Teori Peluang
description
Transcript of Teori Peluang
1
2 Teori Peluang
2
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Percobaan Acak
Figure 2-1 Continuous iteration between model and physical system.
Tujuan: untuk memahami, mengukur dan memodelkan keragaman yang mempengaruhi perilaku fisik suatu sistem.- Model digunakan untuk menganalisis/memprediksi perilaku sistem dan outputnya ketika input dirubah.- Dengan percobaan dilakukan verifikasi terhadap prediksi tsb.
3
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Gangguan/Noise yang Menghasilkan Keragaman Output
Figure 2-2 Noise variables affect the transformation of inputs to outputs.
Nilai random/acak dari variabel gangguan tidak dapat dikontrolMenyebabkan keragaman acak pada variabel output.Walaupun input konstan, output akan bervariasi.
4
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Percobaan Acak
• Percobaan yang dilakukan untuk memperoleh hasil yang tidak dapat diketahui
• Percobaan tersebut sudah didasari pada hukum tertentu yang bisa dikontrol
• Hasil percobaan akan selalu berbeda jika dilakukan berulang-ulang walaupun dilakukan dengan cara dan situasi yang sama.
5
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Sifat acak Mempengaruhi Hukum Alam/Fisika
Figure 2-3 A closer examination of the system identifies deviations from the model.
Menurut hukum Ohm, kekuatan arus adalah fungsi linier dari voltase (I=V/R)- Walaupun voltase dibuat konstan, arus akan tetap bervariasi akibat adanya variabel gangguan/noise
6
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Ruang Sampel
• Percobaan acak mempunyai hasil yang unik.• Himpunan seluruh hasil yang mungkin disebut
dengan ruang sampel S.• S bersifat diskrit ketika himpunan tersebut
beranggotakan hasil yang dapat dicacah dengan jumlah terbatas.
• S bersifat kontinyu jika himpunan tersebut berupa interval (terbatas maupun tak hingga) dari bilangan riil.
Sec 2-1.2 Sample Spaces
7
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh: Mendefinisikan ruang sampel• Memilih secara acak dan mengukur ketebalan suatu komponen:
– S = R+ = {x|x > 0}, garis bilangan positif. – Ketebaan negatif tidak mungkin– Bersifat kontinyu
• Diketahui bahwa ketebalannya di antara 10 dan 11 mm– S = {x|10 < x < 11} – Bersifat kontinyu
• Diketahui bahwa ketebalan hanya punya tiga kategori:– S = {low, medium, high} – Bersifat diskrit
• Jika yang diamati adalah spesifikasi dari ketebalan memenuhi standar atau tidak– S = {yes, no}– Diskrit
8
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Identifikasi Ruang Sampel dengan Diagram PohonContoh: Mobil baru dilengkapi dengan beberapa pilihan sbb:
1. Transmisi manul atau otomatis2. Dengan atau tanpa AC3. Tiga pilihan stereo sound systems4. Empat pilihan warna interior
Figure 2-6 Diagram pohon untuk konfigurasi/pilihan mobil yang berbeda. Maka S beranggotak 2*2*3*4 = 48 kemungkinan.
9
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Kejadian adalah Himpunan dari Hasil Percobaan
• Suatu kejadian (E) adalah himpunan bagian dari ruang sampel suatu percobaan: – Satu atau lebih hasil percobaan di dalam ruang sampel.
• Kejadian-kejadian dapat dioperasikan sbb:– Gabungan (union) dari dua kejadian E dan F: E ⋃ F– Himpunan dari seluruh hasil percobaan di E atau di F atau di
kedua-duanya– Irisan (intersection) dari dua kejadian E dan F : E ∩ F– Himpunan dari seluruh hasil percobaan yang berada di E dan
di F– Komplemen suatu kejadian E: seluruh komponen ruang
sampel yang tidak termasuk di E: E’
10
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
DiagramVenn Menunjukkan Hubungan antar Kejadian
Figure 2-8 Venn diagrams
11
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Diagram Venn untuk Kejadian Saling Lepas
•Jika kejadian A dan B tidak mempunyai komponen atau hasil yang sama maka keduanya saling lepas (mutually exclusive).• A B = Ø
Figure 2-9 Mutually exclusive events
12
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Counting Techniques (Mencacah ruang sampel)
• Untuk mencacah komponen suatu kejadian dan ruang sampel.
