Tugas Teori Aplikasi Graph, Senin 29 September 2014Dosen Pengampu: Dr. Darmaji,MT

PENERAPAN OPTIMALISASI JARINGANUNTUK PERENOVASIAN GEDUNG SEKOLAHDENGAN MENGGUNAKAN LINTASAN TERPENDEKPetrus Fendiyanto (1213 201 002)*

Abstract

Kepala sekolah ingin merenovasi ruangan sekolah. Bentuk renovasinya adalah membuat tambahan 2 kamar mandi,merenovasi atap dan pintu yang rusak, mengecat ulang keseluruhan dinding, dan membersihkan kembali seluruh ruanganyang telah direnovasi. Beliau menjadwalkan untuk merenovasinya dalam waktu 10 bulan dengan pekerjanya adalah 20orang. Akan tetapi manajemen sekolah ingin mempercepat perenovasian dari waktu yang telah ditentukan kepala sekolahagar para siswa dan orang di sekitarnya tidak terlalu lama terganggu dengan perenovasian di sekolah.

Tiap bentuk renovasi dapat dikerjakan berdasarkan prioritas atau tingkat percepatan untuk mempercepat penyelesaiandan ini merupakan satu-satunya tingkatan yang akan dipertimbangkan pada keempat tahapan renovasi. Manajemen sekolahtelah mengalokasikan Rp 50.000.000,- untuk merenovasi gedung bangunan sekolah tersebut. Dengan menerapkan algoritmalintasan terpendek ke masalah perenovasian sekolah diperoleh waktu minimal dalam pengerjaan perenovasian tersebutadalah 5.5 bulan.

KeywordsPenerapan Model Optimalisasi, Lintasan Terpendek

Jurusan Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya*Corresponding author: petrusfendiyanto@yahoo.co.id

Contents

1 Pendahuluan 1

2 Teori Graf 2

3 Lintasan Terpendek 2

4 Algoritma Djikstra 2

5 Penerapan Optimalisasi Jaringan Pada Masalah Lin-tasan Terpendek 2

6 Kesimpulan dan Saran 3

References 4

1. PendahuluanSeiring dengan perkembangan era globalisasi yang semakin

pesat, sebagian besar di berbagai bidang seperti produksi, dis-tribusi, perencanaan proyek, perencanaan tata letak, mana-jemen sumber daya, dan perencanaan keuangan, merasakanjaringan telah menjadi salah satu kebutuhan pokok. Trans-portasi, listrik, dan jaringan komunikasi adalah bagian darikehidupan kita sehari-hari. Sebetulnya bentuk jaringan mem-berikan bantuan secara visual dan konseptual yang sangatbermanfaat untuk menunjukkan hubungan diantara komponen-komponen system sehingga hampir semua bidang ilmiah,sosial, ekonomi, dan pendidikan menggunakan bentuk jaringantersebut.

Salah satu perkembangan yang paling populer dibidangpenelitian operasional pada beberapa tahun terakhir ini adalahbidang metodologi dan aplikasi model optimalisasi jaringan.Banyak model optimalisasi jaringan yang sesungguhnya meru-pakan bentuk khusus masalah pemograman linier. Sebagaicontoh masalah transportasi, penugasan, aliran biaya mini-mum, dan lintasan terpendek.

Masalah lintasan terpendek adalah salah satu bentuk masalahdari model optimalisasi jaringan yang digunakan dibidangperencanaan keuangan, khususnya di sekolah. Sekolah dalamtingkat manapun membuthkan gedung yang terlihat tampakindah agar menarik perhatian para calon siswa atau orang tuauntuk berminat bersekolah di tempat tersebut. Perenovasiangedung merupakan salah satu cara untuk menarik perhatianmereka.

Untuk membangun atau merenovasi sekolah, hal yang tidakkalah penting adalah bagaimana merenovasi suatu sekolahdengan waktu yang tidak terlalu lama. Ini mungkin sangatberpengaruh terhadap anggaran yang dimiliki. Semakin lamawaktu untuk merenovasi, maka semakin besar biaya yangdibutuhkan. Apalagi jika perenovasian yang cukup banyak,maka akan semakian banyak pula biaya yang dibutuhkan.

