TI 2001 or 1 - Pemrogr Bilangan Bulat - Kuliah 12 - 25 MAR 14

TI 2001 Penelitian Operasional I 1

Pemrograman Bilangan Bulat

(Integer Programming)

Kuliah 10-11


Materi Bahasan

Pengantar pemrograman bilangan bulat

Beberapa contoh model pemrograman bilangan bulat

Metode pemecahan bilangan bulat Metode cutting-plane

Metode branch-and-bound (termasuk untuk

pemrograman bilangan bulat biner)


Pengantar Pemrograman Bilangan Bulat


Pemrograman Bilangan Bulat

Pemrograman bilangan bulat (integer

programming) mensyaratkan bahwa beberapa

variabel keputusan harus mempunyai nilai

yang bulat (bukan pecahan)

Pembahasan hanya ditujukan untuk masalah

pemrograman linier bilangan bulat (integer

linear programming problem)


Jenis Pemrograman Bilangan Bulat

Pemrograman linier bilangan bulat murni,

(pure integer linear programming, PILP)

Pemrograman linier bilangan bulat campuran,

(mixed integer linear programming, MILP)

Pemrograman linier bilangan bulat biner,

(binary integer linear programming, BILP)


Fungsi Variabel Biner

Penangangan pembatas either-or

Penanganan nilai lebih dari satu yang mungkin

dari suatu pembatas

Representasi bentuk lain dari variabel bilangan

bulat


Pembatas Either-Or

1823 21 xx

164 21 xx

1823 21 xx

Mxx 1823 21

164 21 xx

dan

dan

Myxx 1823 21

)1(164 21 yMxx

atau

PL format:

atau

Mxx 164 21

bila y = 0

10,ybila y = 1


Fungsi dengan N Nilai yang Mungkin (1)

Nn dddxxxf atau atau atau ,,, 2121

N

i

iin ydxxxf1

21 ,,,

Perumusan PLBB:

11

N

i

iy

Niyi ,,2,1 ,1,0


Fungsi dengan N Nilai yang Mungkin (2)

32121 1812623 yyyxx

maka perumusan PLBB-nya adalah :

1321 yyy

3,2,1 ,1,0 iyi

Bila diinginkan : 18atau 12,atau ,6x2x3 21


Representasi Biner untuk

Variabel Bilangan Bulat (1)

ux 0 122 dimana NN u

Representasi biner:

N

i

i

i yx0

2

Niyi ,,,,,, 210 10

Batas-batas untuk variabel x:


Representasi Biner untuk

Variabel Bilangan Bulat (2)

51 x

Representasi biner:

542 210 yyy

2,1,0 ,1,0 iyi

3032 21 xx

308423422 3210210 wwwwyyy

u untuk x1 = 5 22 5 23

u untuk x2 = 10 23 10 24

3,2,1,0 ,1,0 iwi

x1, x2 bil. bulat


Beberapa Contoh Model Pemrograman Bilangan Bulat


Beberapa Contoh Model-model Pemrograman

Bilangan Bulat

Fixed charge problem

Knapsack problem

Set covering problem

Set Partitioning Problem

Traveling salesman problem

Job (Machine) scheduling problem


Fixed Charge Problem (1)

Misalkan terdapat n jenis produk

pj = harga satuan produk j

Kj = biaya tetap untuk memproduksi produk j (independen

terhadap jumlah produksi, bila produk j yang dibuat > 0)

cj = biaya variabel untuk memproduksi produk j (proporsional

terhadap jumlah produksi)

bi = kapasitas sumber i (i = 1, m)

aij = kebutuhan sumber i untuk per unit produk j



Permasalahan :

Menentukan produk mana yang perlu diproduksi dan jumlah produksinya masing-masing agar diperoleh profit (selisih penjualan dengan biaya tetap dan variabel) total yang maksimum dengan memperhatikan kondisi:

- ketersediaan kapasitas

- jika suatu produk diputuskan untuk tidak diproduksi maka

jumlah produksinya nol.