• Tiga metode:1. Kaidah perkalian2. Kaidah permutasi3. Kaidah kombinasi
13
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Kaidah Perkalian
• Misal: suatu prosedur operasi dengan k langkah di mana setiap langkah terdiri dari:
• n1 cara menyelesaikan langkah 1,
• n2 cara menyelesaikan langkah 2, … dan
• nk cara menyelesaikan cara k.
• Maka terdapat• n1 * n2*…*nk cara untuk melakukan prosedur operasi
tsb.
Sec 2-1.4 Counting Techniques
14
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh:
• Dalam mendesain gear housing, dapat dipilih:– 4 diameter bolt yang berbeda,– 3 panjang bolt,– 2 posisi meletakkan bolt.
• Berapa banyak desain yang mungkin dapat dibuat?
• 4 *3 * 2 = 24
Sec 2-1.4 Counting Techniques
15
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Aturan Permutasi
• Urutan yang berbeda dari beberapa komponen yang dapat dibedakan.
• Jika S = {a, b, c}, maka terdapat 6 permutasi– abc, acb, bac, bca, cab, cba (urutan penting)
• # permutasi dari sekumpulan n komponen adalah n!
• Secara definisi: 0! = 1
Sec 2-1.4 Counting Techniques
Sec 2- 16
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Sub-set Permutasi
• Cara mengurutkan r komponen dari n komponen:
7
3
!( 1)( 2)...( 1)
( )!
7! 7! 7*6*5*4!7*6*5 210
7 3 ! 4! 4!
In Excel: permut(7,3) = 210
nr
nP n n n n r
n r
P
17
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh: Desain Circuit Board
• Cetakan circuit board mempunyai 8 lokasi penempatan komponen.
• Jika 4 komponen berbeda akan diletakkan pada circuit board tersebut, berapa desain yang mungkin terbentuk?
• Urutan penting, permutasi dengan n = 8, r = 4.
8
4
8! 8*7*6*5*4!8*7*6*5 1,680
8 4 ! 4!P
18
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Aturan Kombinasi
• Kombinasi adalah pemilihan r komponen dari sekumpulan n komponen di mana urutan tidak penting.
• Jika S = {a, b, c}, n =3, maka akan diperoleh 1 kombinasi saja.– Jika r =3, terdapat 1 kombinasi: abc– Jika r=2, terdapat 3 kombinasi: ab, ac, bc
• # permutasi ≥ # kombinasi
(2-4)
!
! !nr
nC
r n r
19
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh:
• Sebuah circuit board dengan 8 lokasi penempatan komponen.
• Akan diletakkan 5 komponen yang tidak dapat dibedakan pada circuit board tersebut.
• Berapa desain yang mungkin dapat dibuat?• Karena tidak dapat dibedakan, maka urutan
tidak penting: aturan kombinasi
Sec 2-1.4 Counting Techniques
85
8! 8*7*6*5!56
5! 8 5 ! 3*2*1*5!C
20
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Peluang
• Peluang adalah kemungkinan bahwa suatu hasil atau kejadian dari suatu percobaan acak akan terjadi.
• Berupa angka pada selang [0,1].• Dapat dinyatakan sebagai
– Proporsi (0.15)– Persentase (15%)– Pecahan (3/20)
• Arti dari peluang bernilai– 1: kejadian pasti– 0: kejadian yang tidak mungkin
21
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Tipe Peluang• Peluang subyektif adalah tingkat/derajat kepercayaan
– “terdapat 50% kemungkinan bahwa saya akan belajar malam ini”• Frekuensi relatif peluang yang didasarkan pada berapa
sering suatu kejadian terjadi berdasarkan ruang sampel tertentu
Figure 2-10 Relative frequency of corrupted pulses over a communications channel
22
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Peluang Berdasarkan Hasil Dengan Kemungkinan yang Sama
• Ketika ruang sampel terdiri dari N hasil dengan kemungkinan yang sama, maka setiap hasil mempunyai peluang 1/N.
