilinear translation) adalah suatu gerakan dimana semua titik dari

suatu benda bergerak dalam jalur garis lurus. Suatu translasi dimana titik-

titik dalam suatu benda bergerak sepanjang jalur yang berupakurva

disebut translasi menurut kurva (curvilinear translation).

1.8 PUTARAN

Dalam putaran (rotasi) semua titik dalam sebuah benda selalu

mempunyai jarak yang tetap dari sebuah garis yang tegak lurus terhadap

bidang geraknya. Garis ini adalah sumbu putaran (axis of rotation) dan

titik-titik dalam benda tersebut membuat lintasan menurut jalur berupa

lingkaran terhadap garis tersebut.

1.9 TRANSLASI DAN ROTASI

B

C

B ’ C ’

(a)

6

B ’’ B

B ’ C ’ C

(b)

B

B ’’’ B’

C

C’

(c)

Kebanyakan bagian -bagian mesin mempunyai gerakan yang

merupakan kombinasi dari rotasi dan translasi. Dalam gambar (a)

perhatikan gerakan dari batang hubung sewaktu ia bergerak dari posisi

BC ke B’C’. Posisi -posisi ini ditunjukkan dalam gambar (b). Disini kita lihat

bahwa gerakannya ekivalen terhadap suatu translasi dari BC ke B’’C’’

yang diikuti oleh sutu rotasi dari B’’C’’ ke B’C’. Gerakan ekivalen yang lain

diilukiskan dalam ga mbar (c). Disini ditunjukkan suatu putaran dari suatu

batang terhadap C dari posisi BC ke B’’C’’, diikuti dengan suatu translasi

dari B’’C’’ ke B’C’. Jadi gerakan dari batang hubung dapat dianggap

sebagai suatu putaran terhadap beberapa titik ditambah suatu translasi.

7

1.10 VEKTOR-VEKTOR

Ada dua tipe besaran yang harus diperhatikan dalam mekanika.

Besaran scalar adalah yang hanya mempenyai besar saja. Contohnya :

jarak, luas, isi dan waktu. Besaran vector mempunyai besar dan arah.

Contohnya : lintasan, kecepatan , percepatan dan gaya. Sebuah

besaran vector dapat dinyatakan dengan sebuah garis lurus dengan

anak panah. Besar dari vector diyatakan dengan panjangnya yang

digambarkan dengan skala tertentu.

1.10.1 Penjumlahan dan Pengurangan dari vector-vektor

Vektor-vektor A dan B dalam gambar dibawah dapat

ditambahkan dengan meletakkan mereka dalam suatu cara seperti

pada gambar. Titik O adalah titik awal yang disebut kutub, dari kutub ini

vector A dan vector B diletakkan dengan ekor dari salah satunya

diletakkan pada ujung vector lainnya. Jumlah dari kedua vector disebut

resultante dan dalam gambar ditunjukkan dengan garis putus-putus.

B

A A

A + B

B

O

Pada waktu meletakkan vector-vektor untuk tujuan menentukan

resultantenya, besar dan arahnya yang diberikan haru s dipertahankan,

8

tetapi urutannya meletakkan tidak akan memberikan efek terhadap

resultantenya. Resultante selalu berarah keluar dari kutubnya dan

merupakan penutup dari suatu polygon.

-B B O

A

A + B A A - B

O

-A

B - A

B O

1.10.2 Penggabungan dan Penguraian dari vector-vektor

Penggabungan menyatakan penambahan bersama -sama dari

sejumlah vector-vektor. Jumlahnya disebut resultante dan vector-vektor

tersebut disebut komponen dari resultante.

O O C

A A + B + C A

B

C C + A + B B

Penguraian menyatakan pemecahan dari vector ke dalam

sejumlah komponen-komponen. Setiap vector dapat diuraokan ke dalam

9

A

sejumlah komponen yang tak terbatas. Seringkali diinginkan untuk

menguraikan sebuah vector kedalam dua komponen. Jika sebuah vector

diuraikan ke dalam dua komponen, tiap komponen mempunyai besar

dan arah. Jika dua dari empat besarannya diketahui, dua yang lain

dapat ditentukan.

C B

A

C

B

SOAL – SOAL :

1. Untuk setiap polygon vector dalam gambar dibawah, tuliskan

persamaan vector yangmemberikan resultante R.

10

A

-B O

C

R

-D

(a)

O

B

-A

R

O C

-D

-Q (b)

R -N P

M

O

R -P

(c)

-M

-N

(d)

2. Uraikan sebuah vector A yang mempunyai besar 20 unit dan arah

1300 kedalam dua vector B dan C. B mempunyai arah 80 0 dan C

mempunyai arah 2100.

Tentukan besar dari B dan C.

3. Uraikan sebuah vector T yang mempunyai besar 50 unit dan arah

1200 kedalam dua vector R dan S. Besar R harus 30 unit dan besar S

adalah 66 unit.


2100 kedalam dua vector B dan C. Besar C harus 37.5 unit dan

berarah 75 0 . Tentukan besar dari B dan arahnya dalam derajat.

12


3450 kedalam dua vector B dan C. C mempunyai arah 315 0 . Besar

dari B = 32.5 unit. Nyatakan dalam gambar besar dari C.

13

Bab II

KKEECCEEPPAATTAANN DDAANN PPEERRCCEEPPAATTAANN

2.1 LINTASAN DAN KECEPATAN LINEAR

2.1.1 Kecepatan Linear

Lintasan dari sebuah titik adalah perubahan dari posisinya dan dia

adalah besaran vector. Pada gambar 2.1 sebagai titik P bergerak

sepanjang jalur dari posisi B ke posisi C. Lintasan linearnya adalah

perbedaan posisi dari vector OB dan OC.

y

C

P ? s B

? y

? x

x

Gambar 2.1

Ini dapat dinyatakan sebagai vector ?s yang merupakan jumlah dari

vector ?x dan ?y. Jadi : ?s = ?x +? ?y

14

Ukuran dari lintasan linear dapat dinyatakan dalam bentuk ukuran besar x

dan y.

s ( x)2 ( y )

2

Kecepatan linear adalah kecepatan perubahan terhadap waktu dari

lintasan linearnya. Dalam gambar 2.1 titik p bergerak dari posisi B ke posisi

C dalam waktu ?t. Kecepatanrata-ratanya selama selang waktu ini

adalah:

s

Vav = t

Kecepatan linear sesaat dari suatu titik pada waktu di titik B adalah :

lim

V = t 0

s =

ds

t dt

2.1.2 Percepatan Linear

Percepatan linear adalah kecepatan perubahan terhadap waktu dari

kecepatan linearnya.

lim A =

t 0

V =

dV t dt

Tetapi : V = ds

dt

Maka A = d

2 s

dt 2

2.2 PERGESERAN DAN KECEPATAN SUDUT

Tinjaulah benda yang ada dalam gambar 2.2 yang berputar

terhadap sebuah sumbu tetap O dan misalkanlah P adalah sebuah titik

15

yang tetap pada benda tersebut. Sewaktu P bergerak ke P’, lintasan

sudut dari garis OP adalah ??, yang terjadi dalam waktu ?t.

?

P

?? V

R P

Kecepatan sudut rata-rata dari benda tersebut selama selang waktu ?t

adalah :

? ? ? ? t

Kecepatan sudut sesaat dari benda untuk posisi OP adalah :

w = lim q t 0 t

Didalam gambar 2.2 titik P mempunyai jari-jari putaran R yang sama

dengan panjang OP. V adalah kecepatan dari titik P dan menyinggung

garis PP’ dan oleh karena itu tegak lurus terhadap jari-jari R. Panjang busur

PP” = R q dimana q dinyatakan dalam radian. Besar dari kecepatan

titik P adalah :

lim R q dq V = = R

t 0 t dt

Substitusikan ke persamaan diatas diperoleh :

V = R w

16

2.3 PERCEPATAN SUDUT

Percepatan sudut adalah kecepatan waktu dari perubahan

kecepatan sudut :

a dw dt

d 2q

dt2

2.4. PERCEPATAN NORMAL DAN TANGENSIAL

Suatu titik dapat mempunyai percepatan dalam suatu arah,

apakah normal, tangensial atau kedua-duanya, terhadap jalur dari

gerakannya. Jika suatu titik mempunyai gerakan yang berbentuk kurva, ia

akan mempunyai sebuah percepatan normal sebagai akibat dari

perubahan dalam arah dari kecepatan linearnya. Jika besar dari

kecepatan linearnya berubah maka titik tersebut akan juga mempunyai

percepatan tangensial.

