Bab 3 Elemen-elemen Dua Dimensi

download Bab 3 Elemen-elemen Dua Dimensi

of 19

description

Elemen-elemen dua dimensi

Transcript of Bab 3 Elemen-elemen Dua Dimensi

BAB III. ELEMEN-ELEMEN DUA DIMENSIDalam bab ini hanya akan dibicarakan masalah elemen dua dimensi baik elemen segitiga linear maupun elemen segiempat bi-linear. Sedangkan untuk elemen-elemen kuadratik dan polynomial yang lain akan dibicarakan dalam bab yang lain.3.1.Grid - Grid Dua DimensiElemen segitiga linear ( Gambar 3.1a) mempunyai sisi-sisi lurus dan sebuah nodal pada masing-masing sudutnya. Persamaan interpolasi diberikan oleh (3.1)Yang mana benar-benar linear sebab persamaan tersebut terdir dari konstanta dan ungkap-ungkapan yang hanya memungkinkan linear, yang disebut x dan y sebagai hasilnya elemen segitiga dapat diorintasikan secara bebas dan mempunyai kontitunitas termasuk perbatasan elemen-elemen.Elemen segiempat bi-linear(gambar 3.1b) mempunyai sisi-sisi yang lurus sebuah nodal pada setiap sudut nya. Persamaan interpolasi diberikan untuk skala kuantitas adalah (3.2)Persamaan ini hanya menngandung satu dari tiga kemungkinan, xy dan persamaan ini dapat diorintasikan karena persamaan (3.2) tidak segiempat bi-linear karena sumbu x2 dan y2 tidak terlihat. Sisi-sisi segiempat harus tetap parallel terhadapa system koordinat xy. Grid elemen segiempat mudah disusun, dimana semua elemen dalam baris parallel dengan sumbu x harus sama tingginya. Begitu juga semua volume parallel pada sumbu y harus sama lebarnya. Elemen segiempat hendaknya digunakan pada berbentuk persegi panjang atau segiempat. Gabungan antara elemen segitiga dan segiempat dapat digunakan pada daerah berbentuk tak beraturan. Pada elemen segitiga digunakan untuk memodelkan bentuk-bentuk tak beraturan.

Gambar 3.1. Elemen segitiga linear dan segiempat bi-linear

Pembagian objek berbentuk segitiga kedalam elemen-elemen segitiga dapat mudah dilakukan dengan membagi kedalam sub daerah seperti ditunnjukkan dalam gambar (3.2) pada gambar (3.2a) berlaku hunbungan bahwa jumlah elemen-elemen segitiga adalah (n I )2, dimana n adalah jumlah nodal pada salah satu sisinya. Jika objek mempunyai objek bentuk kurva, maka dapat dilakukan seperti pada gambar (3.2b), dimana garis putus-putus merupakan bentuk asli dari objek, sedangkan garis utuh menunjukkan elemen. Sub-objek berbentuk segiempat tak beraturan dengan mudah dibagi menjadi elemen-elemen segitiga dengan menghubungkan nodal-nodal pada sisi yang berbentuk seperti ditunjukkan pada gambar (3.3a). perlu diperhatikan bahwa disisi harus dipilih diagonal terpendeknya ( gambar 3.3b). jumlah elemen-elemen segitiga adalah 2 (n 1) ( m-1 ) dimana n dan m masing-masing adalah jumlah nodal pada sepanjang sisi yang berhubungan.

Gambar 3.2. Daerah dibagi kedalam elemen segitiga

PerluTidak Perlu( b )Gambar 3.3. Pembagian sub daerah segiempat tak beraturan menjadi elemen-elemen segitigaNodal-nodal pada batas sub daerah harus mempunyai jumlah yang identik dan harus mempunyai posisi relative yang sama. Persyaratan ini perlukan untuk menyakinkan kontinyuitas fungsi sepanjang batas elemen. Sebagai ilustrasi misalkan ditunjukan pada gambar (3.4)

Gambar 3.4. Pembagian daerah menjadi sub daerah dan kemudian menjadi elemen-elemen segitiga

Gambar 3.5. Pembuatan mesh dengan variasi ukuran elemen

Pembuatan mesh tidak perlu mempunya elemen-elemen dengan bentuk dan ukuran yang sama karena biasanya dalam satu daerah ada sub daerah yang sama perubahan harga nodal relative konstan. Pada sub daerah ini dapat digunaka elemen-elemen berukuran besar. Sedangkan pada sub daerah yang mana terjadi perubahan harga nodal secara drastis perlu digunakan elemen-elemen berukuran kecil. Disini sangat menguntungakan jika digunakan elemen segitiga (gambar 3.5).

