Teori Dualitas dan Penerapannya Duality Theory and Its ... · x 1 = x = adalah solusi layak untuk...

TI2231 Penelitian Operasional I 1

Teori Dualitas dan Penerapannya(Duality Theory and Its Application)

Kuliah 06


Materi Bahasan

① Teori dualitas② Metode simpleks dual


① Teori Dualitas


Teori dualitas

• Dari sudut pandang teoritis dan praktis, teori dualitasmerupakan salah satu konsep penting dan menarikdalam pemrograman linier.

• Ide dasar dibalik teori dualitas adalah bahwa setiapmasalah pemrograman linier mempunyai satupemrograman linier yang terkait yang disebut dual.

• Solusi pada masalah pemrograman liniear originalnyajuga memberikan solusi bagi dualnya.

• Jika suatu solusi masalah pemrograman linier dipecahkan dengan simplex method, pada dasarnyadiperoleh solusi untuk dua masalah pemrogramanlinier.


Pemrograman linier dual simetris

• Suatu pemrograman linier dikatakan dalambentuk simetris jika– semua variabel dibatasi tak negatif– semua pembatas dalam bentuk pertidaksamaan

• untuk masalah maksimisasi, bentuk pertidaksamaanadalah “lebih kecil atau sama dengan”

• untuk masalah minimisasi, bentuk pertidaksamaanadalah “lebih besar atau sama dengan”


Masalah primal

Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2...am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm

x1≥0, x2≥0,…, xn≥0

dengan pembatas

Memaksimumkan


Masalah dual

W = b1y1 + b2y2 + … + bmym

a11y1 + a21y2 + … + am1ym ≥ c1a12y1 + a22y2 + … + am2yn ≥ c2...a1ny1 + a2ny2 + … + amnym ≥ cn

y1≥0, y2≥0,…, ym≥0

dengan pembatas

Meminimumkan


Notasi matrix

Primal:Memaksimumkan Z = cxdengan pembatas

Ax ≤ bx ≥ 0

Dual:Meminimumkan W = ybdengan pembatas

yA ≥ cy ≥ 0

A : matriks (m x n)b : vektor kolom (m x 1)c : vektor baris (1 x n)x : vektor kolom (n x 1)y : vektor baris (1 x m)


Masalah primal-dual

Primal

Max Z = 3x1 + 2x2

dengan pembatas-pembatas:x1 + 2x2 ≤ 6

2x1 + x2 ≤ 8– x1 + x2 ≤ 1

x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0

Dual

Min W = 6y1 + 8x2 + y3 + 2y4

dengan pembatas-pembatas:y1 + 2y2 – y3 ≥ 3

2y1 + y2 + y3 + y4 ≥ 2y1, y2, y3, y4 ≥ 0


Hubungan primal-dual

• Koefisien fungsi tujuan untuk masalah primal menjadikonstanta ruas kanan bagi dual.

• Konstanta ruas kanan dari primal menjadi koefisien fungsitujuan bagi dual.

• Pertidaksamaan untuk pembatas dibalik untuk kedua masalah.• Tujuan diubah dari maksimisasi untuk primal menjadi

minimisasi untuk dual.• Tiap kolom dalam primal menjadi (baris) pembatas pada dual;

sehingga jumlah pembatas dual sama dengan jumlah variabelprimal.

• Tiap (baris) pembatas dalam primal berkaitan dengan kolompada dual; sehingga satu variabel dual berkaitan dengan satupembatas primal.

• Dual dari masalah dual adalah masalah primal


Beberapa teorema dalam teori dualitas

• Weak duality theorem• Optimality criterion theorem• Main duality theorem• Complementary slackness theorem


Teorema 1: Weak duality theorem (1)

Misalkan diberikan program linier primal-dual simetris:

P: max Z = cx, Ax ≤ b, x ≥ 0

D: min W = yb, yA ≥ c, y ≥ 0

Nilai fungsi tujuan dari masalah minimimasi (dual)untuk sebarang solusi layak selalu lebih besar atau samadengan nilai fungsi tujuan masalah maksimisasi (primal).



