TEORI-DASAR-MATRIKS
-
Upload
sandymylife221 -
Category
Documents
-
view
701 -
download
0
Transcript of TEORI-DASAR-MATRIKS
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 1/37
DAFTAR ISI
BAB I. MATRIKS
BAB II. DETERMINAN
BAB III. INVERS MATRIKS
BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
BAB I. MATRIKS
Matriks berupa sekelompok bilangan yang disusun empat persegi dan dibatasi tanda
terdiri dari baris dan kolom
Notasi matriks: Satu huruf besar atau huruf kapital : A, B, C
Contoh:
baris ke-1
baris ke-2
↓ ↓ ↓
k 1 k 2 k 3
Bilangan yang menyusun disebut elemen matrik.
Elemen matrik : 2, 5, 7, 1, 3, 4
Ukuran matriks ditunjukkan dengan jumlah baris x jumlah kolom
Secara umum :
aA ij dimana : aij
i = 1, 2, 3, …, m
j = 1, 2, 3, …, n
m : jumlah baris
n : jumlah kolom
457
312 A
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 2/37
2
Penulisan :
mnm3m2m1
2n232221
1n131211
aaaa
aaaa
aaaa
A
Macam-macam matrik
1. Matrik Bujur Sangkar
Jika m =n
22 21
12
33
512
472
121
2. Matrik Segitiga Atas
Jika aij = 0 untuk i > j
500
470
121
3. Matrik Segitiga Bawah
Jika aij = 0 untuk setiap i < j
512
072
001
4. Matrik Dagonal
Jika aij = 0 untuk i ≠ j
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 3/37
3
500
070
001
5. Matrik Skalar
Jika aij = 0 untuk i ≠ j dan aij bernilai sama untuk i = j
700
070
007
6. Matrik Satuan (Identitas)Jika aij = 0 untuk i ≠ j dan aij = 1 untuk i = j
100
010
001
I3
In = matrik identitas dengan ukuran n x n
OPERASI MATRIKS
1. Kesamaan dua matrik
A = [aij]
B = [bij]
A = B jika aij = bij untuk setiap i dan j dan kedua matrik mempunyai ukuran yang
sama.
2. Penjumlahan
A = [aij]
B = [bij]
C = [cij]
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 4/37
4
A + B = C jika aij + bij = cij untuk setiap i dan j dan kedua matrik mempunyai
ukuran yang sama.
181614
10119
121110
987
654
132
3. Perkalian
(a) Perkalian dengan bilangan skalar
2820
128
75
32 4
α = bilangan skalar
A = [aij]
B = [bij]
B = αA jika bij = α × aij untuk setiap i dan j
(b) Perkalian dua matrik
A = [aij]
B = [bij]
C = [cij]
C = A × B jika
n
1k
kjik ij bac untuk setiap i dan j
Syarat untuk dilakukan perkalian antar matrik adalah jumlah kolom matrik
pertama = jumlah baris matrik kedua.
71
31
4
7
3
654
132
A(2×30) B(3×1) C(2×1)
Jika A (m×n), B (p×q) dan p = n maka C (m×q)
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 5/37
5
c11 = a11 · b11 + a12 · b21 + a13 · b31
n
1k
kjik ij bac ; n adalah jumlah kolom matrik I atau jumlah baris matrik II.
Cij = ai1 b1j + ai2 b2j + … + ain bnj
k=1 k=2 k=n
57382071
2319931
4114
5427
2313
654
132
Secara umum : AB ≠ BA
4. Matrik transpose
A = [aij]
B = [bij]
B = AT
jika bij = a ji untuk setiap i dan j
41
32
43
12T
A B
b11 = a11; b12 = a21; b21 = a12; b22 = a22
963
852
741
987
654
321T
Soal!
Hitunglah:
a. 4A + AB
b. ATB - BI3
c. A2 – I3
Dengan:
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 6/37
6
243-
31-2
121
A dan
51-1
132
211
B
Penyelesaian:
a.
16235
30811
131410
877
1843
966
81612
1248
484
511
132
211
243
312
121
243
312
121
4AB4A
b.
1098
2282
1391
511
132
211
1589
2354
11102
100
010
001
511
132
211
511
132
211
231
412
321
BIBA 3
T
c.
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 7/37
7
1221
5169
941
100
010
001
1321
5179
942
100
010
001
231
412
321
231
412
321
IA 3
2
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 8/37
8
BAB II
DETERMINAN
Determinan matrik A diberi lambang atau notasi det A atau |A|
Nilai determinan suatu matrik merupakan bilangan skalar.
Determinan didefinisikan pada matriks bujur sangkar.
