Templat tugas akhir S1 - repository.ipb.ac.id · 15 teman-teman satu lulusan: M Reza, Ichsan...

PERILAKU DINAMIS MODEL MANGSA-PEMANGSA TIPE

GAUSE YANG DIPERUMUM DENGAN WAKTU TUNDA

PEMANENAN KONSTAN

HASANNUDIN

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2015

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perilaku Dinamis

Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang Diperumum dengan Waktu Tunda

Pemanenan Konstan adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi

pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi

mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan

maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan

dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, Mei 2015

Hasannudin

NIM G54110004

ABSTRAK

HASANNUDIN. Perilaku Dinamis Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang

Diperumum dengan Waktu Tunda Pemanenan Konstan. Dibimbing oleh ALI

KUSNANTO dan JAHARUDDIN.

Terdapat beberapa model matematis untuk memodelkan peristiwa mangsa-

pemangsa. Salah satu model yang cukup banyak penerapannya adalah model

mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum dengan mempertimbangkan waktu

tunda dan sebuah parameter pemanenan konstan. Analisis kestabilan dilakukan

terhadap model tanpa dan dengan waktu tunda. Untuk model tanpa waktu tunda

diperoleh titik tetap yang salah satunya bersifat spiral stabil, sedangkan titik tetap

pada model dengan waktu tunda terdapat titik tetap yang bersifat spiral stabil/tidak

stabil. Untuk model dengan waktu tunda, semakin besar nilai waktu tunda

mengakibatkan munculnya limit cycle, dan terjadi bifurkasi Hopf superkritis saat

kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas dari spiral stabil menjadi spiral tak

stabil.

Kata kunci: bifurkasi Hopf superkritis, mangsa-pemangsa tipe Gause yang

diperumum, waktu tunda

ABSTRACT

HASANNUDIN. Dynamic Behavior of Generalized Gause Type Prey-Predator

Model with a Constant Time Delay Harvesting. Supervised by ALI KUSNANTO

and JAHARUDDIN.

There are several mathematical models to describe prey-predator events.

One model that has many applications is the generalized Gause type prey-predator

model by considering a time delay and a constant harvesting parameter in both

prey-predator populations. We performed stability analysis to both models

without time delay and with time delay. For the model without time delay, we

obtained three equilibrium points with one is spiral stable, while model with time

delay possesses equilibrium points which can be either spiral stable or spiral

unstable. In addition to the model with time delay, when the value of time delay

increases, this causes the appearance of a limit-cycle and supercritical Hopf

bifurcation occurs when the equilibrium stability change from spiral stable to

spiral unstable.

Keywords: generalized Gause type prey-predator model, supercritical Hopf

bifurcation, time delay

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PERILAKU DINAMIS MODEL MANGSA-PEMANGSA TIPE

GAUSE YANG DIPERUMUM DENGAN WAKTU TUNDA

PEMANENAN KONSTAN

HASANNUDIN

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2015

Judul Skripsi : Perilaku Dinamis Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang

Diperumum dengan Waktu Tunda Pemanenan Konstan

Nama : Hasannudin

NIM : G54110004

Disetujui oleh

Drs Ali Kusnanto, MSi

Pembimbing I

Dr Jaharuddin, MS

Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc

Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas

segala nikmat, rahmat, karunia, dan pertolongan yang telah diberikan sehingga

karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Perilaku

Dinamis Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang Diperumum dengan Waktu

Tunda Pemanenan Konstan. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan

beberapa pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terimakasih kepada:

1 Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya,

2 Nabi besar Muhammad SAW sebagai nabi akhir zaman,

3 keluarga tercinta: Ibunda Riesa Pri Handayani dan Ayahanda Cecep Supriyanto

yang selalu memberikan doa, motivasi dan kasih sayang tiada henti,

4 keluarga besar Bapak A Soehartoyo dan keluarga besar Bapak Djoko (alm),

5 Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi, dan Bapak Dr Jaharuddin, MS selaku dosen

pembimbing, terima kasih atas segala kesabaran, ilmu, saran dan motivasinya

selama membimbing menulis, serta Bapak Dr Paian Sianturi selaku dosen

penguji,

6 staf tata usaha Departemen Matematika IPB,

7 Widyawati atas kasih sayang, doa, semangat dan kebersamaanya selama ini,

8 keluarga Wisma Hijau tercinta: Ahmad, Ibrahim, Noorul Amin, Prahditya,

Yoppy, Firman, Arman, dan keluarga C1 Lorong 1 yang telah memberikan

motivasi, bantuan, keceriaan, dan arti sahabat juga keluarga bagi penulis,

9 sahabat-sahabat penulis: Parara, Ikhwan A, Adam, Deva, Dedi H, Dedy S,

Dwinanda, Rachman, Arli, Firi, Arpi, Fakhri, Dinar, Rizky, Hendar, Imam,

Ariyanto P, dan Fiki terimakasih atas semangat, motivasi, dan doanya,

10 teman-teman satu bimbingan: Mutammimul Ula dan Anif Lailil A yang

senantiasa saling mengingatkan dan memberikan motivasi dalam penyusunan

karya ilmiah ini,

11 teman-teman satu perwalian: Intan Fitria dan Vina A yang senantiasa saling

mengingatkan,

12 teman-teman seperjuangan: Alfi, Sabila, Putri, Dinita, Riefdah, Sifa, Riski,

Rika, Andini, Lidya, Dyah Ayu, Siti, Dini, Deby, Henny, Disti, Giovanni dan

Intan Mugi terima kasih atas motivasi dan keceriaannya selama ini,

13 teman-teman asisten praktikum: Resty, Ariyanto H, Atikah, dan Restu A terima

kasih atas bantuannya dan kebersamaannya,

14 teman-teman mahasiswa Matematika 48, Matematika 49, BPH Gumatika

2012/2013 dan Kestari Gumatika 2013/2014 terimakasih atas doa, semangat,

serta kebersamaannya selama ini,

15 teman-teman satu lulusan: M Reza, Ichsan Rayyan, Nurul M, Annisa N, Ria N,

dan Lingga Detia terima kasih atas kebersamaannya,

16 semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini, terima

kasih.

