6.6 PERBANDINGAN PERKIRAAN RASIO DENGAN RATA-RATA PER UNIT

Jenis perkiraan Y adalah yN , dimana y adalah rata-rata per unit untuk sampelnya (dalam penarikan sampel acak sederhana) atau rata-rata tertimbang per unti (dalam penarikan sampel acak berlapis). Perkiraan yang seperti disebut diatas adalah perkiraan yang didasarkan pada rata-rata per unit atau perkiraan dengan ekspansi sederhana.

Teorema 6.2

Dalam sampel yang besar, dengan penarikan sampel aak sederhana, perkiraan rasio RY

memiliki suatu varians yang lebih kecil daripada perkiraan yNY =ˆ yang diperoleh

dengan ekspansi sederhana, jika

)var(2

var2

1

i

i

y

x

yiansikoefisien

xiansikoefisien

Y

SX

S

=

>ρ

Bukti:Untuk Y kita peroleh

22 )1(

)ˆ( ySn

fNYV

−=

Untuk perkiraan rasio kita peroleh dari (6.5) :

)2()1(

)ˆ( 2222

xyxyR SSRSRSn

fNYV ρ−+−=

Oleh karena itu perkiraan rasio memiliki varians terkecil jika2222 2 yxyxy SSSRSRS <−+ ρ

Jika X

YR = adalah positif, maka

)(2

)(2

1

2 iy

x

y

x

ykv

xkv

Y

SX

S

S

RS=

=>ρ

6.7 KONDISI DI DALAM PENDUGA RASIO SEBAGAI SEBUAH PENDUGA TIDAK BIAS LINEAR TERBAIK

Suatu hasil dalam teori regresi yang baik menunjukan jenis populasi dengan perkiraan rasio yang dapat disebut terbaik di antara sejumlah kelas perkiraan. Hasilnya pertama kali di buktikan untuk populasi tidak terbatas. Brewer (1963b) dan Royall (1970a) mengembangkan hasilnya untuk populasi terbatas. Hasilnya terpenuhi jika dua kondisi dipenuhi yaitu:

1. Hubungan antara yi dan xi merupakan sebuah garis lurus melalui origin2. Varian yi di sekitar garis ini adalah proporsional terhadap xi

1

Penduga tidak bias linear terbaik di definisikan sebagai berikut. Misalkan seluruh penduga Y dari Y yang merupakan fungsi linear dari nilai-nilai sampel iy yang

bentuknya nn ylylyl +++ ...2211 dengan l tidak bergantung pada yi , meskipun bisa saja fungsi dari xi dan l dibatasi untuk memberikan perkiraan yang tidak bias dari Y . penduga yang memiliki varians terkecil disebut penduga tidak bias linear terbaik (PTLT). Brewer dan Royall menganggap nilai-nilai populasi ),( ii xyN adalah sebuah sampel

acak dari sebuah populasi dengan iii xy εβ += dimana i∈ bebas dari xi dan xi > 0 , rata-

rata 0 dan varians ixλ ; i = 1.2.3... . Brewer dan Royall menganggap suatu penduga Y

adalah tidak bias jika )()ˆ( YEYE = dalam pemilihan berulang dari model dengan sampel dan populasi terbatas. Penduga seperti itu bisa disebut model tidak bias.

Teorema 6.3.

Dalam model iii xy εβ += rasio penduga x

XY y

R =ˆ (penduga tidak bias linear terbaik

untuk setiap sampel acak atau tidak dipilih secara terpisah menurut nilai-nilai dari xi)

Bukti:

Karena 0=∈ ii xE dalam penarikan sampel berulang, hal ini mengikuti iii xy εβ +=

bahwa XYEXYN

i βεβ =+= ∑ )(:

Selanjutnya dengan model iii xy εβ += ada penduga linear Y yang bentuknya:

∑∑∑ +==n

ii

n

ii

n

ii lxlylY εβˆ

Jika kita mengambil n sampel nilai xi tetap dalm penarikan sampel berulang dalam model iii xy εβ += , maka

∑∑ ==n

ii

n

ii lYVxlYE ελβ 2)ˆ(:)ˆ(

Dari XYEXYN

i βεβ =+= ∑ )(: dan ∑∑ ==n

ii

n

ii lYVxlYE ελβ 2)ˆ(:)ˆ( , Y

sebenarnya adalah model tidak bias jika XxlN

ii ≡∑ . Peminimuman )ˆ(YV di bawah

kondisi ini dengan sebuah pengandaan lagrange memberikan

xn

Xkonslcxxl iiii === tan:2

Nilai konstannya harus memiliki xn

X agar memenuhi kondisi model tidak bias

XxlN

i ≡∑ . Oleh karena itu penduga PTLT Y adalah RYx

yX

xn

Xyn ˆ== , penduga rasio

bias. Ini melengkapi pembuktian.