Variabel keputusan :

xj = jumlah produk j yang diproduksi

yj = keputusan untuk memproduksi produk j atau tidak;

yj = 1 jika produk j diproduksi

yj = 0 jika produk j tidak diproduksi



n

j

jjjj

n

j

jj xcyKxpZ11

Maksimasi

dengan pembatas-pembatas:

mibxa i

n

j

jij ,,1 ,1

njMyx jj ,,1 ,

njx j ,,1 ,0

njy j ,...,1 ,1,0


Knapsack Problem (1)

Misalkan terdapat n item.

wj = berat item j

vj = nilai item j

W = kapasitas muatan (berat) dari kantong

Permasalahan :

Menentukan banyaknya setiap item yang perlu dimasukkan ke dalam kantong agar diperoleh nilai total yang maksimum dengan memperhatikan kondisi kapasitas muatan (berat) dari kantong

Variabel keputusan :

xj = jumlah item yang dimasukkan ke kantong


Knapsack Problem (2)

n

j

jj xvZ1

Maksimasi


Wxwn

j

jj 1

bulatbilangan dan 0jx


Set Covering Problem (1)

Jalan C

Jalan D

Jalan B Jalan A

Jalan E

Jala

n G

Jala

n K

Ja

lan

J

Jala

n I

Ja

lan H

1 2

6 7

4

8

5

3

Contoh masalah set covering problem dalam menentukan

lokasi pendirian pos siskamling


Set Covering Problem (2)

Misalkan terdapat n lokasi pendirian pos dan m jalan. cj = biaya mendirikan pos di lokasi j aij = konstanta biner (0-1) aij = 1 jika jalan i dilayani oleh pos yang berlokasi di j aij = 0 jika sebaliknya Pertanyaan: Menentukan lokasi pendirian pos dimana tiap jalan dapat dilayani minimal oleh satu pos sehingga diperoleh biaya total pendirian yang minimum Variabel keputusan xj = variabel biner (0-1) yang menentukan keputusan untuk mendirikan pos di lokasi j (xj = 1 jika pos dididikan di lokasi j, xj = 0 sebaliknya)


Set covering problem (3)

n

j

jj xcZ1

Minimasi


mixan

j

jij ,...,1 ,11

njx j ,...,1 ,1,0


Set Partitioning Problem

n

j

jj xcZ1

Minimasi


mixan

j

jij ,...,1 ,11

njx j ,...,1 ,1,0

Tiap jalan

tepat dilayani

oleh satu pos


Traveling Salesman Problem (1)

1

2

3

4

5

5

6

3

4

3

8

2

6

1

7

(jarak)



Misalkan terdapat n titik.

cij = jarak antara titik i ke titik j (cij = untuk i = j)

Permasalahan

Menentukan rute salesman yang berangkat dari suatu titik dan mengunjungi setiap titik yang lain paling banyak sekali, serta kembali ke titik asal agar diperoleh jarak total yang minimum

Variabel keputusan

xij = keputusan untuk melintasi atau tidak busur (i, j)

xij = 1 jika busur (i, j) dilintasi

xij = 0 jika busur (i, j) tidak dilintas



n

j

n

j

ijij xcZ1 1

Minimasi


nixn

j

ij ,,1 ,11

njxn

i

ij ,,1 ,11

jinjninnxuu ijji ;,,2;,,2 ,1

njnixij ,1;,,1 ,1,0

niui ,...,1 ,0

Subtour breaking

constraint



1

2

3

4

5

Subtour

Subtour breaking constraint bertujuan untuk mengeliminasi

terjadinya solusi subtour



1

2

3

4

5

Tour

Suatu solusi traveling salesman problem yang layak (terbentuknya

suatu tour).