• Contoh: Di dalam satu kotak berisi 100 bola lampu, 1 bola lampu diberi warna merah. Bola lampu tersebut dipilih secara acak dari kotak
• Acak setiap bola lampu mempunyai peluang yang sama untuk terpilih.
• Peluang untuk memilih bola lampu dengan warna merah adalah 0.01 (1/100), karena setiap hasil di dalam ruang sampel mempunyai kemungkinan yang sama.
23
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh:• Diasumsikan bahwa 30% dari bola lampu di dalam kotak (berisi 100) tadi memenuhi
kualifikasi yang dibutuhkan pelanggan.– 30 bola lampu memenuhi kualifikasi– 70 bola lampu tidak memenuhi kualifikasi
• Satu bola lampu dipilih acak. Setiap bola lampu mempunyai peluang sama untuk terpilih (sebesar 0.01).
• Peluang bahwa yang terpilih adalah bola lampu dengan kualifikasi baik adalah:
Sec 2-2 Interpretations & Axioms of Probability
Figure 2-11 Probability of the event E is the sum of the probabilities of the outcomes in E.
3.001.030
24
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Peluang suatu Kejadian
• Untuk ruang sampel diskrit, peluang suatu kejadian E, dinotasikan dengan P(E):– Jumlah peluang seluruh kejadian yang ada di E.
• Ruang sampel diskrit dapat berupa:– Hasil percobaan berupa himpunan berhingga.– Hasil percobaan berupa himpunan tak hingga akan
tetapi dapat dicacah.
• Penjelasan lebih detil dibutuhkan untuk menggambarkan peluang yang sehubungan dengan ruang sampel kontinyu.
25
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh: Peluang Suatu Kejadian
• Suatu percobaan acak mempunyai ruang sampel {w,x,y,z}.
• Hasil di dalam ruang sampel ini tidak mempunyai kemungkinan yang sama,
• Peluang masing-masing hasil secara berturut-turut: 0.1, 0.3, 0.5, 0.1.
• Kejadian A ={w,x}, kejadian B = {x,y,z}, kejadian C = {z}• P(A) = 0.1 + 0.3 = 0.4• P(B) = 0.3 + 0.5 + 0.1 = 0.9• P(C) = 0.1
Sec 2- 26
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
• S={w,x,y,z}. • Peluang masing-masing hasil secara berturut-turut: 0.1, 0.3, 0.5,
0.1.• Kejadian A ={w,x}, kejadian B = {x,y,z}, kejadian C = {z}• Kejadian A’ ={y,z}, kejadian B’ = {w}, kejadian C’ = {w,x,y}• P(A’) = 0.5+0.1 = 0.6 • P(B’) = 0.1 • P(C’) = 0.9• Karena kejadian AB = {x}, maka:
– P(AB) = 0.3• Karena kejadian AB = {w,x,y,z}, maka:
– P(AB) = 1.0• Karena kejadia AC = {null}, maka:
– P(AC ) = 0.0
27
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh: Partikel Kontaminasi
• Dilakukan pemeriksaan terhadap keping semikonduktor.
• Sebuah keping semikonduktor diambil secara acak.
Jumlah Partikel kontaminasi
Proporsi keping
0 0.401 0.202 0.153 0.104 0.05
5 atau lebih 0.10Total 1.00
• E adalah kejadian memilih keping tanpa partikel kontaminasi
• P(E) = 0.40•F adalahkejadian memilih keping dengan 3 atau lebih partikel kontaminasi:
• P(F) = 0.10+0.05+0.10 = 0.25
28
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Aksioma Peluang
• Peluang adalah angka yang bersesuaian dengan masing-masing anggota suatu kejadian hasil percobaan acak.