Pada makalah ini, penulis mencoba menerapkan salah satukonsep dari optimalisasi jaringan yaitu masalah lintasan ter-

PENERAPAN OPTIMALISASI JARINGANUNTUK PERENOVASIAN GEDUNG SEKOLAH

DENGAN MENGGUNAKAN LINTASAN TERPENDEK — 2/4

pendek untuk mengoptimalisasi waktu yang tidak terlalu lamauntuk merenovasi gedung sekolah dengan biaya yang ada.

2. Teori GrafSuatu graf G =(V,E) didefinisikan sebagai pasangan him-

punan sisi dan simpul dengan V(G) = Himpunan simpul{v1,v2, · · · ,vn} dan E(G) = Himpunan sisi {e1,e2, · · · ,en}.Setiap sisi berhubungan dengan satu atau dua simpul. Duabuah simpul dikatakan berhubungan atau bertetangga (adja-cent) jika ada sisi yang menghubungkan keduanya. Berdasarkanorientasi yang ada pada sisinya, graf dapat dikelompokkanmenjadi dua unsur yaitu graf berarah (direct graf) dan graf takberarah(undirect graf). Graf berarah adalah graf yang setiapsisinya diberikan arah sehingga untuk dua simpul vi dan v j,maka (vi,v j) 6= (vi,v j), sedangkan graf tak berarah adalahgraf yang sisinya tidak mengandung arah sehingga untuk duasimpul vi dan v j, maka (vi,v j) = (vi,v j). Selain itu juga dike-nal graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya memilikibobot (Ahuja et al, 1993).

3. Lintasan TerpendekShortest Path Problem (SPP) adalah suatu persoalan un-

tuk mencari lintasan antara dua atau lebih simpul pada grafberbobot yang gabungan bobot sisi graf yang dilalui berjum-lah paling minimum. Persoalan ini juga merupakan suatupersoalan optimasi yang menggunakan graf berbobot, dimanabobot dapat menyatakan jarak antar kota, waktu pengirimanpesan, ongkos pembangunan, dan sebagainya (Pradana, 2009).

4. Algoritma DjikstraAlgoritma djikstra merupakan salah satu metode untuk men-

cari lintasan terpendek dari sebuah simpul ke semua simpullainnya dalam graf yang hanya memiliki bobot positif. Se-car formal, masalah lintasan terpendek semua pasangan sim-pul adalah untuk mencari lintasan terpendek di antara semuapasangan simpul vi,v j ∈ V sedemikian sehingga i 6= j (Sar-woko, 2003).

Dalam mencari lintasan terpendek dari suatu simpul kesmua pasangan simpul algoritma Djikstra melalui sjumlahlangkah yang menggunakan prinsip Greedy. Prinsip Greedypada algoritma Djikstra menyatakan bahwa pada setiap langkah,kita memilih sisi yang berbobot minimum dan memasukkan-nya dalam himpunan solusi (Munir, 2009).

Selain matriks ketetanggan M, algoritma ini menggunakantabel S = [si], dengan si = 1 jika simpul i termasuk ke dalamlintasan terpendek dan sebaliknya si = 0 jika simpul i tidaktermasuk ke dalam lintasan terpendek dan juga tabel D = [di],dengan di = panjang lintasan dari simpul awal a ke simpul i.

Langkah-langkah penentuan lintasan terpendek dari graf Gdengan n-buah simpul dengan simpul awal a menggunakanalgoritma Djikstra adalah sebagai berikut:

• Langkah 0 (inisialisasi): si = 0 dan di = mai untuki = 1,2, · · · ,n

• Langkah 1: isi sa dengan 1 dan isi da dengan inf.

• Langkah 2: untuk setiap si = 0 dengan i = 1,2, · · · ,npilih d j = min{d1,d2, · · · ,dn} lalu isi s j dengan 1 danperbarui di, dengan di(baru) = min{di(lama), d j +m ji}.Pada lintasan, tambahkan simpul j sebagai simpul ter-pilih untuk lintasan selanjutnya.