Bogor, Mei 2015

Hasannudin

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL vi

DAFTAR GAMBAR vi

DAFTAR LAMPIRAN vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan 2

LANDASAN TEORI 2

HASIL DAN PEMBAHASAN 6

Pemodelan 6

Pembahasan 7

Model 1 7

Penentuan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda 7

Pelinearan Model dengan Waktu Tunda 8

Penentuan Nilai Waktu Tunda Kritis 10

Bifurkasi Hopf 12

Model 2 13

Penentuan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda 13

Pelinearan Model dengan Waktu Tunda 14

Penentuan Nilai Waktu Tunda Kritis 16

Bifurkasi Hopf 17

Simulasi Numerik 18

SIMPULAN DAN SARAN 26

Simpulan 26

Saran 26

DAFTAR PUSTAKA 26

LAMPIRAN 28

RIWAYAT HIDUP 50

DAFTAR TABEL

1 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan saat 19

2 Pemilihan nilai waktu tunda model pertama 20

3 Pemilihan nilai waktu tunda model kedua 21

DAFTAR GAMBAR

1 Bidang fase saat 19

2 Bidang solusi mangsa saat 20

3 Bidang solusi pemangsa saat 20

4 Bidang fase model pertama saat 21

5 Bidang solusi mangsa model pertama saat 21

6 Bidang solusi pemangsa model pertama saat 21

7 Bidang fase model kedua saat 22

8 Bidang solusi mangsa model kedua saat 22

9 Bidang solusi pemangsa model kedua saat 22













DAFTAR LAMPIRAN

1 Penentuan titik tetap dan batas nilai upaya pemanenan model pertama 28

2 Penyederhanaan model pertama dengan metode linearisasi 29

3 Penentuan matriks Jacobi dan persamaan karakteristik waktu tunda

model pertama 32

4 Penentuan tundaan waktu kritis model pertama 34

5 Penjabaran fungsi sign model pertama 35

6 Penjabaran kondisi transversal model pertama 37

7 Penentuan titik tetap dan batas nilai upaya pemanenan model kedua 38

8 Penyederhanaan model kedua dengan metode linearisasi 39

9 Penentuan matriks Jacobi dan persamaan karakteristik waktu tunda

model kedua 42

10 Penentuan tundaan waktu kritis model kedua 44

11 Penjabaran fungsi sign model kedua 45

12 Penjabaran kondisi transversal model kedua 46

13 Program plot bidang fase kedua model tanpa waktu tunda (Gambar 1) 47

14 Program plot bidang solusi mangsa kedua model tanpa waktu tunda

(Gambar 2) 48

15 Program plot bidang solusi pemangsa kedua model tanpa waktu tunda

(Gambar 3) 49

1

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Pada kehidupan nyata, setiap makhluk hidup melakukan proses

interaksi dengan makhluk hidup lainnya. Dalam konteks memenuhi

kebutuhan makanan, proses interaksi tersebut memunculkan proses rantai

makanan yaitu peristiwa makan dan dimakan untuk mempertahankan

jumlah populasi. Interaksi yang dilakukan oleh spesies pemangsa (predator)

memengaruhi jumlah dari spesies mangsa (prey). Peristiwa rantai makanan

atau makan dan dimakan menjadi latar belakang bidang pemodelan

matematika untuk meniru perilaku dinamika sistem mangsa-pemangsa

tersebut agar diperoleh jumlah mangsa-pemangsa dipertahankan seimbang.

Alfred Lotka pada tahun 1925 dan Vito Volterra pada tahun 1927

mengembangkan sepasang persamaan diferensial yang menggambarkan

fenomena mangsa-pemangsa untuk pertama kali dikenal sebagai model

Lotka-Volterra (Bacaer 2011). Kemudian Holling pada tahun 1959

memperkenalkan fungsi respons. Dalam hal ini fungsi respons dibagi atas

tiga macam, yaitu fungsi respons tipe I, tipe II, dan tipe III. Fungsi respons

tipe I terjadi pada pemangsa yang memiliki karakteristik pasif atau lebih

suka menunggu mangsanya, sebagai contoh pemangsanya adalah hewan

penyaring yaitu sponge (Garrott et al. 2009). Fungsi respons tipe II terjadi

pada pemangsa yang berkarakteristik aktif dalam mencari mangsa sebagai

contoh pemangsanya adalah serigala (Skalski 2001). Fungsi respons tipe III

terjadi pada pemangsa yang mencari populasi mangsa yang lain ketika

populasi mangsa yang dimakan mulai berkurang atau pemangsa beralih

mencari mangsa lain. Sebagai contoh pada tikus yang bertindak sebagai

pemangsa dengan kepompong ngengat gipsi sebagai mangsa.

Pada suatu sistem, perubahan populasi tidak selalu monoton. Hal ini

disebabkan makhluk hidup tidak dapat melahirkan terus menerus dan ada

beberapa makhluk hidup belum mampu berkembang biak. Penyebabnya

yaitu karena fasilitas yang terbatas. Gejala ini merupakan suatu fenomena

dimana suatu makhluk hidup memerlukan tenggang atau tundaan waktu

(time delay). Salah satu bentuk model mangsa-pemangsa yaitu model

mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum (generalized Gause-type).

Kemudian Beretta dan Kuang (1996) serta Ruan (2009) menambahkan

komponen perlambatan agar model mangsa-pemangsa lebih realistis.

Asumsi dasar dari model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum

yaitu terdapat pengaruh interaksi antara mangsa dengan pemangsa dan

terdapat komponen perlambatan yang didefinisikan bahwa jumlah populasi

makhluk hidup saat ini bergantung pada jumlah populasi makhluk hidup

pada waktu terdahulu atau waktu yang dibutuhkan makhluk hidup untuk

mempersiapkan tahap tertentu.

Pada karya ilmiah ini akan dibahas tentang perilaku dinamis terhadap

model mangsa pemangsa dengan perlambatan. Model yang dibahas adalah

model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum. Dalam setiap model

akan ditambahkan pemanenan yang konstan.

2

Tujuan

Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk:

1. membangun model mangsa-pemangsa tanpa dan dengan waktu

tunda serta pemanenan konstan yang dituliskan oleh Martin dan

Ruan (2001),

2. menganalisis kestabilan model mangsa-pemangsa tanpa dan dengan

waktu tunda serta pemanenan konstan,

3. memelajari pengaruh waktu tunda terhadap kestabilan sistem, dan

4. memelajari keberadaan bifurkasi Hopf pada model mangsa-

pemangsa.

LANDASAN TEORI

Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai:

(1)

dengan

[

] dan [

].

Jika fungsi tak linear terhadap , maka sistem persamaan

diferensial (1) disebut sistem persamaan diferensial tak linear dan jika

fungsi linear, maka sistem persamaan diferensial (1) disebut

persamaan diferensial linear (Braun 1983). Jika sistem persamaan

diferensial (1) tidak memuat variabel waktu secara eksplisit, maka disebut

sebagai persamaan diferensial mandiri yang dapat ditulis:

.

Titik disebut titik tetap atau titik kritis atau titik keseimbangan, jika

.

Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial dengan dua

persamaan dan dua peubah seperti berikut:

(2)

Andai adalah titik tetap dari persamaan (2), maka dan

.

3

Misalkan dan , maka didapatkan:

.

Dengan uraian deret Taylor dua peubah terhadap fungsi , maka didapatkan

sistem sebagai berikut:

dengan memiliki nilai yang cukup kecil dibandingkan suku-

suku sebelumnya.

Dengan cara yang sama diperoleh:

Dengan uraian deret Taylor dua peubah terhadap fungsi , maka didapatkan

sistem sebagai berikut:

Dalam bentuk matriks dapat dituliskan:

* +

[

]

* +

Matriks A yaitu:

[

]

disebut sebagai matriks Jacobi yang dievaluasi di titik tetap . Karena

, maka didapatkan persamaan linear:

* + [

] * + (3)

Bentuk (3) disebut pelinearan dari sistem persamaan (2) (Strogatz 1994).

4

Beberapa tundaan dapat digabungkan dengan menggunakan

persamaan diferensial tundaan sebagai berikut

( )

dengan sebagai parameter waktu tunda (Murray 2002). Persamaan

diferensial tundaan atau delayed differential equation adalah suatu

persamaan diferensial dengan turunan dari fungsi yang tidak diketahui untuk

beberapa waktu tunda yang diberikan. Hal ini berkaitan dengan nilai fungsi

pada waktu sebelumnya.

Misal A adalah sebuah matriks berukuran n x n, maka sebuah vektor

tak nol di dinamakan vektor eigen dari A, jika adalah kelipatan

skalar dari yaitu:

untuk suatu skalar . Skalar ini dinamakan nilai eigen dari A, sedangkan

dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .

Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n x n, maka

dituliskan kembali sebagai:

atau

(4)

dengan merupakan matriks identitas. Persamaan (4) akan memunyai

penyelesaian tak nol jika dan hanya jika:

(5)

Persamaan (5) dinamakan persamaan karakteristik (Anton 1987).

Misalkan suatu sistem persamaan diferensial memiliki bentuk seperti

berikut:

sehingga matriks koefisien dari sistem persamaan diferensial di atas ialah:

*

+

Berdasarkan persamaan (5), maka persamaan karakteristiknya menjadi:

(

)

5

atau

dengan:

dan

Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari A adalah:

√

Nilai eigen akan memenuhi kondisi:

1. Jika , maka nilai eigen adalah bilangan real dan berbeda tanda

sehingga titik tetap merupakan titik sadel.

2. Jika , maka nilai eigen dapat berupa bilangan real dengan

tanda yang sama (titik tetap berupa simpul) atau bilangan kompleks

conjugate (titik tetap berupa spiral atau center). Jika ,

maka berupa simpul dan jika , maka berupa spiral.

Persamaan parabola adalah garis batas antara simpul

dan spiral; star nodes dan degenerate nodes berada pada parabola ini.

3. Ketika , kedua nilai eigen memiliki tanda yang negatif,

sehingga titik tetap stabil. Spiral dan simpul tak stabil memiliki

. Titik stabil netral atau center berada pada garis , dimana

nilai eigen adalah imajiner murni.

4. Jika , setidaknya ada satu nilai eigen yang sama dengan nol,

maka titik tetap merupakan titik tak terisolasi (Strogatz 1994).

Selanjutnya, Strogatz (1994) menjelaskan bahwa struktur kualitatif

dari suatu sistem dinamika dapat berubah karena adanya perubahan dari

parameter sistem dinamika tersebut. Hal inilah yang disebut bifurkasi.

Bifurkasi adalah perubahan jumlah atau kestabilan titik tetap (titik

kestabilan) dalam suatu sistem dinamik. Nilai parameter ketika terjadinya

bifurkasi dinamakan titik bifurkasi. Salah satu jenis bifurkasi yaitu Bifurkasi

Hopf.

Bifurkasi Hopf adalah kemunculan siklus batas (limit cycle) dalam

suatu sistem dinamis. Limit cycle sendiri merupakan orbit tertutup yang

terisolasi. Terisolasi artinya bahwa orbit di sekelilingnya menuju atau

menjauhi siklus limit. Hal ini terjadi pada saat kesetimbangan mengalami

perubahan stabilitas dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil atau

sebaliknya. Titik bifurkasi terjadi pada saat sistem melalui sepasang nilai

eigen murni imajiner. Bifurkasi dapat bersifat superkritis atau subkritis yang

mengakibatkan limit cycle menjadi stabil atau tidak stabil. Bifurkasi Hopf

bersifat superkritis saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas dari

spiral stabil menjadi spiral tak stabil, sedangkan bifurkasi Hopf bersifat

subkritis saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas dari spiral tak

stabil menjadi spiral stabil (Strogatz 1994).

6

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pemodelan

Dalam karya ilmiah ini akan dibangun dua model mangsa-pemangsa,

yaitu model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 1 (model

pertama) yang merupakan model mangsa-pemangsa dengan pemanenan

mangsa dan waktu tunda pada mangsa, dan model mangsa-pemangsa tipe

Gause yang diperumum 2 (model kedua) yang merupakan model mangsa-

pemangsa dengan pemanenan mangsa dan waktu tunda pada pemangsa

(Martin dan Ruan 2001).

Berikut ini adalah uraian dari kedua model mangsa-pemangsa tersebut.

Model 1 : Model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 1

Model ini menggambarkan interaksi antara mangsa dengan pemangsa,

pemanenan konstan pada mangsa, dan komponen perlambatan pada tingkat

pertumbuhan mangsa yang berpengaruh pada laju perubahan mangsa

terhadap waktu. Berikut adalah model tipe Gause yang diperumum 1:

[ ( ) ( )]

(6)

[ ( ) ]

di mana , dan konstanta , dengan

: banyaknya populasi mangsa pada waktu t (populasi),

: banyaknya populasi pemangsa pada waktu t (populasi),

: faktor pengali (tanpa dimensi),

: banyaknya populasi mangsa minimum yang dibutuhkan pemangsa

agar stabil (populasi),

: tingkat pertumbuhan spesifik mangsa berupa suatu fungsi

sembarang (1/waktu),

: koefisien interaksi antara mangsa dengan pemangsa berupa suatu

fungsi sembarang (1/(populasi.waktu)),

: respons fungsional dengan berupa suatu fungsi


: waktu tunda atau perlambatan (waktu), dan

: upaya pemanenan populasi mangsa (populasi/waktu).

7

Model 2 : Model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 2

Model ini menggambarkan interaksi antara mangsa dengan pemangsa,

pemanenan konstan pada mangsa, dan komponen perlambatan pada respons

fungsional yang berpengaruh pada laju perubahan pemangsa terhadap waktu.

