Cb VDB Q an -...

Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 1

4. Metode Simpleks

Perhatikan model matematika berikut ini.

Maks/min :

h.m dapat dibuat tabel

simpleksnya yaitu.

Cb VDB Q … … M … M Penilai

an

… … ( ) … ( )

… … ( ) … ( )

… … ( ) … ( )

Z … … …

…

… …

Keterangan:

= variabel ke-j (termasuk variabel slack dan surplus).

.

( ) = variabel buatan ke-k.

= koefisien fungsi tujuan pada variabel ke-j.

M = koefisien fungsi tujuan pada variabel buatan.

koefisien fungsi tujuan pada variabel yang masuk program (masuk

basis).

= koefisien variabel ke-j dari persamaan ke-i.

= kuantitas (nilai ruas kanan, batasan sumber daya).

Z = nilai fungsi tujuan.

∑ .

(∑ ) .

Catatan: variabel yang masuk program/basis adalah variabel yang dapat

membentuk matriks identitas.


Langkah-langkah menyelesaikan masalah program linear dengan

metode simpleks adalah sebagai berikut.

a. Buat model matematika (jika masalah dalam bentuk masalah

kontekstual).

b. Tambahkan variabel slack atau variabel surplus pada setiap

pertidaksamaan fungsi kendala. Jika pertidaksamaannya ” maka

tambahkan variabel slack agar menjadi persamaan. Jika

pertidaksamaannya ” maka kurangkan variabel surplus agar menjadi

persamaan. Variabel slack dan variabel surplus merupakan variabel

nonnegatif yang dimunculkan di ruas kiri pertidaksamaan agar menjadi

persamaan.

c. Diperoleh model matematika baru.

d. Susun model matematika baru tsb ke dalam tabel simpleks (sebagai

program awal).

e. Pilih kolom kunci yaitu kolom yang mempunyai nilai terendah

( | | {| | }).

f. Pilih baris kunci yaitu

yang bernilai terendah dengan dan k

adalah kolom kuncinya

(

{

}) dan k adalah kolom kuncinya.

g. Tentukan elemen kuncinya yaitu perpotongan kolom kunci dengan baris

kunci, disimbolkan elemen kunci , r = baris kunci, k = kolom kunci

h. Lakukan transformasi baris kunci dengan cara membagi elemen pada

baris kunci dengan elemen kunci

.

i. Lakukan transformasi baris-baris yang lain yaitu baris baru = baris lama

– bilangan pada kolom kunci yang bersesuaian dengan baris lama (baris

yang akanm ditransformasikan) dikalikan nilai baru baris kunci.

( (

))

j. Buat tabel simpleks baru berdasarkan langkah e s.d i.


k. Bila tabel baru/perbaikan belum optimal ( ) buat tabel baru

dengan langkah e s.d i.

l. Lakukan terus-menerus tahap e s.d. i sehingga menemukan

m. Program optimal.

Mari kita pelajari metode simpleks untuk masalah maksimum.

Perhatikan contoh 11 berikut ini.

Contoh 11.

Maks

h.m

Selesaikan dengan metode simpleks.

Jawab:

a. Tambahkan variabel slack pada masing-masing pertidaksamaan

sehingga diperoleh , , dan

.

b. Model matematika baru

Maks

h.m

Perhatikan model matematika. Buatlah matrik yang elemennya merupakan

koefisien fungsi kendala.

(

) dapat ditentukan dari

c. Program Awal

cb VDB Q 5 4 3 0 0 0 Penilaian

X y Z 0 5 2 (EK) 3 1 1 0 0

(BK)


0 11 4 1 3 0 1 0

0 8 3 4 2 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0

-5

(KK)

-4 -3 0 0 0

Ket: KK= kolom kunci, BK= baris kunci, EK= elemen kunci

d. Transformasi Baris Kunci (B1)

e. Transformasi Baris lain (B2 dan B3)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

( ) ( )

dan

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

( ) ( )

f. Tabel simpleks

Elemen kunci pada tabel simpleks langkah 3 ada di baris 1 dan kolom

sehingga variabel masuk program menggantikan

Cb VDB Q 5 4 3 0 0 0 Penilaian

X y Z

5 x

1

0 0 5

0 1 0 -5 1(EK) -2 1 0 1(BK)

0

0

0 1 1

5

0 0

0

(KK)

0 0


g. Lakukan langkah d-e dan diperoleh tabel optimal.

