PERTEMUAN 8PROBABILITAS

Probabilitas adalah tingkat keyakinan seseorang untuk menentukan terjadi atau tidak terjadinya suatu kejadian (peristiwa).

Pendekatan KlasikPerhitungan probabilitas dengan pendekatan kalsik diperoleh dari hasil bagi banyaknya peristiwa A dengan seluruh peristiwa yang mungkin.Rumus :

keterangan :P(A)= probabilitas terjadinya kejadian Ax = peristiwa yang dimaksudn= banyak peristiwa yang mungkin

Pendekatan Frekuensi relatifPerhitungan probabilitas dengan pendekatan frekuensi relatif ditentukan melalui percobaan. Dari suatu percobaan yang dilakukan sebanyak n kali, kalau nilai n makin besar mendekati tak hingga maka nilai k/n cendrung konstan mendekati nilai tertentu. Nilai tertentu inilah peluang kejadian A

keterangan :P(A)=probabilitas peristiwa Ak =frekuensi peristiwa An = banyaknya peristiwa terjadi

Pendekatan SubjektifProbabilitas dengan pendekatan subjektif diperoleh dengan melihat tingkat kepercayaan individu didasarkan pada peristiwa masa lalu yang berupa terkaan saja.

Percobaan adalah proses pelaksanaan pengukuran / observasi yang bersangkutan .

Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin pada percobaan.Titik sampel adalah setiap anggota dari ruang sampel.Kejadian (peristiwa) adalah himpunan bagian dari ruang sampel pada suatu percobaan / hasil dari percobaan.Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas dan dapat dibeda-bedakan.

Tabel Frekuensi adalah tabel yang menyajikan hasil percobaan dengan seluruh kemungkinan dinyatakan dengan variabel (angka-angka) disertai dengan frekuensi dan nilai probabilitas.

Grafik distribusi probabilitas adalah grafik yang menggambarkan hubungan antara nilaiseluruh probabilitas dari masing-masing nilai variabel.

Penulisan Himpunan1. Cara pendaftaranUnsur himpunan ditulis satu persatu / didaftar. Contoh :A = {a,i,u,e,o}

2. Cara pencirianUnsur himpunan ditulis dengan menyebutkan sifat-sifat atau ciri-ciri unsur tersebut.Contoh :A = { x|x huruf vokal }

Macam Macam Himpunan

1.Himpunan SemestaLambang : S atau UHimpunan yang memuat seluruh objek pembicaraan.

2.Himpunan kosongLambang : { } atau Himpunan yang tidak memiliki anggota.

3.Himpunan BagianLambang : Rumus : Menghitung banyak himpunan bagian dari suatu himpunan sebesar n adalah 2n.

4.Himpunan KomplemenLambang : Ac, AHimpunan semua unsur yang tidak termasuk dalam himpunan yang diberikan.

Operasi Himpunan1.Operasi Gabungan (union)Lambang : A U B atau A + BGabungan dari himpunan A atau B adalah semua unsur yang terdapat di A atau B sekaligus.

2.Operasi Irisan (intersection)Lambang : A B atau ABIrisan dari himpunan A dan B adalah semua unsur yang sama didalam A dan B.

3.Operasi SelisihLambang : A B atau A Bc Selisih himpunan A dan B adalah himpunan semua unsur yang tidak termasuk di dalam B.

Beberapa Aturan dalam Himpunan1.Hukum KomutatifA U B = B U AA B = B A2.Hukum Asosiatif(A U B) U C = A U (B U C)(A B) C = A (B C)3.Hukum DistributifA (B U C) = (A B) U (A C)A U (B C) = (A U B) (A U C)

Hukum IdentitasA S = AA = Hukum KomplementasiA Ac = A U Ac = Sn(A U B) = n(A) + n(B) n(A B) n(AUBUC)= n(A) + n(B) + n(C) n(AB) n(AC) n(BC) + n(ABC)n(A) = jumlah anggota himpunan A

Aturan Penjumlahana.Peristiwa Saling Lepasadalah kejadian dimana jika sebuah kejadian terjadi maka kejadian lain tidak akan terjadi.

b.Peristiwa Tidak Saling Lepas adalah kejadian dimana jika sebuah kejadian terjadi maka kejadian lain dapat terjadi secara bersamaan.P (A1 U A2) = P(A1) + P(A2) P(A1A2)

Aturan PerkalianKejadian Saling Bebas (independen)adalah kejadian dimana terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain.

b.Kejadian Tidak saling Bebas (dependen)adalah kejadian dimana jika terjadi peristiwa yang satu dipengaruhi atau bergantung pada peristiwa lainnya.

PROBABILITAS MARGINALProbabilitas marginal adalah probabilitas yang dihitung dari suatu kejadian yang terjadi bersamaan dan saling mempengaruhi.