Berikut adalah model tipe Gause yang diperumum 2:

[ ( ) ( )]

(7)

[ ( )]

di mana , dan konstanta , dengan

: banyaknya populasi mangsa pada waktu t (populasi),

: banyaknya populasi pemangsa pada waktu t (populasi),

: laju mengonsumsi mangsa oleh pemangsa (tanpa dimensi),

: laju kematian pemangsa (1/waktu),

: tingkat pertumbuhan spesifik mangsa (1/waktu),

: koefisien interaksi antara mangsa dengan pemangsa berupa suatu

fungsi sembarang (1/(populasi.waktu)),

: respons fungsional dengan berupa suatu fungsi


: waktu tunda atau perlambatan (waktu), dan

: upaya pemanenan populasi mangsa (populasi/waktu).

Pada saat , persamaan (6) ekivalen dengan persamaan (7) di mana nilai

parameter sama dengan dan sama dengan .

Pembahasan

Model 1

Penentuan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda

Titik tetap didapat dari

dan

, sehingga dari persamaan

(6) diperoleh

[ ]

[ ]

Karena dan , maka hanya

terdapat dua titik tetap yang mungkin, yaitu dan dengan

dan nilai diperoleh dari penyelesaian persamaan

8

Agar titik tetap memiliki komponen-komponen yang bernilai

positif, batasan upaya pemanenan untuk titik tetap sebesar

Kemudian, agar titik tetap memiliki komponen-komponen yang bernilai

positif, maka batasan upaya pemanenan untuk titik tetap sebesar

(bukti lampiran 1)

Pelinearan Model dengan Waktu Tunda

Model mangsa-pemangsa dengan waktu tunda yang diberikan pada

persamaan (6) dianalisis dengan menggunakan pendekatan model linear di

titik tetap . Untuk itu dimisalkan

dan

Jika pemisalan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (6) dan

disederhanakan, maka

[ ]

(8)

(bukti lampiran 2)

Analisis kestabilan di titik tetap pada model (8) ekivalen dengan

analisis kestabilan dari titik tetap pada model persamaan (6) setelah

dilinearisasi. Berikut ini akan ditentukan persamaan karakteristik untuk

model persamaan (8). Jika persamaan pertama dan persamaan kedua pada

persamaan (8) diturunkan terhadap dan , maka diperoleh

[ ]

9

Jika penyelesaian digunakan, maka diperoleh matriks Jacobi di

titik tetap berbentuk

(

)

Penyelesaian persamaan karakteristik , menghasilkan

(9)

dengan

(10)

(bukti lampiran 3)

Analisis kestabilan dilakukan dengan mencari nilai eigen pada

masing-masing titik tetap. Dengan diperoleh persamaan (9), kita dapat

menganalisis kestabilan dalam bentuk umum. Jika nilai maka

diperoleh

sehingga diperoleh nilai eigen, yaitu

√

1. Jika titik tetap disubstitusikan ke dalam persamaan (10),

maka diperoleh

dengan

sehingga diperoleh nilai eigen berikut

√

atau

dan

Karena ada salah satu nilai eigen bernilai nol, maka titik tetap

bersifat tak terisolasi.

10


maka diperoleh

dengan

sehingga diperoleh nilai eigen

√

(11)

Berdasarkan nilai eigen pada persamaan (11) dengan terdapat 3

kemungkinan, yaitu:

i. sehingga . Dalam hal ini titik

tetap bersifat simpul stabil jika .

ii. sehingga . Dalam hal ini titik

tetap bersifat spiral stabil jika .

iii. sehingga . Dalam hal ini titik

tetap bersifat spiral tidak stabil jika .

Agar titik tetap stabil, maka nilai eigen harus negatif, sehingga

√ atau .

Jadi diperoleh nilai eigen yang negatif, maka titik tetap stabil. Jenis

kestabilan titik tetap didasarkan pada kemungkinan di atas.

Penentuan Nilai Waktu Tunda Kritis

Model mangsa-pemangsa untuk waktu tunda pada persamaan

(6) titik tetapnya bersifat spiral (stabil atau tidak stabil), sehingga nilai eigen

dari matriks Jacobi dimisalkan dengan dan

Untuk memeroleh nilai maka nilai eigen

disubstitusikan ke dalam persamaan (9) sehingga didapatkan persamaan

karakteristik

atau

(12)

dengan .

11

Kemudian dengan memisahkan bagian real dan imajiner, pada persamaan

(12) diperoleh

atau ekivalen dengan

(13)

Kuadratkan persamaan (13), diperoleh

Selanjutnya kedua persamaan tersebut dijumlahkan dan dikelompokkan

sesuai pangkat dengan maka diperoleh

polinomial berderajat empat

(14)

Dari persamaan (14) dapat dilihat dua hal, yang pertama bahwa suku

yang memuat fungsi trigonometri tereliminasi dan waktu tunda juga tidak

muncul. Kemudian yang kedua, persamaan (14) merupakan polinomial

berderajat genap, bila didefinisikan sebagai akar dari persamaan (14)

maka diperoleh

( √ ) (15)

Menurut aturan tanda Descartes, persamaan (14) akan memiliki

paling tidak satu akar real positif jika variasi perubahan tanda koefisien

polinomnya lebih dari satu atau sama dengan satu. Dari persamaan (15)

dapat diketahui jika

menyebabkan persamaan polinom (14) tidak memiliki variasi perubahan

tanda koefisien sehingga persamaan (15) tidak memiliki akar real positif.

Dalam hal ini akan ditinjau jika

dan

12

akan ada satu solusi positif dari persamaan (15). Dengan demikian

persamaan (14) memiliki akar imajiner murni Sehingga dengan

mensubstitusikan ke persamaan (13) diperoleh nilai tundaan kritis

(

)

(bukti lampiran 4)

Bifurkasi Hopf

Teorema Kar (2003)

Misalkan ada sebuah bilangan bulat positif sedemikian sehingga

berubah kestabilan dari stabil ke tidak stabil atau sebaliknya. Jika

[ )

titik tetap bersifat stabil dan

[

titik tetap bersifat tidak

stabil, maka sistem akan terjadi bifurkasi Hopf terhadap titik tetap untuk

Berdasarkan persamaan (6), titik tetap stabil untuk . Untuk

membuktikan Teorema Kar (2003) cukup dilakukan uji kebenaran kondisi

transversal, yaitu kondisi yang menyebabkan perubahan kestabilan titik

tetap dengan waktu tunda. Kriteria kondisi yang digunakan adalah

(

)

dan (

)

Langkah pertama untuk memenuhi Teorema Kar (2003), persamaan (9)

diturunkan terhadap

(

)

atau

(

)

(16)

Dari persamaan karakteristik (9), didapat

lalu

disubstitusikan pada persamaan (16) didapat

(

)

Oleh karena itu,

(

)

( (

)

)

13

( (

)

(

)

(

)

)

(

)

(

)

(bukti lampiran 5)

Untuk nilai diperoleh

(

)

(√ )

sehingga terpenuhi bahwa

(

)


(

)

( √ )


(

)

Oleh karena itu, kondisi transversal terpenuhi. Jadi, merupakan

perubahan nilai waktu tunda untuk kestabilan model (8) sehingga terjadi

bifurkasi Hopf.

