TA3111-HubunganTegangan-Regangan

TA3111 – Mekanika BatuanHubungan Tegangan-Regangan

Ridho K. WattimenaLaboratorium GeomekanikaFakultas Teknik Pertambangan dan PerminyakanInstitut Teknologi Bandung

Pendahuluan

Cara untuk menghubungkan tegangan dan regangandalam sebuah material yang dibebani digambarkansecara kualitatif oleh perilaku konstitutif(constitutive behaviour) batuan tersebut.

Sejumlah model-model konstitutif telah dikembangkanuntuk material rekayasa, yang menggambarkan baikrespons time-independent maupun time-dependent material terhadap pembebanan yang dialaminya.

Dalam setiap model konstitutif, tegangan dan regangan, atau beberapa kuantitas derifatif seperti laju tegangandan laju regangan dihubungkan melalui satu set persamaan-persamaan konstitutif.

Pendahuluan …

Elastisitas (Elasticity) mewakili perilaku konstitutifyang paling umum untuk material rekayasa, termasukbanyak batuan, dan membentuk dasar yang bergunauntuk penjelasan perilaku yang lebih kompleks.

Hubungan Tegangan-Regangan

Ingat lagi matriks tegangan dan matriks regangan:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zyzzx

yzyxy

zxxyx

dan εγγγεγγγε

ττττττ

zyzzx

yzyxy

zxxyx

σσ

σ

Apakah ada cara tertentu untuk menghubungkan keduamatriks tersebut?

Hal ini akan menguntungkan untuk rekayasa, karenakita akan dapat memperediksi regangan (danperpindahan) akibat tegangan, ataupun sebaliknya.

Hubungan Tegangan-Regangan …

Hubungan paling umum untuk perilaku konstitutif linier elastik adalah bentuk umum dari Hukum Hooke, yaitu bahwa setiap komponen tensor reganganmerupakan kombinasi linier semua komponen tensor tegangan:εx = S11σx + S12σy + S13σz + S14τxy + S15τyx + S16τzx

εy = S21σx + S22σy + S23σz + S24τxy + S25τyx + S26τzx

εz = S31σx + S32σy + S33σz + S34τxy + S35τyx + S36τzx

γxy = S41σx + S42σy + S43σz + S44τxy + S45τyx + S46τzx

γyz = S51σx + S52σy + S53σz + S54τxy + S55τyx + S56τzx

γzx = S61σx + S62σy + S63σz + S64τxy + S65τyx + S66τzx


Dalam bentuk matriks:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

zx

yz

xy

z

y

x

σσσ

τττ

γγγεεε

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

zx

yz

xy

z

y

x

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

Atau

{ε} = [S] {σ}


Matriks [S] dikenal sebagai compliance matrix danmeskipun terlihat bahwa terdapat 36 elemen dalammatriks [S], reciprocal theorem seperti yang diusulkanoleh Maxwell (1864) dapat digunakan untukmenunjukkan bahwa compliance matriks bersifatsimetris dan hanya terdapat 21 elemen bebas.

Untuk material rekayasa, akan terdapat elemen non-zero pada diagonal karena tegangan-tegangan normal pasti menghasilkan regangan-regangan normal dantegangan-tegangan geser pasti menghasilkanregangan-regangan geser.


Sifat isotropis material secara lansung ditentukan olehelemen-elemen off-diagonal, apakah sebuah regangannormal atau geser akan dihasilkan oleh sebuahtegangan geser atau normal.



Dalam beberapa kasus, akan lebih memudahkan untukmenyatakan {ε} = [S]{σ} sebagai:

{σ} = [D]{ε}

Matriks [D] dikenal sebagai elasticity matrix atauelastic stiffness.

Material Elastik Isotrop

Untuk material elastik isotrop, hubungan {ε} = [S]{σ} dapat dinyatakan sebagai:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

zx

yz

xy

z

y

x

σσσ

τττ

νν

ννν

νννν

γγγεεε

)2(1000000)2(1000000)2(10000001--000-1-000--1

E1

zx

yz

xy

z

y

x

Material Elastik Isotrop …

Yang menunjukkan bentuk umum Hukum Hooke untukmaterial elastik isotrop:

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]yxz

zxy

zyx

σσσ

σσσ

σσσ

+−=

+−=

+−=

νε

νε

νε

E1E1E1

z

y

x

zx

yz

xy

τγ

τγ

τγ

G1G1G1

zx

yz

xy

=

=

=

)2(1EG

ν+=


E = Modulus Young (Young’s modulus)

G = Modulus kekakuan (modulus of rigidity) atau

Modulus geser (shear modulus)

