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Matemáticas discretas

UNIDAD 2TEORIA DE CONJUNTOS

2.1 CARACTERISTICAS DE LOS CONJUNTOS.

DEFINICIÓN DE CONJUNTO

Un conjunto es un grupo de elementos u objetos que tienen una o más propiedades en común, especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas.

Cuando un elemento x pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: x ∈ A. En caso de que un elemento y no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: y ∉ ALas características de un conjunto son las siguientes:

1.- Debe de ser explicito; que exprese con claridad una cosa.2.- No se repite; que sea diferente.3.- Cardinalidad; que es el número de elementos que tiene un conjunto4.- se representa con letra mayúscula.5.- Se representa entre llaves: { }6.- Pueden ser finitos o infinitos.7.- Los elementos del conjunto se separan con , o ;

Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es

decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves.

En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es:

A = { x | P(x) } = { x1, x2, x3, …, xn }

Que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x) es verdadera, como x1, x2, x3, …, xn

3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos2.

4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos.

Ejemplo.Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo por extensión, comprensión y

por diagrama de Venn.Solución.Por extensión: V = {a,e,i,o,u }

Por comprensión: V = {x|x es una vocal }

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Matemáticas discretas

Por diagrama de Venn:

Ejemplo.Expresar de las tres formas al “conjunto de los planetas del sistema solar”.

Solución.Por extensión: P = {Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plutón }

Por comprensión: P = { x|x es un planeta del sistema solar }

Por diagrama de Venn:

Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B, se dice que A es un SUBCONJUNTO de B. La notación A B significa que A está incluido en B y se lee: “A es subconjunto de B” o “A está contenido en B”.

Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B, se dice que A no es subconjunto de B. En este caso la notación AB significa que A no es un subconjunto de B.

CONJUNTO VACIÓ O NULO: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por o { }.A = {x2 + 1 = 0 | x R}

El conjunto A, es un conjunto vacío porque no hay ningún número real que satisfaga a x2+1 = 0

El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.

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Matemáticas discretasEjemplos. = {x | x son los dinosaurios que viven en la actualidad}{ }= {x | x son los hombres mayores de 300 años} = {x |x son números positivos menores que cero}

CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por U o . Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Gráficamente se le representará mediante un rectángulo.

Ejemplos.U = {x|x son los días de la semana}= {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}A = {x|x son los días de la semana inglesa}= {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}B = {x|x son los días del fin de semana}= {sábado, domingo}C = {x|x son los días de la semana con menos de siete letras}= {lunes, martes, jueves, sábado}Nótese cómo: A U, B U, C U.

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO: Es la cantidad de elementos que tiene un conjunto, siempre y cuando estos no se repitan.

Ejemplos.A={x|x es un dia de la semana} (A)=7 ya que: A={Lunes, Martes, Miercoles, Jueves, Viernes, Sabado, Domingo}

B={x|x es una letra de la palabra PARANGARICUTIRIMICUARO}(B)=11 ya que: B={P,A,R,N,G,I,C,U,T,M,O}

Un conjunto FINITO es aquel cuyos elementos pueden ser contados.

Ejemplos.J = { x | x es el número de un día del mes de junio }L = { x | x es la cantidad de autos en la ciudad de México }

Un conjunto INFINITO es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es decir, su cardinalidad no está definida.

Ejemplos.N = {1,3,5,7,9,11,…}M = {2,4,6,8,10,12,…}Q = { x | x es la cantidad de puntos en una línea }

Dos conjuntos son IGUALES si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo =.

Ejemplo.R = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}S = { x | x es un dígito del sistema decimal}R = S

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Matemáticas discretasDos conjuntos son DESIGUALES si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo ≠.

Dos conjuntos son EQUIVALENTES si tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la misma cardinalidad. Se denota por el símbolo .