(bukti lampiran 6)

Model 2

Penentuan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda

Dari persamaan (7) diperoleh

[ ]

[ ]

14

Terdapat dua titik tetap yang mungkin, yaitu dan

dengan

dan nilai diperoleh dari penyelesaian persamaan

Batasan upaya pemanenan untuk titik tetap sebesar

Kemudian, batasan upaya pemanenan untuk titik tetap sebesar

(bukti lampiran 7)

Pelinearan Model dengan Waktu Tunda

Model mangsa-pemangsa dengan waktu tunda yang diberikan pada

persamaan (7) dianalisis dengan menggunakan pendekatan model linear di

titik tetap . Untuk itu dimisalkan

dan .

Jika pemisalan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (7), maka

[ ]

(17)

(bukti lampiran 8)

Jika persamaan pertama dan persamaan kedua pada persamaan (17)

diturunkan terhadap dan , maka diperoleh

[ ]

15

Jika penyelesaian digunakan, maka diperoleh matriks Jacobi

(

)


(18)

dengan

(19)

(bukti lampiran 9)

Jika nilai pada persamaan (18), maka diperoleh

sehingga diperoleh nilai eigen, yaitu

√


maka diperoleh

dengan

sehingga diperoleh nilai eigen berikut

√

atau

dan

Karena ada salah satu nilai eigen bernilai nol, maka titik tetap

bersifat tak terisolasi.


maka diperoleh

dengan

16

sehingga diperoleh nilai eigen

√

(20)

Berdasarkan nilai eigen pada persamaan (20) dengan terdapat 3

kemungkinan, yaitu:

i. sehingga . Dalam hal ini titik tetap bersifat

simpul stabil jika .

ii. sehingga . Dalam hal ini titik tetap bersifat

spiral stabil jika .

iii. sehingga . Dalam hal ini titik tetap bersifat

spiral tidak stabil jika .

Agar titik tetap stabil, maka nilai eigen harus negatif, sehingga

√ atau

Penentuan Nilai Waktu Tunda Kritis

Untuk memeroleh nilai , maka nilai eigen disubstitusikan

ke dalam persamaan (18) sehingga didapatkan persamaan karakteristik

atau

(21)

dengan .

Kemudian dengan memisahkan bagian real dan imajiner, pada persamaan

(21) diperoleh

atau ekivalen dengan

(22)

Kuadratkan persamaan (22), diperoleh

Selanjutnya kedua persamaan tersebut dijumlahkan dan dikelompokkan

sesuai pangkat dengan maka diperoleh

(23)

17

Bila didefinisikan sebagai akar dari persamaan (23) maka

diperoleh

( √ ) (24)

Karena maka akan ada satu solusi positif dari persamaan

(24). Sehingga dengan mensubstitusikan ke persamaan (22) diperoleh

nilai tundaan kritis

(

)

(bukti lampiran 10)

Bifurkasi Hopf

Berdasarkan persamaan (7), titik tetap stabil untuk . Untuk

membuktikan Teorema Kar (2003) cukup dilakukan uji kebenaran kondisi

transversal, yaitu kondisi yang menyebabkan perubahan kestabilan titik

tetap dengan waktu tunda. Kriteria kondisi yang digunakan adalah

(

)

dan (

)

Langkah pertama untuk memenuhi Teorema Kar (2003), persamaan (18)

diturunkan terhadap

(

)

atau

(

)

(25)

Dari persamaan karakteristik (18), didapat

lalu

disubstitusikan pada persamaan (25) didapat

(

)

Oleh karena itu,

(

)

( (

)

)

( (

)

(

)

)

(

)

(bukti lampiran 11)

18


(

)

(√ )


(

)


(

)

( √ )


(

)

Oleh karena itu, kondisi transversal terpenuhi. Jadi, merupakan

perubahan nilai waktu tunda untuk kestabilan model (17) sehingga terjadi

bifurkasi Hopf.

(bukti lampiran 12)

Simulasi Numerik

Dinamika populasi mangsa pemangsa digambarkan oleh kurva

dalam bidang fase dan bidang solusi untuk menentukan kestabilan populasi

mangsa pemangsa pada waktu . Simulasi numerik dilakukan dengan cara

mensubstitusikan nilai parameter yang telah ditentukan ke dalam persamaan

model matematika mangsa-pemangsa dengan tundaan waktu dan

pemanenan konstan. Pada simulasi ini, didefinisikan

(

) dan

di mana konstanta , dengan

: laju intrinsik dari populasi mangsa (1/waktu),

: daya dukung lingkungan, yang ditentukan oleh sumber daya

yang tersedia (populasi), dan

: tingkat kejenuhan pemangsaan (populasi).

19

Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa Tanpa dan dengan Waktu

Tunda Pemanenan Konstan

Untuk model tipe Gause yang diperumum 1 dan 2, diambil

sembarang beberapa parameter tetap yaitu: dengan nilai awal .

Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat

Pada saat model mangsa-pemangsa tipe Gause yang

diperumum 1 ekivalen dengan model mangsa-pemangsa tipe Gause yang

diperumum 2. Dengan menggunakan parameter-parameter yang diberikan,

diperlukan titik tetap, nilai eigen dan kestabilan pada saat dan

diberikan dalam Tabel 1

Tabel 1 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan saat

Luaran Titik Tetap

Batas nilai

Jenis kestabilan Tak

Terisolasi

Tak

Terisolasi Spiral Stabil

Titik tetap yang diperoleh ada tiga untuk model pertama dan kedua, terdapat

pada Tabel 1. Gambar 1 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan

simbol bahwa kurva bergerak spiral mendekati titik tetap atau .

Gambar 1 Bidang fase saat

20

Gambar 2 Bidang solusi mangsa Gambar 3 Bidang solusi pemangsa

saat saat

Gambar 2 memperlihatkan bahwa di awal populasi mangsa model

pertama dan kedua, mengalami penurunan setelah itu kenaikan yang drastis.