Cb VDB Q 5 4 3 0 0 0 Penilaian

X y Z

5 x 2 1 4 0

0

3 z 1 0 -5 1 -2 1 0

0 0 0 2 0

1

13 5 5 3

0

0 1 0

0

h. sehingga program optimal. ( ) dengan nilai

optimalnya 13.

Muncul pertanyaan, bagaimana penerapan metode simpleks untuk

masalah minimum. Perhatikan contoh 12 berikut ini.

Contoh 12.

Min

h.m

Selesaikan dengan metode simpleks.

Jawab:

a. Ubah masalah minimum menjadi maksimum dengan mendefinisikan

. Fungsi tujuan Maks

b. Kurangkan variabel surplus , pada masing-masing pertidaksamaan

sehingga diperoleh dan

c. Model matematika menjadi

Maks

h.m


matriks koefisien fungsi kendalanya (

) belum memuat

. Perlu ditambahkan dua variabel buatan, di tulis ( ) dan

( ) didapatkan (

). Koefisien variabel

buatan fungsi tujuan adalah dengan bilangan yang sangat besar

sekali sehingga bilangan yang sangat kecil sekali. Model matematika

menjadi

Maks

h.m:

d. Program awal

Q -6 -3 0 0 Penilaian

Cb VDB X y

- 16 2 4(EK) -1 0 1 0

(BK)

- 24 4

3 0 -1 0 1

-M -M

(KK)

0 0

e. Transformasi baris kunci (B2)

menjadi

f. Transformasi baris lain (B1)


( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

g. Tabel simpleks


Cb VDB

-3 4

1

0

0 8

- 12

(EK) 0

-1

1

(BK)

-3

M

-M

(KK)

0

M

0


h. Lakukan transformasi baris kunci dan baris lain sehingga dihasilkan tabel

simpleks berikut.


Cb VDB

-3

0 1

-6

1 0

(E

K)

16(BK)

-6 -3

0 0

(KK)

i. Lakukan transformasi baris kunci dan baris lain sehingga dihasilkan tabel

optimal berikut.


Cb VDB X y

-3 Y 8

1 0

0

0 16

0 1

-1

-24 -4 -3 0 1 0 -1

2 0 0 1 M M-1

sehingga program optimal.

Penyelesaian optimalnya dengan

Nilai minimun ( ) Penyelesaian optimalnya

.

Sama dengan kasus program linear menggunakan metode grafik, maka

kita dapat menentukan kasus program linear menggunakan metode simpleks.


Kasus pertama penyelesaian tidak tunggal. Kita menggunakan contoh 6, tabel

optimal adalah sebagai berikut.

Q

18 6 0 0 Penilaian

Cb VDB

18 40 1

0 120

0 120 0

(EK)

1 90(BK)

720 18 6 6 0

0 0(KK) 6 0

sehingga program optimal. Nilai maksimal untuk

dan . Kita tulis PO I = ( ). Kasus ini merupakan kasus

penyelesaian tidak tunggal. Perhatikan variabel yang tidak masuk basis

(diluar basis) yaitu y dan . Pada variabel di luas basis yang

adalah y maka pilih kolom ke-2 sebagai kolom kunci. Lalu cari baris kunci,

elemen kunci dan lakukan transfomasi baris untuk menghasilkan tabel

simpleks.

Q 18 6 0 0 Penilaian

Cb VDB

18 10 1 0

6 90 0 1

720 18 6 6 0

0 0 6 0

PO II nya ( ). Nilai Maksimal .

Kita dapat mencari penyelesaian optimal lainnya dengan memanfaatkan

kedua penyelesaian optimal di atas dengan rumus

( ) ( ) , dengan

Penyelesaian ketiga =

( )

( ) ( )

Penyelesaian keempat =

( )

( ) (

) dst


Kasus kedua, adalah ketidaklayakan. Cirinya adalah pada tabel optimal

masalah program linear ( ), masih ada variabel buatan dalam

Variabel dalam Basis (VDB). Coba kerjakan contoh 7 dengan metode

simpleks.

Kasus ketiga adalah kelebihan pembatas. Perhatikan model matematika

pada contoh 13 berikut ini.

Contoh 13.