Job Scheduling Problem (1)

Misalkan

-terdapat n job dengan operasi-tunggal

-terdapat satu mesin tunggal

pj = waktu pengerjaan job j

wj = bobot kepentingan job j

Permasalahan:

Menentukan saat awal (juga secara implisit menentukan saat akhir) pengerjaan job agar diperoleh waktu penyelesaian tertimbang total (total weighted completion time) yang minimum dengan memperhatikan bahwa pada suatu saat mesin hanya dapat mengerjakan satu operasi (job)



Variabel keputusan:

Bj = saat awal pengerjaan job j

Cj = saat akhir pengerjaan job j

yij = keputusan apakah job i mendahului job j

yij = 1 jika job i mendahului job j

yij = 0 jika sebaliknya

0

3 1 4 5 2

p3 p1 p4 p5 p2

Suatu solusi (jadwal) pengerjaan job yang layak



n

j

jjCwZ1

Minimasi


nipC jj ,,1 ,

jinjnipyMCC iijij ,,1;,,1 ,1

niC j ,...,1 ,0

jinjnipMyCC jijji ;,1;,,1 ,

njniyij ,1,,...,1 ,1,0

nipCB jjj ,,1 ,

Disjunctive constraint

(Either-or constraint)


Metode Pemecahan Model Pemrograman Bilangan Bulat


Metode Pemecahan Model Pemrograman

Bilangan Bulat

Cutting method

Cutting Plane

Search method

Branch and Bound


Algoritma Cutting Plane

Dikembangkan oleh R.E. Gomory

Algoritma

Fractional algorithm untuk masalah pemrograman

bilangan bulat murni (PILP)

Mixed algorithm untuk masalah pemrograman

bilangan bulat campuran (MILP)


Ilustrasi Suatu Masalah PLBB

Maximasi : Z = 7x1 + 9x2

s/t : x1 + 3x2 6

7x1 + x2 35

x1, x2 0 dan bilangan bulat


Daerah layak x2

x1


Solusi Optimal Kontinyu (dengan mengabaikan kondisi integralitas) x2

x1

21

21

21 34 ,),( xx

63Z


Ide Dasar dari Cutting Plane

Mengubah convex set dari daerah daerah

feasible (solution space) sehingga titik ekstrem

yang diperoleh berupa bilangan bulat

Perubahan dibuat tanpa memotong (slicing off)

daerah layak sehingga menghilangkan

bilangan bulat yang ada.

Perubahan dilakukan dengan penambahan

beberapa secondary constraint.


Penambahan Pembatas Sekunder x2

x1

secondary constraint

3421 ,),( xx

55Z


Fractional Algorithm (1)

Digunakan untuk memecahkan masalah

pemrograman linier bilangan bulat murni (PILP).

Mensyaratkan bahwa semua koefisien teknologi dan

konstanta ruas kanan adalah bilangan bulat.

Pada awalnya, masalah PILP dipecahkan sebagai PL

reguler, yaitu dengan mengabaikan persyaratan

bilangan bulat (= PL relaksasi).

2

13

3

121 xx 3926 21 xx



Basis x1 xi xm w1 wj wn Solusi

X1 1 0 0 11 1

j 1n 1

Xi 0 1 0 i1 i

j in i

xm 0 0 1 m1 m

j mn m

0 0 0 0 jc 1c jc

nc

Tabel akhir optimal untuk PL



Variabel xi (i = 1, , m) menunjukkan variabel basis

Variabel wj (j = 1, , n) menunjukkan variabel non basis

Misalkan persamaan ke-i dimana variabel xi diasumsikan

bernilai bilangan bulat

bulatbilangan bukan , i1

n

j

j

j

iii wx

(baris sumber)



Misal: iii f

ijjiji f

dimana :

N = [a] adalah bilangan bulat terbesar sehingga N a

0 < fi < 1

0 fij < 1



Dari baris sumber diperoleh:

n

j

j

j

iii

n

j

iiji wxwff11

Agar semua xi dan wj adalah bilangan bulat,

maka ruas kanan dari persamaan harus bilangan bulat

Akibatnya, ruas kiri harus bilangan bulat

bulatbilangan bukan , i1

n

j

j

j

iii wx

bulat bilangan bukan ;w}f{}f{x in

j

jij

j

iiii

1



Karena fij 0 dan wj 0 untuk semua i dan j maka

01

n

j

jijwf

Akibatnya

i

n

j

jiji fwff 1



11

n

j

jiji wff

Karena fi < 1 maka

Karena ruas kiri harus bilangan bulat, maka syarat perlu

untuk memenuhi integralitas adalah:

01

n

j

jiji wff



Pertidaksamaan terakhir dapat dijadikan sebagai pembatas

dalam bentuk:

i

n

j

jiji fwfS 1

(fractional cut)

0

1

i

n

j

jiji Swff



Basis x1 xi xm w1 wj wn Si Solusi

x1 1 0 0 11 1

j 1n 0 1

xi 0 1 0 i1 i

j in 0 i

xm 0 0 1 m1 m

j mn 0 m

Si 0 0 0 -fi1 -fi

j -fim 1 -fi

0 0 0 0 0 jc 1c jc

nc

Tabel setelah penambahan fractional cut



Dengan penambahan fractional cut, tabel

terakhir menjadi tidak layak walaupun optimal

sehingga metode dual simplex diterapkan

untuk meniadakan ketidaklayakan.

Algoritma berhenti jika solusi optimal

bilangan bulat diperoleh.



i

n

j

jij fwf 1

k

n

j

jkj fwf 1

Cut (1) dikatakan lebih kuat dari cut (2) jika

fi fk dan fij fkj untuk semua j dengan strict inequality

terpenuhi paling sedikit satu

Kekuatan fractional cut

..(1)

..(2)



Aturan :

ii

fmax

n

j

ij

i

i

f

f

1

max


Contoh Penerapan Fractional Algorithm (1)

Maximasi Z = 7x1 + 9x2

s/t :

x1 + 3x2 6

7x1 + x2 35




Basis x1 x2 x3 x4 Solusi

x2 0 1 7/22 1/22 3 1/2

x1 1 0 -1/22 3/22 4 1/2

cj zj 0 0 -28/11 -15/11 Z = 63

Tabel optimal kontinyu



2

7

22

1

22

7432 xxx

2

13

22

10

22

70 432 xxx

2

1

22

1

22

7431 xxS

Fractional cut:

Bila baris sumber cut yang diambil adalah persamaan x2



Basis x1 x2 x3 x4 S1 Solusi

x2 0 1 7/22 1/22 0 7/2

x1 1 0 -1/22 3/22 0 9/2

S1 0 0 -7/22 -1/22 1 -1/2

cj zj 0 0 -28/11 -15/11 0





x2 0 1 0 0 1 3

x1 1 0 0 1/7 -1/7 4 4/7

x3 0 0 1 1/7 -22/7 1 4/7

cj zj 0 0 0 -1 -8 Z = 59

Tabel yang diperoleh dengan dual simplex:



7

44

7

1

7

1141 Sxx

7

44

7

61

7

10 141 Sxx

7

4

7

6

7

1142 SxS

Fractional cut:

Bila baris sumber cut yang diambil adalah persamaan x1



Basis x1 x2 x3 x4 S1 S2 Solusi

x2 0 1 0 0 1 0 3

x1 1 0 0 1/7 -1/7 0 4 4/7

x3 0 0 1 1/7 -22/7 0 1 4/7

S2 0 0 0 -1/7 -6/7 1 -4/7

cj zj 0 0 0 -1 -8 0




Basis x1 x2 x3 x4 S1 S2 Solusi

x2 0 1 0 0 1 0 3

x1 1 0 0 0 -1 1 4

x3 0 0 1 0 -4 1 1

x4 0 0 0 1 6 -7 4

cj zj 0 0 0 -2 -7 0 Z = 55

Solusi bilangan bulat optimal, x1 = 4, x2 = 3; Z = 55



2

1

22

1

22

7431 xxS

Ilustrasi Fractional Cut secara Grafis (1)

2

1735

22

136

22

721211 xxxxS

321 xS

32 x

Fractional cut 1:


Ilustrasi Fractional Cut secara Grafis (2) x2

x1

32 x

Dg.fractional cut 1,

solusi optimal integer

belum diperoleh


7

4

7

6

7

1142 SxS

Ilustrasi Fractional Cut secara Grafis (3)

