Masalah Sturm-Liouville RegularAgus Yodi Gunawan

1 Fungsi Eigen

Bagian ini menjadi dasar untuk penyelesaian persamaan diferensial parsial (PDP) dengan

teknik pemisahan variabel. Suatu fungsi kontinu bagian demi bagian akan dituliskan se-

bagai penjumlahan dari fungsi eigen. Fungsi eigen yang sering dijumpai dalam penyele-

saian PDP dengan teknik pemisahan variabel adalah fungsi sinus dan kosinus yang pada

akhirnya terkait dengan representasi fungsi oleh deret Fourier.

1. Bentuk. Perhatikan bentuk persamaan diferensial biasa linear orde dua berikut:

d

dx

p(x)

dy

dx

+ [q(x) + r(x)]y = 0; a x b; (1.1)

dilengkapi dengan kondisi batas

y(a) + y0(a) = 0; dan y(b) + y0(b) = 0; (1.2)

dimana p(x); q(x); dan r(x) merupakan fungsi real dari x; adalah suatu parameter.

Jika p(x) dan r(x) fungsi kontinu dan positif pada a x b, maka (1.1) dan (1.2)disebut masalah Sturm-Liouville regular (MSL regular). Sedangkan jika p(x) atau

r(x) bernilai nol pada salah satu titik ujung selang atau jika selangnya tak hingga,

(1.1) dan (1.2) disebut masalah Sturm-Liouville singular (MSL singular).

Sekarang perhatikan solusi MSL. Jelas bahwa y = 0 merupakan solusi untuk setiap

. Solusi ini disebut solusi trivial. Sedangkan solusi tak trivial akan ada hanya

untuk tertentu saja. Fungsi yang berkaitan dengan solusi tak trivial ini disebut

fungsi eigen/fungsi karakteristik dan yang bersesuaiannya disebut nilai eigen/nilai

karakteristik.

Teorema 1.1 Untuk MSL regular dengan r(x) > 0, jika p(x); q(x); dan r(x) meru-

pakan fungsi real dan fungsi (solusi) eigennya terdiferensialkan dan kontinu maka

semua nilai eigen adalah real.

Jika setiap nilai eigen berpasangan dengan hanya ada satu fungsi eigen, maka nilai

eigen dikatakan sederhana. Jika lebih dari satu fungsi eigen yang berpasangan

dengan satu nilai eigen, maka MSL dikatakan degenarate.

1 AYG

Teorema 1.2 MSL regular mempunyai tak berhingga banyak nilai eigen sederhana,

yang dapat diurutkan sebagai barisan monoton naik, 0 < 1 < , sehinggalimn!1 n =1.Setiap fungsi eigen yn(x) yang berpasangan dengan nilai eigen n mempunyai tepat

n akar pada selang (a; b).

Contoh: Cari fungsi eigen dan nilai eigen dari MSL

y00 + y = 0; y(0) = 0; y() y0() = 0: (1.3)

Jawab:Dapat ditunjukkan masalah ini adalah MSL regular. Solusi persamaan ini

bergantung pada . Oleh karenanya kita akan tinjau tiga kasus : negatif, positif,

atau sama dengan nol.

Solusi umum persamaan tersebut dapat dituliskan

y(x) =

8>:A cosh(mx) +B sinh(mx); jika < 0;

C +Dx; jika = 0;

E cos(kx) + F sin(kx); jika > 0,

(1.4)

dimana untuk kemudahan kita tuliskan = m2 < 0 pada persamaan pertama dan = k2 > 0 pada persamaan ketiga. Pada pernyataan ini m dan k keduanya positif.

Dari kondisi y(0) = 0 kita peroleh A = C = E = 0. Kondisi batas yang lainnya

memberikan 8>:B[sinh(m)m cosh(m)] = 0;D = 0;

F [sin(k) k cos(k)] = 0:(1.5)

Gambar 1 memperlihatkan fungsi h(x) = sinh(x) x cosh(x). Fungsi ini hanya

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

Gambar 1: Grak h(x) = sinh(x) x cosh(x).

memiliki akar di x 0; 996. Jadi solusi trivial pertama diberikan oleh fungsi eigeny(x) = sinh(mx) dengan m adalah akar dari h(x).

2 AYG

0 1 2 3 4 5 6 7-6

-4

-2

0

2

4

6

Gambar 2: Grak u(x) = sin(x) x cos(x).

Gambar 1 memperlihatkan fungsi u(x) = sin(x) x cos(x). Fungsi ini memilikitak berhingga akar. Jadi solusi trivial kedua diberikan oleh fungsi eigen y(x) =

sin(kx) dengan k adalah akar dari fungsi u(x) (atau x memenuhi tan(k) = k).

