1

Oleh : Petrus Fendiyanto

2

1. Pengertian Suku Banyak

Suku banyak (polinomial) dalam x berderajat n adalah:

a0 : suku tetap atau konstanta.

a1, a2, , an disebut koefisien suku x, an ≠ 0. . .

• Koefisien x4 adlh 2• Koefisien x3 adlh -7• Koefisien x2 adlh 0• Koefisien x adlh 5• Suku tetap adlh -9

n merupakan derajat dari suku banyak tersebut.

an xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + +a2x2 + a1x1 + a0

2x4 – 7x3 + 5x - 9 Contoh:

Derajat suku banyak = 4

3

2. Penjumlahan dan Pengurangan Suku Banyak

Setiap suku banyak dapat dijumlahan atau dikurangan yaitu dengan menjumlahkan atau mengurangi koefisien-koefisien peubah yang berderajat sama.

a). (2x3 + 6x – 8) + (x3 – x2 – 2x)b). (x4 +3x3 + 2x2 + 5) – (2x3 + x2 – x – 2)

Contoh:

Jawab:

a). (2x3 + 6x – 8) + (x3 – x2 – 2x)= (2+1)x3 – x2 + (6 – 2)x – 8= 3x3 – x2 + 4x - 8

4

3. Perkalian suku banyak

Contoh:

b). (x4 + 3x3 +2x2 + 5) - (2x3 + x2 – x - 2)= x4 + (3-2)x3 + (2-1)x2 + x + (5+2)= x4 + x3 + x2 + x + 7

(i) a (b + c) = ab + ac

2x2 (x4 + 5x) = 2x2 (x4) + 2x2 (5x)= 2x6 + 10x3

(ii) (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

Contoh:

(2x -3) (x4 + 2)= 2x (x4) + 2x(2) -3(x4) – 3(2) = 2x5 + 4x-3x4-6

5

4. Kesamaan Suku Banyak

Dua buah suku banyak dalam x memiliki nilai sama untuk setiap nilai x, maka koefisien suku-suku yang sepangkat adalah sama.

Misalnya:

a4x4 + a3x3 + a2x2 + ax + a0 = b4x4 + b3x3 + b2x2 + bx + b0

Jika

maka

a4 = b4, a3 = b3, a2 = b2, a = b, a0 = b0

Contoh:

(2x -3) (x4 + 2) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f x5 - 3x4 + 4x-6 = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f

Maka:

a=1, b=-3, c=0, d=0, e =-4, dan f =-6

6

5. Nilai Suku Banyak

Menentukan nilai suku banyak f(x) untuk x = k dapat dilakukan dengan 2 cara, yakni:

a). Substitusi.

f(x) = an xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + +a2x2 + a1x+ a0

Untuk x = k, maka:

f(k) = an kn + an-1kn-1 + an-2kn-2 + +a2k2 + a1k+ a0

Contoh:

Hitunglah f(5) untuk 2x3 + 4x2 – 3x + 2

f(5) = 2(5)3 + 4(5)2 – 3(5) + 2= 337

7

b.Cara Skema

Dengan:

x = k

an an-1 an-2 a2 a1 a0

bn(k) bn-1(k) b2(k) b1(k)

bn bn-1 bn-2 b2 b1 b0

+

f(x) = an xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + +a2x2 + a1x+ a0

bn = an

bn-1 = bn(k) + an-1(k)

b0 = b1(k) + a0

Untuk x = k, maka:

8

Contoh:

Hitunglah f(x) = 2x3 + 4x2 – 3x + 2 untuk x = 5.

Jawab:

x = 5

2 4 -3 2

2 14 67 337+

10 70 335

Jadi f(x) = 2x3 + 4x2 – 3x + 2 untuk x = 5 adalah 337.

9

6. Pembagian Suku Banyaka.Cara pembagian bersusun

Hitunglah (3x3 – 7x2 – 11x + 4) : (x – 4)

Jawab:

3x3 – 7x2 – 11x + 4

3x3 – 12x2

5x2 – 11x

5x2 – 20x

9x + 49x + 36

40

x - 4

_

_

_

3x2 + 5x + 9

keterangan:

x – 4 sebagai pembagi

3x2 + 5x + 9 mrpkan hasil bagi

40 mrpkan sisa pembagian

10

b.Cara Horner

Keterangan:

Hitunglah (3x3 – 7x2 – 11x + 4) : (x – 4)

Jawab:

x = 4

3 -7 -11 4

3 5 9 40+

12 20 36

Sisa pembagian adalah f(4) = 40

Koefisien baris ketiga mrpkan koefisien hasil bagi, maka hasil bagi= 3x2 + 5x + 9