Bukti

Misalkan:x0 : vektor solusi layak untuk primaly0 : vektor solusi layak untuk dualAkan dibuktikan bahwa: y0b ≥ cx0

Karena x0 adalah layak untuk primal, maka Ax0 ≤ b, x0 ≥ 0 (1)Karena y0 adalah layak untuk dual, maka y0A ≥ c, y0 ≥ 0 (2)

Perkalian kedua sisi pertidaksamaan (1) dengan y0 y0Ax0 ≤ y0bPerkalian kedua sisi pertidaksamaan (2) dengan x0 : y0Ax0 ≤ cx0

Implikasi : y0b ≥ y0Ax0 ≥ cx0



• Konsekuensi 1:– Nilai fungsi tujuan dari masalah maksimisasi (primal)

untuk sebarang solusi layak merupakan batas bawah darinilai minimum fungsi tujuan dual.

• Konsekuensi 2:– Nilai fungsi tujuan dari masalah minimisasi (dual) untuk

sebarang solusi layak (dual) merupakan batas atas dari nilaimaksimum fungsi tujuan primal.

• Konsekuensi 3:– Jika masalah primal adalah layak dan nilai fungsi tujuannya

tak terbatas (dalam hal ini, max Z →+∞), maka masalahdual adalah tak layak.



• Konsekuensi 4:– Jika masalah dual adalah layak dan nilai fungsi tujuannya

tak terbatas (dalam hal ini, min W →-∞), maka masalahprimal adalah tak layak.

• Konsekuensi 5:– Jika masalah primal adalah layak dan dualnya tak layak

maka masalah primal tersebut adalah tak terbatas.

• Konsekuensi 6:– Jika masalah dual adalah layak dan primalnya adalah tak

layak maka masalah dual tersebut adalah tak terbatas.


Teorema 1: Weak duality theorem (4)- Ilustrasi #1

Primal

Max Z = 3x1 + 2x2


2x1 + x2 ≤ 8– x1 + x2 ≤ 1

x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0

Dual

Min W = 6y1 + 8x2 + y3 + 2y4


2y1 + y2 + y3 + y4 ≥ 2y1, y2, y3, v4 ≥ 0



0,4 02

01 == xx adalah solusi layak untuk primal.

Nilai fungsi tujuan primal Z = cx0 = 12

0,0,5,0 04

03

02

01 ==== yyyy adalah solusi layak untuk dual

Nilai fungsi tujuan dual W = y0b = 40

Disini Z = cx0 ≤ y0b = W dan memenuhi weak dualitytheorem.Berdasarkan Konsekuensi (1), nilai minimum W untuk dualtidak dapat lebih kecil dari 12.Berdasarkan Konsekuensi (2), nilai minimum Z untuk primaltidak dapat melebihi 40.



Memaksimumkan Z = 4x1 + x2

dengan pembatas-pembatas:x1 – x2 ≤ 2

-3x1 + x2 ≤ 3x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Meminimumkan W = 2y1 + 3y2

dengan pembatas-pembatas:y1 – 3y2 ≥ 4

- y1 + y2 ≥ 1y1 ≥ 0, y2 ≥ 0

Primal: Dual



x1

x2

Solusi primaltak terbatas



y1

y2

Solusi dualtak layak


Teorema 2: Optimality criterion theorem (1)

Jika terdapat solusi layak x0 dan y0 untuk masalahpemrograman linier dual simetris sedemikian hingganilai fungsi tujuannya adalah sama, maka solusi layak ini adalah solusi optimal bagimasing-masing masalah.


Teorema 2: Optimality criterion theorem (2)

Bukti

Misalkan x adalah sebarang solusi layak bagi masalah primal.Maka berdasarkan Teorema 1,

cx ≤ y0bTetapi ini diberikan bahwa cx0 = y0b.Oleh karena itu cx ≤ cx0 untuk semua solusi layak bagi masalah primal.Per definisi, x0 adalah optimal bagi primal.