Cara menghitung nilai determinan:
I. Ukuran 2 2
dc
ba A
Nilai |A| = det A = ad – bc
Contoh:
23241
43
21
II. Ukuran 3 3
Perkalian elemen searah diagonal
ihg
f ed
cba
A
Nilai |A| = det A, dilakukan sebagai berikut:
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 9/37
9
bdi-afh-ceg-cdhbfgaei
hgihg
edf ed
bacba
Keterangan:
= dijumlahkan
= dikurangkan
Catatan: Menghitung nilai determinan dengan cara ini hanya berlaku untuk
matrik 3x3, tidak dapat dilakukan bila ukuran 4x4 atau lebih.
SOAL
753
432
321
= ?
Penyelesaian:
1 2 3 1 2
2 3 4 2 3 21 24 30 27 20 28 0
3 5 7 3 5
Matrik yang determinannya = 0 disebut matrik singular
753
432321
Selisih det 0 disebut non singular
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 10/37
10
Sifat determinan:
1. Nilai determinan suatu matriks tidak berubah jika matriks tersebut ditranspose
|AT| = |A|
2. Nilai determinan akan berubah tanda bila salah satu baris atau kolom
dipertukarkan dengan baris atau kolom lain.
052
421
123
421
052
123
421
123
052
3. Nilai determinan akan berubah menjadi k kali jika setiap elemen suatu baris
atau kolom dikalikan dengan k.
4721
1723
0752
421
123
075727
7
421
123
052
MINOR DAN KOFAKTOR
Minor
Minor dari matrik A [aij] = Mij
Mij adalah matrik yang berasal dari matrik yang baris ke-I dan kolom ke-j
dihilangkan.
Misal:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A ; M12 = ?
M12 : dari matrik A, baris ke-1 dan kolom ke-2 dihilangkan.
3331
2321
12aa
aaM
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 11/37
11
3231
1211
23aa
aaM
2322
1312
31aa
aaM
Kofaktor
Aij = (-1)i+j
|Mij|
Dengan i : nomor baris
j : nomor kolom
Misal:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Maka:
33213123
31233321
3331
232121
12
aaaa
aaaa
aa
aa)1(A
12 133 1
31
22 23
12 23 13 22
a aA ( 1)
a a
a a a a
Nilai determinan matrik A dapat dihitung dengan menggunakan minor Mij dan
kofaktor Aij
Ekspansi baris pertama atau kedua
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 12/37
12
232322222121
131312121111
Aa Aa Aa A
Aa Aa Aa A
Ekspansi kolom pertama
323222221212 AaAaAaA
CONTOH SOAL
1. Hitung determinan matriks di bawah ini dengan minor dan kofaktor
151
432321
Penyelesaian:
Cara 1
Mengitung nilai minor dan kofator dilanjutkan dengan ekspansi baris
143
32A
1315
32A
1715
43A
31
21
11
8
11132)17(1
AaAaAaA313121211111
Cara 2, langsung ekspansi baris ke-3
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 13/37
13
8
1101
32
211
42
315
43
321A
2. Hitung determinan dari (4x4)
2031
3112
5201
1312
Penyelesaian
2031
3112
5201
1312
Ekspansi baris ke-2
1 3 1 2 3 1 2 1 1 2 1 3
A 1 1 1 3 0 2 1 3 2 2 1 3 5 2 1 1
3 0 2 1 0 2 1 3 2 1 3 0
1 3 1 1 3 2 1 1 2 1 2 1 3 2 1
1 1 3 1 1 2 2 1 3 2 1 5 2 1 1 2 1
3 0 2 3 0 1 3 2 1 3 1 3 0 1 3
(1 1 2 3 3 3 1 1 3 3 1 2) 2(2 1 2 1 3 1 1 2 3 1 1 1 2 3 3 1 2 2)
5(1 1 1 3 2 3 3 1 1 2 1 3)
(2
27 3 6) 2(4 3 6 1 18 4) 5(1 18 3 6)
20 20 50
50
3. Hitung determinan dari
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 14/37
14
2132
3201
1122
0130
Penyelesaian:
2132
3201
1122
0130
Ekspansi baris ke-1
2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
A 0 0 2 3 3 1 2 3 1 1 0 3 0 1 0 2
3 1 2 2 1 2 2 3 2 2 3 1
2 1 1 2 1 2 2 1 2 2
3 1 2 3 1 2 1 1 0 3 1 0
2 1 2 2 1 2 3 2 2 33(2 2 2 1 3 2 1 1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 2) 1(2 3 2 1 1 3 2 3 3 2 1 2)
3(8 6 1 4 6 2) 1(12 3 18 4)
9 7
16
Ekspansi kolom ke-1
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 15/37
15
2 1 1 3 1 0 3 1 0 3 1 0
A 0 0 2 3 2 0 2 3 1 2 1 1 2 2 1 1
3 1 2 3 1 2 3 1 2 0 2 3
3 1 0 3 1 3 1 0 3 1 3 1 0 3 1
2 0 2 3 0 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1
3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 0 2 3 0 2
2(3 2 2 1 3 3 3 3 1) (3 1 2 1 1 3 3 1 1 1 2 2) 2(3 1 3 3 1 2 1 2 3)
2(12 9 9) (6 3 3 4) 2(9 6
6)
24 2 6
16
OPERASI BARIS ATAU KOLOM
Nilai determinan tidak berubah jika salah satu baris / kolom, elemennya ditambah
dengan suatu bilangan skalar dikalikan elemen baris atau kolom yang lain.