2

Selanjutnya dari XYEXYN

i βεβ =+= ∑ )(: dan ∑∑ ==n

ii

n

ii lYVxlYE ελβ 2)ˆ(:)ˆ( ,

dengan xn

Xl = ,

∑∑∑∑∑∑−

−−=−

=−=−

nN

i

n

i

N

i

n

i

N

i

n

iiR xn

xnX

xn

XlYY εεεεεεˆ

Dimana ∑−nN

menujukan jumlah seluruh (N-n) nilai populasi yang tidak terdapat dalam

sampel. Oleh karena itu,

xn

XxnXxnX

xn

xnxnXYV R

)()(

)(

)()()ˆ(

2

2 −=−+−= λλλ

Suatu model penduga tak bias λ dari sampel ini dengan mudah di tunjukkan menjadi:

)1(

)ˆ(1ˆ2

−−

= ∑ n

xRy

xii

n

i

λ

Dimana x

yR =ˆ , seperti biasa. Nilai ini dapat digantikan dalam

xn

XxnXxnX

xn

xnxnXYV R

)()(

)(

)()()ˆ(

2

2 −=−+−= λλλ untuk menghasilkan model

perkiraan sampel tidak bias dari )ˆ( RYV .

Praktek yang berhubungan dengan hasilnya adalah menganggap kondisi penduga rasio yang lebih baik tidak hanya unuk y ,tetapi adalah yang terbaik dari seluruh penduga. Bila kita mencoba untuk memutuskan jenis perkiraan mana yang digunakan, suatu grafik yang nilai sampel yi di plot terhadap xi adalah sangat beguna. Jika grafik ini menunjukan suatu hubungan garis lurus melalui titik origin dan jika varians dari titik-titik yi di sekitar garis terlihat secara kasar proporsional terhadap xi, penduga rasio akan menjadi sukar untuk di bentuk

Kadang kadang varians yi dalam susunan dengan xi tetap tidak proporsional terhadap xi. Jika residu varians ini adalah dari bentuk )( ixvλ , dimana )( ixv diketahui, Brewer dan

Royall menujukkan bahwa penduga PTLT menjadi

∑

∑=

n

ii

n

iii

xw

xyw

XY2

ˆ , dimana

)(

1

ii xv

w = , dalam sebuah sampel populasi dari Greece, Jessen dan kawan-kawan

(1947) menetapkan bahwa residu varians bertambah secara kasar sebesar 2ix . Ini

menyarankan sebuah menimbang regresi dengan 2

1

ii x

w = , yang menghasilkan

3

∑∑

∑

==

n

i

in

ii

n

iii

x

y

n

X

xw

xywX

Y2

)(ˆ

Untuk sebuah populasi tertentu dan n tertentu )ˆ( RYV dalam

xn

XxnXxnX

xn

xnxnXYV R

)()(

)(

)()()ˆ(

2

2 −=−+−= λλλ sebenarnya diminimumkan,

untuk setiap xi>0, bila sampel terdiri dari n terbesar xi dalam populasi. Dalam 16 populasi kecil biasa, yang mana perkiraan rasio telah dipergunakan, Royall (1970) telah menemukan untuk sampel-sampel yang mempunyai n = 2 sampai 12 di mana seleksi dari n terbesar, xi biasanya meningkatkan ketelitian dari RY .

Kesimpulannya, hasil dari Brewer-Royall menunjukan bahwa anggapan dari sebuah jenis model tertentu menuju pada suatu penduga rasio tidak bias dan rumus untuk

)ˆ( RYV dan )ˆ( RYv adalah sederhana dan pasti untuk setiap n>1. hasilnya dapat digunakan secara sederhana dalam kasus pengujian pasangan y, x, dari data yang tersedia dengan anggapan modelnya adalah tepat. Rumus

xn

XxnXxnX

xn

xnxnXYV R

)()(

)(

)()()ˆ(

2

2 −=−+−= λλλ dan

)1(

)ˆ(1ˆ2

−−

= ∑ n

xRy

xii

n

i

λ

muncul menjadi sensitif untuk ketidaktelitian dalam model, walaupun ini membutuhkan studi lebih lanjut. Selanjutnya perkerjaan dari Royall dan Herson(1973) membicarakan jenis distribusi sampel yang dibutuhkan terhadap xi, RY tidak bias bila terdapat sebuah regresi polinomial dari yi terhadap xi.