Argumen yang sama juga berlaku bagi optimalitas y0 bagi masalah dual.


Teorema 3: Main duality theorem

Jika baik masalah primal maupun dual adalah layak,maka keduanya mempunyai solusi optimal sedemikianhingga nilai optimalnya adalah sama.


Teorema 4: Complemantary slackness theorem (1)

Misalkan diberikan program linier primal-dual simetris:P: max Z = cx, Ax ≤ b, x ≥ 0D: min W = yb, yA ≥ c, y ≥ 0dimanaA : matriks (m x n)b : vektor kolom (m x 1)c : vektor baris (1 x n)x : vektor kolom (n x 1)y : vektor baris (1 x m)


Teorema 4:Complemantary slackness theorem (2)

Misalkan:x0 : vektor solusi layak untuk primaly0 : vektor solusi layak untuk dual

Maka x0 dan y0 adalah optimal untuk masalahmasing jika dan hanya jika

( ) ( ) 00000 =−+− AxbyxcAy


Teorema 4:Complemantary slackness theorem (3)

Bukti:

Misalkan⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=×

m

m

u

uu

2

1

)1(u adalah vektor slack untuk primal

( )nnvvv ,,, 21)1(

=×v adalah vektor slack untuk dual

Karena x0 dan y0 adalah solusi layak, maka0uxbuAx ≥=+ 0000 ,;0vycvAy ≥=− 0000 ,;

(u0 dan v0 adalah nilai-nilai dari variabel slack yang berkaitanmasing-masing dengan solusi layak x0 dan y0).

(1)(2)



Perkalian (1) dengan y0 y0Ax0 + y0u0 = y0b (3)Perkalian (2) dengan x0 y0Ax0 – v0x0 = cx0 (4)

Pengurangan (3) dengan (4) y0u0 + v0x0 = y0b – cx0 (5)

Untuk membuktikan Teorema 4, harus diperlihatkan bahwax0 dan y0 adalah solusi optimal bagi masing-masing masalahprimal dan dual jika dan hanya jika

v0x0 + y0u0 = 0 (6)



Bagian 1Diasumsikan bahwa x0 dan y0 adalah solusi optimal dan harusdibuktikan bahwa Persamaan (6) adalah benar.Karena x0 dan y0 adalah optimal, berdasarkan Teorema 3 makacx0 = y0b. Oleh karena itu, Persamaan (5) menjadi Persamaan (6)

y0u0 + v0x0 = y0b – cx0 v0x0 + y0u0 = 0



Bagian 2Diasumsikan bahwa Persamaan (6) adalah benar danakan dibuktikan bahwa x0 dan y0 adalah solusi optimal bagimasing-masing masalah primal dan dual

Karena Persamaan (6) benar, maka Persamaan (5) menjadiy0b – cx0.

y0u0 + v0x0 = y0b – cx0 y0b = cx0

Berdasarkan Teorema 2 maka x0 dan y0 merupakan solusi optimal.


Complementary slackness condition

Persamaan (6) : v0x0 + y0u0 = 0 dari complementary slacknesstheorem dapat disederhanakan sebagai berikut:

vj0xj

0 = 0 untuk semua j = 1, 2, …, nyi

0ui0 = 0 untuk semua i = 1, 2, …, m

dengan memperhatikan hal-hal berikut: 1. x0, u0, v0, y0 ≥ 0 dan oleh karena itu v0x0 ≥ 0 dan y0u0 ≥ 0.2. Jika jumlah komponen-komponen tak negatif sama dengan nol,

maka tiap komponen adalah nol.


Complementary slackness condition

① Jika suatu variabel primal (xj0) adalah positif, maka

pembatas dual yang bersesuaian memenuhipersamaan pada titik optimalnya (yaitu, vj

0 = 0)② Jika suatu pembatas primal adalah strick inequality

pada titik optimal (yaitu, uj0 > 0), maka variabel

dual yang bersesuaian (yi0) harus nol.