7

43

7

6735

7

12212 xxxS

7212 xxS

721 xx

Fractional cut 2:


Ilustrasi Fractional Cut secara Grafis (4) x2

x1

32 x

721 xx

Dg.ditambah fractional

cut 2, diperoleh solusi

optimal integer


Mixed Algorithm (1)

Digunakan untuk memecahkan masalah

pemrograman linier bilangan bulat campuran

(MILP)

Pada awalnya, masalah MILP dipecahkan sebagai PL

reguler, yaitu dengan mengabaikan kondisi

integralitas.


Mixed Algorithm (3)


s/t :

x1 + 3x2 6

7x1 + x2 35

x1 0 dan bilangan bulat

x2 0


Mixed Algorithm (3)

n

j

j

j

kkk wx1

Misal xk adalah variabel bilangan bulat dari masalah MILP.

Persamaan-xk dalam solusi kontinyu optimal:

n

j

j

j

kkkk wfx1

n

j

j

j

kkkk wfx1

(baris sumber)


Mixed Algorithm (4)

Untuk xk adalah bilangan bulat, maka

1atau kkkk xx harus dipenuhi

k

n

j

k

j

k fw 1

Dari baris sumber :

11

k

n

j

k

j

k fw

(1)

(2)

kondisi 1) :

n

j

j

j

kkkk wfx1

n

j

jjkk wf

1

0

ekivalen dengan : kk x

2) : 1 kk x ekivalen dengan :

n

j

jjkk wf

1

1


Mixed Algorithm (5)

Misal : J+ = himpunan subscripts j untuk kj 0

J- = himpunan subscripts j untuk kj < 0

Dari (1) diperoleh : k

n

Jj

k

j

k fw

k

n

Jj

k

j

k

k

k fwf

f

1

(3)

(4)

11

k

n

j

k

j

k fw 1

k

n

Jj

kjk fw

dan dari (2) diperoleh :


Mixed Algorithm (6)

Karena (1) dan (2) tidak dapat terjadi secara simultan,

maka :

k

n

Jj

kjk

k

kn

Jj

kjk fw

f

fw

1

k

n

Jj

k

j

k fw

(3) dan

k

n

Jj

k

j

k

k

k fwf

f

1

(4)

dapat digabungkan menjadi satu pembatas dalam bentuk :


Mixed Algorithm (6)

k

n

Jj

k

j

k

k

kn

Jj

k

j

kk fwf

fwS

1

(mixed cut)

kk

n

Jj

kjk

k

kn

Jj

kjk fSw

f

fw

1


Contoh Penerapan Mixed Algorithm (1)

Maksimasi : Z = 7x1 + 9x2


x1 + 3x2 6

7x1 + x2 35

x1 0 dan bilangan bulat

x2 0



Basis x1 x2 x3 x4 Solusi

x2 0 1 7/22 1/22 7/2

x1 1 0 -1/22 3/22 9/2

cj zj 0 0 -28/11 -15/11 Z = 63

Tabel optimal kontinyu:



2

14

22

3

22

1431 xxx

2

1

22

1

122

33

21

21

41

xxS

2

1

22

3

22

1431 xxS

Mixed cut:

Baris sumber persamaan-x1

21

1 ,4 ,3 fJJ




x2 0 1 7/22 1/22 0 7/2

x1 1 0 -1/22 3/22 0 9/2

S1 0 0 -1/22 -3/22 1 -1/2

cj zj 0 0 -28/11 -15/11 0

Tabel setelah penambahan mixed cut




x2 0 1 10/33 0 -1/3 10/3

x1 1 0 -1/11 0 1 4

x4 0 0 1/3 1 -22/3 11/3

cj zj 0 0 -23/11 -10 0 Z= 58


Solusi optimal, x1 = 4, x2 = 10/3; Z = 58


Algoritma Branch-and-Bound (1)

Metode yang paling banyak digunakan dalam

praktek untuk memecahkan masalah

pemrograman bilangan bulat baik murni

maupun campuran.

