Teori Teori PermainanPermainan

PendahuluanPendahuluan

Adl Pendekatan matematis utk merumuskan Adl Pendekatan matematis utk merumuskan situasi persaingan dan konflik antara berbagai situasi persaingan dan konflik antara berbagai kepentingan (menganalisa proses pengambilan kepentingan (menganalisa proses pengambilan keputusan dr situasi2x persaingan yg berbeda keputusan dr situasi2x persaingan yg berbeda dan melibatkan dua atau lebih kepentingan).dan melibatkan dua atau lebih kepentingan).

# Perlakuan dlm permainan yaitu :# Perlakuan dlm permainan yaitu :

Setiap pemain (individu/kelompok) Setiap pemain (individu/kelompok) punya kemampuan utk mengambil punya kemampuan utk mengambil keputusan secara bebas dan keputusan secara bebas dan rasional…rasional…

# Kalsifikasi model2x teori permainan :# Kalsifikasi model2x teori permainan :• Jumlah Pemain Jumlah Pemain • Jumlah Keuntungan & kerugianJumlah Keuntungan & kerugian• Jumlah StrategiJumlah Strategi

Bila jumlah keuntungan/kerugian adl nol Bila jumlah keuntungan/kerugian adl nol disebut disebut permainan jumlah nolpermainan jumlah nol atau atau jumlah jumlah konstankonstan. Sebaliknya disebut . Sebaliknya disebut permainan permainan bukan jumlah nol bukan jumlah nol ..

Contoh Permainan dua-pemain jumlah nol.Contoh Permainan dua-pemain jumlah nol.Pemain APemain A Pemain BPemain B

BB11 BB22 BB33

AA11

AA22

66

8899

5522

44

Tabel Contoh Matriks Permainan Dua-Pemain Jumlah Nol

Unsur-unsur Dasar Teori Unsur-unsur Dasar Teori Permainan:Permainan:

1. Angka2x dlm matriks Pay Off (matriks 1. Angka2x dlm matriks Pay Off (matriks permainan);pemain baris dan kolom adlh permainan);pemain baris dan kolom adlh merupakan keuntungan dan kerugian merupakan keuntungan dan kerugian bagi pemain.bagi pemain.

2. Strategi permianan adl rangkaian 2. Strategi permianan adl rangkaian kegiatan atau rencana yg menyeluruh dr kegiatan atau rencana yg menyeluruh dr seorang pemain.(pemain A punya 2 seorang pemain.(pemain A punya 2 strategi yaitu Astrategi yaitu A11 dan A dan A2 2 ; pemain B punya 3 ; pemain B punya 3 strategi yaitu Bstrategi yaitu B11,B,B22, dan B, dan B33 ). ).

3. Aturan-aturan permainan yaitu kerangka 3. Aturan-aturan permainan yaitu kerangka para pemain hrs memilih strategi2x secara para pemain hrs memilih strategi2x secara simultan dan permainannya berulang.simultan dan permainannya berulang.

4. Nilai permainan adl hasil perkiraan per-4. Nilai permainan adl hasil perkiraan per-permainan atau pay off rata2x sepanjang permainan atau pay off rata2x sepanjang rangkaian permainan, dimana kedua pemain rangkaian permainan, dimana kedua pemain mempergunakan strategi yg paling baik atau mempergunakan strategi yg paling baik atau optimal.(nilai nol artinya permainan adil {tdk optimal.(nilai nol artinya permainan adil {tdk ada untung/kemenangan};sebaliknya nilai ada untung/kemenangan};sebaliknya nilai tidak nol artinya permainan tidak jujur).tidak nol artinya permainan tidak jujur).

5. Strategi dikatakan Dominan bila tiap pay off 5. Strategi dikatakan Dominan bila tiap pay off adl superior thd tiap pay off yg berhubungan adl superior thd tiap pay off yg berhubungan dlm strategi alternatif.dlm strategi alternatif.