Contoh:
751
432
321
Hitung determinannya!
Operasi baris: Ob(21)(-2) elemen baris ke-2 ditambah dengan (-2) kali elemen
baris pertama
Penyelesaian
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 16/37
16
751
210
321
751
3)2(42)2(31)2(2
321
751
432
321
Dengan determinan biasa
1 2 3 1 2
0 1 2 0 1 [1 ( 1) 7 2 ( 2) 1 3 ( 1) 1 1 ( 2) 5)
1 5 7 1 5
2
Dengan ekspansi kolom ke-1
2
)1514()107(
75
321
75
320
75
211
751
210321
Dengan Ob (31)(-1) untuk hasil (matrik) Ob (21)(-2)
430
210
321
3)1(72)1(51)1()1(
210
321
751
210
321
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 17/37
17
Penyelesaian:
Dengan ekspansi kolom ke-1
2
)64(1
43
211
430
210
321
SOAL
1.
2132
3201
1122
0130
Hitunglah determinannya!
Penyelesaian:
2132
3201
1122
0130
Dengan Operasi kolom: Ok (23)(-3)
Jawab:
211)3(32321)3(01
111)3(22
011)3(30
21023261
1112
0100
Dengan ekspansi baris 1
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 18/37
18
2 1 1 2 1 1 2 1
1 1 6 3 1 1 6 3 1 6
2 0 2 2 0 2 2 0
1 [2 ( 6) 2 ( 1) 3 2 1 ( 6) 2 ( 1) 1 2]
24 6 12 2
16
2. Dari soal contoh setelah Ob (310(-1) dilakukan Ob(32)(3)
430
210
321
Penyelesaian:
200
210
321
)2()3(4)1(330)3(0
210
321
Dengan sifat matrik segitiga atas |A| : elemen diagonal
Maka:
|Matrik di atas| = 1(-1)(-2) = 2
3. Hitunglah determinan dari
2324
4231
2542
3323
dengan Ok (13)(-1) dan Ok(43)(-1)
Penyelesaian
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 19/37
19
132
2233
3543
0320
3)1(2323)1(4
2)1(4232)1(1
5)1(2545)1(2
3)1(3323)1(3
Dengan ekspansi baris ke-1
3 5 3 3 4 3 3 5 3 3 5 3 4 3 3 4
2 3 2 2 3 3 3 2 2 3 2 2 3 2 3 3 3 2 3 3
1 3 1 1 2 1 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2
28
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 20/37
20
BAB III
INVERS MATRIKS
A = [aij]
B = [bij]
B dikatakan invers A jika AB = BA = I
Invers matrik A diberi simbol A-1 atauA
1
Misal:
A = 2
B = ½
AB = 2 · ½ = 1
BA = ½ ·2 = 1
Ax = B
x = B/A
Ax = B
x = A-1B
Sifat:
1. (A-1
)-1
=A
2. (AB)-1
= B-1
A-1
Cara menghitung matrik invers
Adet
Aadjoin1 A
Adjoin A adalah transpose dari matriks kofaktor A.
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 21/37
21
Contoh:
Jika
511
240
432
A , maka A-1
= ?
Jawab:
Menghitung kofaktor
1851
24A11
= -4.5 - 2.(-1) = -20 +2 =-18
251
20A12
411
40A13
1151
43A21
1451
42A22
511
32A23
1024
43A31
420
42A32
840
32A33
Menghitung adjoin A:
854
4142
101118
AAA
AAAAAA
AAA
AAA
AAA
AAdjoin
332313
322212
312111
333231
232221
131211
T
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 22/37
22
46-
40-4-10
5(-8)(-1)(-4)1(-10)Adet
468
465
464
464
4614
462
4610
4611
4618
854
4142
101118
46
1 A 1-
Cek!