2. Keortogonalan fungsi eigen. Misalkan fungsi p(x); q(x), dan r(x) dari MSL

regular merupakan fungsi real kontinu pada selang [a; b]. Jika ym(x) dan yn(x)

masing-masing fungsi eigen terdiferensial secara kontinu yang berkaitan dengan nilai

eigen berbeda m dan n, maka ym(x) dan yn(x) memenuhi kondisi keortogonalan:Z ba

r(x)ym(x)yn(x)dx = 0: (1.6)

Untuk ilustrasi, perhatikan kembali contoh pada (1.3). Karena r(x) = 1; a = 0; b =

; dan yn(x) = sin(knx), kita memmpunyai untuk m 6= nR bar(x)ym(x)yn(x)dx =

R 0sin(kmx) sin(knx)dx

= 12

R 0fcos[(km kn)x] cos[(km + kn)x]gdx

= =

sin(kmx) cos(knx) cos(kmx) sin(knx)2(km kn)

sin(kmx) cos(knx) + cos(kmx) sin(knx)2(km + kn)

= = 0:

Pada perhitungan di atas kita telah menggunakan hubungan tan(km) = km dan

tan(kn) = kn.

3 AYG

Untuk m = n, R bar(x)yn(x)yn(x)dx =

R 0sin(knx) sin(knx)dx

= 12

R 0[1 cos(2knx)]dx

= = 1

2[ cos2(kn)] > 0:

Untuk keperluan tertentu, biasanya kita menuliskan fungsi eigen menjadi

yn(x) =sin(knx)p

[ cos2(kn)]=2; (1.7)

sehingga kondisi keortogonalannya menjadiZ 0

ym(x)yn(x)dx =

(0; m 6= n;1; m = n.

: (1.8)

Proses (1.7) biasa disebut ortonormalisasi fungsi eigen.

2 Perluasan Fungsi Eigen

Di kalkulus kita telah mempelajari bahwa dengan syarat-syarat tertentu sebuah

fungsi f(x) dapat disajikan oleh penjumlahan tak hingga hingga suku-suku berben-

tuk (x x0)n. Pada bagian ini kita akan menunjukkan hal yang serupa untukrepresentasi fungsi kontinu bagian demi bagian oleh penjumlahan tak hingga fungsi

eigen.

Misalkan fungsi f(x) terdenisi pada selang a < x < b dan yn(x) suatu fungsi eigen

dari suatu MSL regular. Misalkan pula fungsi f(x) dapat dituliskan oleh deret

konvergen seragam berikut:

f(x) =1Xn=1

cnyn(x): (2.1)

Koesien cn dapat ditentukan dengan memanfaatkan keortogonalan (1.6); pertama,

kalikan (2.1) oleh r(x)ym(x), dimana m tetap, kemudian integralkan dari a ke b.

Karena yn(x) fungsi kontinu dan deretnya konvergen seragam, maka integral suku

demi suku diijinkan. Kita perolehZ ba

r(x)f(x)ym(x)dx =

Z ba

r(x)

1Xn=1

cnyn(x)

ym(x)dx =

1Xn=1

cn

Z ba

r(x)ym(x)yn(x)dx:

(2.2)

4 AYG

Kondisi keortogonalan menyebabkan semua suku di ruas kanan (2.2) hilang kecuali

untuk n = m. Selanjutnya diperolehZ ba

r(x)f(x)ym(x)dx = cm

Z ba

r(x)y2m(x)dx: (2.3)

atau dengan mengganti m oleh n,

cn =

R bar(x)f(x)yn(x)dxR bar(x)y2n(x)dx

: (2.4)

Deret (2.1) dengan koesien diberikan oleh (2.4) disebut deret Fourier yang dipe-

rumum (generalized Fourier series) untuk fungsi f(x) terhadap fungsi eigen yn(x).

Koesien cn disebut koesien Fourier.

Teorema 2.1 Jika f(x) dan f 0(x) masing-masing fungsi kontinu bagian demi bagian

pada selang a x b, maka f(x) dapat diperluas oleh deret Fourier konvergenseragam (2.1) dengan koesien cn diberikan oleh (2.4). Pada setiap titik x deret

konvergen ke [f(x+) + f(x)]=2.

Contoh: Untuk MSL regular y00 + y = 0; y(0) = 0; y() = 0 fungsi eigennya

diberikan oleh yn(x) = sin(nx). Dapat ditunjukkan fungsi f(x) = x; 0 < x <

mempunyai deret Fourier

f(x) = 21Xn=1

(1)nn

sin(nx):

3 Latihan

1. Cari fungsi eigen dan nilai eigen MSL berikut:

(a) y00 + y = 0; y(0) = 0; y() = 0:

(b) y00 + y = 0; y0(0) = 0; y0() = 0:

(c) y00 + y = 0; y(0) y0(0) = 0; y() y0() = 0:(d) y00 + y = 0; y() = y(); y0() = y0(): (kondisi batas periodik)(e) y00 + y = 0; y(0) + y0(0) = 0; y() + y0() = 0:

2. Perlihatkan keortogonalan dari MSL berikut:

(a) y00 + y = 0; y(0) = 0; y(L) = 0; fungsi eigennya yn(x) = sin(nx=L).

(b) y00 + y = 0; y(0) = 0; y0(L) = 0; fungsi eigennya yn(x) = sin[(2n 1)x=2L).3. Tentukan perluasan fungsi eigen dari f(x) = x dengan fungsi eigennya memenuhi

MSL: (a). y00 + y = 0; y0(0) = 0; y0(L) = 0: (b).y00 + y = 0; y0(0) = 0; y(L) = 0:

Referensi: D.G. Duy, Advanced Engineering Mathematics, CRC, 1998.

5 AYG