Kasus-kasus Khusus Stress Analysis pada Silinder

Pada postingan sebelumnya, saya sudah menjelaskan bagaimana stress analysis dilakukan pada sebuah

silinder. Pada postingan tersebut, silinder yang saya analisis adalah silinder yang kedua ujungnya

ditumpu oleh fixed support sehingga regangan arah aksial sama dengan nol. Dengan kata lain, analisis

berubah menjadi plane strain, yakni: strain hanya terjadi pada bidang melintang silinder saja, yaitu radial

strain dan tangential strain.

Berkenaan dengan kondisi ujung-ujung silinder, ada dua kondisi yang bisa terjadi: closed-end dan

open-end. Dalam kasus dimana silinder memiliki ujung-ujung tertutup (closed-end), besarnya axial stress

bisa signifikan sehingga penting untuk dihitung. Dalam kasus silinder closed-end, axial strain bisa nol

dan bisa pula bernilai signifikan, tergantung pada bagaimana kedua ujung silinder ditumpu. Jika tumpuan

pada kedua ujung siilinder tidak memungkinkan terjadinya axial strain, maka axial strain sama dengan

nol. Namun jika tumpuan pada ujung-ujung silinder memungkinkan terjadinya axial strain, maka

besarnya axial strain bisa sangat signifikan dan karenanya penting untuk dihitung.

Namun dalam kasus dimana silinder memiliki ujung-ujung terbuka (open-end), besarnya axial stress

biasanya dianggap nol dan karenanya tidak perlu dihitung. Sebabnya adalah karena ujung silinder

terbuka, sehingga tidak ada resistensi dari material terhadap gaya aksial yang bekerja. Karena axial

stress sama dengan nol, maka axial strain juga sama dengan nol.

Sampai disini kita bisa menyimpulkan bahwa dalam kasus silinder, jika axial stress sama dengan nol

maka axial strain juga sama dengan nol. Namun jika axial strain sama dengan nol maka belum tentu

axial stress juga sama dengan nol, dan bahkan axial stress akan bernilai signifikan jika besarnya tekanan

ke arah aksial juga signifikan.

Berkenaan dengan tebal dinding silinder, ada dua kondisi yang bisa terjadi: silinder dinding tebal

dan silinder dinding tipis. Perlu kita ketahui bahwa silinder dinding tipis hanyalah merupakan kasus

khusus dari silinder dinding tebal. Pada silinder dinding tipis, distribusi stress pada ketebalan dinding

dianggap seragam karena memang nilai maksimal dan minimalnya tidak jauh berbeda akibat tipisnya

dinding. Biasanya, sebuah silinder dianggap sebagai silinder dinding tipis jika hasil bagi diameter oleh

tebal dindingnya sama dengan atau lebih dari kisaran angka 15 – 20.

Berkenaan dengan tekanan yang bekerja secara radial pada dinding-dinding silinder, ada 3

kondisi yang mungkin terjadi. Pertama, ada tekanan yang signifikan dari luar dan dari dalam, misalnya

pada pipa-pipa didalam sebuah ketel (boiler) atau dalam kasus shrink fit. Kedua, tekanan yang signifikan

hanya bekerja pada dinding luar silinder, misalnya pada pipa bawah laut (tekanan dari luar akibat

tekanan hidrostatis air laut). Dalam hal ini, kita cukup memodifikasi persamaan yang ada dengan cara

menge-nol-kan tekanan internal pi. Adapun kondisi ketiga adalah, tekanan yang signifikan hanya bekerja

pada dinding dalam silinder, misalnya pada pressure vessel yang diletakkan di ruang bertekanan

atmosfir. Dalam hal ini, kita juga cukup memodifikasi persamaan yang ada dengan cara menge-nol-kan

tekanan eksternal (po).

Pada shrink fit (dan juga compound cylinder yang dipasang dengan cara shrink fit), area pertemuan

antara shaft (silinder kecil) dan hub (silinder besar) mengakibatkan tekanan eksternal pada shaft dan

tekanan internal pada hub.

Kasus-kasus khusus stress analysis pada silinder juga berkenaan dengan jenis analisis:

apakah analisis elastis ataukah plastis. Analisis elastis dilakukan untuk menghitung besar dan posisi

tegangan maksimal dimana benda masih bisa recovery (elastis), artinya tegangan yang bekerja tidak

boleh melampaui yield point, dan kalau bisa berada dalam jarak yang aman terhadap yield point dengan

menerapkan angka keamanan (SF) yang pas. Sedangkan analisis plastis dilakukan untuk menganalisis

tegangan sedemikian sehingga tegangan yang bekerja berada diantara yield point (dimana material

mulai bersifat plastis) dan tegangan ultimate (dimana seluruh bagian material berubah menjadi plastis).