Digunakan sebagian besar software komersial

Pada dasarnya merupakan prosedur enumerasi

yang efisien untuk memeriksa semua solusi

layak yang mungkin.


Algoritma Branch-and-Bound (2)

Algoritma BB untuk PLBB (Murni &

Campuran)

Algoritma BB untuk PLBB Biner


Algoritma BB untuk PLBB (1)

Misalkan diberikan suatu masalah pemrograman

bilangan bulat sebagai berikut:

Maksimasi Z = cx

dengan pembatas

Ax = b

x 0

xj bilangan bulat untuk j I

dimana I adalah himpunan variabel bilangan bulat



Langkah pertama adalah memecahkan masalah PLBB sebagai PL dengan mengabaikan pembatas bilangan bulat (langkah ini disebut langkah bounding)

Misalkan masalah PL ini dinyatakan sebagai PL-1 dan mempunyai nilai optimal dg. nilai fungsi tujuan Z1.

PL-1

Maksimasi Z = cx

dengan pembatas

Ax = b

x 0



Asumsikan bahwa solusi optimal dari PL-1 mengandung beberapa variabel yg.seharusnya bernilai bulat tetapi nilai optimum kontinu saat ini adalah pecahan.

Oleh karena solusi optimal bilangan bulat untuk PLBB belum diperoleh, Z1

menjadi batas atas (upper bound) dari nilai maksimum Z untuk PLBB.

Langkah berikutnya adalah membagi daerah layak dari PL-1 dengan mencabangkan (branching) salah satu variabel bilangan bulat yang nilainya saat ini pecahan



Misalkan variabel xj dipilih untuk dicabangkan

dengan nilai pecahan j dalam PL-1.

Misalkan dibuat dua masalah pemrograman

linier baru, PL-2 dan PL-3 dengan

memasukkan masing-masing pembatas baru

xj [] dan xj []+1



Maksimasi Z = cx

dengan pembatas

Ax = b

xj []

x 0

Maksimasi Z = cx

dengan pembatas

Ax = b

xj []+1 x 0

PL-2 PL-3



PL-1

PL-2 PL-3

Solusi pecahan

Z1

Solusi pecahan

Z2

][ jjx 1 +][ jjx

Solusi pecahan

Z3



Memecahkan (bounding) PL-2 dan PL-3

Asumsikan solusi PL-2 dan PL-3 masih

pecahan

Langkah berikutnya adalah memilih node

(masalah PL) yang akan dicabangkan.



Setelah masalah PL sdh dipilih untuk dicabangkan

lebih lanjut, langkah selanjutnya adalah

memilih variabel bilangan bulat dengan nilai pecahan

yang akan dicabangkan untuk membentuk 2 masalah PL

baru (proses branching)

memecahkan masalah PL yang baru (proses bounding)

Jika solusi bilangan bulat telah diperoleh dari suatu

masalah PL maka nilai Z-nya menjadi batas bawah

(lower bound) dari nilai maksimum Z untuk masalah

PLBB.



Proses branching dan bounding berlanjut hingga

semua node dalam kondisi fathomed.

Fathoming suatu node (masalah PL):

Solusi optimal PL merupakan bilangan bulat

Masalah PL adalah tak layak

Nilai optimal Z dari masalah PL tidak lebih baik daripada

batas bawah (lower bound) saat ini untuk masalah maksimisasi

batas atas (upper bound) saat ini untuk masalah minimisasi



PL-1

PL-2 PL-3

Solusi pecahan

Z0 = Z1

Solusi pecahan

Z2

][ jjx 1 + ][ jjx

Solusi pecahan

Z3

PL-4 PL-5

Tidak layak Solusi bulat

Z4

][ iix 1 +][ iix



PL-1

PL-2

PL-4 PL-5

PL-3

PL-6 PL-7

Solusi pecahan

Z0 = Z1

Solusi pecahan

Z2

Tidak layak Solusi bulat

Z4

Solusi pecahan

Z6 < Z4

][ jjx

][ iix ][ kkx

Solusi pecahan

Z3

Solusi pecahan

Z7 > Z4

1 + ][ jjx

1 +][ kkx1 +][ iix



Esensi dari algoritma BB

Bounding

Branching

Fathoming


Contoh Penerapan Algoritma BB (1)


s/t :

