Teknik Pengintegralan

Kelompok 11Muhammad Taufiq Firdaus

Tirto AtmojoSita Muthmainnah

TEKNIK PENGINTEGRALAN

SUBTITUSIPENGINTEGRALAN

PARSIAL

BENTUK BAKU

SUBTITUSI DALAM

INTEGRAL TAK TENTU

MENGUBAH – UBAH INTEGRAL

SUBTITUSI INTEGRAL

TENTU

PENGGUNAAN DAFTAR

INTEGRAL

SUBTITUSI YANG MERASIONALKAN

Substitusi dalam ‘integral tak tentu’

TeoremaJika u = g(x) yang didefinisikan pada interval

I mempunyai invers x = g –1(u) dan fungsi-fungsi g dan g –1 keduanya mempunyai derivatif yang kontinu pada intervalnya masing-masing, dan f kontinu pada interval di mana g –1 didefinisikan, maka ∫ f{g(x )}g '(x) dx =∫ f(u) du

Tentukan Perhatikan integral tersebut sejenak. Anda akan teringat pada bentuk baku 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢. Andaikan 𝑢 = 𝑥2, 𝑑𝑢 = 2𝑥. Maka:

2 2 2 2

1 1 .2cos ( ) 2 cosx dx xdxx x

2

2

1 sec21 tan21 tanx2

udu

u C

C

Mengubah – ubah ‘integran’sebelum menggunakan sesuatu subtitusi, kerapkali kita perlu menulis integran dalam bentuk yang lebih cocok

Penyelesaian. Suatu integran yang penyebutnya suatu kuadrat kerap kali dapat diubah menjadi bentuk baku setelah melengkapnya menjadi sebuah kuadrat. Ingat bahwa menjadi suatu kuadrat dengan menambahkan (

Tentukan 2

76 25

dxx x

2 2

7 76 25 6 9 16

dx dxx x x x

2 2

1

17 ( 3)( 3) 4

7 3tan ( )4 4

d x dxx

x C

Subtitusi dalam ‘integral tentu’

Tentukan 5

2

2

4t t dt

Penyelesaian. Andaikan = 𝑡2 − 4 , dengan demikian 𝑑𝑢 = 2𝑡 𝑑𝑡. Perhatikan

bahwa u=0 jika t = 2 dan u=21 jika t = 5. Jadi,

5 512 2 2

2 2

14 ( 4) (2 )2

t t dt t tdt

211

2

0

2131

2 2

0

12

1 1 (21)3 3

u du

u

Integral Trigonometri1. sin , cosn nxdx dan xdx

2. sin x cosm n xdx

3. tan , cotn nxdx dan xdx

4. tan sec , cot cscm n m nx xdx dan x xdx

5. sinm cos , sinm cos , cos sinx nxdx x nxdx mx nxdx

Subtitusi yang ‘merasionalkan’

INTEGRAL YANG MEMUAT n ax b apabila dalam integran ada bentuk n ax b , subtitusi nu ax b , dapat merasionalkan integran

Tentukan dxx x

Penyelesaian. Andaikan 𝑢 = √𝑥; maka 𝑢2 = 𝑥 dan 2𝑢 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥. Sehingga:

2 2 2

2 1 12 2 ( 1)1 1

dx u du du d uu u u ux x

2ln 1 2ln 1u C x C

INTEGRAN YANG MENGANDUNG 2 2 2 2 2 2,a x a x dan x a untuk

merasionalkan bentuk akar – akar tersebut kita gunakan masing – masing subtitusi

berikut:

1. 𝑥= 𝑎sin𝑡

2. 𝑥= 𝑎tan𝑡

3. 𝑥= 𝑎sec𝑡

Untuk melihat akibat subtitusi tersebut, perhatikan bahwa:

1. 𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎2 − 𝑎2 𝑠𝑖𝑛2𝑡 = 𝑎2ሺ1− 𝑠𝑖𝑛2𝑡ሻ= 𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝑡; 2. 𝑎2 + 𝑥2 = 𝑎2 + 𝑎2 𝑡𝑎𝑛2𝑡 = 𝑎2ሺ1+ 𝑡𝑎𝑛2𝑡ሻ= 𝑎2𝑠𝑒𝑐2𝑡; 3. 𝑥2 − 𝑎2 = 𝑎2 𝑠𝑒𝑐2𝑡− 𝑎2 = 𝑎2ሺ𝑠𝑒𝑐2𝑡− 1ሻ= 𝑎2𝑡𝑎𝑛2𝑡;

Apabila daerah asal kita batasi sedemikian rupa sehingga subtitusi, maka:

2 2

2 2

2 2

cos cos , ( 2 );2sec sec , ( 2 );2

tan tan , 0 , );2

a x a t a t sebab t

a x a t a t sebab t

x a a t a t sebab t t

Tentukan 2 2a x

Penyelesaian. Kita gunakan subtitusi

sin ,2 2

x a t t

Maka 𝑑𝑥= 𝑎cos𝑡 𝑑𝑡 dan ξ𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎cos𝑡 sehingga

2 2 2 2cos .. cos cosa x dx a t a tdt a

2

2

2

1 cos22

1 sin 22 2

sin cos2

a t dt

a t t C

a t t t C

Lanjutan…. Oleh karena 𝑥= 𝑎sin𝑡kivalen dengan 𝑥 𝑎Τ = sin𝑡 dan oleh karena selang t kita

batasi sehingga memiliki invers, maka:

1sin xta

Juga dengan sebuah kesamaan maka:

21 2 2

2

1cos cos sin 1x xt a xa a a

Lanjutan…Ini dapat pula dilihat pada gambar sehingga

x a

ξ𝑎2 − 𝑥2

𝑥= 𝑎sin𝑡

22 2 1 2 2sin

2 2a x xa x dx a x C

a

MELENGKAPAN MENJADI KUADRAT SEMPURNA. Apabila sebuah bentuk

kuadrat 𝑥2 + 𝐵𝑥+ 𝐶 muncul dibawah akar dalam integran, kita dapat

melengkapannya menjadi kuadrat sebelum kita menggunakan subtitusi geometri.

HATUR NUHUNHAMPURA KASADAYANA

#omainatasko