③ Jika suatu variabel dual (yi0) adalah positif maka

pembatas primal yang bersesuaian memenuhipersamaan pada titik optimalnya (yaitu, ui

0 = 0)④ Jika suatu pembatas dual adalah strick inequality

pada titik optimal (yaitu vi0 > 0), maka variabel

primal yang bersesuaian harus nol


Ilustrasi (1)

Primal

Max Z = 3x1 + 2x2


2x1 + x2 ≤ 8– x1 + x2 ≤ 1

x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0

Dual

Min W = 6y1 + 8x2 + y3 + 2y4


2y1 + y2 + y3 + y4 ≥ 2y1, y2, v1, v2 ≥ 0


Ilustrasi (2)

Primal (Penambahan slack variable)

Max Z = 3x1 + 2x2

dengan pembatas-pembatas:x1 + 2x2 + u1 = 6

2x1 + x2 + u2 = 8– x1 + x2 + u3 = 1

x2 + u4 = 2 x1, x2, u1, u2, u3, u4 ≥ 0

Dual(Penambahan slack variable)

Min W = 6y1 + 8x2 + y3 + 2y4

dengan pembatas-pembatas:y1 + 2y2 – y3 – v1 = 3

2y1 + y2 + y3 + y4 – v2 = 2y1, y2, v1, v2 ≥ 0


Ilustrasi (3)

Complementary slackness condition mengimplikasikanpada kondisi optimal:

001

01 =yu

002

02 =yu

003

03 =yu

004

04 =yu

001

01 =vx

002

02 =vx


Ilustrasi (4)

Dengan metode simplex diperoleh solusi optimaluntuk masalah primal sebagai berikut:

3/1001 =x

3/402 =x

Z = 38/3


Ilustrasi (5)

Dengan penerapan complementary slackness condition,solusi optimal bagi dual ditentukan sebagai berikut

003/10 01

01 =→>= vx

003/4 02

02 =→>= vx

( ) 0,063/423/102 01

01

02

01 ≥=→=+=+ yuxx

( ) 0,083/43/1022 02

02

02

01 ≥=→=+=+ yuxx

( ) 0,0123/43/10 03

03

02

01 =>→<−=+−=+− yuxx

0,023/4 04

04

02 =>→<= yux

(1)(2)(3)(4)(5)(6)


Ilustrasi (6)

Kondisi (1), (2), (5) dan (6) mengimplikasikan:

32 02

01 =+ yy

22 02

01 =+ yy

3/101 =y

3/402 =y

W = 38/3

003 =y

004 =y


Penerapan complementary slackness condition

• Digunakan untuk mencari solusi primal optimal darisuatu solusi dual optimal, dan sebaliknya.

• Digunakan untuk memverifikasi apakah suatu solusilayak adalah optimal untuk masalah primal.

• Digunakan untuk menginvestigasi ciri-ciri umum darisolusi optimal pada masalah primal dan dual denganmenguji hipotesis-hipotesis yang berbeda.

• Kuhn-Tucker optimality condition untukpemrograman non linier merupakan pengembanganlebih lanjut dari complementary slackness conditiondan sangat berguna dalam pemrograman matematislanjutan.


Karakteristik pokokhubungan primal-dual

y ≥ 0x ≥ 0Variabel keputusan

yA ≥ cAx ≤ bPertidaksamaan pembatas

Min W = ybMax Z = cxFungsi tujuan

Konstanta ruas kananVektor biayac

Vektor biayaKonstanta ruas kananb

Transpos dari matrikspembatasMatriks pembatasA

DualPrimal


Interpretasi ekonomi darisolusi dual (1)

• Dalam pandangan ekonomi, solusi dual optimal dapat diinterpretasikan sebagai hargayang dibayarkan untuk sumberdaya pembatas.

• Berdasarkan Teorema 3 (main duality), nilaioptimal bagi primal dan dual adalah sama.

• Jika x0 dan y0 masing-masing adalah solusioptimal, maka Z0 = cx0 = y0b = W0.