5x1 + 7x2 35

4x1 + 9x2 36



PL1

Maximasi Z = 2x1 + 3x2 dengan pembatas-pembatas:

5x1 + 7x2 35

4x1 + 9x2 36

x1, x2 0

Feasible

Solution

Area

7 9

4

5

X1

X2

0

6121 217 17

817

3 , 2

14

x x

Z


Solusi Grafis (Kontinyu)

7 9

4

5

X1

X2

0



PL-1 178

176

21712

1

14

2,3

Z

xx


PL2


5x1 + 7x2 35

4x1 + 9x2 36

x2 < 2 x1, x2 0

Feasible

Solution Area

7 9

4

5

X1

X2

0

11 25

25

4 , 2

14

x x

Z


PL3


5x1 + 7x2 35

4x1 + 9x2 36

x2 > 3 x1, x2 0

Feasible

Solution Area

7 9

4

5

X1

X2

0

11 24

12

2 , 3

13

x x

Z



PL-1

PL-2 PL-3

178

176

21712

1

14

2,3

Z

xx

22 x32 x

21

241

1

13

3,2

Z

xx

52

251

1

14

2,4

Z

xx


PL4


5x1 + 7x2 35

4x1 + 9x2 36

x2 < 2

x1 < 4 x1, x2 0

Feasible

Solution Area

7 9

4

5

X1

X2

0

1 24, 2

14

x x

Z


PL5

FSA

7 9

4

5

X1

X2

0

31 2 7

27

5, 1

14

x x

Z


5x1 + 7x2 35

4x1 + 9x2 36

x2 < 2

x1 > 5 x1, x2 0



PL-1

PL-2 PL-3

178

176

21712

1

14

2,3

Z

xx

22 x32 x

21

241

1

13

3,2

Z

xx

52

251

1

14

2,4

Z

xx

PL-4 PL-5

41 x 51 x

14

2,4 21

Z

xx

72

73

21

14

1,5

Z

xx



PL-1

PL-2 PL-3

178

176

21712

1

14

2,3

Z

xx

22 x32 x

21

241

1

13

3,2

Z

xx

52

251

1

14

2,4

Z

xx

PL-4 PL-5

41 x 51 x

14

2,4 21

Z

xx

72

73

21

14

1,5

Z

xx

Fathomed karena perbedaan

nilai Z dengan lower bound < 1

dan semua koefisien fungsi tujuan

adalah bulat

Solusi bilangan bulat

optimal

x1 = 4, x2 = 2

Z = 14


Solusi Optimal

7 9

4

5

X1

X2

0

1 24, 2

14

x x

Z



PL-1 178

176

21712

1

14

2,3

Z

xx

Jika pencabang-

annya dipilih dari

PL-3 (bukan dari

PL-2)