3I
100
010
001
511
240
432
468465464
464
4614
462
4610
4611
4618
Contoh:
1. Berapa matrik invers untuk matrik
43
21
Jawab:
13-
2-4 Aadjoint
A11 = 4
A21 = -2
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 23/37
23
A12 = -3
A22 = 1
Det A = -2
Maka:
21
23
12
13
24
2
1A 1
Cek!
10
01
43
21
21
23
12
Rumus sederhana untuk 2x2:
ac
bd
bcad
1
dc
baA
1
1
2. Berapa invers matrik dari
752
641
231
Jawaban
1
752
641
231
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 24/37
24
11
4 6A 2
5 7
275
64A11
572
61A12
352
41A13
1175
23
A21
372
21A22
152
31A23
1064
23A31
461
21A32
141
31
A33
det A = 1(-2) + 3(5) + 2(-3) = 7
maka:
333231
232221
131211
1
aaa
aaaaaa
Adet
1
AadjointAdet
1A
Maka:
717173
747375
71071178
113
433
10112
7
1A
1
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 25/37
25
Cek!
A-1 A = I
100
010
001
752
641
231
717173
747375
71071178
3. Berapa invers matrik dari
751
432
321
B
Jawaban
751
432
321
B
1
75
43B11
1071
42B12
7
51
32B13
175
32B21
471
31B22
351
21B23
143
32B31
242
31B32
132
21B33
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 26/37
137
2410111
bbb
bbbbbb
Badjoint
332313
322212
312111
2
21201
51
323
71
422
75
431ADet
212327
125
212121
137
2410
111
2
1
BadjointBdet
1B 1
Cek!
B-1
B = I
100
010
001
751
432
321
212327
125
212121
Metode Operasi Baris
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 27/37
27
333231
232221
131211
1
bbb
bbb
bbb
AB
3IA
333231
232221
131211
100
010
001
aaa
aaa
aaa
Dengan operasi baris diupayakan agar terbentuk matrik sebagai berikut
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
100
010
001
Dengan demikian matrik B = [bij] merupakan invers dari matriks A = [aij]
Contoh:
Hitunglah nilai invers dari matriks berikut
751
432
321
Jawab:
3IA
100
010
001
751
432
321
Langkah Operasi baris
1. Membentuk matriks segitiga atas.
2. a21 dijadikan nol.
3. Baris ke-2 ditambah dengan (-2) baris ke-1 (baris ke-2 + baris ke-1 kali – 2
atau O21(-2))
(i)
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 28/37
28
10)1(01)1(03)1(42)1(51)1(1
00)2(11)2(03)2(42).2(31)2(2
001321
)1(OII.
)2(O I.IIIIIIIIII
IIIII
31
21
101430
012210
001321
(ii)
1)1()3(0)2()3()1(4)1()3(30
0)1()1()1()2(4)1()2()1()1(0
001321
)3(OIV.
)1(OIII.IVIVIV
21IV
IIIIIIIIIIII
32
2
137200
012210
001321
(iii)
VI2
1VI2
1VI2
1VI
21
VVVV
21
3
23
)(1)()3()()7((-2)00
)1)(1(03)1()1()7()1(2)2()1(210
001321
)(OVI.
)1(O V.
21
23
27100
125010
001321
(iv)
21
23
27
VIIVIIVIIVII
21
100
125010
1)2(02)2(0)5()2(131)2(21
)2(OVII.
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 29/37
29
21
23
27100
125010
2411301
(v)
21
23
27
VIII2
1VIII2
3VIII2
7VIII
13
100
125010
))(3()2())(3()4())(3(111)3(301
)3(OVIII.
21
23
27
21
21
21
100
125010
001
SOAL
Hitung matrik invers dari
752
641
231
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 30/37
30
BAB IV
PENYELESAIAN PERSAMAAN
LINEAR SIMULTAN
Persamaan Linear
Persamaan yang memunyai pangkat tertinggi variabel = 1
Contoh:
ax b 0 (1.1)
ax by cz d (1.2)
1 1 2 2 n na x a x ... a x b (1.3)
x : variabel persamaan 1.1
x, y dan z : variabel persamaan 1.2
1 2 n
1 2 n
x , x , , x : variabel
a , a , , a : koefisien persamaan 1.3
b : konstanta (ruas kanan)
Persamaan Linear Simultan:
Beberapa persamaan linier yang penyelesaiannya harus dilakukan secara
serentak (simultan).
