TE091467 TeknikNumerik Sistem...

Bidang Studi Teknik Sistem PengaturanJurusan Teknik Elektro - FTIInstitut Teknologi Sepuluh Nopember

TE091467 Teknik Numerik Sistem Linear

O U T L I N E

OBJEKTIF1

TEORI2

CONTOH3

SIMPULAN4

LATIHAN5

LatihanSimpulanContohTeori

Mahasiswa mampu:

1. Menghitung hasil operator linear pada R2 untuk unit square

2. Menginterpretasikan efek perkalian matriks yang ekuivalen melalui operasi terurut yang sesuai melalui operator refleksi, ekspansi (kontraksi) dan shear.

OBJEKTIF

Tujuan Pembelajaran

Operator linear pada R2 memiliki banyak aplikasi

dalam berbagai bidang seperti komputer grafis dan

robotika. Efek perkalian dengan matriks dapat

dijelaskan melalui operasi terurut yang sesuai

meliputi operator refleksi, ekspansi (kompresi) dan

shear.

LatihanSimpulanContohTEORIObjektif

Pendahuluan


Operator T: R2 → R2 merupakan matriks standar

=

dcba

A

++

=

=

dycxbyax

yx

dcba

yx

Tdan

dua interpretasi:

T memetakan garis pada garis

T memetakan titik pada titik

Geometri Operator Linear pada R2

Operator Matriks standar Efek pada

Refleksi pada sumbu -y

Refleksi pada sumbu -x

Refleksi pada garis y=x

Rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar θ

−1001

−10

01

0110

−θθθθ

cossinsincos

y

x

(1,1)

y

x

(-1,1)

y

x

(1, -1)y

x

(1, 1)y

x

(1,1)

y

x

(1,1)

y

x

(1,1)

y

θ x

(cos θ - sin θ, sin θ+ cos θ)

LatihanSimpulanContohTEORI

Geometri Operator Linear pada R2

Objektif

kompresi k = 1/2 ekspansi k = 2

Matriks standar T:

y

x

(1,1)y

x

(1/2,1)y

x

(2,1)

Operator T: R2 → R2 merupakan ekspansi (k>0) atau kompresi (0<k<1) dalam arah –x dengan faktor k

unit square

100k

Matriks standar T untuk ekspansi (kompresi) arah –y dengan faktor k :

k001


Ekspansi dan Kompresi

Matriks standar T:

y

x

(1,1)y

x

(x+ky, y)

Operator T: R2 → R2 merupakan shear dalam arah –xdengan faktor k

unit square

10

1 k

Matriks standar T untuk shear arah –y dengan faktor k :

101

k

y

x

(x+ky, y)

k > 0 k < 0


Shear


Hubungan antara Operator dengan Matriks Elementer

Operator Matriks standar Operasi baris (matriks elementer)

Shear arah-x Tambahkan k kali baris 2 pada baris 1

Shear arah-y Tambahkan k kali baris 1 pada baris 2

Refleksi pada garis y=x

Tukarkan baris 1 dengan baris 2

Kompresi (ekspansi) arah-x dan arah-y

Kalikan satu baris dengan faktor k

0110

10

1 k

101

k

100k

k001


Sifat Geometris Operator Linear pada R2

113

12

11

−−−−= kEEEEA

Teorema: jika T: R2 → R2 merupakan perkalian dengan

matriks A dapat dibalik, maka efek geometris dari T adalah

sama dengan suksesi yang sesuai dari operator shear,

kompresi, ekspansi dan refleksi

Matriks A adalah ekuivalen dengan perkalian dari matriks elementer (invers matriks elementer adalah matriks elementer)

LatihanSimpulanCONTOHTeoriObjektif

Dapatkan matriks transformasi dari R2 ke R2 ,

a) shears dengan faktor 2 dalam arah –x dilanjutkan dengan refleksi pada garis y=x

b) refleksi pada garis y=x dilanjutkan dengan shears dengan faktor 2 dalam arah –x

Contoh 1

a) shears diikuti dengan refleksi

Matriks standar untuk shears

dalam arah –x dengan faktor 2

=

1021

1A

Matriks standar untuk refleksi

pada garis y=x

=

0110

2A

=

=

2110

1021

0110

12 AA

b) refleksi diikuti dengan shears

=

=

0112

0110

1021

21AA


Contoh 1

y

x

(1,1)

y

x

(1,1)

y

x

(3, 1)

y

x

(1,1)

y

x

(3, 1)

y

x

(1, 3)


Contoh 1

LatihanSimpulanCONTOHTeori

Contoh 2

Objektif

Jelaskan efek perkalian dengan matriks diagonal A melalui operator ekspansi dan kompresi

=

2

1

00k

kA

=

=

100

001

00 1

22

1 kkk

kA

Perkalian dengan A adalah ekuivalen dengan

1) ekspansi (kompresi) dengan faktor k1 dalam arah–x

2) ekspansi (kompresi) dengan faktor k2 dalam arah–y

Jawab:


Contoh 3

Objektif

Nyatakan matriks A sebagai perkalian matriks elementer, kemudian gambarkan efek geometri dari perkalian dengan matriks A tersebut.

=

1342

A


Contoh 3

Objektif

Matriks A direduksi menjadi matriks I sebagai berikut:

1342

1321

−50

21

1021

1001

b1/2 -3b1+b2 -b2/5 -2b2+b1

1002

1

− 13

01

− 5

1001

−1021

matriks elementer

1002

1301

−50

01

1021

invers matriks elementer


Contoh 3

Objektif

Invers matriks elementer

=−

10021

1E

=−

13011

2E

−

=

−

=−

5001

1001

50011

3E

=−

10211

4E

operator linear

1) shear faktor 2 arah-x

2) ekspansi faktor 5 arah-y

3) refleksi sumbu-x

4) shear faktor 3 arah-y

5) ekspansi faktor 2 arah-x

14

13

12

11

−−−−= EEEEA

1. Geometri operator linear dapat diinterpretasikan

sebagai pemetaan garis pada garis dan titik ke titik

LatihanSIMPULANContohTeori

Geometri Operator Linear

Objektif

2. Efek perkalian dengan matriks dapat dinyatakan

melalui beberapa operasi terurut yang tepat dalam

operasi refleksi, ekspansi (kompresi) dan shear.

LATIHANContohTeori

Latihan 1

Objektif

Dapatkan matriks transformasi dari R2 ke R2 ,

a) refleksi pada sumbu –x dilanjutkan dengan shear dengan faktor 3 dalam arah-y

b) Kompresi dengan faktor ½ dalam arah –x diikuti dengan ekspansi dengan faktor 5 dalam arah –y

SIMPULAN

LATIHANSimpulanContohTeori

Latihan 2

Objektif

Nyatakan matriks A sebagai perkalian matriks elementer, kemudian gambarkan efek geometri dari perkalian dengan matriks A tersebut.

−=

6431

A

LatihanSimpulanContohTeoriObjektif

TE091467 TeknikNumerik Sistem...

Documents

Transcript of TE091467 TeknikNumerik Sistem...