TEOREMA BAYESTeorema Bayes adalah teorema yang menjelaskan bahwa probabilitas dihitung berdasarkan informasi yang diperoleh dari hasil observasi.

Permutasi adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu.Klasifikasi Permutasi :1. Permutasi dari n objek tanpa pengembaliana. Permutasi dari n objek seluruhnyaRumus : nPn = n!b. Permutasi sebanyak r dari n objekRumus :

c. Permutasi melingkarRumus : (n-1)!

2.Permutasi dari n objek dengan pengembalian

Permutasi dari n objek yang sama

nPr = nr

Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut.

HUBUNGAN PERMUTASI DENGAN KOMBINASIatau

1.Sebuah mesin otomatis pengisi kantong plastik dengan campuran beberapa jenis sayuran menunjukkan bahwa sebagian besar kantong plastik berisi sayuran tersebut memuat berat yang benar. Meskipun demikian, karena ada sedikit variasi dalam ukuran sayuran yang ada, sebuah paket kantong plastik mungkin sedikit lebih berat atau lebih ringan dari berat standar. Pengecekan terhadap 4000 paket menunjukan hasil sbb:

BeratKejadianJumlah PaketProbabilitasLebih ringanA100100/4000=0,025StandarB36003600/4000=0,900Lebih beratC300300/4000=0,075Jumlah40001,000

Hitung berapa probabilitas bahwa sebuah paket tertentu beratnya akan lebih ringan atau lebih berat dari berat standar? 2. A dan B merupakan dua kejadian yang saling meniadakan (mutually exclusive). Diketahui P(A) = 0,25 dan P(B) = 0,40. Cari masing-masing probabilitas berikut :(a) P( ) (b) P( )(c) P(A B)(d) P(A B)

3. Berapa probabilitas bahwa sebuah kartu yang dipilih secara acak dari satu set kartu yang berisi 52 kartu adalah kartu bergambar raja (King) atau bergambar hati (Heart)?4. Sebuah perusahaan elektronik mengambil sampel 1000 rumah tangga dan responden yang ditanya tentang apakah mereka merencanakan untuk membeli televisi ukuran besar atau tidak. Setahun berikutnya responden yang sama ditanya apakah mereka benar-benar telah membeli televisi ukuran besar tsb atau tidak. Hasilnya dapat dilihat pada tabel berikut :

Merencanakan untuk membeliBenar-benar telah membeliTotalYaTidakYa20050250Tidak100650750Total3007001000

Hitung berapa probabilitas seseorang yaitu telah merencanakan untuk membeli atau benar-benar telah membeli?

5. Menurut catatan yang ada pada Sekretariat Fakultas Ekonomi suatu Universitas di Jakarta, ada 500 orang mahasiswa tingkat persiapan yang mengambil mata kuliah Aljabar Linier(A), Kalkulus(K) dan Pengantar Statistik(S) dengan rincian sbb:- Aljabar Linier=329 orang- Kalkulus=186 orang- Pengantar Statistik = 295 orang

-Aljabar Linier dan Kalkulus=83 orang-Aljabar linier dan Pengantar Statistik=217 orang-Kalkulus dan Pengantar Statistik=63 orang-Kalkulus, Pengantar Statistik, dan Aljabar Linier=53 orang.Kalau kita memilih secara acak (random) seorang mahasiswa dari daftar nama ke-500 orang mahasiswa tsb, berapakah probabilitasnya jika mahasiswa tsb:(a) mengambil ketiga mata kuliah tadi,(b) mengambil aljabar linier tetapi bukan pengantar statistik,

(c) mengambil kalkulus tetapi bukan aljabar linier,(d) mengambil mata kuliah pengantar statistik tetapi bukan kalkulus,(e) mengambil mata kuliah aljabar linier atau pengantar statistik tetapi bukan kalkulus,(f) dia mengambil aljabar linier tetapi bukan kalkulus atau bukan pengantar statistik.

6. Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak dua kali, dan X adalah jumlah mata dadu dari hasil lemparan tersebut.

Kalau lemparan yang pertama keluar mata 2, dan lemparan kedua keluar mata 4, maka X = 2+4=6. Juga, kalau pada lemparan pertama yang keluar adalah mata 3 dan yang kedua 5, X = 8, dst. Jika A = {x|x

ada yang menikah dan ada yang belum, ada pria dan wanita. Berdasarkan data yang masuk ke Sekretariat FE-UI, diperoleh rincian sbb:

Misalkan W,M,D mewakili kejadian bahwa pelamar yang terpilih wanita, menikah dan bergelar Doktor, P(W),P(M),P(D),P( ), P( ), dan P( ).

Bukan DoktorSudah MenikahBelum MenikahPria310Wanita105

DoktorSudah MenikahBelum MenikahPria4010Wanita1010

1. Kita mengambil secara acak 2 kartu berturut-turut dari suatu set (kumpulan) kartu bridge. Berapa probabilitasnya bahwa pengambilan kartu pertama berupa kartu As, yang kedua juga kartu As. Hasil pengambilan pertama tidak dikembalikan lagi (without replacement). (Hasil pengambilan kedua dipengaruhi oleh hasil pengambilan pertama).