Gambar 3.6. Dua cara penomoran menghasilakan lebar pita berbeda Pemberian nomor-nomor nodal juga perlu diperhatikan, mengigat hal ini berpengaruh terhadap kecepatan penyelesaian masalah. Gambar 3.6 menunjukkan dua cara penomoran pada bentuk benda yang sama. Penomoran pada gambar 3.6b lebih menguntungkan karena mempunyai lebar pita (band witdth) NBW yang ebih kecil. (3.3)Dimana BW(e) adalah perbedaan nomor nodal terbesar dan terkecil dalam elemen yang sama BW(e) tidak mempengaruhi hasil, akan tetapi sangat mempengaruhi waktu perhitungan memberi.3.2.Elemen Segitga LinearSeperti yang telah dijelaskan diatas bahwa elemen segitiga linear mempunyai sisi-sisi yang lurus dan satu nodal pada setiap sudutnya (gambar 3.7). konsistensi dalam pemberian label perlu dilakukan dan dalam kuliah ini urutan pemberian label adalah berlawanan arah jarum jam dari nodal i. Harga-harga nodal berturut-turut adalah i, j dan k dimana koordinat nodalnya aalah ( Xi, Yi ), (Xj, Yj ), dan ( Xk, Yk ).Fungsi interpolasinya adalah

Gambar 3.7. Parameter-parameter untuk elemen segitiga linear Dengan kondisi-kondisi nodal

Subtitusikan kondisi-kondisi ini kedalam (3.4) mengahasilkan system persamaan berikut (3.5)Atau

Dimana determinan (3.6)Dan A adalah luas segitiga.Subtitusikan 1 2 dan 3 kedalam (3.4) akan menghasilkan suatu persamaan dalam ungkapan fungsi interpolasi dan i, j dan k, yaitu (3.7)atau =Ni Ui + Nj Uj + Nk Ukdimana (3.8) (3.9) (3.10)Dan

Kuantitas scalar dihungkan terhadap harga harga nodal dengan satu set fungsi interpolasi yang linear terhadapat x dan y. ini berarti bahwa gradien x atau y adalah konstan dalam elemen. Sebagai contoh, (3.11)Tetapi Karena itu, (3.12)Karena bi, bj dan bk adalah konstan dan i, j dan k tidak tergantung dari koordinat, maka derivatif mempunyai harga konstan. Suattu gradien konstan dalam suatu elemen berarti bahwa sejumlah elemen-elemen kecil harus digunakan untuk memperoleh harga pendekatan yang akurat pada perubahan drastic.

Contoh IlustrasiEvalusai fungsi interpolasi elemen dan hitungkan besar tekanan pada titik A seperti yang ditunjukkan pada gambar 3.8, jika harga-harga nodal adalah i = 40 N/cm2, j = 34 N/cm2, dan k = 46 N/cm2. Titik A ditempatkan pada (2,15).Tekanan diberikan oleh (3.7), dan fungsi interpolsi didefinisikan oleh (3.8), (3.9) dan (3.10). koefisen- koefisen untuk persamaan fungsi interpolasi adalah

Gambar 3.8. Parameter-parameter untuk contoh ilustrasi

Sedangkan

Subtitusikan koefesin-koefisien ke dalam persamaan fungsi interpolasi akan memberikan

Ingat bahwa Ni + Nj + Nk = 1. Persamaan tekanan menjadi

Harga pada titik A (2,15) adalah

Sebagai tambahan, karakteristik fungsi interpolasi pada elemen segitiga bervariasi secara linear sepanjang sisi antara titik nodalnya dan dua titik nodal yang lain , misalnya Ni bervariasi secara linear sepanjang ij dan ik. Fungsi interpolasi adalah nol sepanjang sisi dihadapan titik nodalnya; misalnya Ni berharga nol sepanjang sisi jk. Konsekuensinya harga bervariasi secara linear sepanjang masing-masing tiga sisi. Karakteristik lain yang penting adalah bahwa suatu garis konstan adalah merupakan garis lurus yang memotong dua sisi elemen ( kecuali semua nodal mempunyai harga sama). Dua sifat ini memudahkan untuk membuat kontur seperti ditunjukkan pada contoh ilustrasi berikut.

Contoh Ilustrasi Tentukan loksi garis kontur 42 N/cm2 untuk elemen segitiga yang digunakan pada contoh sebelumnya.

Gambar 3.9. Garis kontur 42 N/cm2Kontur tekanan 42 N/cm2 akan berpotongannya dengan sisi ik dan jk. Untuk sisi jk berpotongan pada.

Dan

Dengan jalan yang sama untuk sisi ik x = 2/3 cm

y = 5/3 cm

Garis kontur ditunjukkan pada gambar 5.9

3.3.Elemen Segiempat BilinearElemen segiempat bilinear mempunyai panjang 2b dan lebar 2a, sedangkan titik nodalnya diberi label i, j,k, dan m dengan nodal i selalu berada sudut kiri bawah. System koordinat elemen segiempat ditunjukkan pada gambar 3.10.Persamaan interpolasi (3.2) dapat ditulis dalam ungkapan koordinat local s dan t sebagai berikut. (3.13)

Gambar 3.10. Parameter untuk elemen segiempat bilinear

Persamaan di atas menunjukkan bahwa adalah linear terhada s sepanjang garis konstan t dan linear terhadap t sepanjang garis konstan s. oleh karena itu , maka elemen ini disebut bilinear. Persamaan (3.13) ditulis relatif terhadap system koordinat lokal, yang titik asalnya adalah pada nodal i. kadang-kadang juga digunakan system koordinat qr, yang mempunyai titik asal pada titik pusat elemen ( lihat gambar 3.10) Kooefesin-koefesien C1, C2, C3, dan C4 pada (gambar 3.13) diperoleh dengan menggunakan harga harga nodal dan koordinat nodal (dalam system st) untuk memperoleh empat persamaan seperti tertulis berikut. (3.14)Diselesaikan akan diperoleh (3.15)Subtitusikan (3.15) kedalam (3.13) memberikan