V C V + ?V

N

M R R’

V ?V ? Vn

? ?

V + ?V ?Vt

O O ,

17

n

2

Dalam gambar diatas sebuah titik bergerak sepanjang jalur MN.

Kecepatannya pada waktu di B adalah V. Setelah selang waktu ?t

mencapai titik C dan kecepatannya menjadi V+?V. R dan R ‘ adalah jari-

jari dari lintasan titik B dan C. Percepatan tangensial At dari suatu titik

pada posisi B adalah kecepatan waktu dari perubahan besar dari

kecepatan linearnya.

At = lim V

t

t 0 t

dV t

= dt

Dengan V = R w maka : At = R dw

dt

Percepatan normal An dari suatu titik pada posisi B adalah kecepatan

waktu dari perubahan kecepatannya dalam arah normal terhadap jalur

pergeseran.

An == lim

t 0

V dV n

= t dt

Dengan sudut ?? menjadi d? dan besar dari ?Vn menjadi sama dengan

panjang busur dalam limit, jadi

dVn = Vd?

dq An = V

dt

= V w

dengan V = R w

An = R w 2 = V R

18

2.5. Gerakan relatif

Sebuah benda dikatakan mempunyai gerakan relatif terhadap

benda lain hanya jika mempunyai perbedaan dalam gerakan-gerakan

absolutnya. Gerakan relatif ditunjukkan dalam gambar dibawah ini,

dimana VA dan VB adalah kecepatan-kecepatan dari dua benda.

VA

VA

-VB

V B

VAB

-VA

VB

VBA

Kecepatan dari A relatif terhadap B adalah kecepatan absolute A

dikurangi kecepatan absolute B, oleh karena itu

VAB = VA - VB

= VA + ( - VB )

seperti terlihat pada gambar. Dengan cara yang sama kecepatan

B relatif terhadap A adalah kecepatan absolute dari B dikurangi

kecepatan absolute dari A.

VBA = VB - VA

= VB + ( - V A )

atau dengan memindahkan VA ke sisi sama dengan

VB = VA + VBA

19

SOAL SOAL :

1. Sebuah benda bergerak sejauh 457 mm dengan kecepatan

tetap = 1.22 m/detik.

a. Tentukan waktu yang diperlukan dalam detik.

b. Jika sebuah benda harus bergerak sejauh 457 mm dalam

0.2 detik dengan kecepatan yang berubah-ubah tentukan

kecepatan rata-rata dalam m/detik.

2. Sebuah pesawat terbang, terbang lurus ke timur dari kota M ke

kota N yang berjarak 644 km. Pesawat tersebut mempunyai

kecepatan 290 km/jam. Angin potong bertiup ke selatan

dengan kecepatan 97 km/jam. Dalam arah mana pesawat

terbang harus diarahkan dan berapa lama perjalanan akan

ditempuh ?

3. Sebuah mobil dimodelkan seperti pada gambar dibawah ini,

bergerak ke kanan dengan kecepatan 30 mil/jam. Roda 2 dan

4 masing-masing mempunyai garis tengah 36 inchi dan 24 inchi.

20

Tentukan :

a. VO2, VBO2, VB , VC dan VBC dalam kaki/detik.

b. ? 2, ? 4 dan ? 24.

c. Gambarkan vector-vektornya.

4. Lempeng dalam gambar dibawah mempunyai ?= 120

put/menit dan a = 132 rad/detik2. OB = 38.1 mm dan OC = 25.4

mm.

Tentukan : VB, VC, An , A t , A n dan A t dengan menggunakan B B C C

persamaan dan secara grafis.

B

?

1350

O a

C

5. Dalam gambar dibawah mempunyai ?= 100 put/menit dan a =

90 rad/detik2. Tentukan : VB, VC, A n , A t , A n dan At dengan B B C C

menggunakan persamaan dan secara grafis.

22

?

y

Bab III

KKEECCEEPPAATTAANN RREELLAATTIIFF DDAANN PPEERRCCEEPPAATTAANN

RREELLAATTIIFF

3.1 KECEPATAN RELATIF

3.1.1 Kecepatan relatif dua buah titik pada satu penghubung kaku

Penghubung berputar terhadap satu titik tetap

Perhatikan sebuah penghubung kaku yang berputar terhadap satu titik

tetap O. Seperti ditunjukkan dalam gambar 3.1

VB

y y VB

? B VB x B

R R

? ?

x x

O O

Gambar 3.1. Kecepatan sebuah titik yang bergerak

terhadap satu titik tetap

Jarak antara O dan B adalah R dan garis O-B membuat suatu sudut

sebesar q terhadap sumbu x .

23

Perpindahan titik B dalam arah sumbu x = R cos q dan perpindahan titik B

dalam arah sumbu y = R sin q

Dideferensial terhadap waktu dengan harga R konstan diperoleh :

dx d ( R cosq )

dt dt R( sin q )

dq

dt

dy d ( R cosq )

dt dt ( R cosq )

dq dt

dx Kecepatan titik B dalam arah x adalah =

dt

dy Kecepatan titik B dalam arah y adalah VB

y = dt

Kecepatan sudut garis O-B adalah : w dq dt

Maka kecepatan pada titik B : 1. Dalam arah x adalah VB x = -R w sin q

2. Dalam arah y adalah VB y= R w cosq

Kecepatan total titik B diperoleh dengan menjumlahkan secara vector

kedua komponen kecepatan tegak lurus.

VB = R w sin q R w cosq

VB = [(R w sin q )2 + ( Rw cosq )2]1/2

= Rw (sin2 q + cos2 q )

= Rw

24

x

Dari gambar diatas ditunjukkan bahwa kecepatan titik B tegak lurus

terhadap garis O-B.

3.1.2 Hubungan kecepatan dua buah titik pada satu penghubung kaku

Persamaan kecepatan relatif untuk dua buah titik pada satu

penghubung kaku dapat diperoleh dengan mengembangkan prosedur

analisa diatas.

R? cos ?

y y y

y R?

B

R

? R sin ?

R? sin?

?

VA

B

V A B

?

? YA

O R cos ?

XA

? A

A

x x O x O

Gambar 3.2. Hubungan kecepatan dua buah titik pada satu penghubung kaku

Perhatikan sebuah garis A-B, seperti terlihat pada gambar 3.3 yang

mempunyai gerak kombinasi translasi dan rotasi. Koordinat titik A adalah

(XA,YA), panjang A-B sebesar R dan sudut yang dibentuk garis A-B dan

sumbu x adalah q . Sehingga koordinat titik B adalah :

25

V V

V V

a a

a a

B A

B A

XB = X A + R cos q

YB = YA + R sin q

Dideferensialkan terhadap waktu t, dan R adalah besaran Konstanta

dxB

dt

dyB

dt

dX A

dt dYA

dt

Rsin q dq

dt

R cos q dq

dt

Dengan dxB V x , dxA V

x , dyB V

y , dyA V

y , dan w

dq

dt B

dt A

dt B

dt A

dt

Maka x x Rw sin q

y y Rw cosq

Posisi dari vector-vektor kecepatan ini ditunjukkan pada gambar 3.3.

Dengan menjumlahkan kedua persamaan diatas akan diperoleh

kecepatan total dari titik B.

VB = (V X V y ) (R w sin q R w cosq )

Harga (V X

V y ) adalah kecepatan total titik A , VA dan

Harga (R w sin q R w cosq ) = Rw , maka persamaan diatas dapat

dituliskan menjadi :

VB = VA Rw

Dengan Rw adalah vector kecepatan yang tegak lurus ke garis A-B dan

dalam arah yang sama dengan kecepatan sudutnya.

Kecepatan relatif titik B terhadap titik A adalah VBA = R w .