6. Strategi Optimal adl rangkaian kegiatan/ 6. Strategi Optimal adl rangkaian kegiatan/ rencana menyebabkan pemain dlm posisi rencana menyebabkan pemain dlm posisi paling menguntungkan {ada paling menguntungkan {ada penyimpanganstrategi optiml/rencana penyimpanganstrategi optiml/rencana Optimal/pernurunan pay off}.Optimal/pernurunan pay off}.

Tujuan dari model permainan adl identifikasi Tujuan dari model permainan adl identifikasi strategi/rencana optimal utk tiap pemain.strategi/rencana optimal utk tiap pemain.

Pemain APemain A Pemain BPemain B Minimum Minimum BarisBarisBB11 BB22 BB33

AA11

AA22

11

8899

5522

4411

44

Maks Maks KolomKolom

88 99 44MinimaksMaksimin

Permainan Strategi Murni.Permainan Strategi Murni.

Pandang baris (prshan A) : APandang baris (prshan A) : A11 dipilih mk B dipilih mk B akan memilih Bakan memilih B11 dan payoff A yaitu 1. A dan payoff A yaitu 1. A22 dipilh mk Bdipilh mk B33 akan dipilh dan payoff A yaitu akan dipilh dan payoff A yaitu 4. Posisi A paling untung. 4. Posisi A paling untung.

Perhatiakn kolom (B) : BPerhatiakn kolom (B) : B33 mendominasi B mendominasi B22,Kol B,Kol B22

dihilangkan.. Bila Bdihilangkan.. Bila B11 dipilh mk A akan memilh A dipilh mk A akan memilh A22 dan dan

B akan kehilangan 8%, tetapi bila BB akan kehilangan 8%, tetapi bila B33 dipilh mk A dipilh mk A22

akan terpilh dan B hanya rugi 4%. Kesimpuln nya akan terpilh dan B hanya rugi 4%. Kesimpuln nya Strategi Optimal A adl AStrategi Optimal A adl A22 dan Strategi perusahaan B dan Strategi perusahaan B

adl Badl B33 dg kriteria maksimasi(baris : 1 & 4) yaitu 4 dg kriteria maksimasi(baris : 1 & 4) yaitu 4

/minimasi(kolom:8,5,4) yaitu 4. /minimasi(kolom:8,5,4) yaitu 4.

Permainan Strategi Murni.Permainan Strategi Murni.

Perusahaan BPerusahaan B Minimum Minimum BarisBaris BB11 B B22 B B33

AA11

AA22

AA33

2 5 72 5 7

-1 2 4-1 2 4

6 1 96 1 9

22

-1-1

11

Maksimum Maksimum KolomKolom

6 5 96 5 9

Perusahaan A

Minimaks

Maksimin

Karena nilai maksimin tdk sama dg nilai minimaks Karena nilai maksimin tdk sama dg nilai minimaks shg tdk diketemukan titik shg tdk diketemukan titik Plana Plana . Dg menerapkan . Dg menerapkan aturan dominan mk strategi Baturan dominan mk strategi B33 didominasi B didominasi B22, shg , shg kol Bkol B33 dpt dihilangkan. A dpt dihilangkan. A22 didominasi A didominasi A11, shg A, shg A22 dihilangkan.matriks berubah menjadi 2x2.dihilangkan.matriks berubah menjadi 2x2.

Perusahaan BPerusahaan B Minimum BarisMinimum Baris

BB11 BB22

AA11

AA33

22

66

55

11

22

11

Maks KolomMaks Kolom 66 55

Perusahaan A

Minimaks

Maksimin

Karena nilai maksimin tdk sama dg Karena nilai maksimin tdk sama dg nilai minimaks jg shg tdk ada titik nilai minimaks jg shg tdk ada titik Plana. Utk menyelesaikannya Plana. Utk menyelesaikannya dilakukan dg :dilakukan dg :

a.a. Metode AnalitisMetode Analitis

b.b. Metode Aljabar matriksMetode Aljabar matriks

c.c. Metode Linier ProgrammingMetode Linier Programming

Metode AnalitisMetode AnalitisDiharapkan agar keuntungan/ kerugian sama.Diharapkan agar keuntungan/ kerugian sama.Perusahaan A: Perusahaan A:

misal strategi Amisal strategi A11 = p, dan strategi A = p, dan strategi A33 = 1-p. = 1-p.