Kemudian, pertumbuhan mangsa mengalami osilasi namun semakin lama

simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan mangsa menuju

. Gambar 3 memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi

pemangsa mengalami penurunan yang drastis setelah itu kenaikan.

Kemudian, pertumbuhan pemangsa mengalami osilasi namun semakin lama

simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan pemangsa menuju

.


Model 1

Titik tetap yang diperoleh ada tiga, terdapat pada Tabel 1. Untuk

memenuhi teorema, maka dilakukan pemilihan nilai waktu tunda sebagai

berikut

Tabel 2 Pemilihan nilai waktu tunda model pertama

Menurut Teorema Kar (2003), titik tetap dikatakan

stabil ketika

20 40 60 80t

19.5

20.0

20.5

x

20 40 60 80t

15.0

15.5

16.0

y

𝑥 𝑦

21

Gambar 4 Bidang fase model pertama saat


model pertama saat model pertama saat

Gambar 4 memperlihatkan limit cycle dan menunjukkan starting point

atau nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak secara spiral

menjauhi titik tetap . Gambar 5 dan 6 menunjukkan kedua populasi

terjadi osilasi terus menerus. Oleh karena itu, semakin besar nilai waktu

tunda dalam pertumbuhan populasi menyebabkan ketidakstabilan terhadap

pertumbuhan.

Model 2

Titik tetap yang diperoleh ada tiga, terdapat pada Tabel 1. Untuk

memenuhi teorema, maka dilakukan pemilihan nilai waktu tunda sebagai

berikut

Tabel 3 Pemilihan nilai waktu tunda model kedua

20 40 60 80 100t

18

20

22

24

26

x

20 40 60 80 100t

13

14

15

16

17

y

𝑥 𝑦

22

Gambar 7 Bidang fase model kedua saat


model kedua saat model kedua saat

Gambar 7 memperlihatkan limit cycle dan menunjukkan starting point

atau nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak secara spiral

menjauhi titik tetap . Gambar 8 dan 9 menunjukkan kedua populasi

terjadi osilasi terus menerus. Oleh karena itu, semakin besar nilai waktu

tunda dalam pertumbuhan populasi menyebabkan ketidakstabilan terhadap

pertumbuhan.

Perbandingan dan Pengaruh Waktu Tunda Kedua Model

Model 1



50 100 150 200t

20

25

x

50 100 150 200t

8

10

12

14

16

18

20

y

𝑥 𝑦

23



Gambar 10 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol

bahwa kurva bergerak spiral mendekati titik tetap . Gambar 11

memperlihatkan bahwa di awal populasi mangsa model pertama, mengalami

penurunan setelah itu kenaikan yang drastis. Kemudian, pertumbuhan

mangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin

kecil menyebabkan kestabilan mangsa menuju . Gambar 12

memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi pemangsa mengalami

penurunan yang drastis setelah itu kenaikan. Kemudian, pertumbuhan

pemangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin

kecil menyebabkan kestabilan pemangsa menuju . Terlihat pula pada

Gambar 10 kerapatan spiral kecil, menandakan bahwa terjadi sedikit osilasi

tetapi cepat menuju kestabilan pada populasi mangsa dan pemangsa.





20 40 60 80t

19.5

20.0

20.5

21.0

x

20 40 60 80t

15.0

15.5

16.0

y

50 100 150 200t

15.0

15.5

16.0

y

50 100 150 200t

19.0

19.5

20.0

20.5

21.0

21.5

x

𝑥 𝑦

𝑥 𝑦

24











Gambar 13 kerapatan spiral sedang, menandakan bahwa terjadi banyak

osilasi dan dibutuhkan waktu lama untuk menuju kestabilan pada populasi

mangsa dan pemangsa.

Kemunculan limit cycle pada Gambar 4 menunjukkan bahwa terjadi

bifurkasi Hopf superkritis, disebabkan karena perubahan kestabilan dari

keadaan stabil saat menjadi tidak stabil saat .

Model 2









200 400 600 800t

14.5

15.0

15.5

16.0

y

200 400 600 800t

19.5

20.0

20.5

21.0

x

𝑥 𝑦

25







Gambar 16 kerapatan spiral tinggi, menandakan bahwa terjadi banyak

osilasi dan dibutuhkan waktu lama untuk menuju kestabilan pada populasi

mangsa dan pemangsa.





Gambar 19 memperlihatkan limit cycle dan menunjukkan starting point atau

nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak secara spiral menjauhi

titik tetap . Gambar 20 dan 21 menunjukkan kedua populasi terjadi osilasi

terus menerus. Oleh karena itu, semakin besar nilai waktu tunda dalam

pertumbuhan populasi menyebabkan ketidakstabilan terhadap pertumbuhan.

Kemunculan limit cycle pada Gambar 19 menunjukkan bahwa terjadi

bifurkasi Hopf superkritis, disebabkan karena perubahan kestabilan dari

keadaan stabil saat menjadi tidak stabil saat .

20 40 60 80 100t

18

20

22

24

26

x

20 40 60 80 100t

12

14

16

18

y

𝑥 𝑦

26

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Dari model mangsa pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan dan

tanpa waktu tunda diperoleh tiga titik tetap positif di setiap model. Pada

model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 1 dan 2, kestabilan

titik tetap pertama dan kedua bersifat tak terisolasi, sedangkan titik tetap

ketiga bersifat spiral stabil. Dinamika populasi mangsa-pemangsa pada

model juga dipengaruhi oleh waktu tunda dalam masa kelahiran untuk

kestabilan titik tetap. Waktu tunda yang didapat pada model mangsa

pemangsa tipe Gause yang diperumum 1 lebih besar dibandingkan dengan

model mangsa pemangsa tipe Gause yang diperumum 2. Perubahan

parameter waktu tunda dari kecil ke besar menyebabkan perubahan

kestabilan titik tetap dari stabil menjadi tidak stabil. Hal ini menandakan

bahwa pada model mangsa-pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan

dan waktu tunda menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf superkritis.

Saran

Pada karya ilmiah ini, dipilih fungsi adalah fungsi pertumbuhan

logistik dan fungsi adalah fungsi respons Holling-Tanner tipe II. Untuk

penelitian selanjutnya, dapat digunakan fungsi lainnya, pengaruh waktu

tunda dapat diperluas, dan pemanenan dapat berupa fungsi tidak konstan.

DAFTAR PUSTAKA

Anton H. 1987. Aljabar Linear Elementer. Jakarta (ID): Erlangga.

Bacaer N. 2011. A Short History of Mathematical Population Dynamics.

New York (US): Springer-Verlag.

Beretta E, Kuang Y. 1996. Convergence Results in a Well-Known Delayed

Predator-Prey System. J. Math. Anal. Appl. 204:840-853.

doi:10.1006/jmaa.1996.0471.