26

Sehingga untuk dua buah titik pada satu penghubung kaku, dapat

dipakai salah satu dari dua persamaan dibawah ini :

VB = VA Rw

VB = VA VB A

3.2 PERCEPATAN RELATIF

3.2.1 Percepatan sebuah titik pada sebuah penghubung yang berputar

terhadap satu pusat tetap dengan jari -jari konstan.

28

B

y

R a sin ?

B a

R ? R a

R a cos ?

O x

(e)

Gambar 3.3. Percepatan sebuah titik pada sebuah penghubung yang berputar terhadap satu pusat

tetap.

Penghubung (Link) O 2 – B (Gambar 3.3 a) berputar terhadap satu pusat

tetap O 2, dengan kecepatan sudut w radian per detik, kearah melawan

putaran jam (CCW), dan percepatan sudutnya a . Jarak O 2 – B sama

dengan R. link O2 – B membentuk sudut q dengan sumbu x.

Diinginkan percepatan total yang diterima titik B.

Kecepatan titik B:

1. Dalam arah x adalah VB x = -R w sin q

2. Dalam arah y adalah VB y= R w cosq

Kedua persamaan diatas dideferensialkan terhadap waktu t, dan R

adalah konstanta dihasilkan :

dV x

dt R[w(cosq )

dq dt

(sin q ) dw

] dt

29

B

A

A

B

B

dV y

dt

R[w( sin q ) dq dt

(cosq ) dw

] dt

Percepatan titik B dalam arah sumbu x : dV

x b A

x

dt B

Percepatan titik B dalam arah sumbu y : dV

y

b Ayx

Percepatan sudut : a dw

dt

dt B

Sehingga persamaan diatas menjadi :

x Rw 2 cosq Ra sin q

y Rw 2

sin q Ra cosq

Gambar 6.1b memperlihatkan vector-vektor dalam posisinya masing-

masing, sehingga percepatan total titik B adalah :

AB = ( Rw2 cos q Rw2 sin q ) ( Ra sin q Ra cosq )

Kedua komponen tegak lurus dalam tanda kurung pertama, yang

ditunjukkan dalam gambar 3.3c memberikan sebuah resultan R? 2, yang

mempunyai arah dari titik B ke pusat perputaran penghubung (link).

Dua komponen kedua tegak lurus dalam tanda kurung kedua, yang

ditunjukkan dalam gambar 3.3d memberikan sebuah resultan Ra, yang

mempunyai arah tegak lurus ke garis B-O2 . Gambar 3.3e menunjukkan

pengaruh pembalikan arah percepatan sudutnya.

Sehingga percepatan total titik B dapat dinyatakan dengan persamaan :

AB = R w 2 R a

Dengan : R w 2 disebut komponen percepatan normal atau radial

30

Ra disebut komponen percepatan tangensial

31

V V

V V

B A

B A

B A

B A

3.2.2 Percepatan relatif dua buah titik pada satu penghubung kaku

Sebuah gari A-B seperti pada gambar , adalah bagian dari

penghubung kaku yang bergerak dalam suatu bidang dengan gerak

sebarang, lokasi titik B :

y

a B ?

R ? A

YA

O XA

x (a)

XB = X A + R cos q

YB = YA + R sin q

Kecepatan titik B : x

x Rw sin q

y y Rw cosq

Persamaan kecepatan titik B dideferensialkan terhadap waktu t dengan

harga R konstan diperoleh : dV x

dt

dV x

dt R[w(cosq )

dq dt

(sin q ) dw

] dt

dV y

dt

dV y

dt

R[w( sin q ) dq dt

(cosq ) dw

] dt

32

A A

A A

B A

A A

B A

B A

B

Percepatan titik B dalam arah sumbu x : dV

x b A

x

dt B

Percepatan titik B dalam arah sumbu y : dV

y b A

yx

dt B

Percepatan titik A dalam arah sumbu x : dV

x

bA Ax

dt A

Percepatan titik A dalam arah sumbu y : dV

y

A Ayx

Kecepatan sudut: w dq dt

dt A

Percepatan sudut : a dw dt

Maka persamaan diatas dapat dituliskan menjadi :

x x Rw 2 cosq Ra sin q

y y Rw 2 sin q Ra cosq

Percepatan total titik B, AB diperoleh dengan menjumlahkan komponen

tegak lurus: AB = A x y

Dengan menjumlahkan vector seperti yang ada digambar dengan

urutan sebagai berikut :

AB = (A x A y ) ( Rw 2 cos q Rw 2 sin q ) ( Ra sin q Ra cosq )

Suku dalam kurung pertama adalah percepatan total titik A

Suku dalam kurung kedua adalah samadengan Rw 2 yaitu vector yang

arahnya dari B ke A. Suku dalam kurung ketiga adalah sama dengan Ra

33

yaitu vector dengan arah tegak lurus B-A dan arahnya sesuai dengan

arah percepatan sudutnya.

Sehingga percepatan titik B dapat dinyatakan dengan :

AB = AA Rw 2 Ra

y R a AA

B

a R

?

A

x

O (c)

Dari persamaan ini percepatan titik B sama dengan percepatan titik A

ditambah denganpercepatan relatif titik B terhadap titik A. Sehingga

persamaan percepatan titik B dapat dituliskan :

AB = AA ABA

Dengan mengganti R = BA dan w VBA maka didapatkan persamaan : BA

AB = AA

V 2

BA

BA

BAa

34

Soal -soal :

I. Kecepatan Relatif

1. penghubung A-B bagian dari sebuah mekanisme empat

penghubung telah dianalisa dan telah didapatkan bahwa

kecepatan A adalah 10 m/dt seperti ditunjukkan. Juga diketahui

bahwa kecepatan sudut penghubung untuk sesaat pengamatan

adalah 60 rat/det kearah putaran jam . jika penghubung A-B

panjangnya 10 cm berapa kecepatan total titik B dan bearnya dan

arah. Selesaikan dengan memakai VA =VA + V BA ; dan selesaikan

dengan memakai VB= V A + VB A.

VA B

30 0

2

VB A

? 2

2. Sebuah penghubung A-B panjangnya 20 cm. Komponen-komponen

kecepatan titik a dan b seperti ditunjukkan. Berapa besar dan arah

kecepatan sudut penghubung ?

6 m/det

3 m/det 1.5 m/det

B

1.5 m/det

A

35

3. Kecepatan titik a pada penghung 2 diketahui besar dan arahnya.

Kecepatan relatif titik B terhadap titik A diketahui besar dan

arahnya. Tunjukkan bagaimana kecepatan titik B dan kecepatan

titik C dapat ditentukan.

VBA

VA

2

A B

C

II. Percepatan Relatif

1. Sebuah penghubung yang panjangnya 12.5 cm, berputar pada 400

rpm kearah putaran jarum jam, dengan salah satu ujungnya tetap

dan 5 detik kemudian berputar pada 1800 rpm, dengan percepatan

sudut konstan. Berapa percepatan titik tengah penghubung pada

saat penghubung berputar pada 1400 rpm ?

2. Apabila percepatan titik A seperti yang ditunjukkan, berapa

kecepatan sudut dan percepatan sudutpenghubung untuk posisi

yang ditunjukkan ? Kemana arah percepatan sudutnya ? Dapatkah

arah kecepatan sudut diketahui ?

AA=1000 m/det2

30

0

O2

A

15 cm

200

36

3. Jika percepatan normal titik B terhadap titik A adalah 125 m/det2

dan percepatan tangensial titik B terhadap titik A adalah 250

m/det2. Berapa kecepatan sudut dan percepatan sudut

penghubung ?

AtBA=250 m/det

2

AB = 15 cm

36

B

A A

n 2

B A=125 m/det

4. Jika percepatan total titik-titik A dan B diketahui dan seperti

ditunjukkan, berapa kecepatan sudut dan percepatan sudut

penghubung ? Perhatikan dalam dua cara : hubungan percepatan

titik B terhadap titik A, dan hubungan percepatan titik a dan titik B.

tentukan juga percepatan titik C.