Dg strategi BDg strategi B11, mk keuntungan yg diharapkan :, mk keuntungan yg diharapkan : 2p + 6(1-p) = 6 – 4p 2p + 6(1-p) = 6 – 4p {probilitas Payoff}{probilitas Payoff}

Dg strategi BDg strategi B22, mk keuntungannya:, mk keuntungannya: 5p+1.(1-p)=1+4p 5p+1.(1-p)=1+4p {probilitas Payoff}{probilitas Payoff}Strategi optimal utk A diperoleh dgStrategi optimal utk A diperoleh dg 6-4p = 1 + 4p 6-4p = 1 + 4p p=5/8 = 0,625 p=5/8 = 0,625# Perusahaan A seharusnya menggnkn strategi # Perusahaan A seharusnya menggnkn strategi

AA11 62,5% dan strategi A 62,5% dan strategi A33 37,5%. keuntungan A 37,5%. keuntungan A =0,625(2)+0,375(6)=0,625(5)+0,375(1) = 3,5=0,625(2)+0,375(6)=0,625(5)+0,375(1) = 3,5

Perusahaan B : Perusahaan B :

misal strategi Bmisal strategi B11 = q, dan strategi B = q, dan strategi B22 = 1-q. = 1-q.

misal strategi Amisal strategi A11, mk kerugian yg diharapkan :, mk kerugian yg diharapkan :

2q + 5(1-q) = 5 – 3q 2q + 5(1-q) = 5 – 3q {probilitas Payoff}{probilitas Payoff}

Dg strategi ADg strategi A33, mk kerugiannya: , mk kerugiannya:

6q+1.(1-q)=1+5q 6q+1.(1-q)=1+5q {probilitas Payoff}{probilitas Payoff}

Strategi optimal utk B diperoleh dgStrategi optimal utk B diperoleh dg

5 – 3q = 1 + 5q 5 – 3q = 1 + 5q q=4/8 = 0,50. q=4/8 = 0,50.

# Perusahaan B seharusnya menggnkn strategi B# Perusahaan B seharusnya menggnkn strategi B11

50% dan strategi B50% dan strategi B22 50%. kerugian B 50%. kerugian B

=0,50(2)+0,50(5)=0,50(6)+0,50(1) = 3,5=0,50(2)+0,50(5)=0,50(6)+0,50(1) = 3,5

KesimpulanKesimpulan

Dicapai titik Plana(equilibrium), kedua Dicapai titik Plana(equilibrium), kedua pemain dpt memperbaiki posisi pemain dpt memperbaiki posisi dimana pemain A telah menaikkan dimana pemain A telah menaikkan keuntungan dr 2 menjadi 3,5; dan keuntungan dr 2 menjadi 3,5; dan perusahaan B mengurangi kerugian perusahaan B mengurangi kerugian dr 5 menjadi 3,5.dr 5 menjadi 3,5.

Metode Aljabar MatriksMetode Aljabar Matriksmetode ini digunakan utk menyelesaikan metode ini digunakan utk menyelesaikan permainan matriks segi empat yg lebih banyak dr permainan matriks segi empat yg lebih banyak dr permainan 2x2permainan 2x2

PPijij menunjukkan jumlah payoff dlm baris i dan menunjukkan jumlah payoff dlm baris i dan kolom j. Strategi optimal utk perusahaan A kolom j. Strategi optimal utk perusahaan A dan B dan nilai permainan dicari dg:dan B dan nilai permainan dicari dg:

2 56 1

A1

A3

Pij

B1 B2

Strategi Optimal perusahaan A =

1 1 Padj

1 1 Padj1

1

Nilai Permainan =Nilai Permainan =

==

Strategi Optimal perusahaan B =

1 1 Pcof

1 1 Padj1

1Strategi Optimal A

PadjStrategi Optimal B

Pij

1 1 Padj1

1

Dimana Padj = Adjoin matriks

Pcof = cofaktor matriks

= matriks permainan/determinan matriks

permainan

Pij

Dari contoh sblmnya :Dari contoh sblmnya :

Pij =2 5

6 1Pcof =

1 -6

-5 2

Padj =1 -5

-6 2Pcof =

T

Pij =2 5

6 1= 2 – 30 = -28

Strategi Optimal perusahaan A =

1 1

1 1 1

1

1 -5

-6 2

1 -5

-6 2

=-5 -3

-8

Strategi Optimal perusahaan B =

1 1

1 1 1

1

1 -6

-5 2

1 -5

-6 2

=-4 -4

-8

KesimpulanKesimpulan

Jadi Strategi2x campuran yg optimal = Jadi Strategi2x campuran yg optimal =

AA11 = 5/8 = 5/8 A A33 = 3/8 = 3/8

BB11 = 4/8 = ½ B = 4/8 = ½ B22 = 4/8 = ½ = 4/8 = ½

Nilai permainan = Nilai permainan = 5 3

8 8

2 5

6 1

1/2

1/2=3,5

ATAU : nilai permainan = = -28/-8 = 3,5

2 5

6 1

-8

Metode Linier programmingMetode Linier programmingA sbg maksmin player :A sbg maksmin player :

2x2x11 + 6x + 6x22 >= V {bila pemain B menggunakan strategi B >= V {bila pemain B menggunakan strategi B11 } }

5x5x11 + 1x + 1x22 >= V {bila pemain B menggunakan strategi B >= V {bila pemain B menggunakan strategi B22 } }

Diketahui : xDiketahui : x11 + x + x22 = 1 = 1

Dan xDan x11,x,x22 >= 0 >= 0

B sbg minmaks player :B sbg minmaks player :

2y2y11 + 5y + 5y22 <= V {bila pemain A menggunakan strategi A <= V {bila pemain A menggunakan strategi A11 } }

6y6y11 + 1y + 1y22 <= V {bila pemain A menggunakan strategi A <= V {bila pemain A menggunakan strategi A33 } }

Diketahui : yDiketahui : y11 + y + y22 = 1 = 1

Dan yDan y11,y,y22 >= 0 >= 0

Dengan membagi stiap ktidaksamaan dan Dengan membagi stiap ktidaksamaan dan persamaan diperoleh :persamaan diperoleh :

Utk perusahaan A :Utk perusahaan A :

2(x2(x11/v) +6(x/v) +6(x22/v) >= 1/v) >= 1

5(x5(x11/v) +1(x/v) +1(x22/v) >= 1/v) >= 1

(x(x11/v)+(x/v)+(x22/v) = (1/v)/v) = (1/v)XX11 + + XX22 = (1/v) = (1/v)

Utk perusahaan B :Utk perusahaan B :

2(y2(y11/v) +5(y/v) +5(y22/v) <= 1/v) <= 1

6(y6(y11/v) +1(y/v) +1(y22/v) <= 1/v) <= 1

(y(y11/v) + (y/v) + (y22/v) = (1/v)/v) = (1/v)YY11 + + YY22 = (1/v) = (1/v)

Kasusnya menjadi ;Kasusnya menjadi ;

A Minimumkan:A Minimumkan:

Z = xZ = x11 + x + x22

Batasan2x :Batasan2x :

2x2x11+6x+6x22 >= 1 >= 1

5x5x11+1x+1x22 >= 1 >= 1

xx11,x,x22 >= 0 >= 0

B Maksimumkan:B Maksimumkan:

Z = yZ = y11 + y + y22

Batasan2x :Batasan2x :

2y2y11+5y+5y22 <= 1 <= 1

6y6y11+1y+1y22 <= 1 <= 1

yy11,y,y22 >= 0 >= 0

Rumusan A adalah dualnya dari B. dpt diselesaikan dg metode simpleks