Ejemplos. W = {x | x son las estaciones del año }Z = {x | x es un punto cardinal } (W) = 4 (Z) = 4WZCONJUNTO POTENCIA La familia de todos los subconjuntos de un conjunto se llama conjunto potencia. Si un conjunto es finito con n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2n subconjuntos.A = {1, 2}El total de subconjuntos es:22 = 4{1,2}, {1}, {2}, { }

CONJUNTOS DISJUNTOS Son aquellos que no tienen elementos en común, es decir, cuando no existen elementos que pertenezcan a ambos.F = {1, 2, 3, 4, 5, 6}G = {a, b, c, d, e, f}

PRODUCTO CARTESIANO Sea A y B conjuntos. El producto cartesiano de A y B, denotado por A × B, es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B. Donde A × B ={(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Ejemplo:Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}¿Cuál es el conjunto A × B?¿Cuál es el conjunto B × A?¿Cuál es el conjunto B × B?

A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c), (4, a), (4, b), (4, c)}

B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}

B × B = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}

Un subconjunto R del producto cartesiano A×B es llamado una relación del conjunto A al conjunto B. Los elementos de R son pares ordenados donde el primer elemento pertenece a A y el segundo pertenece a B.

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Matemáticas discretasSIMBOLOGIA

A,B,C… Indican conjuntos, mayúsculas Existe en Disyuncióna,b,c…. Indican elementos de

conjuntos, minusculas No existe en Conjunción

Pertenece a Para todo Doble implicación,Si y solo si

No pertenece a , Tal que Implicación,Si entonces

Subconjunto de,Está incluido en

U , Conjunto universal

AC , A A , A

Complemento

No es subconjunto de,No está incluido en

Menor que Diferencia

Equivalente a Mayor que (A) , (A) , A

Cardinalidad

Iguala a Mayor o igual Por lo tanto Diferente de, no es igual Menor o igual … Conjunto

, Conjunto vacío

2.2 OPERACIONES CON CONJUNTOS

INTERSECCIÓN: Sean A y B conjuntos. La intersección de los conjuntos A y B denotada por A ∩ B es el conjunto que contiene los elementos que están al mismo tiempo en A y B. Un elemento x pertenece a la intersección de los conjuntos A y B si y únicamente si x pertenece a A y x pertenece a B. Formalmente se tiene: A∩B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Gráficamente se tiene:

La parte sombreada es A ∩ B.

EjemploLa intersección de los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3} es A ∩ B = {1, 3}.

UNION: Sean A y B conjuntos. La unión de los conjuntos A y B denotada por A ∪ B es el conjunto que contiene elementos que son de A o B, o de ambos. Un elemento x pertenece a la unión de A y B si y únicamente si x pertenece a A o x pertenece a B. Formalmente se tiene: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Un elemento x pertenece a la unión de A y B si y únicamente si x pertenece a A o x pertenece a B. Formalmente se tiene: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

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Matemáticas discretas

Gráficamente se tiene:

La parte sombreada es A ∪ B.Ejemplo

La unión de los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3} es A ∪ B

DIFERENCIA: Sean A y B conjuntos. La diferencia de los conjuntos A y B denotada por A−B, es el conjunto que contiene los elementos que están en A pero no en B. La diferencia de A y B es también llamada el complemento de B con respecto a A.

Un elemento x pertenece a la diferencia de A y B si y únicamente si x ∈ A y x ∉ B. Formalmente se tiene: A − B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}.

Gráficamente se tiene:

La parte sombreada es A − B.Ejemplo:La diferencia de los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3} es A − B = {5},B − A = {2}.

COMPLEMENTO: Sea U el conjunto universo, el complemento del conjunto A, denotado por A, es el complemento del conjunto A con respecto a U. En otras palabras, el complemento del conjunto A es U − A.

Un elemento x pertenece a A si y únicamente si x ∉ A. Formalmente se tiene:A = {x | x ∉ A}.

Gráficamente se tiene:

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Matemáticas discretasLa parte sombreada es A.

Ejemplo Sea A = {a, e, i, o, u} y el universo son todas las letras del alfabeto español. Entonces

A’ = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, ñ, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}.

2.3 PROPIEDADES DE OPERACIONES CON CONJUNTOS