AA=200 m/det2

AB=400 m/det2

60 0

A B

C

37

B

Bab IV

PPEENNEERRAAPPAANN KKEECCEEPPAATTAANN RREELLAATTIIFF DDAANN

PPEERRCCEEPPAATTAANN RREELLAATTIIFF

4.1.1 Mekanisme Engkol Peluncur

Mekanisme paling sederhana yang dipelajari adalah mekanisme

engkol-peluncur segaris seperti pada gambar 4.1

Semua dimensi mekanisme diketahui dan penghubung digambarkan

dengan skala.

Kecepatan sudut penghubung 2 konstan ,w2 = 1800 rpm berputar searah

jarum jam. Panjang O2A = 2.5 in dan AB = 6 in

w2 A 3

2

4

O2 B

Gambar 4.1 Mekanisme Engkol Peluncur

Diagram Kecepatan

Kecepatan titik A : VA = (O 2A) w2 =

2.5

12 x

1800 x2p = 39,3 rad/detik

60

38

VA diketahui tegak lurus O 2A arahnya sesuai w2

Kecepatan titik B dapat ditentukan dari :

VB = VA + VBA Atau VB = VA + ( BA) w2

Dan VB (titik B hanya bergerak secara horizontal) sehingga VB arahnya

akan horizontal.

Pembuatan diagram kecepatan ditabelkan sebagai berikut :

Table diagram kecepatan

No

1

Besaran VA = Ov - a

Harga

(O2A) w2

Arah - O2A

2 VBA = a - b ? - BA

3 VB = Ov - b ? ¦ Lintasan titik B

a VA

Letak titik b sesuai lintasan

O v

b

Letak titik b tegak lurus AB

Diagram Kecepatan

Untuk menentukan arah kecepatan sudut penghubung 3 (? 3).

39

A

3 w 3

B

VBA

Penghubung 3 diisolasi seperti gambar dibawah, dimana digunakan VBA

oleh karena titik A dipandang diam. Untuk arah VBA, penghubung 3

berputar kea rah melawan jarum jam umtuk posisi yang ditunjukkan,

dengan harga sebesar : w V

BA 3

BA

dimana ? 3 harus dinyatakan dalam radian persatuan waktu. Jika VBA

dinyatakan dalam meter per detik, BA harus dinyatakan dalam meter,

dan ? 3 dalam radian oer detik.

Harga VB dapat diperoleh dengan mengukur panjang ab dan

mengalikan dengan skala yang dipakai.

Diagram Percepatan

Langkah pertama : Memisahkan penghubung 2.

Percepatan titik A yang berputar terhadap satu pusat tetap sama

dengan

40

2

t

V

V

AA = (O A)w 2 2 (O2 A)a 2

Harga R dan w2 diketahui sehingga percepatan normal

(O2 A)w

2 2dapat dihitung. Arah (O

2 A)w

2 2adalah sepanjang garis A – O2

dari A menuju O2 dan harga (O2 A)a 2 sama dengan 0 karena kecepatan

sudutnya konstan..

AA digambarkan dengan skala percepatan yang sesuai.

Langkah kedua : Penghubung 3

Percepatan titik A dapat dikaitkan dengan percepatan titik B melalui

penghubung 3.

Hubungan percepatan di titik A dan titik B :

AB = AA ABA

AB = AA ABAn AB A

AB = AA BA ? 32 BAa 3

2

AB = AA BA

BA

BAa 3

Langkah ke tiga : interpretasi dari setiap suku dalam persamaan :

a. AB diketahui arahnya , karena titik B bergerak dengan translasi

murni, dan ini hanya mempunyai percepatan dalam arah gerak.

Besarnya AB tidak diketahui.

2

b. BA

BA

dapat ditentukan secara lengkap, baik dalam besarnya

maupun arahnya. VBA dapat ditentukan dari polygon kecepatan,

BA diketahui dan komponen percepatan normal arahnya dari B ke

A karena yang ditentukan adalah percepatan B relatif terhadap A.

41

c. BAa 3 diketahui tegak lurus ke garis dari B ke A, besarnya belum

diketahui.

Sehingga terdapat dua anu, yakni besar AB dan besarnya BAa

3 , yang

dapat diperoleh dari penyelesaian sebuah polygon vektor.

Table diagram percepatan

No

Besaran

Percepatan Normal Percepatan Tangensial

Harga Arah Vektor Harga Arah Vektor

1

2

AA = o’ –

a’

ABA = a‘- b’

w 2 (O2A) 2

w 2 (AB) 3

A – O2

B - A

o’ – a0

a’ - ba

0

?

-

¦ VB A

a 0 – a’

ba – b’

3

AB = o’ –

b’

0

-

o’ – b0

?

¦ VB

b 0 – b’

Ov

Letak titik b sesuai lintasan b’

ba

Letak titik b tegak lurus AB a’

Diagram Pe rcepatan

42

3

Besar dan arah percepatan sudut penghubung 3 dapat ditentukan

dengan cepat. Jika percepatan tangensial titik B terhadap titik A

ditempatkan pada penghubung 3, yang terisolasi seperti ditunjukkan

pada gambar dibawah.

(BA) a3

A

a 3

B

akan diperoleh arah percepatan sudutnya melawan putaran jarum jam

dan harganya :

a ( BAa

3 )

3 BA

Apabila satuan- satuan yang dipakai adalah feet dan detik, maka

percepatan sudut harus dinyatakan dengan radian per detik per detik,

dituliskan sebagai rad/det2. Jika satuan-satuan yang digunakan adalah

meter, detik, maka percepatan sudut harus dinyatakan dengan rad/det2.

4.1.2 Mekanisme Engkol Peluncur

43

A C

w2 3

2

B

O2 4

Gambar 4.1.2 Mekanisme Engkol Peluncur O 4

Mekanisme peluncur seperti diperlihatkan dalam gambar 4.1.2.

Penghubung 3

digambarkan diperluas ke A-B-C, terutama untuk ilustrasi dalam

penentuan kecepatan semacam titik C.

Diagram Kecepatan

Pembuatan diagram kecepatan seperti pada sub bab 4.1.1.

a VA

c

Letak titik b sesuai lintasan

O v

b

Letak titik b tegak lurus AB

Diagram Kecepatan

Prosedur selanjutnya adalah dengan memecahkan dua persamaan

vektor.

VC = VA VC A

VC = VB VCB

B Ba

3

t

V

V

t

V

A

O

Dimana terdapat emtat anu : besar dan arah VC , besar VCA dan

besarnya VCB . Kedua persamaan vektor memungkinkan diperolehnya

keempat anu, yang jawabnya ditunjukkan dalam gambar. Perlu dicatat

bahawa a-b-c dalam gambar adalah bayangan A-B-C, penghubung 3.

Bayangan dari kecepatan

Tiap batang penghubung dalam suatu mekanisme akan mempunyai

bayangan dalam segi banyak kecepatannya. Dalam gambar diagram

kecepatan garis-garis a -b, b-c dan c-a masing-masing digambarkan

tegak lurus terhadap garis-garis A-B, B-C dan C-A dari mekanisme.

Akibatnya segitiga abc adalah sebangun dengan segitiga ABC dan

?abc disebut sebagai bayangan (image ) dari segitiga ABC.

Diagram Percepatan

Pembuatan diagram kecepatan seperti pada sub bab 4.1.1.

Titik C dapat dicari dengan persamaan-persamaan dibawah ini.

AC = AA ACA

AC = AA ACA

n ACA

2

AC = AA CA

CA

CAa 3

Dan AC = AB ACB

AC = AB ACB

n AC Bt

AC = AB

2 CB C b’

C ABA v

2

CB

CB

n BA

Program Semi Que IV Tahun 2003 43 Fakultas Teknik Jurusan Mesin

Universitas Brawijaya

44

V

n A B A

c’ a’

2

CA

CA

Bayangan percepatan

Diagram Pe rcepatan

Untuk setiap mekanisme pasti ada satu bayangan dalam segi banyak

percepatannya, persis seperti satu bayangan untuk setiap batang

penghubung dalam segi banyak kecepatan.

A dan B adalah dua titik pada penghubung 3 maka :

AB A = ABA t

Besar dari percepatan relatifnya adalah :

n 2 t 2

AB A = ABA ABA

= [ AB w 2 ]2

[ AB a ]2

= BC w 4

a 2

Mengingat ? dan a adalah sifat yang menjadi milik keseluruhan batang

penghubung, persamaan yang terakhir menunjukkan bahwa percepatan

relatifnya sebanding dengan jarak titik-titik tersebut. Ini memberikan arti

yang baik untuk dapat menggambarkan segi banyak percepatan,

mengingat besar dari vector percepatan relatif untuk semua titik-titik

pada suatu batang penghubung akan sebanding dengan jarak-jarak

antara titik-titik itu.

