1
Oleh : Petrus Fendiyanto
2
1. Pengertian Suku Banyak
Suku banyak (polinomial) dalam x berderajat n adalah:
a0 : suku tetap atau konstanta.
a1, a2, , an disebut koefisien suku x, an ≠ 0. . .
• Koefisien x4 adlh 2• Koefisien x3 adlh -7• Koefisien x2 adlh 0• Koefisien x adlh 5• Suku tetap adlh -9
n merupakan derajat dari suku banyak tersebut.
an xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + +a2x2 + a1x1 + a0
2x4 – 7x3 + 5x - 9 Contoh:
Derajat suku banyak = 4
3
2. Penjumlahan dan Pengurangan Suku Banyak
Setiap suku banyak dapat dijumlahan atau dikurangan yaitu dengan menjumlahkan atau mengurangi koefisien-koefisien peubah yang berderajat sama.
a). (2x3 + 6x – 8) + (x3 – x2 – 2x)b). (x4 +3x3 + 2x2 + 5) – (2x3 + x2 – x – 2)
Contoh:
Jawab:
a). (2x3 + 6x – 8) + (x3 – x2 – 2x)= (2+1)x3 – x2 + (6 – 2)x – 8= 3x3 – x2 + 4x - 8
4
3. Perkalian suku banyak
Contoh:
b). (x4 + 3x3 +2x2 + 5) - (2x3 + x2 – x - 2)= x4 + (3-2)x3 + (2-1)x2 + x + (5+2)= x4 + x3 + x2 + x + 7
(i) a (b + c) = ab + ac
2x2 (x4 + 5x) = 2x2 (x4) + 2x2 (5x)= 2x6 + 10x3
(ii) (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
Contoh:
(2x -3) (x4 + 2)= 2x (x4) + 2x(2) -3(x4) – 3(2) = 2x5 + 4x-3x4-6
5
4. Kesamaan Suku Banyak
Dua buah suku banyak dalam x memiliki nilai sama untuk setiap nilai x, maka koefisien suku-suku yang sepangkat adalah sama.
Misalnya:
a4x4 + a3x3 + a2x2 + ax + a0 = b4x4 + b3x3 + b2x2 + bx + b0
Jika
maka
a4 = b4, a3 = b3, a2 = b2, a = b, a0 = b0
Contoh:
(2x -3) (x4 + 2) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f x5 - 3x4 + 4x-6 = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f
Maka:
a=1, b=-3, c=0, d=0, e =-4, dan f =-6
6
5. Nilai Suku Banyak
Menentukan nilai suku banyak f(x) untuk x = k dapat dilakukan dengan 2 cara, yakni:
a). Substitusi.
f(x) = an xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + +a2x2 + a1x+ a0
Untuk x = k, maka:
f(k) = an kn + an-1kn-1 + an-2kn-2 + +a2k2 + a1k+ a0
Contoh:
Hitunglah f(5) untuk 2x3 + 4x2 – 3x + 2
f(5) = 2(5)3 + 4(5)2 – 3(5) + 2= 337
7
b.Cara Skema
Dengan:
x = k
an an-1 an-2 a2 a1 a0
bn(k) bn-1(k) b2(k) b1(k)
bn bn-1 bn-2 b2 b1 b0
+
f(x) = an xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + +a2x2 + a1x+ a0
bn = an
bn-1 = bn(k) + an-1(k)
b0 = b1(k) + a0
Untuk x = k, maka:
8
Contoh:
Hitunglah f(x) = 2x3 + 4x2 – 3x + 2 untuk x = 5.
Jawab:
x = 5
2 4 -3 2
2 14 67 337+
10 70 335
Jadi f(x) = 2x3 + 4x2 – 3x + 2 untuk x = 5 adalah 337.
9
6. Pembagian Suku Banyaka.Cara pembagian bersusun
Hitunglah (3x3 – 7x2 – 11x + 4) : (x – 4)
Jawab:
3x3 – 7x2 – 11x + 4
3x3 – 12x2
5x2 – 11x
5x2 – 20x
9x + 49x + 36
40
x - 4
_
_
_
3x2 + 5x + 9
keterangan:
x – 4 sebagai pembagi
3x2 + 5x + 9 mrpkan hasil bagi
40 mrpkan sisa pembagian
10
b.Cara Horner
Keterangan:
Hitunglah (3x3 – 7x2 – 11x + 4) : (x – 4)
Jawab:
x = 4
3 -7 -11 4
3 5 9 40+
12 20 36
Sisa pembagian adalah f(4) = 40
Koefisien baris ketiga mrpkan koefisien hasil bagi, maka hasil bagi= 3x2 + 5x + 9
11
Contoh:
Hitunglah (2x3 – 4x2 – 5) : (x + 3)
Jawab:
x =-3
2 -4 0 -5
2 -10 30 -95+
-6 30 -90
Hasil baginya 2x2 – 10x + 30 dan sisanya -95
12
6. Teorema SisaHasil pembagian 17 : 5 adalah 3 dengan sisa 2.
Bentuk diatas dapat dinyatakan dengan kesamaan:
17 = 5 × 3 + 2
f(x) = P(x) H(x) + S(x)
Untuk p(x) = x-k, maka:
Sehingga kita dapat menentukan persamaan dasar yang menghubungkan suku banyak f(x) sebagi unsur yang dibagi, P(x) sebagai pembagi, H(x) hasil bagi, dan S(x)sisa pembagian:
17 sebagai bilangan yang dibagi
5 sebagai pembagi
3 sebagai hasil bagi
2 sebagai sisa pembagian
f(x) = (x - k) H(x) + S(x)
13
Jika suku banyak f(x) dibagi x – k, maka sisanya adalahf(k).
Contoh:
Tentukan sisa pembagian dari f(x) = 3x4 -2x3 + x – 7 dibagi dengan x-2
Jadi sisa pembagiannya adalah 27
Jawab:
Tentukan sisa pembagian dari x6 -x3 -1 dibagi oleh x-2
Jawab:
= 55
f(2) = (2)6 – (2)3-1
Jadi sisa pembagiannya adalah 55
f(2) =3(2)4 -2(2)3 + 2 - 7 = 27
14
6. Pembagian dengan ax-b
Dengan menggunakan teorema sisa kita dapat menen-tukan persamaan suku banyak f(x) dibagi dengan ax-b
f(x) = (ax-b) H(x) + S(x)
Contoh:
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian 3x3 + 5x2 -11x+ 8 dibagi oleh 3x-1
Jadi sisa pembagian f(x) dibagi oleh ax-b adalah f(b/a)
= a(x-b/a) H(x) + S(x)
= (x-b/a) aH(x) + S(x)
15
Jawab:
1/3
3 5 -11 8
3 6 -9 5+
1 2 -3
Jadi hasil baginya x2 + 2x -3 dan sisanya 5.
f(x) = (x-1/3) (3x2 +6x -9) + 5
f(x) = (x-1/3) 3 (x2 + 2x -3) + 5
f(x) = (3x-1) (x2 + 2x -3) + 5
16
Tentukan hasil bagi 4x2 + 6x – 2 dibagi oleh 2x-1
1/2
4 6 -2
4 8 2 +
2 4
Jadi hasil baginya 2x + 4 dan sisanya 2.
Jawab:
17
7. Teorema Faktor
Suku banyak f(x) mempunyai faktor (x-k) jika dan hanya jika f(k) = 0
Contoh:
Tunjukkan bahwa x-3 merupakan faktor dari sukubanyak f(x) = x3 – x2 – x - 15
Jawab:
3
1 -1 -1 -15
1 2 5 0+
3 6 15
atau
f(3) = (3)3 – (3)2 – 3 – 15 =0
Jadi (x-3) merupakanfaktor dari f(x)
18
Tentukan akar-akar dari persamaan x3-4x2+ x + 6
Jawab:
Dengan mencoba beberapa bilangan faktor dari 6 adalah±1, ±2, ±3, dan ±6.
Kita temukan sisa pembagian 0 untuk x = -1, maka:
-1
1 -4 1 6
1 -5 6 0+
-1 5 -6
Sehingga bentuk persamaan tersebut menjadi:
(x+1) (x2 -5x + 6) = 0(x+1) (x-2) (x-3) = 0x = 1 atau x = 2 atau x = 3
19
Tentukan akar-akar dari persamaan x3-4x2+ x + 6
Jawab:
Dengan mencoba beberapa bilangan faktor dari 6 adalah±1, ±2, ±3, dan ±6.
Kita temukan sisa pembagian 0 untuk x = -1, maka:
-1
1 -4 1 6
1 -5 6 0+
-1 5 -6
Sehingga bentuk persamaan tersebut menjadi:
(x+1) (x2 -5x + 6) = 0(x+1) (x-2) (x-3) = 0x = 1 atau x = 2 atau x = 3
20
Tentukan sisa pembagian sukubanyak (2x3 + 5x2-7x + 3)dibagi (x2 -4)
Jawab:
1 = a
Untuk:
x=2, maka f(2) = 25 =2a + b
x=-2, maka f(-2) = 21 =-2a + b_
4 = 4a
x2 – 4 = (x+2) (x-2)
dan b = 23
Jadi, sisanya adalah x + 23
Top Related