Interpretasi ekonomi darisolusi dual (2)

• Dengan kata lain, nilai optimal dari masalahpemrograman linier (primal atau dual) diberikan oleh

dimanab1, b2, …, bm adalah jumlah yang terbatas darisumberdaya 1, 2, .., m;y1

0, y10, …, y1

0 adalah nilai optimal dari variabel dual.

mmbybybyZ 02

021

01

0 +++=


Interpretasi ekonomis darisolusi dual (3)

• Misalkan diasumsikan bahwa level sumberdaya 1 (yaitu, b1) diubah.

• Maka, untuk variasi kecil dalam perubahan nilai b1, katakanΔb1, perubahan dalam nilai optimal dari pemrograman linier Z0

diberikan oleh y10(Δb1).

• Dengan kata lain, nilai optimal dari variabel dual untuk tiappembatas primal memberikan perubahan bersih (net change) dalam nilai optimal dari fungsi tujuan untuk peningkatan satusatuan dalam konstanta ruas kanan.

• Oleh karena itu, nilai optimal dari variabel dual disebutshadow price yang dapat digunakan untuk menentukan apakahekonomis untuk menambah sumberdaya.


Contoh interpretasi solusi dual (1)

Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2

dengan pembatas-pembatas:x1 + 2x2 ≤ 6 (Bahan A)

2x1 + x2 ≤ 8 (Bahan B)– x1 + x2 ≤ 1 (Selisih permintaan cat interior dan eksterior)

x2 ≤ 2 (Permintaan cat interior)x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

Primal:



Dual:

Meminimumkan W = 6y1 + 8x2 + y3 + 2y4


2y1 + y2 + y3 + y4 ≥ 2y1, y2, y3, y4 ≥ 0



Solusi optimal dual:y1 = 10/3 shadow price untuk pembatas bahan A, yaitu

perubahan dari nilai Z (profit total) per satusatuan peningkatan bahan A.

y2 = 4/3 shadow price untuk pembatas Bahan B, yaituperubahan dari nilai Z (profit total) per satusatuan peningkatan bahan B.

y3 = 0 shadow price untuk selisih permintaan cat interiordan exterior, yaitu perubahan dari nilai Z (profit total)per satu satuan peningkatan selisih permintaan catinterior dan exterior.

y4 = 0 shadow price untuk pembatas permintaan cat interior, yaituperubahan dari nilai Z (profit total) per satusatuan peningkatan permintaan cat interior


Masalah primal-dual tak simetris (1)

Memaksimumkan Z = 4x1 + 5x2

dengan pembatas

3x1 + 2x2 ≤ 204x1 – 3x2 ≥ 10

x1 + x2 = 5x1 ≥ 0x2 tak dibatas tanda

Masalah Primal



Memaksimumkan Z = 4x1 + 5x3 – 5x4

dengan pembatas

3x1 + 2x3 – 2x4 ≤ 20– 4x1 + 3x3 – 3x4 ≤ – 10

x1 + x3 – x4 ≤ 5– x1 – x3 + x4 ≤ – 5

x1, x3, x4 ≥ 0

Masalah Primal (Bentuk Simetris)



Meminimumkan W = 20w1 – 10w2 +5w3 – 5w4

dengan pembatas

3w1 – 4w2 + w3 – w4 ≥ 42w1 + 3w2 + w3 – w4 ≥ 5

– 2w1 – 3w2 – w3 + w4 ≥ – 5w1, w2, w3, w4 ≥ 0

Masalah Dual (Bentuk Simetris)