Dalam diagram percepatan letak titik c’ dapat ditentukan dengan

membuat a’b’c’ bayangan dari ABC. Ini menunjukkan :

a'b'

AB

b'c'

BC

a' c'

AC

45

2

Pada waktu menggambarkan bayangan percepatannya kita harus hati-

hati supaya bayangan percepatan tidak terlampaui (flip over).

Ini menunjukkan jika A, B dan C pada suatu batang penghubung urut-

urutannya searah jarum jam maka a’, b’ dan c’ urut-urutannya haruslah

juga sesuai dengan arah jarum jam.

4.2 Mekanisme Empat Penghubung

Suatu system rangkaian batang penghubung 4 batang

diperlihatkan pada gambar dibawah. Kecepatan dan percepatan sudut

dari batang penghubung 2 diketahui, percepatan dari titik-titik A, B dan C

harus dicari bersama -sama dengan percepatan sudut dari batang

penghubung 3 dan 4.

C

O2 A = 152 C

3 B

AB = 279

O4C = 229

A

4

2

? 2 = 50 rad/det

O 2 a 2 = 1600 rad/det

1 O4

Diagram Kecepatan

46

2

2 2

Kecepatan titik A : VA = (O 2A) w2



No

1

Besaran VA = Ov - a

Harga

(O2A) w2

Arah - O2A

2 VBA = a - b ? - BA

3

4

VB = Ov - b VC = Ov - c

? - O4B

Diperoleh dengan bayangan kecepatan

b

O v c

a

VA

Diagram Percepatan


dengan

AA = (O A)w 2

2 (O2 A)a 2

Harga O2A dan w2 diketahui sehingga percepatan normal

(O2 A)w 2dapat dihitung. Arah (O2 A)w 2adalah sepanjang garis A – O2

dari A menuju O2 dan harga harga percepatan normalnya = (O2 A)a 2

yang arahnya tegak lurus A – O2 sesuai arah a2.

47


Pembuatan diagram percepatan dapat ditabelkan sebagai berikut :


No

Besaran



1

AA = o’ –

a’

w 2 (O2A) 2

A – O2

o’ – a0

(O2A)

a2

¦VA

a 0 – a’

2

ABA = a‘- b’

w 2 (AB) 3

B - A

a’ - ba

?

¦ VB A

ba – b’

3

AB = o’ –

b’

w 2 (O4B) 4

B – O4

o’ – b0

?

¦ VB

b 0 – b’

4

AC = o’ –

c’

Diperoleh dengan bayangan Percepatan

48

A

A

O ’

ABn

bo

ABt

b’

n A

c’ 3

ao

a’ t

A

Gambar Diagram percepatan

49

4.3 Mesin Powell

Mesin yang mengkombinasikan engkol peluncur dan dan empat

penghubung ialah mesin powel pada gambar . Penghubung 2

dimisalkan berputar pada suatu kecepatan konstan ? 2 searah putaran

jam .

Diagram Kecepatan

Kecepatan titik A : VA = (O 2A) w2



No Besaran Harga Arah

1 VA = Ov - a

(O2A) w2 - O2A

2 VBA = a - b ? - BA

3 VB = Ov - b ? - O4B

4 VC = Ov - c

Diperoleh dengan ( VC VB )

O4C O

4 B

50

2

2

3

4

5

5 VDC = c - d ? - CD

6 VD = Ov -d ? ¦ Lintasan titik D

Poligon kecepatannya ditunjukkan dalam gambar.

Diagram Percepatan


dengan

AA = (O A)w 2

2 (O2 A)a 2


(O2 A)w

2 2dapat dihitung. Arah (O

2 A)w

2 2adalah sepanjang garis A – O2

dari A menuju O2 dan harga percepatan normalnya = (O2 A)a 2 =0.





No Besaran Harga Arah Vektor Harga Arah Vektor

1 AA = o’ –

a’

w2 (O2A) A – O2 o’ – a0 0 - a 0 – a’

2 ABA = a‘- b’ w

2 (AB) B - A a’ - ba ? ¦ VBA ba – b’

3 AB = o’ –

b’

w2 (O4B) B – O4 o’ – b0 ? ¦ VB b 0 – b’

4 AC = o’ –

c’

Diperoleh dengan ( AC

O4C

AB ) O

4 B

5 ADC = c‘- w

2 (CD) D - C c’ - dc ? ¦ VBA dc – d’

51

d’

6

AD = o’ –

d’

0

-

o’ – d 0

?

¦ VD

d 0 – d’

Poligon percepatannya ditunjukkan dalam gambar.

c’

d’ dc

a’ b’

ba

bo OA

Diagram Percepatan

52

SOAL-SOAL :

1. Kecepatan A adalah 3 m/det kearah bawah dan bertambah

dengan laju sebesar 25 m/det2.

Tentukan : a. Kecepatan dan percepatan titik-titik B, C dan D.

b. Kecepatan sudut dan percepatan sudut

penghubung 3 dan 5.

2. Tentukan : a. Kecepatan dan percepatan titik-titik B.

b. Kecepatan sudut dan percepatan sudut

penghubung 3.

53

3. Mekanisme penghubung kepala silang , Jika sesaat ditunjukkan

seperti gambar penghubung 2 bertambah kecepatannya pada laju 4800

rad/det2.

Tentukan : a. Kecepatan dan percepatan titik-titik B dan C.

b. Kecepatan sudut dan percepatan sudut penghubung 3,

4 dan 5.

4. Gambarkan polygon kecepatan dan percepatan untuk posisi

yang ditunjukkan jika penghubung 2 berputar pada suatu kecepatan

konstan.

54

Gunakan penyelesaian secara grafis.

56

Bab V

KKEECCEEPPAATTAANN DDAANN PPEERRCCEEPPAATTAANN PPAADDAA

DDDUUUAAA TTIITTIIKK YYAANGG BBEERRIIMMPPIITT

KKOOMMPPOONNEE NNN CCOORRIIOOLLIISS DDAARRII PPPEEERRRCCCEEEPPPAAATTTAAANNN

NNOORRMMAALL

5.1 Kecepatan relatif dua titik berimpit

Untuk menentukan besarnya kecepatan suatu titik yang bergerak

terhadap sebuah badan yang juga bergerak, perhatikan titik B yang

bergerak terhadap badan M, yang pada saat bersamaan badan M

tersebut bergerak dalam satu bidang, seperti terlihat pada gambar.

Ditetapkan sebuah system sumbu koordinat, X dan Y, dan akan

digunakan untuk menentukan posisi absolute suatu titik dalam bidang X

dan Y. Sebuah system sumbu yang kedua, c dan d ditetapkan pada

badan M dan bergerak dalam cara yang sama seperti badan M

57

V

bergerak. Sudut ? memberikan posisi sudut dari sumbu c dengan sumbu X

Y

M

c

d

c

XA ? YB

A

B

d

?

(c sin ? + d cos ?)

(c cos ? - d sin ?)

YA

X

O XB

(a)

Pada gambar diatas menunjukkan bahwa perpindahan X dan Y dari titik

B dapat dinyatakan sebagai berikut, dimana A merupakan satu titik tetap

pada M :

XB = X A + c cos q - d sin q

YB = YA + c sin q + d cos q

Dideferensialkan persamaan-persamaan di atas dan mengganti w dq dt

yaitu kecepatan sudut badan M, dengan menganggap bahwa c dan d

adalah variable-variabel

dX B x

dt B

dX A

dt

cw sin q dc

cosq dt

dw cosq dd

sin q dt

58

V

V V

V V

B B

A A

X y

B A

B A

?

dYB Y

dt B

dYA

dt

cw cosq dc

sinq dt

dw sin q dd

cosq dt

Dengan

dc dd

uc ,

dt dt

ud

, dX

A

dt

V A

dan dY

A V

dt A

Maka x

x w(c sin q d cosq ) uc

cos q ud

sin q

Y y

w ( c cosq d sinq ) uc sin q u d cosq

Y H R ?

