Teori dan Persamaan Difusi Neutron

http://syeilendrapramuditya.wordpress.com

Teori dan Persamaan Difusi Neutron

II.3 Aproksimasi Difusi

Persamaan transport neutron (II.29) adalah persamaan yang relatif sulit untuk

dicari solusinya, karenanya pada bagian ini akan digunakan beberapa

penyederhanaan dan juga aproksimasi difusi untuk mencari solusi bagi persamaan

transport neutron.

Dari sudut pandang engineering, untuk keperluan perhitungan dan analisis teras

reaktor, rincian lengkap mengenai kebergantungan fungsi keadaan neutron

terhadap sudut sebenarnya tidak terlalu signifikan, karenanya pertama-tama

kita akan menghilangkan kebergantungan terhadap sudut tersebut. Hal ini dapat

dilakukan dengan cara mengintegralkan setiap suku pada persamaan transport

neutron (II.29) terhadap seluruh sudut , dan hasilnya adalah sebagai berikut :

(II.32)

(II.33)

Persamaan (II.32) adalah persamaan kontinyuitas neutron[9].

Penyederhanaan selanjutnya adalah dengan menggunakan asumsi-asumsi berikut :

Seluruh neutron memiliki kecepatan (energi) yang sama (satu kecepatan)

Sumber (source) bersifat isotropik

Interaksi hamburan (scattering) bersifat isotropik

1


Maka persamaan (II.32) akan menjadi seperti berikut :

(II.34)

(II.35)

(II.36)

Agar persamaan (II.36) diatas dapat dipecahkan, maka kita harus mencari

hubungan antara dengan .

Pertama-tama kita akan mengalikan persamaan (II.29) dengan sudut , kemudian

mengintegralkan terhadap seluruh sudut , dan hasilnya adalah sebagai berikut :

(II.37)

(II.38)

Suku kedua pada persamaan (II.37) diatas diperoleh dengan metode ekspansi

fungsi fluks angular terhadap variabel , kemudian menggunakan aproksimasi

suku linier.

(II.39)

Kemudian dengan cara “mengurai” dan ke vector base –nya, dan

menggunakan prinsip simetri, maka akan diperoleh hasil berikut :

2


(II.40)

Untuk mendapatkan solusi persamaan (II.36), selanjutkan akan digunakan

aproksimasi difusi, dengan asumsi – asumsi sebagai berikut :

a. Fluks angular neutron dapat direpresentasikan dengan cukup baik dan valid

oleh aproksimasi suku linier-nya saja, yaitu persamaan (II.39)

b. Seluruh neutron memiliki kecepatan (energi) yang sama satu grup energi

c. Sumber neutron bersifat isotropik

d. Laju perubahan rapat arus neutron terhadap waktu adalah sangat kecil bila

dibandingkan dengan frekuensi tumbukan neutron.

Dengan menggunakan asumsi (c), maka :

(II.41)

Dan dengan menggunakan asumsi (d), maka :

(II.42)

Dengan kedua hasil diatas, maka persamaan (II.37) dapat ditulis dalam bentuk

berikut :

(II.43)

(II.44)

transport mean free path

(II.45)

3


Sekarang akan didefinisikan koefisien difusi neutron , yaitu :

(II.46)

(II.47)

Dengan persamaan (II.47) diatas, berarti kita berhasil menentukan hubungan

antara dengan , maka persamaan (II.36) dapat ditulis dalam bentuk

berikut :

(II.48)

Persamaan (II.48) diatas dikenal sebagai persamaan difusi neutron satu

kecepatan (satu grup)[9].

Persamaan (II.48) didapat berdasarkan beberapa asumsi dan aproksimasi,

sehingga validitas-nya terbatas. Persamaan (II.48) tidak lagi valid untuk kondisi-

kondisi berikut :

1. Dekat perbatasan material, atau daerah dimana sifat-sifat material berubah

secara drastis pada interval jarak yang se-orde dengan mfp neutron

2. Dekat pusat sumber neutron (localized source)

3. Pada material yang memiliki kemampuan besar untuk menyerap neutron

Persamaan (II.48) adalah one equation with one unknown, sehingga solusi untuk

fluks neutron tentu dapat dicari.