11

Contoh:

Hitunglah (2x3 – 4x2 – 5) : (x + 3)

Jawab:

x =-3

2 -4 0 -5

2 -10 30 -95+

-6 30 -90

Hasil baginya 2x2 – 10x + 30 dan sisanya -95

12

6. Teorema SisaHasil pembagian 17 : 5 adalah 3 dengan sisa 2.

Bentuk diatas dapat dinyatakan dengan kesamaan:

17 = 5 × 3 + 2

f(x) = P(x) H(x) + S(x)

Untuk p(x) = x-k, maka:

Sehingga kita dapat menentukan persamaan dasar yang menghubungkan suku banyak f(x) sebagi unsur yang dibagi, P(x) sebagai pembagi, H(x) hasil bagi, dan S(x)sisa pembagian:

17 sebagai bilangan yang dibagi

5 sebagai pembagi

3 sebagai hasil bagi

2 sebagai sisa pembagian

f(x) = (x - k) H(x) + S(x)

13

Jika suku banyak f(x) dibagi x – k, maka sisanya adalahf(k).

Contoh:

Tentukan sisa pembagian dari f(x) = 3x4 -2x3 + x – 7 dibagi dengan x-2

Jadi sisa pembagiannya adalah 27

Jawab:

Tentukan sisa pembagian dari x6 -x3 -1 dibagi oleh x-2

Jawab:

= 55

f(2) = (2)6 – (2)3-1

Jadi sisa pembagiannya adalah 55

f(2) =3(2)4 -2(2)3 + 2 - 7 = 27

14

6. Pembagian dengan ax-b

Dengan menggunakan teorema sisa kita dapat menen-tukan persamaan suku banyak f(x) dibagi dengan ax-b

f(x) = (ax-b) H(x) + S(x)

Contoh:

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian 3x3 + 5x2 -11x+ 8 dibagi oleh 3x-1

Jadi sisa pembagian f(x) dibagi oleh ax-b adalah f(b/a)

= a(x-b/a) H(x) + S(x)

= (x-b/a) aH(x) + S(x)

15

Jawab:

1/3

3 5 -11 8

3 6 -9 5+

1 2 -3

Jadi hasil baginya x2 + 2x -3 dan sisanya 5.

f(x) = (x-1/3) (3x2 +6x -9) + 5

f(x) = (x-1/3) 3 (x2 + 2x -3) + 5

f(x) = (3x-1) (x2 + 2x -3) + 5

16

Tentukan hasil bagi 4x2 + 6x – 2 dibagi oleh 2x-1

1/2

4 6 -2

4 8 2 +

2 4

Jadi hasil baginya 2x + 4 dan sisanya 2.

Jawab:

17

7. Teorema Faktor

Suku banyak f(x) mempunyai faktor (x-k) jika dan hanya jika f(k) = 0

Contoh:

Tunjukkan bahwa x-3 merupakan faktor dari sukubanyak f(x) = x3 – x2 – x - 15

Jawab:

3

1 -1 -1 -15

1 2 5 0+

3 6 15

atau

f(3) = (3)3 – (3)2 – 3 – 15 =0

Jadi (x-3) merupakanfaktor dari f(x)

18

Tentukan akar-akar dari persamaan x3-4x2+ x + 6

Jawab:

Dengan mencoba beberapa bilangan faktor dari 6 adalah±1, ±2, ±3, dan ±6.

Kita temukan sisa pembagian 0 untuk x = -1, maka:

-1

1 -4 1 6

1 -5 6 0+

-1 5 -6

Sehingga bentuk persamaan tersebut menjadi:

(x+1) (x2 -5x + 6) = 0(x+1) (x-2) (x-3) = 0x = 1 atau x = 2 atau x = 3

19

Tentukan akar-akar dari persamaan x3-4x2+ x + 6

Jawab:

Dengan mencoba beberapa bilangan faktor dari 6 adalah±1, ±2, ±3, dan ±6.

Kita temukan sisa pembagian 0 untuk x = -1, maka:

-1

1 -4 1 6

1 -5 6 0+

-1 5 -6

Sehingga bentuk persamaan tersebut menjadi:

(x+1) (x2 -5x + 6) = 0(x+1) (x-2) (x-3) = 0x = 1 atau x = 2 atau x = 3

20

Tentukan sisa pembagian sukubanyak (2x3 + 5x2-7x + 3)dibagi (x2 -4)

Jawab:

1 = a

Untuk:

x=2, maka f(2) = 25 =2a + b

x=-2, maka f(-2) = 21 =-2a + b_

4 = 4a

x2 – 4 = (x+2) (x-2)

dan b = 23

Jadi, sisanya adalah x + 23