Braun M. 1983. Differential Equations and Their Applications. New York

(US): Springer-Verlag.

Garrott RA, White PJ, Watson FGR. 2009. The Ecology of Large Mammals

in Central Yellowstone Sixteen Years of Integrated Field Studies. San

Diego (US): Elsevier.

Kar TK. 2003. Selective Harvesting in a Prey-Predator Fishery with Time

Delay. Mathematical and Computer Modelling. 38:449-458.

doi:10.1016/S0895-7177(03)00232-2.

Martin A, Ruan S. 2001. Predator-Prey Models with Delay and Prey

Harvesting. J. Math. Biol. 43:247-267. doi:10.1007/s002850100095

Murray JD. 2002. Mathematical Biology. I. An Introduction Third Edition.

New York (US): Springer-Verlag.

27

Ruan S. 2009. On Nonlinear Dynamics of Predator-Prey Models with

Discrete Delay. Math. Model. Nat. Phenom. 4:140-188.

doi:10.1051/mmnp/20094207.

Skalski GT, Gilliam JF. 2001. Functional Response with Predator

Interference: Viable Alternatives to the Holling Type II Model. Ecology.

82:3083-3092. doi:10.2307/2679836.

Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos, with Application to

Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusetts (US):

Addison-Wesley Publishing Company.

28

LAMPIRAN

Lampiran 1

Penentuan titik tetap dan batas nilai upaya pemanenan model pertama


dan


(6) diperoleh

[ ]

[ ]

dan [ ]

Jadi, diperoleh titik tetap Nilai diperoleh dari persamaan

[ ] dan [ ]

[ ]

[ ]

Jadi, diperoleh titik tetap (

) dengan didefinisikan


positif, maka dari titik tetap (

) diperoleh

sehingga batasan upaya pemanenan untuk titik tetap sebesar

29

Lampiran 2

Penyederhanaan model pertama dengan metode linearisasi

Tinjau persamaan (6) berikut

[ ( ) ( )]

[ ( ) ]

Persamaan (6) akan dilinearisasikan dengan memisalkan variabel berikut:

dan .

Dengan dan , adalah parameter perturbasi. Tinjau

persamaan pertama dari persamaan (6) berikut

[ ( ) ( )]

Jika variabel dan disubstitusikan ke dalam persamaan pertama, maka

diperoleh

[ ][ [ ] ]

Dengan melakukan pendekatan uraian Taylor satu peubah, maka didapatkan

persamaan sebagai berikut:

dengan dapat diabaikan sehingga persamaan menjadi

30

Persamaan pertama sebelumnya menjadi

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

asumsikan

Karena fungsi tak linear dan karena ( ) ( ) maka berimplikasi pada sehingga

persamaan pertama tersebut menjadi

Karena dan maka

[ ]

[ ]


persamaan kedua dari persamaan (6) berikut

[ ( ) ]

Jika variabel dan disubstitusikan ke dalam persamaan kedua, maka

diperoleh

[ ][[ ] ]

[ ][ ]

31




Persamaan kedua sebelumnya menjadi

[ ] [ ]

[ ] [ ]

asumsikan

Karena fungsi tak linear dan karena ( ) maka berimplikasi pada sehingga persamaan kedua tersebut menjadi

Karena dan maka

32

Lampiran 3

Penentuan matriks Jacobi dan persamaan karakteristik waktu tunda model

pertama


[ ]



[ ]

Jika penyelesaian digunakan, maka diperoleh

dan

sehingga

Dengan disubstitusikan

ke dalam persamaan turunan kedua

di atas, diperoleh

[ ]

33

sehingga didapat matriks Jacobi

(

)


|

|

[ ]

[ ] [ ]

jika dimisalkan

maka diperoleh

34

Lampiran 4

Penentuan tundaan waktu kritis model pertama


Untuk persamaan pertama pada persamaan (13), ubah ke dalam bentuk

Untuk persamaan kedua pada persamaan (13), ubah ke dalam bentuk

Eliminasi kedua ruas menjadi

diperoleh

(

)

35

Lampiran 5

Penjabaran fungsi sign model pertama

(

)

( (

)

)

( (

)

(

)

(

)

)

( (

) (

) (

))

Pada masing-masing suku akan dilakukan manipulasi aljabar agar

mendapatkan bagian real saja untuk digunakan pada fungsi sign

Bagian (

)

karena bagian maka

Bagian (

)

Bagian (

)

karena bagian maka hasilnya nol.

36

Sehingga

(

)

(

)

Dari persamaan (14) diketahui bahwa

maka diperoleh

(

)

(

)

Selanjutnya pada pecahan tersebut hanya akan dikaji

pembilangnya saja karena penyebut dalam bentuk kuadratik berderajat

genap yang akan selalu bernilai positif, sehingga

(

)

37

Lampiran 6

Penjabaran kondisi transversal model pertama

Dari persamaan (16) diketahui

( √ )

sehingga

√


(

)

√

√


(

)


(

)

√

√


(

)

38

Lampiran 7

Penentuan titik tetap dan batas nilai upaya pemanenan model kedua


dan


(7) diperoleh

[ ] [ ]

dan [ ]

Jadi, diperoleh titik tetap Nilai diperoleh dari persamaan

dan [ ]

[ ]

Jadi, diperoleh titik tetap Nilai dan diperoleh dari

persamaan


positif, maka dari titik tetap dengan

diperoleh

sehingga batasan upaya pemanenan untuk titik tetap sebesar

39

Lampiran 8

Penyederhanaan model kedua dengan metode linearisasi


[ ( ) ( )]

[ ( )]

Persamaan (7) akan dilinearisasikan dengan memisalkan variabel berikut:

dan .


persamaan pertama dari persamaan (7) berikut

[ ( ) ( )]

Jika variabel dan disubstitusikan ke dalam persamaan pertama, maka

diperoleh

[ ][ [ ] ]




40

Persamaan pertama sebelumnya menjadi

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

asumsikan

Karena fungsi tak linear dan ( ) ( ) maka berimplikasi pada sehingga

persamaan pertama tersebut menjadi

Karena dan maka

[ ]

[ ]


persamaan kedua dari persamaan (7) berikut

[ ( )]

Jika variabel dan disubstitusikan ke dalam persamaan kedua, maka

diperoleh

[ ][ [ ] ]

41




Persamaan kedua sebelumnya menjadi

[ ] [

] [ ] [ ]

asumsikan

Karena fungsi tak linear dan karena ( ) maka berimplikasi pada

sehingga persamaan kedua tersebut menjadi

karena dan maka

42

Lampiran 9

Penentuan matriks Jacobi dan persamaan karakteristik waktu tunda model

kedua


[ ]