?

? (c sin ? + d cos ?)

G

? (c cos ? - d sin ?)

?

B

c 90-?

d

R

(c sin ? + d cos ?)

?

A J

(c cos ? - d sin ?)

O X

(b)

Dengan menjumlahkan persaman diatas secara vektor dan

menyederhanakan seperti dibawah :

(a). VB = (V X V y )

(b). V A = (V

X V y )

(c).

w ( c sin q

d cos q )

w ( c cos q d sin q ) = w c 2

d 2 1 / 2

59

B

2 2

2 2

(d). (uc cos ? uc sin ?) = ( uc cosq ) ( uc sin q ) 1 / 2

= uc

(e). (ud cos ? u d sin ?) = (ud

cosq ) (ud

sinq ) 1 / 2

= ud

Maka

VB = V

B R ? uc ud

Tetapi V B

R? = VBm yaitu kecepatan suatu titik pada badan M yang

berimpit dengan titik B, karena A dan satu titik pada badan M yang

berimpit dengan B adalah dua buah titik pada satu penghubung kaku.

Juga, uc ud = u, yaitu kecepatan relatif B terhadap badan M. sehingga

persamaan diatas dapat dituliskan dalam bentuk :

VB = V M

u

Sebagai kesimpulan , interpretasi persamaan diatas yaitu bahwa

kecepatan sebuah titik yang bergerak terhadap satu badan yang juga

bergerak, diperoleh dengan menjumlahkan secara vector kecepatan titik

yang berimpit pada badan gerak dan kecepatan relatif terhadap

badan, dengan menganggap badan diam.

Persamaan dapat dituliskan dalam bentuk siap pakai dengan menyebut

titik gerak sebagai B 3 titik berimpit pada badan M sebagai B4, sehingga

bentuknya menjadi :

VB3 = VB 4 VB3B4

Interprestasi sebenarnya adalah bahwa kecepatan relatif, VB3B4, diamati

dengan menganalisa lintasan gerak titik B3 relatif ke penhubung 4

(penghubung dimana titik B3 bergerak ), dengan menganggap

penghubung 4 diam.

60

5.2 Percepatan dua titik berimpit

Untuk menentukan percepatan relatif dua buah titik yang berimpit

dimana satu titik bergerak terhadap satu body yang bergerak, seperti

pada pasangan sliding (sliding pair). Maka analisa percepatan untuk

keadaan tersebut diatas akan lebih rumit karena pusat kecepatan relatif

untuk pasangan seperti ini berada di tak terhingga.

Penyelesaian untuk analisa kinematika dari problem diatas ialah dengan

berdasarkan ketentuan bahwa hubungan yang mentransfergerakan dari

pasangan seperti keadaan diatas berimpit pada satu titik.

Kedua titik yang berimpit dari pasangan link tersebut mempunyai

kecepatan dan percepatan relatif satu dengan yang lainnya.

Dalam analisa ini kita akan mencari persamaan yang menentukan

besarnya percepatan normal relatif antara kedua titik tersebut.

VQ S

? s

Q S

?

M s

? s

? zs

M

s

VQ S

Q

S

z

Q pada link z

S pada link s

M pada link z dan link s

(a) (b)

61

Pada gambar (a)diatas link S bergerak dengan kecepatan sudut ? S ,

sedangkan titik Q bergerak diatas link S dengan jari-jari lintasan ? dan

pusat lintasan M.

Dengan memisalkan MQ = link z dengan panjang ? yang berputar diatas

link S dengan M sebagai pusatnya serta kecepa tan sudutnya ? ZS.

Pada gambar (b) Arah VQS keatas apabila ? ZS. Arahnya berlawanan arah

putaran jarum jam dan arahnya akan kebawah bila ? ZS berputar searah

putaran jarum jam.

Kecepatan Q relatif terhadap S : VQS = ? ? ZS. Atau

wZS

VQS

r

Tanda positip ? ZS berlawanan dengan putaran jarum jam dan

apabila negative arah ? ZS sama dengan putaran jarum jam.

Kecepatan sudut absolute dari link Z adalah :

? Z = ? S + ? ZS

Dengan menggunakan persamaan gerak relatif maka :

( AQM )n = ( AQS )n + ( ASM )n

( AQS )n = ( AQM )n + ( ASM )n

Kemudian ditinjau titik Q dan titik M pada link z.

Q

? zs ?

M

62

Z

S ZS

S

S

V

S

V

w

QS

( AQM )n = ? w 2

= ? (? S + ? ZS )2

= ? w 2 + ? w 2 2 ? wS

? wZS

Dengan memasukkan persamaan diatas dalam persamaan ini dihasilkan

:

( AQM )n = ? w 2 + V 2

r QS

r 2

2 ? wS

VQS

r

2

( AQM )n = ? w 2 + QS

r

2 wS

V QS

Kemudian ditinjau titik S dan M pada link S.

( ASM )n = ? w 2 S

S

r M

Mensubstitusikan persamaan () dan () kedalam persamaan () maka akan

didapatkan :

2

( AQM )n = ? w 2

+

2 w V QS - ? w 2

S r

S S

63

V

V

V

2

( AQM )n = QS

r

2 wS

VQS

Persamaan () menunjukkan besarnya percepatan normal titik Q yang

bergerak diatas link S yang juga bergerak.

2

Komponen percepatan QS

r

adalah percepatan normal titik Q,

apabila link S diam.

2

Dalam hal ini berarti VQS = Vq , dan arah QS

r

adalah dari Q ke M.

Sedangkan komponen percepatan 2 w S VQS disebut komponen

Coriolis dari percepatan normal titik Q relatif terhadap titik S.

Tanda positip menunjuj\kkan bahwa arah w ZS sama dengan arah w S ,

dan komponen

+ 2 w S VQS arahnya dari M menuju Q.

Sekarang apabila lintasan titik Q diatas link S adalah berpa garis lurus,

maka dalam hal ini harga r tak terhingga, sehingga komponen

V 2

percepatan QS

r

harganya nol.

Jadi untuk kasus ini percepatan normal antara titik Q relatif terhadap S

adalah :

( AQS )n = 2 w S VQS

Selanjutnya percepatan normal titik S relatif terhadap titik Q.

( ASQ )n = 2 w S VSQ

64

Cara untuk menentukan arah komponen percepatan coriolis

Arah dari komponen percepatan coriolis dapat juga kita tentukan tanpa

memperhatikan tanda positip atau negative dari komponen percepatan

tersebut.

Arah dari 2 w S VQS adalah sama dengan arah VQS yang diputar

900 menurut arah putaran w

S .Sedangkan arah 2 wS VSQ sama dengan

arah VSQ yang diputar 90 0 menurut arah putaran w S . Selain dengan

pedoman diatas arah komponen percepatancoriolis dapat juga

ditentukan sebagai berikut :

Arah percepatan coriolis 2 wS

V QS adalah sama dengan arah perkalian

cros dari kecepatan sudut link pembawa w S dan kecepatan relatif

antara titik Q dan S.

Jadi secara vektor hal tersebut diatas dapat dituliskan :

( AQS )coriolis = 2 wS

VQS

( ASQ )coriolis = 2 w S VSQ

Komponen percepatan coriolis seperti yang telah kita bahas diatas terjadi

pada dua titik yang berimpit dari dua buah link yang merupakan

pasangan sliding, rolling atau slip-rolling.

65

Pada ketiga gambar diatas titik Q pada link q dan titik S pada link s.

Pada gambar ini link q mempunyai gerakan sl iding, slip-rolling atau rolling

pada link s.

Dalam hal ini link s dikatakan sebagai link pembawa

CONTOH SOAL :

Diketahui Link 2 berputar dengan kecepatan sudut ? 2 konstan.