ν = Nisbah Poisson (Poisson’s ratio)


Bentuk {σ} = [D]{ε} untuk material elastik isotrop:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

−−

−−

+=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

zx

yz

xy

z

y

x

γγγεεε

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

ννν

τττσσσ

)1(2)21(00000

0)1(2)21(0000

00)1(2)21(000

0001)1()1(

000)1(

1)1(

000)1()1(

1

)2-)(1(1)-E(1

zx

yz

xy

z

y

x


Yang dikenal sebagai persamaan-persamaan Lame:

zz

yy

xx

2G)(

2G)(

2G)(

εεεελσ

εεεελσ

εεεελσ

+++=

+++=

+++=

zyx

zyx

zyx

zxzx

yzyz

xyxy

G

G

G

γτ

γτ

γτ

=

=

=

)2-)(1(1E

)2-(1G 2

ννν

ννλ

+==

λ adalah konstanta Lame:

Material Elastik Isotrop Transverse

Contoh material yang mempunyai sifat elastik isotroptransverse: Material berlapis artificial dan batuan-batuan berlapis seperti serpih (shale).

x

y

z

Material Elastik Isotrop Transverse …

x

y

z Bidang x,y = Bidang isotoropi

E1, ν1 = Sifat elastititas padabidang isotropi

E2, ν2, G2 = Sifat elastisitaspada bidang yang mengandungnormal terhadap bidang isotropi


Hubungan {ε} = [S]{σ}:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

zx

yz

xy

z

y

x

σσσ

τττ

ν

νν

νννν

γγγεεε

2

1

2

1

1

2

122

21

21

1

zx

yz

xy

z

y

x

GE00000

0GE0000

00)2(1000

000EE--

000-1-000--1

E1


Hubungan {σ} = [D]{ε}:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

−−+

−−

++++++

−−+=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

zx

yz

xy

z

y

x

γγγεεε

ννν

ννν

νν

ννννννννννννννν

ννν

τττσσσ

)n21(*)m(100000

0)n21(

*)m(10000

00)n21(*n*5.0000

000)-(1)1(n)1(n000)1(n)n-1n()nn(000)1(n)nn()n-n(1

)n21)((1E

221

1

221

1

221

211212

1222

221

12221

22

2211

2

zx

yz

xy

z

y

x

n = E1/E2

m = G2/E2

Kembali ke Material Elastik Isotrop …

Bentuk {σ} = [D]{ε} untuk material elastik isotrop danpada perhitungan dua dimensi (pada bidang x,y) denganasumsi regangan bidang (plane strain) dengan εz=0, γyz=0, γzx=0:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

xy

y

x

xy

y

x

γεε

νν

νν

νν

ννν

τσσ

)1(2)21(00

01)1(

0)1(

1

)2-)(1(1)-E(1

Pada kasus apa asumsi regangan bidang digunakan?

Kembali ke Material Elastik Isotrop …

Bentuk {σ} = [D]{ε} untuk material elastik isotrop danpada perhitungan dua dimensi (pada bidang x,y) denganasumsi tegangan bidang (plane stress) dengan σz=0, τyz=0, τzx=0:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

xy

y

x

xy

y

x

γεε

νν

ν

ντσσ

2100

0101

-1E

2

Pada kasus apa asumsi tegangan bidang digunakan?

Contoh Penggunaan : FEM

Perpindahan di setiaptitik simpul (ux, uy)

Tegangan di setiapelemen (σx, σy, τxy) atau(σ1, σ3)

Perbandingan kekuatan-kekuatan di setiapelemen

FEM …

Di setiap elemen segitiga{u}6x1 = Vektor perpindahan elemen{r}6x1 = Vektor gaya elemen[B]3x6 = Matriks perpindahan-regangan{ε}3x1 = Vektor regangan elemen[D]3x3 = Matriks elastisitas elemen{σ}3x1 = Vektor tegangan elemen[k]6x6 = Matriks kekakuan elemen

[ ] [ ] [ ][ ]dVBDBkV

T∫=

FEM …

Dalam sistem global (n titik simpul)

{U}2nx1 = Vektor perpindahan global

{R}2nx1 = Vektor gaya global

[K]2nx2n = Matriks kekakuan global

Sistem persamaan global:

[K]{U} = {R}

FEM …

Solusi global:{U} = [K]-1{R}Untuk setiap elemen:{u} dari {U}{ε} = [B]{u}{σ} = [D]{ε}Akhirnya, dapat dilakukananalisis kestabilan berdasarkanperpindahan dan tegangan

TA3111-HubunganTegangan-Regangan

Documents

Transcript of TA3111-HubunganTegangan-Regangan