Penulisan persamaan linear simultan secara umum:
11 1 12 2 n n 1
21 1 22 2 2n n 2
n1 1 n2 2 nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 31/37
31
Dapat ditulis
11 12 1n 1 1
21 22 2n 2 2
n1 n2 nn n n
a a a x ba a a x b
a a a x b
AX = B
Keterangan:
A = Matrik koefisienX = Matrik variabel
B = Matrik konstanta
Macam persamaan linear
AX =B Jika: B = 0 homogen
B ≠ 0 non homogen
Penyelesaian persamaan linear simultan:
Menghitung nilai masing-masing variabel yang memenuhi semua
persamaan yang ada.
Metode penyelesaian:
1. eliminasi dan substitusi
2. cramer
3. invers matrik
4. iterasi
Macam penyelesaian: Jika (det ≠ 0) persamaan mempunyai jawab tunggal.
Jika (det = 0) persamaan bisa mempunyai jawab banyak
atau bisa tidak punya jawab.
CONTOH SOAL
Persamaan linier simultan terdiri dari 2 persamaan dengan 2 variabel
Selesaikan persamaan linier simultan
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 32/37
32
3x + 5 y = 13
x + y = 3
Penyelesaian:
Eliminasi
3x 5y = 13 1
x + y = 3 3
3x 5y = 13
3x 3y = 9
2y = 4y = 2
x = 1
Subtitusi
3x 5y = 13
x + y = 3 x = 3 - y
3 (3 y) 5y = 13
9 3y 5y 13
2y 4
y 2
x 1
Cramer : untuk determinan ≠ 0.
3x 5y 13
x y 3
3 5 x 13
1 1 y 3
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 33/37
33
13 5
3 1 2x 13 5 2
1 1
3 13
1 3 4y 23 5 2
1 1
Invers Matrik
Ax = B x = A-1
B
1
1 551
1 51 3 1 2 2A3 5 1 3 32 1
2 21 1
51x 132 2
y 3 312 2
13 152 2
13 9
2 21
2
Persamaan linier simultan terdiri dari 3 persamaan dengan 3 variabel
1. Selesaikanlah:
2x 5y 2z 7
x 2y 4z 3
3x 4y 6z 5
Eliminasi:
2x 5y 2z 7 1 2x 5y 2z 7
2x 4y 8z 6x 2y 4z 3 2 ....... (iv)
9y + 10z = 1
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 34/37
34
x 2y 4z 3 3 3x 6y 12z 9
3x 4y 6z 5
3x 4y 6z 5 1 ....... (v)10y 6z = 4
9y 10z 1 10 90y ( 100)z 10
90y 54z 3610y 6z 4 9
46z = 46
z 1
Substitusi nilai z ke dalam persamaan
10y 6z 4
10y 6 1 4
10y 10
y 1
Substitusi nilai z dan y ke dalam persamaan
x 2y 4z 3
x 2 1 4 1 3
x 2 4 3
x 5
Jadi penyelesaian persamaan di atas, x = 5; y = 1 dan z = 1.
Contoh beberapa macam penyelesaian:
1. Selesaikan
3x 2y 5
x y 2
Penyelesaian
3x 2y 5 1 3x 2y 5
x y 2 2 2x 2y 4
x 1
y 1
Jawab tunggal
Dua garis lurus saling berpotongan.
2. Selesaikan
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 35/37
35
2x 3y 7
4x 6y 13
Penyelesaian
2x 3y 7 2 4x 6y 14
4x 6y 13 1 4x 6y 13 0x 0y 1
Tidak punya jawab
Dua garis lurus sejajar.
3.3x 2y 8 2 6x 4y 16
6x 4y 16 1 6x 4y 16
0x 0y 0
Jawab banyak nilai x dan y yang memenuhi.
Dua garis berimpit.
3x 2y 8
x y
0 4
8 03
Maka dimisalkan:
x p
8 3py
2
Cramer, syaratnya determinan ≠ 0
3x 2y 5det 1
x y 2
2x 3y 7det 0
4x 6y 13
Dalam koordinat x - y, persamaan linear dapat digambarkan sebagai garis
lurus.
Persamaan linear dengan 2 variabel
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 36/37
36
garis lurus berimpit dengan satu bidang datar
garis lurus pada koordinat x - y
5 2
12
x y
01 1
2
x y
0 21 1
2 0
Contoh:
1. Selesaikanlah
x 2y 3z 12
3x 6y z 42 det 0
y z 5
(1) ... x 2y 3z 12 3
(2) ... 3x 6y z 42 1
3x 6y 9z 36
3x 6y z 42
8z 6
3z4
5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 37/37
37
y z 5
3y 54
3y 54
234
x 2y 3z 12
23 3x 2 3 124 4
23 9x 122 12
11x4