PL-1

PL-2 PL-3

178

176

21712

1

14

2,3

Z

xx

22 x32 x

21

241

1

13

3,2

Z

xx

52

251

1

14

2,4

Z

xx



PL-1

PL-2 PL-3

178

176

21712

1

14

2,3

Z

xx

22 x32 x

21

241

1

13

3,2

Z

xx

52

251

1

14

2,4

Z

xx

PL-5 PL-4

21 x 31 x

Tidak layak

31

91

21

13

3,2

Z

xx



PL-1

PL-2 PL-3

178

176

21712

1

14

2,3

Z

xx

22 x32 x

21

241

1

13

3,2

Z

xx

52

251

1

14

2,4

Z

xx

PL-5 PL-4

21 x 31 x

Tidak layak

31

91

21

13

3,2

Z

xx

PL-6 PL-7 13

3,2 21

Z

xx

32 x 42 x

12

4,0 21

Z

xx



PL-1

PL-2 PL-3

178

176

21712

1

14

2,3

Z

xx

22 x32 x

21

241

1

13

3,2

Z

xx

52

251

1

14

2,4

Z

xx

PL-5 PL-4

21 x 31 x

Tidak layak

31

91

21

13

3,2

Z

xx

PL-6 PL-7 13

3,2 21

Z

xx

32 x 42 x

12

4,0 21

Z

xx

PL-8 PL-9

41 x 51 x

14

2,4 21

Z

xx

72

73

21

14

1,5

Z

xx



PL-1

PL-2 PL-3

178

176

21712

1

14

2,3

Z

xx

22 x32 x

21

241

1

13

3,2

Z

xx

52

251

1

14

2,4

Z

xx

PL-5 PL-4

21 x 31 x

Tidak layak

31

91

21

13

3,2

Z

xx

PL-6 PL-7 13

3,2 21

Z

xx

32 x 42 x

12

4,0 21

Z

xx

PL-8 PL-9

41 x 51 x

14

2,4 21

Z

xx

72

73

21

14

1,5

Z

xx

Fathomed karena perbedaan

nilai Z dengan lower bound < 1

dan semua koefisien fungsi tujuan

adalah bulat


Aturan Pencabangan (1)

Aturan-aturan pencabangan variabel adalah sebagai berikut:

Pilih variabel bilangan bulat yang mempunyai nilai pecahan terbesar dalam solusi PL.

Pilih variabel bilangan bulat yang mempunyai prioritas paling tinggi.

Menunjukkan keputusan yang terpenting dalam model

Mempunyai koefisien profit/biaya paling besar

Mempunyai nilai yang kritis yang didasarkan pengalaman pengguna

Aturan pemilihan bebas, misal, pilih variabel bilangan bulat dengan indeks paling kecil


Aturan Pencabangan (2)

Aturan penentuan masalah PL yang hendak

dicabangkan:

Nilai optimal dari fungsi tujuan

LIFO (Last-In First-Out), yaitu masalah PL yang

dipecahkan paling belakangan.


Contoh Algoritma BB untuk PLBB Biner (1)

Maximasi Z = 9x1 + 5x2 + 6x3 + 4x4


6x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 10

x3 + x4 1

-x1 + x3 + 0

-x2 + x4 0 x1, x2, x3, x4 = {0, 1}



PL-1 );,,,( 4321 Zxxxx

21

65 16;1,0,1,



PL-1

PL-2 PL-3

);,,,( 4321 Zxxxx

21

65 16;1,0,1,

01 x 11 x

9;1,0,1,0 515454 16;,0,,1



PL-1

PL-2 PL-3

);,,,( 4321 Zxxxx

21

65 16;1,0,1,

01 x 11 x

9;1,0,1,0 515454 16;,0,,1

PL-4 PL-5

02 x 12 x

54

54 13;0,,0,1

16;,0,1,121



PL-1

PL-2 PL-3

);,,,( 4321 Zxxxx

21

65 16;1,0,1,

01 x 11 x

9;1,0,1,0 515454 16;,0,,1

PL-4 PL-5

02 x 12 x

54

54 13;0,,0,1

16;,0,1,121

PL-6 PL-7

03 x 13 x

16;,0,1,121

Tidak layak



PL-1

PL-2 PL-3

);,,,( 4321 Zxxxx

21

65 16;1,0,1,

01 x 11 x

9;1,0,1,0 515454 16;,0,,1

PL-4 PL-5

02 x 12 x

54

54 13;0,,0,1

16;,0,1,121

PL-6 PL-7

03 x 13 x

16;,0,1,121

Tidak layak

PL-8 PL-9 14;0,0,1,1

04 x 14 x

Tidak layak

TI 2001 or 1 - Pemrogr Bilangan Bulat - Kuliah 12 - 25 MAR 14

Documents

Transcript of TI 2001 or 1 - Pemrogr Bilangan Bulat - Kuliah 12 - 25 MAR 14