Atau =Ni Ui + Nj Uj + Nk Uk + Nm Um

dimana

Fungsi interpolasi- interpolasi element segiempat bilinear mempunyai sifat-sifat menyerupai dengan elemen segitiga linear. Tiap-tiap fungsi interepolasi bervariasi secara linear sepanjang sisi-sisi diantara titik nodalnya dan dua titik nodal perbatasan titik titik nodal, sebagai contoh, Ni Bervariasi secara linear sepanjang sisi ij dan im. Masing-masing fungsi interpolasi juga berharga nol sepanjang sisi-sisi, dimana tidak menyentuh, misalnya Ni berharga nol sepanjang sisi jk dan km .Variasi linear sepanjang sisi-ssi elemen segiempat dan sisi-sisi elemen segitiga berarti bahwa dua elemen ini kompatibel dan dapat digunakan sisi batas satu terhadap yang lain.Persamaan transformasi antara system koordinat qr dan st adalahdan Substitusikan (3.18) kedalam (3.17) memberikan fungsi interpolasi dalam ungkapan q dan r

Fungsi interpolasi didefenisikan (3.19) bermanfaat saat digunakan system koordinat natural yang memungkinkan elemen segiempat dideformasikan kedalam bentuk umum segiempat tak beraturan (quadrilateral).Garis kontur elemen segiempat biasanya melengkung. Perpotongan garis kontur dengan sisi-sisi elemen dapat diperoleh menggunakan interpolasi linier. Metode paling mudah untuk memperoleh titik ketiga adalah dengan cara mengeset s atau t sama dengan nol dalam persamaan fungsi interpolasi dan menyelesaikan persamaan (3.16) untuk harga titik koordinat yang lain. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat contoh ilustrasi berikut.Contoh ilustrasiTentukan tiga titik pada garis kontur 50oC untuk elemen segiempat seperti ditunjukan pada gambar (3.11). harga harga nodal adalah i = 42oC, j = 54oC, k = 56oC, m = 46oC.Pada sisi-sisi elemenya adalahSubstitusikan harga-harga ini kedalam persamaan (3.17) memberikan fungsi-fungsi interpolasi

Data diatas menunjukan bahwa garis kontur 50oC akan memotong sisi-sisi ij dan km ; karena itu kita perlu mengasumsikan harga t untuk menghitung s dan ssebaliknya. Sepanjang sisi ij, t = 0 dan Substitusikan harga i dan j diperoleh s = 30. Sepanjang sisi km, t =2 =2, sehingga

Substitusikan harga k dan m diperoleh s = 1.2.Gambar 3.11. koordinat titik nodal pada contoh ilustrasi

Gambar 3.12, Garis kontur 50oCUntuk mempeolah titik ketiga, asumsikan bahwa t = 2 = 1, sehingga Substitusikan harga-harga nodal menghasilkanAtau s = 1.64Koordinat st untuk tiga titik dari atas kebawah masing-masing adalah (1.2, 2), (1.64, 1) dan (2,0). Koordinat xy untuk titik-titik ini adalah (6.2,5), (6.64, 4) dan (7,3). Jika tiga titik ditarik garis, maka akan menghasilkan garis yang tidak lurus ( lihat gambar 3.12).

3.4 Persamaan Continuous Piecewise Smoth)Persamaan elemen didefinisikan oleh (3.7) atau (3.16) dapat digunakan untuk elemen segitiga atau segiempat dengan member spesifikasi harga-harga numeric i,j, dan k atau i, j,k, dan m. setiap titik nodal pada elemen segitiga boleh digunakan sebagai nodal i. Tanda asterisk (*) pada gambar (3.13) digunakan untuk membedakannya dari titik-titik nodal yang lain. Titik nodal i pada elemen segiempat selalu berada pada titik asal system koordinat st.Data nodal elemen untuk grid 4 elemen pada gambar (3.13) adalah Gambar 3.13. Grid 4 elemen dengan nomor titik nodal

Persamaan interpolasi untuk elemen satu (1) adalah Perlu diperhatikan bahwa nomor-nomor nodal elemen tidak lagi berurutan, tetapi mengikuti urutan yang ada pada gambar ( berlawanan jarum jam ). Fungsi-fungsi interpolasi (3.17) adalah fungsi koordinat global hanya dalam hal DanPersamaan interpolasi untuk elemen empat (4) adalah

Fungsi-fungsi interpolasi (3.21) adalah fungsi koordinat global dan harga spesifikasi i,j dan k langsung menunjukan koordinat yang mana digunakan. Ambilah sebagai conntoh, . Dengan menggunakan ( 3.8) diperolehDimana Karena j = 3 dan k = 7. A adalah luasan elemen empat