Meminimumkan W = 20y1 + 10y2 +5y3

dengan pembatas

3y1 + 4y2 + y3 ≥ 42y1 – 3y2 + y3 = 5y1 ≥ 0y2 ≤ 0y3 tak dibatasi tanda

Masalah Dual y1 = w1y2 = – w2y3 = w3 – w4


Tabel primal-dual secara umum

Pembatas ke-j bertipe ≤xj ≤ 0

Pembatas dual ke-j bertipe ≥xj ≥ 0

Pembatas dual ke-j adalah persamaanxj tak dibatasi tanda

Varibel dual yi ≤ 0Pembatas ke-i bertipe ≥

Varibel dual yi ≥ 0Pembatas ke-i bertipe ≤

Variabel dual yi tak dibatasi tandaPembatas ke-i adalah persamaan

Vektor ruas kananVektor harga c

Vektor biayaVektor ruas kanan

Transpos matriks koefisienMatriks koefisien ADual (minimisasi)Primal (maksimisasi)


Catatan (1)

• Teorema (1), (2), (3), dan (4) dari teori dualitasberlaku juga bagi primal-dual tak simetris.

• Complementary slackness condition jugaberlaku untuk solusi optimal primal-dual taksimetris..


Catatan (2)

Misalkan diberikan masalah pemrograman linier dalam bentuk standar

Memaksimumkan Z = cxdengan pembatas

Ax = bx ≥ 0

Masalah dualMeminimumkan W = ybdengan pembatas

yA ≥ cy tak dibatasi tanda

Complementary slackness condition dipenuhi pada kondisi optimal:(yA – c)x = 0


Menentukan solusi dual optimal (1)

• Solusi dual optimal dapat ditentukan dengancomplementary slackness condition

• Solusi dual optimal dapat juga diperoleh secaralangsung dari tabel simplex optimal darimasalah primal.



Meminimumkan Z = cx

dengan pembatas

Ax = bx ≥ 0



Misalkan :Pj : kolom ke-j dari matrix AB : matrix basis optimal

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

0bB

xx

x1

*

N

B

Solusi primal optimal :

dimanaxB : varabel basisxN : variabel non basis



Nilai minimum Z = cx* = cBxB = cBB-1b

Karena B menunjukkan basis optimal, maka koefisienbiaya relatif ( ) yang berkaitan dengan variabel basisharus tak negatif

jc

0≥−= jjj cc Pπ untuk semua j

dimanaπ = cBB-1 : vektor pengali simplex (simplex multiplier)



Dalam notasi matrix:

c - π A ≥ 0 atau πA ≤ c

yang merupakan pembatas pemrograman linier dual.

Sehingga, pengali simplex optimal harus memenuhipembatas dual.



Nilai fungsi tujuan dual yang berkaitan dengan solusilayak adalah

W = yb = πb = cBB-1b

yang sama dengan nilai minimum Z.

Oleh karena itu, berdasarkan optimality criterion theorem,pengali simplex optimal dari masalah primal merupakannilai optimal dari variabel dual.


Ilustrasi menentukansolusi dual optimal (1)

Primal (Dalam bentuk standar)

Max Z = 3x1 + 2x2

dengan pembatas-pembatas:x1 + 2x2 + x3 = 6

2x1 + x2 + x4 = 8– x1 + x2 + x5 = 1

x2 + x6 = 2 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

Dual:

Min W = 6y1 + 8x2 + y3 + 2y4

dengan pembatas-pembatas:y1 + 2y2 – y3 = 3

2y1 + y2 + y3 + y4 = 2y1 ≥ 0

y2 ≥ 0y3 ≥ 0

y4 ≥ 0y1, y2, y3, y4 tak dibatasi tanda



Dengan metode revised simplex, solusi optimal untuk primal:x = (x2, x1, x5, x6) = (4/3, 10/3, 3, 2/3)Z = 38/3

Matrix basis optimal:

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−==

1001011100210012

6512 PPPPB



Simplex multiplier optimal :

( ) ( )0,0,3/4,3/1

103/13/20111003/23/1003/13/2

0,0,3,21 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

== −Bcπ B

π memenuhi pembatas dual, dan nilai fungsi tujuannya:W = 6(1/3) + 8(4/3) + 1(0) + 2(0) = 38/3

yang bersesuaian dengan nilai optimal untuk masalah primal.

Oleh karena itu,y1 = 1/3, y2 = 3/4, y3 = 0, y4 = 0 optimal untuk dual.Simplex multiplier yang bersesuaian dengan tabel (primal) optimal

adalah solusi optimal bagi masalah dual.