• Dengan sifat-sifat berikut1. P(S) = 12. 0 ≤ P(E) ≤ 13. Untuk setiap kejadia E1 dan E2 di mana E1E2 = Ø, P(E1E2)
= P(E1) + P(E2)
• Berimplikasi:– P(Ø) =0 and P(E’) = 1 – P(E)
– Jika E1 himpunan bagian dari E2, maka P(E1) ≤ P(E2).
29
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Aturan Lain
• Beberapa kejadian dapat dioperasikan sbb: – Gabungan: A B– Irisan: A B– Komplemen: A’
• Peluang dari hasil operasi di atas dapat ditentukan dari peluang masing-masing kejadian yang menyusunnya.
Sec 2-3 Addition Rules
30
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh:• Dari 940 keping konduktor dengan karakteristik yang
disajikan pada tabel 2-1.• Akan diambil 1 secara acak• H adalah kejadian di mana terdapat kontaminasi
dengan konsentrasi tinggi.– Maka P(H) = 358/940.
• Peluang bahwa keping terambil bertipe C: – P(C) = 626/940. Table 2-1
Kontaminasi C E TotalLow 514 68 582High 112 246 358Total 626 314 940
Tipe
31
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
• Peluang bahwa terambil keping dengan kontaminasi konsentrasi tinggi dan bertipe C:– P(HC) = 112/940
Table 2-1Kontaminasi C E Total
Low 514 68 582High 112 246 358Total 626 314 940
Tipe
Peluang bahwa terambil keping dengan kontaminasi konsentrasi tinggi atau bertipe C:
P(HC) = P(H) + P(C) - P(HC) = (358+626-112)/940
32
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
• Peluang gabungan dua kejadian
• Jika dua kejadian A dan B saling lepas maka
( ) (2-5)
and, as rearranged:
P A B P A P B P A B
P A B P A P B P A B
therefore:
(2-6)
P A B
P A B P A P B
33
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh:• Proporsi keping konduktor dengan jumlah kontaminasi untuk
setiap tipe disajikan pada Tabel 2-2.
JumlahPartikel
Kontaminasi C E Total0 0.30 0.10 0.401 0.15 0.05 0.202 0.10 0.05 0.153 0.06 0.04 0.104 0.04 0.01 0.05
5 atau lebih 0.07 0.03 0.10Totals 0.72 0.28 1.00
TipeTable 2-2
• E1 adalah kejadian bahwa keping mempunyai 4 atau lebih partikel kontaminasi:• P(E1) = 0.05+0.1=0.15
• E2 adalah kejadian bahwa keping terambil bertipe E.• P(E2) = 0.28
34
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
– Kejadian di mana keping terambil terkontaminasi 4 atau lebih partikel dan bertipe E adalah irisan antara E1 dan E2:
• P(E1E2) = 0.01+ 0.03=0.04
JumlahPartikel
Kontaminasi C E Total0 0.30 0.10 0.401 0.15 0.05 0.202 0.10 0.05 0.153 0.06 0.04 0.104 0.04 0.01 0.05
5 atau lebih 0.07 0.03 0.10Totals 0.72 0.28 1.00
TipeTable 2-2
• Kejadian di mana keping terambil terkontaminasi >=4 partikel atau bertipe E adalah kejadian gabungan:
• P(E1E2) =0.15 + 0.28 – 0.04 = 0.39
35
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Diagram Venn Dari Kejadian-kejadian Saling Lepas
- Jika kejadian-kejadian tersebut saling lepas maka setiap hasil hanya terjadi pada satu kejadian- Tidak terdapat irisan dari dua atau lebih kejadian.
36
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh
• Jika X adalah variabel yang menyatakan pH dari suatu sampel.