II.4 Difusi Multigrup

Pada bagian sebelumnya telah dijelaskan mengenai teori difusi neutron, juga telah

diturunkan persamaan difusi neutron satu kecepatan (satu grup). Model tersebut

4


cukup baik untuk memahami konsep-konsep dasar analisis neutronik teras reaktor

nuklir. Namun demikian, untuk melakukan analisis yang lebih akurat, model

tersebut tidak cukup memadai.

Penurunan persamaan difusi satu grup dilakukan berdasarkan dua asumsi yang

sangat penting :

1. diasumsikan bahwa fluks angular tidak terlalu dipengaruhi variabel

sudut, sehingga efek transport tidak terlalu berperan dan aproksimasi

difusi berlaku valid.

2. diasumsikan bahwa seluruh neutron di dalam teras reaktor memiliki

energi yang sama (satu kecepatan/grup).

Asumsi pertama diatas biasanya memiliki validitas yang baik untuk kasus teras

reaktor yang cukup besar, dengan pengecualian khusus (karena efek transport

yang kuat) di daerah perbatasan, pusat sumber neutron, dan material absorber.

Asumsi yang kedua diatas merupakan kelemahan utama model difusi satu grup,

karena neutron-neutron di dalam teras reaktor sebenarnya terdistribusi pada

spektrum energi yang sangat lebar, yaitu dari sekitar 0.01 eV sampai sekitar 10

MeV, suatu rentang energi dengan lebar 8 orde. Selain itu, nilai cross section

reaksi nuklir juga sangat dipengaruhi oleh energi neutron yang datang. Karena

hal-hal tersebut diatas, maka diperlukan teknik penanganan yang lebih realistis

agar bisa dilakukan analisis neutronik yang lebih akurat.

Untuk mengakomodasi variabel energi ke dalam persamaan difusi neutron,

pertama kita akan mempartisi spektrum kontinyu energi neutron menjadi interval-

interval energi yang diskrit, atau grup energi.

Gambar II.5 Konsep grup energi neutron

5


Untuk menurunkan persamaan difusi multigrup, kita akan menggunakan konsep

keseimbangan neutron[9] (neutron balance),sebagai berikut :

Berdasarkan persamaan diatas, maka terdapat dua faktor yang menambah jumlah

neutron dalam suatu grup :

1. neutron muncul dalam grup g dari sumber neutron, sumber neutron ini

terutama adalah reaksi fisi nuklir.

2. neutron dengan sembarang energi mengalami reaksi hamburan nuklir

(scattering), sehingga energinya berubah dan termasuk dalam interval

energi grup g.

Dan terdapat 3 faktor yang mengurangi jumlah neutron dalam suatu grup :

1. kebocoran neutron, yaitu neutron keluar dari teras reaktor.

2. absorpsi, yaitu neutron diserap oleh material di dalam teras reaktor

3. neutron dalam grup g mengalami reaksi hamburan nuklir (scattering),

sehingga energinya berubah dan keluar dari interval energi grup g.

Berdasarkan aproksimasi difusi, maka ekspresi matematis dari persamaan

keseimbangan neutron diatas adalah sebagai berikut :

(II.49)

dengan scattered-out cross section :

(II.50)

6


dan suku sumber (source term) :

(II.51)

Pada persamaan (II.49) diatas, didefinisikan besaran cross section baru, yaitu

group-transfer cross section : . Cross section ini menggambarkan

probabilitas bahwa neutron akan mengalami reaksi hamburan dan kemudian

energinya berubah, sehingga berpindah grup energi, yaitu masuk atau keluar dari

grup energi g.

Bila persamaan (II.49) disusun ulang, maka akan berbentuk seperti berikut :

(II.52)

dengan cross section total :

Persamaan (II.52) diatas adalah persamaan difusi multigrup[9]. Dengan

menggunakan persamaan ini, maka hasil perhitungan yang diperoleh akan

menjadi lebih realistis dan akurat, karena variabel energi juga telah terakomodasi.

7

Teori dan Persamaan Difusi Neutron

Documents

Transcript of Teori dan Persamaan Difusi Neutron