66

Pada mekanisme diatas diketahui data-data sebagai berikut :

Diagram Kecepatan

Kecepatan titik Q : VQ = (O 2Q) w2

VQ diketahui tegak lurus O2Q arahnya sesuai w2



1 VQ = Ov - q

(O2Q) w2 - O2Q

2 VSQ = q - s ? ¦ O4S

3 VS = Ov - s ? - O4S

4 VP = Ov - p

Diperoleh dengan ( V P V S

) O4 P O 4 S

5 VR = Ov -r ? ¦ Lintasan titik R

Dari diagram kecepatan didapat :

VSQ = q – s ( arah ke bawah)

VS = o – s

67

2

2

? S = V S

O 4 S

( arahnya berlawanan putaran jarum jam )

Diagram Percepatan


dengan

AQ = (O Q)w 2 2 (O2 Q)a 2


(O 2 Q )w 2dapat dihitung. Arah (O

2 Q )w

2 2adalah sepanjang garis A – O 2

dari A menuju O2 dan harga percepatan normalnya = (O2 Q)a 2 =0.

AQ digambarkan dengan skala percepatan yang sesuai.



No

Besaran


Harga Arah Vektor Harga Arah Ve ktor

1

AQ = o’ –

q’

w 2 (O2Q) 2

Q – O2

o’ – q0

0

-

q0 – q’

2

ASQ = q‘-

s’

2w s xV

SQ

- O4S

(kekanan)

q’ - sq

?

¦ O4S

sq – s’

3

AS = o’ –

s’

w 2 (O4S) S

S – O4

o’ – s0

?

¦VS

s0 – s’

4

AP = o’ –

p’

Diperoleh dengan ( A

P A S

) O

4 P O

4 S

5

ARP = p‘-

r’

w 2 (RP) 5

R - P

p’ - rp

?

¦ VRP

rp – r’

68

’

6

AR = o’ –

r’

0

-

o’ – r 0

?

¦VR

r0 – r’

r’

O’

s so

p’

q’

sq

2? S VSQ

? S

VSQ

2? S VSQ

Diagram percepatan

SOAL-SOAL :

69

1. Suatu mekanisme seperti pada gambar dibawah diketahui :

O2 O3 = 36 cm

O2 B 2 = 8 cm

O3 B 3 = 32 cm

R = 48 cm

Penghubung 2 sebagai penggerak berputar dengan kecepatan

konstan ? 2 = 40 rad/det2.

Tentukan ? 3 dan a3 dengan membuat diagram kecepatan dan

diagram percepatan lebih dahulu.

2. Kecep atan titik A adalah 12 m/det dengan penghubung 2 berputar

pada suatu kecepatan sudut konstan dalam arah melawan putaran

jam.

Dengan membuat polygon kecepatan dan polygon percepatan

tentukan kecepatan sudut penghubung 4, 5, 6 dan kecepatan titik B

serta percepatan titik C pada penghubung 5 (atau 6) dan

percepatan sudut penghubung 3, 4, 5 dan 6.

71

O

Bab VI

MMEEKKAANNIISSMMEE KKOOMMPPLLEEKK

6.1 Mekanisme sederhana dan Mekanisme komplek

Suatu mekanisme dikatakan sederhana apabila untuk analisa

kecepatan dan percepatannya dapat diselesaikan hanya dengan

persamaan gerak relatif atau dengan kombinasi metode image.

Sebagai contoh persamaan gerak relatif VQ = VP + VPQ dan AQ = AP + AP Q

dimana P dan Q adalah titik-titik yang memindahkan gerakan dan

terletak pada satu link.

Persamaan gerak diatas dapat langsung diselesaikan apabila jari-jari

lintasan dari titik P dan titik Q diketahui.

3 Q

P

4

2

O 2

4

Gambar 6.1. Mekanisme sederhana

Pada gambar diatas disamping P dan Q adalah titik-titik yang

mentransfer gerakan dan terletak pada satu link. Jari-jari lintasan titik P

dan Q langsung dapat diketahui yaitu O2P dan O4Q, sedang pusat

lintasannya adalah O2 dan O 4.

72

Analisa percepatan dari mekanisme tersebut dapat diselesaikan dengan

persamaan gerak relatif : AQ = AP + APQ

Apabila salah satu jari-jari lintasannya tidak dapat ditentukan maka cara

analisa diatas tidak dapat dipergunakan.

Mekanisme semacam ini dinamakan mekanisme komplek dan analisanya

dengan cara khusus seperti yang akan kita bahas berikut.

Ciri-ciri dari mekanisme komplek ialah adanya multipaired floating link

yaitu suatu elemen yang merupakan pasangan kinema tik (turning atau

sliding) dengan paling sedikit tiga buah link yang bergerak dan tidak

berhubungan dengan body (frame) diam.

6.2 Mekanisme komplek derajat rendah dan derajat Tinggi

O6

6

D C 4 O4

5

3

B A 2 O2

Gambar 6.2. Mekanisme komplek yang terdiri dari 6 link.

73

Gerakan pada link 5 ditentukan oleh dua dari tiga link yang berhubungan

dengannya, yaitu link 4 dan link 6, yang masing-masing jari-jari lintasannya

sudah tertentu. Hanya satu jari-jari lintasan yang tidak diketahui yaitu jari-

jari lintasan titik B.

Apabila input diberikan dari link 6 pada mekanisme diatas maka analisa

kecepatan dan percepatannya dapat diselesaiakn dengan persamaan

gerak relatif.

6.3 Metode Titik Bantu

Metode ini banyak sekali dipergunakan untuk analisa mekanisme

komplek derajat rendah maupun derajat tinggi.

Untuk mempergunakan analisa dengan metode titik Bantu ini, pertama

kali kita harus menentukan multipaired link yang menyebabkan

mekanisme tersebut menjadi komplek.

Kemudian kita tentukan titik bantu yang terletak pada floating link

tersebut.

Titik Bantu tersebut didapatkan dari perpotongan garis-garis bantu yang

dibuat pada floating link tersebut melalui titik-titik yang mentransfer

gerakan yang terletak pada link lain, dimana komponen kecepatan dan

percepatan ttitik bantu kearah garis-garis bantu yang dibuat, yang dapat

ditentukan secara grafis.

74

Gambar 6.3. Sebagian dari mekanisme komplek

Gambar diatas adalah sebagian dari mekanisme komplek, dimana

kecepatan dan percepatannya titik-titik A, B dan C diketahui. Yang akan

ditentukan adalah kecepatan dan percepatan titik-titk yang mentransfer

gerakan D, E dan F. Langkah pertama kali adalah menarik garis bantu I, II

dan III melalui titik-titik D, E dan F. garis Bantu I adalah perpanjangan link

AD, garis Bantu II adalah perpanjangan link BE dan garis Bantu III adalah

perpanjangan link CF. Ketiga garis Bantu ini berpotongan di titik-titik Bantu

X dan Y, yang terletak pada floating link tersebut.

KECEPATAN

Untuk menggambarkan diagram kecepatan dari suatu mekanisme harus

ditentukan lebih dahulu titik O.

75

Kemudian melalui titik O ini ditarik garis-garis Bantu I, II dan III.

VA, VB dan VC digambarkan melalui O.

Karena A dan D terletak pada satu rigid body maka komponen

kecepatan A dan D kearah garis Bantu I adalah sama. Adapun titik-titik D,

X dan Y terletak pada satu rigid body pula yaitu pada floating link. Jadi

komponen kecepatan D, X dan Y kearah garis Bantu I sama pula.

(VA)I = (V D)I = (VX)I = (VY)I = o – a 1

Tempat kedudukan titik-titik d, x dan y terletak pada garis m - garis Bantu

I melalui a1.

Untuk titik B dan E

(VB)II = (V E)I I = (VX)II = o – b1

Tempat kedudukan titik-titik e1 dan x1 terletak pada garis n - garis Bantu II

melalui b1.

Selanjutnya titik C dan F

(VC )I I I = (VF)III = (VY)I I I = o – c1

Tempat kedudu kan titik-titik f dan y terletak pada garis p - garis Bantu III

melalui c1.

Titik x didapat dari perpotongan garis m dan n, dan titik y diperoleh dari

perpotongan garis m dan p.

Setelah titik x dan y diketahui pada diagram, maka titik D, E dan F dapat

dicari dengan metode image atau dapat juga ditentukan dengan

persamaan gerak relatif.