② Metode Simpleks Dual


Masalah Pemrograman Linier (Primal) dalamBentuk Standar

minimisasi Z = cxdengan pembatas

Ax = bx ≥ 0

A : matrix (m x n)P : vektor kolom dari matrix AB : matrix basis untuk masalah primalxB : variabel basis yang bersesuaian dengan B.


Basis Layak Primal

Basis B : basis layak primal (primal feasible basis) ⇔B-1b ≥ 0

B : basis layak primal → nilai variabel basis: B-1bsolusi layak basis xB = B-1b nilai fungsi tujuan Z = cBB-1b


Kondisi Optimalitas (1)

Untuk memeriksa apakah basis layak B adalah optimal hitung koefisien fungsi tujuan relatif )( jc

jjj cc πP−= j = 1, …, n

π = cBB-1 : simplex multiplier

Basis layak primal B adalah optimal ⇒ 0≥jcj = 1, …, n



maksimisasi W = ybdengan pembatas

yA ≤ cy tak dibatas tanda

Pemrograman linier standar bagi dual:



Pembatas dual yA ≤ c dapat ditulis:

( ) ( )nn ccc ,,,,,, 2121 ≤PPPy

jj cyP ≤

0≥− jjc yP j = 1, …, n



Jika basis layak primal B : basis optimal bagi masalah primalsimplex multiplier π = cBB-1 memenuhi

0≥− jjc yP j = 1, …, n

Implikasi π : layak bagi masalah dual

Nilai fungsi tujuan dual W = πb = cBB-1b sama dengannilai fungsi tujuan primal

∴Berdasarkan optimality criterion theorem, π : optimal bagi masalah dual


Basis Dual Layak (1)

Basis B untuk masalah primal


Ax = bx ≥ 0

layak dual (dual feasible) ⇔ c – cBB-1A ≥ 0

(Identik dengan pemeriksaan apakah basis layak B optimal)


Basis Dual Layak (2)

Basis B untuk masalah primal : layak primal dan layak dual Basis B : basis optimal

Solusi optimal untuk primal : xB = B-1b, xN = 0Solusi optimal untuk dual : y = cBB-1

Nilai optimal primal = Nilai optimal dual


Catatan

• Akar dari pemecahan masalah pemrograman linier mendapatkan solusi basis B yang layak primal danlayak dual

• Metode simplex bergerak dari satu basis layakprimal ke basis yang lain hingga basis tersebutmenjadi layak dual – Metode simplex primal (primal simplex method)

• Metode simplex dual (dual simplex method) bergerak dari satu basis layak dual ke basis yang lain


Rincian Metode Simplex Dual (1)

Pemrograman linier bentuk standar:


Ax = bx ≥ 0



• Metode simplex dual menggunakan tabel yang sama dengan metode simplex primal.

• Dalam semua tabel, koefisien fungsi tujuanrelatif dipertahankan tak negatif (Untukmaksimisasi, dipertahankan tak positif)

• Konstanta ruas kanan tidak perlu tak negatif.

)( jcjc



• Algoritma mulai dengan membuat elemen ruaskanan menjadi tak negatif, dengan pada saatyang sama menjaga koefisien tak negatif.

• Algoritma berhenti jika semua konstanta ruaskanan telah tak negatif.

jc



ymnyms…ym,m+11…0…0xm

yrn…yrs…yr,m+10…1…xr

……0…0…0

……

……

y1n…y1s…y1,m+10…0…1x1

Konstantaxn…xs…xm+1xm…xr…x1Basis

c 1+mc sc nc

1b

rb

mb


Pemilihan Variabel Basis yang Keluar Basis

Pilih variabel basis yang membuat solusi saat ini menjaditidak layak

dengan kata lainPilih variabel basis yang nilai solusinya negatif

Aturan Pilih variabel basis yang nilai paling negatif

( ) 0min <= iir bb

ibMisal:

variabel basis xr digantibaris ke-r : baris pivot


Pemilihan Variabel Non Basis yang MasukBasis (1)