Analisis elastis-plastis merupakan gabungan antara analisis elastis dan plastis, misalnya diterapkan pada

silinder yang didesain untuk mengalami deformasi plastis pada sebagian volumenya sampai pada radius

tertentu, tetapi bagian yang lainnya dari silinder tersebut tetap plastis. Katakan misalnya pada silinder

dengan radius internal 50 mm dan radius eksternal 100 mm, deformasi plastis didesain terjadi mulai dari

dinding terdalam sampai dengan kedalaman radius 70 mm, sedangkan mulai dari radius 70 mm hingga

dinding terluar harus tetap dalam kondisi elastis.

Stress Analysis pada Silinder

Untuk menganalisa stress pada sebuah silinder, lebih mudah jika kita menggunakan sistem sumbu

silindrikal, dimana kita memiliki 3 sumbu: sumbu radial r, sumbu angular theta, dan sumbu aksial z.

Problem silinder biasanya dimodelkan sebagai plane strain, dimana displacement dan regangan hanya

terjadi pada bidang radial saja (melintang silinder) dan besarnya stress seragam sepanjang sumbu z.

Dengan demikian, distribusi stress hanya dihitung pada bidang radial saja, dan dalam model yang

sederhana merupakan fungsi dari radius r. Tetapi ingat, stress pada arah aksial tidak selalu sama

dengan nol. Stress pada arah aksial akan ditentukan oleh kondisi dari ujung-ujung silinder, apakah ujung

silinder tertutup (closed-end) ataukah terbuka (open end).

Bayangkan kita memiliki sebuah silinder dengan ketebalan dinding t, radius internal ri, radius eksternal

ro, dan panjang L. Masing-masing ujung silinder ditumpu oleh fixed support, sehingga regangan dalam

arah aksial sama dengan nol. Dari dalam silinder bekerja tekanan pada dinding silinder sebesar pi, dan

dari luar silinder bekerja tekanan pada dinding silinder sebesar po. Akibat tekanan tersebut, terjadi

displacement ke arah radial pada dinding silinder. Displacament yang terjadi pada sebuah elemen kecil

dari silinder bisa digambarkan sebagai berikut:

Akibat pembebanan yang ada, terdapat stress pada dinding silinder, yang meliputi 3 komponen yaitu:

radial stress (sigma r), tangential stress (sigma t), dan axial stress (sigma z). Stress yang terjadi pada

sebuah elemen infinitesimal dinding silinder adalah sebagai berikut:

Pertama-tama analisis dilakukan dengan memberlakukan prinsip static equilibrium, yakni: resultan dari

gaya-gaya yang bekerja pada elemen tersebut sama dengan nol. Penerapan prinsip equilibrium ini akan

menghasilkan persamaan equilibrium. Berikutnya, kita terapkan geometric compatibility, berupa: 1)

besarnya strain ke arah radial dan 2) besarnya strain ke arah tangensial. Kemudian setelah itu kita

terapkan constitutive law (sifat material) yang meliputi arah radial, tangensial, dan aksial.

Selanjutnya kita memasukkan besarnya regangan aksial sama dengan nol (kasus plane strain), dan

tegangan aksial yang merupakan fungsi dari Poisson ratio, tegangan radial, dan regangan tangensial. Ini

akan menghasilkan dua persamaan simultan yang menghubungkan tegangan radial dan tangensial

dengan sifat material, regangan radial, dan regangan tangensial.

Dua persamaan simultan  diatas kemudian kita substitusikan kedalam persamaan equilibrium, sehingga

menghasilkan satu persamaan diferensial biasa homogeneous orde 2, dimana u (displacament)

merupakan dependent variable, dan r (radius) merupakan independent variable. General solution dari

persamaan diferensial merupakan fungsi linier u terhadap r, yang mengandung dua konstanta

sembarang.

Untuk bisa mendapatkan nilai dari dua konstanta sembarang tersebut, kita harus menerapkan dua

boundary condition. Boundary condition pertama adalah: besarnya radial stress pada radius ri sama

dengan besarnya tekanan pi, dalam bentuk compressive stress. Dan boundary condition kedua adalah:

besarnya radial stress pada radius ro sama dengan besarnya tekanan po, juga dalam bentuk

compressive stress. Dengan menerapkan kedua boundary condition tersebut, kita mendapatkan nilai

kedua konstanta sembarang, yang kemudian kita substitusikan kedalam general solution. Dengan

demikian, kini kita sudah mendapatkan solusi dalam bentuk u sebagai fungsi dari r.

Fungsi linier u berikut turunannya kemudian kita substitusikan kedalam dua persamaan simultan yang

telah disebutkan diatas, sehingga menghasilkan persamaan tegangan radial dan tegangan tangensial,

yang merupakan fungsi dari tekanan yang bekerja pada dinding silinder, radius internal silinder, dan

radius eksternal silinder. Persamaan ini dikenal sebagai Lame’s Equation.