Dimulai dengan menghitung kecepatan sudut floating link.

w V

XY Y X

arahcw

X .Y X .Y

76

Kemudian VD ,VE dan V F dicari sebagai berikut :

VD = VX + VDX

VE = VX + VEX

VF = VY +

VFY

Gambar 6.4. Diagram kecepatan

PERCEPATAN

Pembuatan diagram percepatan dimulai dengan menarik garis Bantu I, II

dan III melalui titik O’ .

77

V

V

V

V

V

Kemudian percepatan titik A, B dan C dibuat melalui titik O’.

AA= o’ – a’, AB= o’ – b’ dan AC= o’ – c’

Komponen percepatan titik A kearah garis Bantu I yaitu :

(AA)I = o’ – a 1

Titik A dan D terletak pada satu rigid body.

( AD )I = ( AA )I + ( A DA )I

Sedangkan titik D, X dan Y terletak pada satu rigid body pula sehingga

dalam hal ini berlaku :

( AX )I = ( AD )I + ( AXD )I

( AY )I = ( AX )I + ( AYX )I dan

Jadi : ( AY )I = ( AA )I + ( A DA )I + ( AX )I + ( AYX )I

Harga -harga ( ADA )I , ( AX )I dan ( AYX )I dapat dihitung dari :

2

( ADA )I = ( ADA )n = a I - dI = D A

AD

2

( AX )I = ( AX )n = d I - xI = XD

DX

2

( AYX )I = ( AYX )n = xI - yI = YX

XY

Harga -harga VD A, VXD dan VYX didapat dari diagram kecepatan.

Tempat kedudukan (letak) titik d’, x’ dan y’ terletak masing-masing pada

garis tegak lurus garis Bantu I melalui titik dI , xI dan yI .

Dengan cara yang sama didapatkan :

( AX )I I = ( AB )I I + ( A EB )I I + ( AXB )I I

dengan :

( AB )I I = o’ - bII = proyeksi AB kegaris Bantu II

2

( AEB )I I = ( AEB )N = bII - eII = EB

BE

2

( AXE )I I = ( AXE )n = eII - xI I = XE

EX

78

V

V

Harga -harga VEB dan Vxe didapatkan dari diagram kecepatan.

Letak atau tempat kedudukan e’ dan x’ diperoleh debgab menarik garis-

garis tega k lurus garis Bantu II melalui titik eI dan xI .

Percepatan titik Y pada garis Bantu III dapat diperoleh dengan cara yang

sama seperti diatas :

( AX )I I I = ( AC )I I I + ( AFCB )I I I + ( AYF )I I I

dengan :

( AC )III = o’ - cIII = proyeksi AC kegaris Bantu III

2

( AFC )I I I = ( AEB )N = c III - fII = FC

CF

2

( AYF )I I I = ( AXE )n = fIII - yIII = YF

FY

Harga -harga VFC dan V YF didapatkan dari diagram kecepatan.

Letak atau tempat kedudukan f’ dan y’ diperoleh debgab menarik garis-

garis tegak lurus garis Bantu III melalui titik fI dan yI .

Dari analisa diatas tampak bahwa titik x’ diperoleh dengan

memanfaatkan garis Bantu I dan II karena dari garis ini didapatkan dua

tempat kedudukan titik x’ dan y’.

Titik-titik d’, e’ dan f’ pada diagram percepatan dapat dicari dengan

metode image atau dengan persamaan gerak relatif sebagai berikut :

AD = A X + ADX

AD = A A + ADA

Dari dua persamaan diatas diperoleh AD = o’ - d’

AE = A B + A EB

AE = A X + A EX

79

Dari dua persamaan diatas diperoleh AE = o’ - e’

AF = AC + AFC

AF = AY + AFY

Dari dua persamaan diatas diperoleh AF = o’ - f’

AA

Letak d’

Letak x ’ (AA)I AC

Letak y’

Letak f’

(AYF)n

I

III

y’ II

Gambar 6.5. Diagram Percepatan

80

Contoh Soal

Mekanisme Balok Jalan Watt

Link 2 dari mekanisme diketahui berputar dengan kecepatan ? 2

berlawanan arah jarum jam.

Gambarkan Diagram kecepatan dan percepatannya ?

Penyelesaian :

Titik Bantu untuk analisa mekanisme ini akan ditentukan pada link 4,

karena link 4 merupakan floating link (penghubung apung).

Garis Bantu I dibuat melalui titik B yang merupakan perpanjangan AB.

Garis Bantu II dibuat melalui D dan tegak lurus lintasan D.

Perpotongan garis Bantu I dan garis Bantu II diberi notasi x dimana x

terletak pada link 4 sehingga link 4 terdiri dari titik-titk BCDX.

81

Kecepatan :

Diagram kecepatan dari mekanisme diatas dibuat menurut table

dibawah ini :


1 V A = Ov - a

(O2A) w2 - O2A

2 VBA = a - b ? - BA

3 VXB = b - x ? - BA

4 VD = Ov - d ? ¦ Lintasan titik D

5 VXD = d - x ? - XD atau ¦ Lintasan titik D

6 VCX = x - c ? - XC

7 VC = Ov - c ? - O5C

8 VDC = c - d ? - CD

9 VBC = c - b ? - BC

Dari langkah no. 1 didapatkan titik a pada diagram kecepatan.

x Dari langkah no 2 sampai langkah no 5 diperoleh titik x. b

Langkah 6 dan langkah 7 didapatkan titik c.

Titik d dari langkah no 4 dan lankah no 8. a

Titik b dari langkah no 2 dan lankah no 9.

c Gambar digram kecepatan O v

d

82

Percepatan :


No

Besaran



1

AA = o’ – a’

w2 (O2A) A – O 2 2

o’ – a0

0

-

a 0 – a’

2

AB A = a ‘- b’

w 2 (AB) B - A

3

a’ - ba

?

¦ VB A

ba – b’

3

AXB = b‘- x’

w 2 (XB) X - B

4

b’ - xb

?

¦ VXB

xb – x’

4

AD = o’ – d’

0 -

o’ – d0

?

¦ VD

d 0 – d’

5

AXD = d ‘- x’

w 2 (XD) X - D

4

d’ - xd

?

¦ VXD

xd – x’

6

AC = o’ – c’

w 2 (O5C) C – O5

5

o’ – c0

?

¦ VC

c0 – c’

7

ACX = x‘- c’

w2 (XC) C - X 4

x’ - cx

?

¦ VCX

cx – c’

8

ADC = c‘- d’

w2 (CD) D - C 4

c’ - cd

?

¦ VDC

cd – d’

9

ABC = c‘- b’

w 2 (BC) B - C

4

c’ - cb

?

¦ VBC

cb – b’

Dari langkah no. 1 didapatkan titik a pada diagram percepetan.

Dari langkah no 2 sampai langkah no 5 diperoleh titik x.

Langkah 6 dan langkah 7 didapatkan titik c.

Titik d dari langkah no 4 dan lankah no 8.

Titik b dari langkah no 2 dan lankah no 9.

83

b

x’

Oa

xd

a’

ba

xb cx

b x’

O a db

xd

C0

c

d’ a’

ba

xb

Gambar diagram percepatan

84

SOAL-SOAL :

1. Penghubung (link) 2 dari mekanisme dari gambar dibawah

mempunyai kecepatan sudut ? 2 = 50 rad/det arahnya searah

putaran jarum jam dan percepatan sudut a2 = 1000 rad/det2

arahnya berlawanan putaran jarum jam.

Tentukan : ? 3, ? 4, ? 5 dan V D serta a3, a4, a5 dan AD.

85

2. Penghubung (link) 2 dari mekanisme dari gambar dibawah

mempunyai kecepatan sudut konstan ? 2 = 50 rad/det arahnya

berlawanan putaran jarum jam.

Tentukan : ? 6 dan a6

3. Diketahui mekanisme seperti gambar dibawah dengan VD = 60

cm/det dan AD = 0.

Tentukan : ? 2, ? 3, ? 5 dan V B serta a2, a 3, a5 dan AB.

TIM DOSEN - · PDF fileGambar 1.1 menyatakan elemen-elemen utama dalam sebuah mesin ... dalam...

Documents

Transcript of TIM DOSEN - · PDF fileGambar 1.1 menyatakan elemen-elemen utama dalam sebuah mesin ... dalam...