• Peluang suatu kejadian di mana pH bernilai lebih dari 6.5 dan paling tinggi 7.5:
• 6.5< X ≤ 7.5• Dapat dibagi menjadi dua kejadian saling lepas
– 6.5 < X ≤ 7.0 dan 7.0 < X ≤ 7.5• Karena saling lepas maka peluangnya dapat
ditambahkan:– P(6.5 < X ≤ 7.5) =P(6.5 < X ≤ 7.0) + P(7.0 < X ≤ 7.5)
37
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Kejadian Saling Bebas
• Dua kejadian saling bebas jika berlaku:P(AB) = P(A)*P(B)Hal ini berarti bahwa terjadinya satu kejadian tidak
mempengaruhi terjadinya kejadian lain.
Sec 2-6 Independence
38
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh:• Dari 850 produk hasil suatu proses produksi terdiri dari 50 produk cacat• Dua produk diambil satu per satu secara acak• Pengambilan pertama dikembalikan sebelum pengambilan produk
kedua.• A adalah kejadian di mana pengambilan pertama adalah produk rusak:
– P(A) = 50/850• B adalah kejadian di amna pengambilan kedua adalah produk rusak:
– P(B) = 50/850• Karena dilakukan pengembalian sebelum diambil produk kedua maka
apa yang terjadi di pengambilan pertama tidak mempengaruhi pengambilan kedua.
• Hukum kebebasan berlaku:• Peluang bahwa produk rusak terambil pada pengambilan pertama dan
kedua:– P(A)*P(B) = 50/850 *50/850 = 0.0035.
39
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Kebebasan Untuk Lebih dari Dua kejadian
Kejadian E1, E2, … , Ek adalah saling bebas jika dan hanya jika:
P(E1E2 … , Ek) = P(E1)* P(E2)*…* P(Ek) (2-14)
40
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh: Sirkuit Seri
•Sirkuit ini hanya dapat bekerja jika masing-masing komponen berfungsi semua dari kiri ke kanan. Peluang berfungsi dengan baik untuk masing-masing komponen dapat dilihat pada gambar.•Jika diasumsikan bahwa kegagalan komponen tidak saling mempengaruhi satu sama lain, berapa peluang bahwa sirkuit dapat berfungsi?
Jika L & R menyatakan kejadian komponen kiri dan kanan dapat berfungsi. Maka peluang bahwa sirkuit dapat berfungsi adalah:
P(LR) = P(L) * P(R) = 0.8 * 0.9 = 0.72.
41
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh: Sirkuit ParallelSirkuit pararel dapat beroperasi jika salah satu komponen dapat berfungsi. Sirkuit gagal bekerja jika semua komponen gagal berfungsi.Peluang komponen dapat bekerja disajikan pada gambar. Masing-masing beroperasi secara bebas.
T & B adalah kejadian di mana komponen atas dan bawah berfungsi. Peluang bahwa sirkuit dapat berfungsi adalah komplemen dari semua komponen gagal berfungsi.
42
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
• Peluang komponen Atas gagal berfungsi:– P(T’)=1-0.95 = 0.05
• Peluang komponen Bawah gagal berfungsi:– P(B’)=1-0.95 = 0.05
• Peluang kedua komponen gagal berfungsi:– P(T’ B’) = P(T’)*P(B’) = 0.052 = 0.0025
43
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
• Peluang sirkuit dapat berfungsi adalah • P(T B) = 1 - P(T’∩ B’) =1- 0.052 = 0.9975
44
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Peubah acak (Random Variables)
• Peubah yang memetakan hasil suatu percobaan acak pada suatu angka tertentu dinamakan peubah acak.
• Peubah acak adalah fungsi yang memetakan bilangan riil pada setiap hasil percobaan acak yang ada di ruang sampel.
• Dinotasikan dengan X. • Setelah percobaan dilakukan, hasil
pengukuran/pengamatan dari variabel tersebut akan diketahui=
• Dinyatakan dengan x = 70. – P(X=x)=P(X=70).
Sec 2-8 Random Variables