[ ]

Jika penyelesaian digunakan, maka diperoleh

dan

sehingga

Dengan disubstitusikan

ke dalam persamaan turunan kedua

di atas, diperoleh

[ ]

43

sehingga didapat matriks Jacobi

(

)


|

|

[ ]

[ ]

jika dimisalkan

maka diperoleh

44

Lampiran 10

Penentuan tundaan waktu kritis model kedua


Untuk persamaan pertama pada persamaan (22), ubah ke dalam bentuk

Untuk persamaan kedua pada persamaan (22), ubah ke dalam bentuk

Eliminasi kedua ruas menjadi

diperoleh

(

)

45

Lampiran 11

Penjabaran fungsi sign model kedua

(

)

( (

)

)

( (

)

(

)

)

( (

) (

))

Pada masing-masing suku akan dilakukan manipulasi aljabar agar

mendapatkan bagian real saja untuk digunakan pada fungsi sign

Bagian (

)

karena bagian maka

Bagian (

)

karena bagian maka hasilnya nol.

Sehingga

(

)

(

)

Selanjutnya pada pecahan tersebut hanya akan dikaji

pembilangnya saja karena penyebut dalam bentuk kuadratik berderajat

genap yang akan selalu bernilai positif, sehingga

(

)

46

Lampiran 12

Penjabaran kondisi transversal model kedua

Dari persamaan (24) diketahui

( √ )

sehingga

√


(

)

( √ )

(√ )


(

)


(

)

( √ )

( √ )


(

)

47

Lampiran 13

Program plot bidang fase kedua model tanpa waktu tunda (Gambar 1)

f[x_]:=r*(1-x/k);h[x_]:=1/(b+x);k=40;r=2;b=10;

Manipulate[Module[{plt1,plt2,sol,x0=xx0,y0=yy0},sol

=NDSolve[{x'[t]==x[t]*(f[x[t-]]-y[t]*h[x[t]])-

H,y'[t]*y[t]*(x[t]*h[x[t]]-

j*h[j]),x[t/;t0]==x0,y[t/;t0]==y0},{x[t],y[t]},{t,0,50}];

plt1=ParametricPlot[{x[t],y[t]}/.sol,{t,0,50},PlotR

angeAll, AspectRatio0.6,

PlotStyle{RGBColor[1,0,1], Thick}, AxesLabel{x,

y}];

start = Graphics[Locator[Dynamic[{xx0, yy0}],

BackgroundYellow, LocatorRegionAutomatic],

PlotRangeAll];

plt2={plt1, start};

Show[plt2,ImageSize {450,400}]],

Style["Persamaan differensial :",Bold],

Style[" = x(f[x]-yh[x])-H ",Bold],

Style[" = y(xh[x]-jh[j]) ",Bold], Delimiter,

Style["parameters",Bold,10],

{{,3,""},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"La

beled"},

{{H,10,"H"},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"

Labeled"},

{{j,20,"j"},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"

Labeled"},


beled"},

Delimiter,

Style["initial

conditions",Bold,10],{{xx0,20,"x0"},0,50,.01,ImageS

izeSmall,Appearance"Labeled"},{{yy0,16,"y0"},0,5

0,.01,ImageSizeSmall,Appearance"Labeled"},

ControlPlacement

Left,SynchronousUpdatingFalse]

x

y

48

Lampiran 14

Program plot bidang solusi mangsa kedua model tanpa waktu tunda

(Gambar 2)

f[x_]:=r*(1-x/k);h[x_]:=1/(b+x);k=40;r=2;b=10;

Manipulate[Module[{plt1,sol,x0=xx0,y0=yy0},sol=NDSo

lve[{x'[t]==x[t]*(f[x[t-]]-y[t]*h[x[t]])-

H,y'[t]*y[t]*(x[t]*h[x[t]]-


plt1=ParametricPlot[{t,x[t]}/.sol,{t,0,80},PlotRang

eAll, AspectRatio0.6,

PlotStyle{RGBColor[1,0,0], Thick},

AxesLabel{“t”,“x”}];







beled"},


Labeled"},


Labeled"},


beled"},

Delimiter,

Style["initial




ControlPlacement


x

y

49

Lampiran 15

Program plot bidang solusi pemangsa kedua model tanpa waktu tunda

(Gambar 3)

f[x_]:=r*(1-x/k);h[x_]:=1/(b+x);k=40;r=2;b=10;

Manipulate[Module[{plt1,sol,x0=xx0,y0=yy0},sol=NDSo

lve[{x'[t]==x[t]*(f[x[t-]]-y[t]*h[x[t]])-

H,y'[t]*y[t]*(x[t]*h[x[t]]-


plt1=ParametricPlot[{t,y[t]}/.sol,{t,0,80},PlotRang

eAll, AspectRatio0.6,

PlotStyle{RGBColor[0,1,0], Thick},

AxesLabel{“t”,“y”}];







beled"},


Labeled"},


Labeled"},


beled"},

Delimiter,

Style["initial




ControlPlacement


x

y

50

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bekasi pada tanggal 2 April 1993 dari ibunda

Riesa Pri Handayani dan ayahanda Cecep Supriyanto. Pada tahun 2011

penulis lulus dari SMA Negeri 3 Bekasi dan pada tahun yang sama penulis

lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Seleksi

Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Undangan dan

diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam.

Selama menjadi mahasiswa IPB penulis aktif menjadi pengurus

Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) sebagai Sekretaris II Badan

Pengurus Harian (BPH) 2012/2013, sebagai Ketua Biro Kesekretariatan

2013/2014 dan pernah menjadi panitia di berbagai acara yang

diselenggarakan oleh Gumatika. Penulis pernah mengikuti dan mendapatkan

juara I Gumatika Calculus Cup pada tahun 2012.

Penulis juga pernah menjadi asisten praktikum mata kuliah Kalkulus

II (MAT 211) semester genap 2012/2013, Persamaan Diferensial Biasa

(MAT 252) semester ganjil 2013/2014, Pengantar Teori Peluang (MAT 352)

semester genap 2013/2014, Pemrograman Tak Linear (MAT 331) semester

ganjil 2014/2015, Sistem Dinamika Dasar (MAT 451) semester genap

2014/2015, serta menjadi pengajar tutor matakuliah Statistika Matematika

(MAT 354) untuk angkatan 48 dan 49.

Templat tugas akhir S1 - repository.ipb.ac.id · 15 teman-teman satu lulusan: M Reza, Ichsan...

Documents

Transcript of Templat tugas akhir S1 - repository.ipb.ac.id · 15 teman-teman satu lulusan: M Reza, Ichsan...