• Langkah 3: mengulangi langkah 2 sampai s j = 1, untukj = 1,2, · · · ,n

• Langkah 4: Membuat simpul berdasarkan urutan yangdiperoleh yaitu merupakan lintasan terpendek denganbobot di

(Munir, 2009)

5. Penerapan Optimalisasi Jaringan PadaMasalah Lintasan Terpendek

Kepala sekolah tengah merencanakan renovasi gedung seko-lah, mulai dari ruang piket, ruang kepala sekolah, ruang wakilkepala sekolah, ruang guru dan tata usaha, ruang kelas, ru-ang laboratorium, ruang perpustakaan, kamar mandi, dankantin. Bentuk renovasinya adalah membuat tambahan 2 ka-mar mandi, merenovasi atap dan pintu yang rusak, mengecatulang keseluruhan dinding, dan membersihkan kembali sluruhruangan yang telah direnovasi. Beliau menjadwalkan untukmerenovasi dalam waktu 10 bulan dengan pekerjanya adalah20 orang. Akan tetapi manajemen sekolah ingin mempercepatperenovasian dari waktu yang telah ditentukan agar para siswadan orang di sekitarnya tidak terlalu lama terganggu denganperenovasian gedung sekolah tersebut.

Tiap bentuk renovasi dapat dikerjakan berdasarkan priori-tas atau tingkat percepatan untuk mempercepat penyelesaiandan ini merupakan satu-satunya tingkatan yang akan dipertim-bangkan pada keempat tahap renovasi. Waktu yang diperlukanpada tingkatan ini diberikan pada tabel di bawah ini:

Tabel1. Lama(Waktu) Perenovasian Gedung Sekolah

PENERAPAN OPTIMALISASI JARINGANUNTUK PERENOVASIAN GEDUNG SEKOLAH

DENGAN MENGGUNAKAN LINTASAN TERPENDEK — 3/4

Manajemen sekolah telah mengalokasikan Rp 50.000.000,-untuk keempat tahap renovasi ini. Biaya tiap tahap pada tiaptingkatan berbeda yang dipertimbangkan adalah:

Tabel2. Biaya Renovasi Gedung Sekolah

Berikut rancangan lintasan terpendek perenovasian gedungsekolah

Gambar 1. Graf perenovasian gedung sekolah

Gambar di atas merupakan graf berbobot tak berarah yangterdiri dari 9 simpul dan 15 sisi. Tiap sisi menyatakan pri-oritas dan tingkat percepatan untuk menyelesaikan gedungrenovasi. Sedangkan simpul menyatakan keempat tahapanrenovasi yang dilakukan. Penentuan lintasan terpendek darisimpul awal O ke simpul yang lain dapat dilihat dari tabel dibawah ini

Tabel3. Lintasan Terpendek dari Simpul O

Tabel4. Matriks Ketetanggan Untuk Graf PerenovasianGedung Sekolah

Berdasarkan tabel di atas, diketahui bahwa lintasan terpen-dek yang menghubungkan simpul O dengan simpul H adalahlintasan OCDGH dengan jarak(lama) adalah 5.5 bulan danbiaya yang diperlukan sebesar Rp 50 juta. Melalui perantarasimpul C dapat diakses simpul D dengan jarak(lama) 4 bulandan simpul E dengan jarak(lama) 7 bulan. Sedangkan melaluisimpul D dapat diakses simpul F dengan jarak(lama) 5 bulandan simpul G dengan jarak(lama) 4.5 bulan.

6. Kesimpulan dan SaranBerdasarkan hasil penelitan diperoleh bahwa lintasan ter-

pendek untuk meminimalkan waktu merenovasi gedung seko-lah adalah dari Lintasan OCDGH dalam jangka waktu 5.5bulan dengan anggaran dana sebesar Rp 50.000.000,-.

PENERAPAN OPTIMALISASI JARINGANUNTUK PERENOVASIAN GEDUNG SEKOLAH

DENGAN MENGGUNAKAN LINTASAN TERPENDEK — 4/4

References[1] Ahuja,R.K,T.L. Magnanti,J.B. Orlin. (1993). Network

Flow: Theory, Algorithms and Applications.Prentice Hall,New Jersey.

[2] Munir,R. 2009. Matematika Diskrit. Penerbit Infor-matika.Bandung

[3] Pradhana,B.A. 2009. Studi dan Implementasi PersoalanLintasan Terpendek Suatu Graf dengan Algoritma Djikstradan Algoritma Bellman-Ford.

[4] Sarwoko,E.A. 2003. Perancangan Arsitektur PemarelanUntuk Mencari Shortest Path Dengan Algoritma Djikstra.Jurnal Matematika dan Komputer. 6:137-143