6.8 BIAS PERKIRAAN RASIO

Biasanya perkiraan rasio memiliki bias kira-kira sebsar n

1. Karena kesalahan baku

perkiraannya sebesar n

1. Dua hasil yang berguna tentang bias, yaitu hasil pertama

memberikan hubungan yang penting pada bias bila dikembangkan dalam sebuah seri Taylor.

x

xRyR

x

yRR

−=−=−ˆ

Ditulis

−+=

−+=−

=−

X

Xx

XX

Xx

XXxXx1

11

1

)(

111

Oleh karena itu,

−+−=−X

Xx

x

xRyRR 1ˆ

Sekarang, 0)( =−=− XRYxRyE

Sehingga hubungan yang terpenting dalam bias berasal dari faktor kedua dalam krung. Selanjutnya,

4

xy SSn

fXxYyEXxyE ρ−=−−=− 1

))(()(

Dengan teorema 2.3 dan definisi tentang ρ . Juga, 22 1

)()( xSn

fXxEXxxE

−=−=−

Dengan demikian hubungan terpenting dalam bias adalah

RCCn

fSSRS

Xn

fRRE xyxxxyx )(

1)(

1)ˆ( 2

2−−=−−=− ρ

Sekarang hubungan terpenting dalam )ˆ(RV adalah

)2(1

)ˆ( 2222 xyyy SSRSRS

Xn

fRV ρ−−−= dari 6.5 dengan mengantikan

XN

YR Rˆ =

Dari )(1

)ˆ( 22 xyx SSRS

Xn

fRRE ρ−−=− dan )2(

1)ˆ( 222

2 xyyy SSRSRSXn

fRV ρ−−−= nilai

(nias/ kesalahan baku), yang mana sama untuk ,ˆ,,ˆRR YYR dapat dinyatakan sebagai:

2

1

)2(

)()(

)(

222yxyx

yx

SSSRSR

SRSxkv

bakukesalahan

bias

+−

−=

ρ

ρ

Dimana Xn

Sfxkv x−

=1

)( dengan mengganti perkiraan sample dari

2

1

)2(

)()(

)(

222yxyx

yx

SSSRSR

SRSxkv

bakukesalahan

bias

+−

−=

ρ

ρ,

Kish, Namboodiri, dan Pillai (1962) menhitung nilai (bis/ keasalahan baku) sejumlah item dalam berbagi penelitian nasional dan lebih dibatasi. Seluruh nilai (bias/kesalahan baku) <0,03 dan >0,10 dalam peneletiannya diperoleh hanya untuk satu lapisan tunggal dengan nh=6 rumahsakit kecil.Hasil kedua, oleh Hartley dan Ross (1954) memberi suatu hasil yang tepat untuk biasnya dan suatu batas atas rasio dari bias terhadap kesalahan bakunya. Perhatikan kovarians nilai R dan x , dalam sample acak sederhana dengan ukuran n.

)ˆ()()ˆ(),ˆ( REXYxERExx

yExRkov −=−

=

Dengan demikian

),ˆ(1

),ˆ(1

)ˆ( xRkovX

RxRkovXX

YRE −=−=

Jadi bias didalam R adalah ),ˆ(1

xRkovX

− . tidak seperti pendekatan Taylor

)(1

)ˆ( 22 xyx SSRS

Xn

fRRE ρ−−=− untuk biasnya, bentuk ini adalah tepat. Selanjutnya

5

XXRdalambias xRxRxR σσσσρ

ˆˆ,ˆˆ ≤= bla00

Karena R dan x tidak dapat mempunyai kolerasi >1. oleh karena itu,

xdarikvX

Rdalambiasx

R

=≤σ

σ ˆ

ˆ

batas yang sama diterapkan untuk bias dalam RR YdanY ˆˆ . dengan demikian, jika

kovarians varaisi x < 0,1 , biasnya bisa dipertimbangkan untuk diabaikan dalam hubungannya dengan kesalahan baku.

6