Kolom pivot dipilih sedemikian rupa sehingga memenuhidua kondisi sebagai berikut:1. Ketidaklayakan primal berkurang (atau paling sedikit,

tidak bertambah jelek).Atau, paling sedikit konstanta ruas kanan pada baris r

menjadi positif pada tabel berikutnyaVariabel non basis (xj) dengan koefisien negatifdalam baris r (yrj < 0) yang memenuhi syarat untukmasuk basis


Pemilihan Variabel Non Basis yang MasukBasis (2)

2. Tabel berikutnya setelah operasi pivot harus tetaplayak dual. Dapat dijamin jika variabel non basis yang masukbasis dipilih dengan aturan rasio sebagai berikut:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡<

rj

j

y yc

rj 0max j = m+1, …, n


Ilustrasi Metode Simplex Dual

Meminimumkan Z = x1 + 4x2 + 3x4dengan pembatas

x1 + 2x2 – x3 + x4 ≥ 3– 2x1 – x2 + 4x3 + x4 ≥ 2

x1, x3, x3, x4 ≥ 0

Meminimumkan Z = x1 + 4x2 + 3x4dengan pembatas

x1 + 2x2 – x3 + x4 – x5 = 3– 2x1 – x2 + 4x3 + x4 – x6 = 2

x1, x3, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

Bentuk standar :


Tabel 1

0

1

0

x6

0

4

1

-2

x2

4

0301

-20-1-42x60

-31-11-1x50

x5x4x3x1

Konstanta0301

cB

c Baris

Basis

cj

Tidak layak primalLayak dual


Tabel 2

0

1

0

x6

0

2

-3

2

x2

4

1210

-82-3-20x60

3-11-11x11

x5x4x3x1

Konstanta0301

cB

c Baris

Basis

cj

Tidak layak primalLayak dual


Tabel 3

1/2

-1/2

-1/2

x6

0

1/2

3/2

7/2

x2

4

Z = 721/200

4-13/210x30

7-25/201x11

x5x4x3x1

Konstanta0301

cB

c Baris

Basis

cj

Layak primalLayak dual


Mengidentifikasi Ketidaklayakan Primal dalamMetode Simplex Dual

• Dalam metode simplex dual selalu terdapatsolusi layak bagi dual.

• Metode simplex dual mengenaliketidaklayakan primal jika aturan rasio gagalmengidentifikasi variabel non basis yang masuk basis – Semua elemen dalam kolom pivot : tak negatif


Memecahkan Masalah Maksimisasidengan Metode Simplex Dual

Dalam masalah maksimisasi Kondisi optimalitas:Koefisien fungsi tujuan 0)( ≤jc

Misal, 0<rb dan xr : variabel keluar basis

Variabel non basis yang masuk basis dipilih sedemikianrupa sehingga elemen baris tetap tak positif padaiterasi berikutnya.

c

Aturan rasio:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡<

rj

j

y yc

ij 0min


Penerapan metode simplex dual

• Secara umum adalah tidak selalu mudah mendapatkan suatubasis layak dual.

• Dalam banyak praktek, masalah tidak mempunyai tabelkanonik baik yang layak primal maupun layak dual.

• Metode simpleks primal lebih disukai daripada metodesimpleks dual.

• Beberapa aplikasi dari metode simpleks dual:– Analisis sensitivitas (sensitivity analysis) dan pemrograman parametrik

(parametric programming)– Algoritma pemrograman bilangan bulat (integer programming

algorithms)– Algoritma pemrograman non linier (nonlinear programming algorithm)– Varian dari metode simplex: primal-dual algorithm, self-dual

parametric algorithm

Teori Dualitas dan Penerapannya Duality Theory and Its ... · x 1 = x = adalah solusi layak untuk...

Documents

Transcript of Teori Dualitas dan Penerapannya Duality Theory and Its ... · x 1 = x = adalah solusi layak untuk...