Min

h.m:

Program awalnya

Cb VDB Q -3 2 0 0 Penilaian

0 4 1 2(EK) 1 0 2 (BK)

0 25 5 1 0 1 25

0 0 0 0

3 -

2(KK)

0 0

Tabel optimalnya adalah

Cb VDB Q -3 2 0 0 Penilaian

x y

2 Y 2

1

0

0 23

0

1

4 1 2 1 0

4 0 1 0


Program optimal dengan nilai minimum -4 dan PO ( ). Terlihat

bahwa variabel pada tabel program awal berada di baris 2 dan pada tabel

optimal juga berada di baris 2. Ini menunjukkan kasus kelebihan pembatas.

Ini menunjukkan ada tidaknya pertidaksamaan tidak

mempengaruhi DPF.Mari kita cek menggunakan metode grafik. Perhatikan

gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar terlihat bahwa ada tidaknya pertidaksamaan

tidak mempengaruhi DPF.

Kasus keempat adalah penyelesaian tidak terbatas. Perhatikan contoh 9.

Program awalnya adalah

Cb VDB Q 1 1 0 0 Penilaian

0 2 -1 1 1 0 0 2

2 1 2(EK) 0 -1 1 1(BK)

0 M

(KK)

0 M 0

Tabel simpleks 2

cb VDB Q 1 1 0 0 Penilaian

0 1

0 1


1 1

(EK) 1 0

2 (BK)

1

1 0

(KK) 0 0

Tabel simpleks 3

Cb VDB Q 1 1 0 0 Penilaian

0 4 0 3 1 -1 1

1 2 1 2 0 -1 1

2 1 2 0 -1 1

0 1 0 -1

(KK)

Perhatikan . bukan variabel dalam basis. Kita tidak dapat mencari

baris kunci karena elemen di kolom kunci semua bernilai negatif sehingga

tidak dapat membagi Q. Proses berhenti sampai disini. Kasusnya adalah

penyelesaian tidak terbatas (Z tidak terbatas). Secara umum, Apabila dalam

suatu tabel simpleks dengan suatu penyelesaian fisibel terdapat satu

atau lebih kolom untuk variabel bukan basis (misal kolom ke-j)

sehingga Zi-cj<0 dan aij0 (i = 1. 2, ...,m), maka ada penyelesaian

fisibel dengan (m+1) variabel yang tidak nol sehingga nilai Z makin

besar tak terbatas. (Lihat Hadley p.93-95).

Masih berkaitan dengan kasus penyelesaian tidak terbatas. Perhatikan

contoh 10. Program awalnya adalah

Cb VDB Q 30 -10 0 0 Penilaian

x y

0 10 1(EK) -1 1 0 10 (BK)

0 60 3 -1 0 1 20

0 0 0 0 0


-30

(KK)

10 0 0

Tabel simpleks selanjutnya.

cb VDB Q 30 -10 0 0 Penilaian

30 10 1 -1 1 0

0 30 0 2(EK) -3 1 15(BK)

300 30 -30 30 0

0 -20

(KK)

30 0

Tabel simpleks selanjutnya.

cb VDB Q 30 -10 0 0 Penilaian

30 25 1 0

-10 15 0 1

600 30 -10 0 10

0 0 0 10

sehingga program optimal. PO nya adalah( ) Nilai

maksimal = 600.

Perhatikan bahwa variabel di luar basis dan . Kita

menduga bahwa kasus penyelesaian tidak tunggal. Perhatikan pula elemen di

kolom , kita juga menduga penyelesaian tidak terbatas. Perhatikan

kolom . Jika kita tingkatkan 1 unit, maka x akan berkurang

atau

meningkat

, dan nilai tetap. Jika kita tingkatkan 1 unit maka y akan


berkurang

atau meningkat

dan nilai tetap. Ini merupakan kasus

penyelesaian tidak terbatas (PO tidak terbatas).

Mencari PO lain dengan cara:

(

)

(

) .

Silahkan tentukan penyelesaian optimal lainnya. Cek apakah nilai Z tetap.

Berapa banyak penyelesaian optimal lainnya yang dapat ditemukan?.

Apabila pada suatu tabel optimal terdapat kolom dari variabel di

luar basis dengan dan untuk ( ),

maka masalah tersebut adalah masalah yang PO nya tak terbatas

tetapi nilai fungsi tujuannya terbatas. Biasa di tulis sebagai kasus

penyelesaian tidak terbatas (PO tidak terbatas).

Cb VDB Q an -...

Documents

Transcript of Cb VDB Q an -...