2. Satu bola diambil secara acak dari satu kotak yang berisi 6 bola merah, 4 putih, 5 biru. Cari probabilitasnya bahwa bola yang terambil adalah merah, putih, biru, bukan merah, merah atau putih.3. Pada soal no. 2, jika 3 bola diambil secara beruntun. Berapa probabilitasnya bahwa pengambilan pertama merah, kedua putih, ketiga biru, bila :(a) Bola dikembalikan setelah diambil.(b) Bola tidak dikembalikan setelah diambil.

1. Satu mata uang logam Rp 50 dilemparkan ke atas sebanyak dua kali. Jika A1 adalah lemparan pertama yang mendapat gambar burung (B), dan A2 adalah lemparan kedua yang mendapatkan gambar burung (B), berapakah P(A1 A2)?2. Kita mengambil 2 lembar kartu berturut-turut secara acak dari satu set kartu bridge. Sebelum pengambilan kedua, hasil pengambilan pertama dikembalikan lagi sehingga hasil pengambilan pertama tidak mempengaruhi hasil pengambilan kedua. Kalau A1=kartu as wajik dan A2=kartu as hati. Berapa P(A1 A2)?

1. Misalkan kita memproduksi suatu jenis baterai di tiga pabrik yang peralatan dan karyawannya berbeda. Produksi mingguan pabrik pertama (S1 = 500), pabrik kedua(S2 = 2000) dan pabrik ketiga(S3=1500). Dan besarnya nilai probabilitas barang rusak dari pabrik pertama, P(R|S1) adalah 0,020, probabilitas barang rusak dari pabrik kedua, P(R|S2) adalah 0,015, dan probabilitas barang rusak dari pabrik ketiga, P(R|S3) adalah 0,030. Baterai yang diproduksi oleh pabrik tsb digunakan untuk menyuplai pabrik mobil. Kalau pemilik pabrik tsb mengambil 1 baterai secara acak (random), berapa probabilitasnya bahwa baterai yang diambil olah pemilik pabrik tsb rusak.Catatan : Baterai yang rusak tsb dapat berasal dari pabrik pertama, pabrik kedua, atau pabrik ketiga.

2. Suatu universitas mempunyai mahasiswa sebanyak 1000 orang yang terdiri dari 4 fakultas, yaitu Fe=400 mahasiswa, FH=200 mahasiswa, FT=150 mahasiswa, dan FK=250 mahasiswa. Dari mahasiswa tsb ada yang menjadi anggota Menwa (Resimen Mahasiswa). Dari FE=200 org, FH=50 org, dan FK=150 org. Kalau suatu saat kita bertemu dengan salah seorang mahasiswa (anggap saja sebagai kejadian yang acak), berapa probabilitas bahwa mahasiswa tsb seorang anggota Menwa?

1. Misalkan terdapat 3 kotak yang sama ukurannya dan masing-masing berisi 2 bola. Bolanya sama, hanya warnanya berlainan. Kotak pertama berisi 2 bola merah (2M), kotak kedua berisi 1 merah dan 1 putih (1M,1P), yang ketiga 2 putih (2 P). Jika diketahui bola yang terambil merah, berapakah probabilitas bahwa bola tsb berasal dari kotak pertama?

2. Diterima tidaknya suatu usul pembuatan jembatan baru di kota Jakarta tergantung kepada hasil pemilihan 4 calon kepala Bappeda DKI Jaya, yaitu calon A1, A2, A3, A4, dimana masing-masing mempunyai probabilitas untuk terpilih sebesar P(A1)=0,30, P(A2)=0,20, P(A3)=0,40 dan P(A4) = 0,10.Kalau calon yang terpilih A1, A2,A3,A4, maka probabilitas bahwa proyek tsb akan disetujui oleh para calon masing-masing sebesar P(A|A1)=0,35, P(A|A2)=0,85,P(A|A3)=0,45 dan P(A|A4)=0,15.(a) Berapa besarnya P(A).(b) Jadi usul proyek diterima, berapa probabilitasnya bahwa calon kedua yang terpilih?

3. Suatu pabrik menggunakan 4 mesin untuk memproduksi sejenis barang. Produksi harian dari mesin pertama, kedua, ketiga dan keempat masing-masing sebesar 1000,1200,1800 dan 2000 buah. Produksi dari mesin pertama, kedua, ketiga dan keempat masing-masing mengalami kerusakan sebanyak 1%, %, %, 1%. Lalu barang dipilih secara acak, ternyata rusak. Berapa probabilitasnya bahwa barang tsb rusak dari mesin pertama, dari mesin kedua, dari ketiga dan dari mesin keempat?