METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL · persamaan diferensial Sturm-Liouville fraksional yang...

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL

UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE

FRAKSIONAL

oleh

ASRI SEJATI

M0110009

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2015

i


commit to user

ii


commit to user

ABSTRAK

Asri Sejati, 2015. METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIO-NAL UNTUKMENYELESAIKANMASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIO-NAL. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas SebelasMaret.

Persamaan diferensial Sturm-Liouville fraksional adalah persamaan diferen-sial Sturm-Liouville biasa dengan derivatif berorde dua diubah menjadi derivatifberorde fraksional α. Derivatif fraksional yang digunakan dideskripsikan dalambentuk Caputo. Persamaan diferensial Sturm-Liouville fraksional didefinisikansebagai

Dα[p(x)y′(x)] + q(x)y(x) + λr(x)y(x) = 0, x ∈ (a, b), 0 < α ≤ 1,

dengan p(x) > 0, r(x) > 0, p(x), q(x), dan r(x) kontinu dalam interval [a, b],λ nilai eigen, dan y(x) fungsi eigen. Masalah Sturm-Liouville fraksional adalahpersamaan diferensial Sturm-Liouville fraksional yang memenuhi syarat batas

α1y(a) + β1y′(a) = 0, α2y(b) + β2y

′(b) = 0,

dengan α1, α2, β1, β2 merupakan konstanta riil. Penyelesaian dari masalah Sturm-Liouville fraksional yaitu nilai eigen λ dan fungsi eigen y yang bersesuaian denganλ. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville fraksional adalah metode transformasi diferensial fraksional (MTDF).Metode transformasi diferensial fraksional adalah metode yang didasarkan padaekspansi deret Taylor yang mengkonstruksikan penyelesaian analitik dalam ben-tuk polinomial. Metode ini digunakan untuk menentukan koefisien deret Tay-lor dengan menyelesaikan persamaan rekursif dari persamaan diferensial yangdiberikan.

Dalam penelitian ini, MTDF diterapkan untuk menentukan nilai eigen danfungsi eigen yang merupakan penyelesaian pendekatan masalah Sturm-Liouvillefraksional. Hasil penelitian menunjukkan bahwa MTDF dapat diterapkan denganmudah untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville fraksional.

Dalam penggunaan MTDF, transformasi diferensial fraksional Y (k) dapatditentukan dengan menggunakan sifat-sifat transformasi diferensial fraksional.Selanjutnya, nilai-nilai Y (k) sampai dengan sejumlah N suku sebarang dapatdigunakan untuk memperoleh nilai eigen. Nilai eigen yang diperoleh digunakanuntuk menentukan fungsi eigen y(x) yang merupakan transformasi invers dife-rensial dari Y (k). Fungsi eigen yang diperoleh adalah penyelesaian pendekatanmasalah Sturm-Liouville fraksional

y(x) =n∑

k=0

Y (k)(x− x0)kβ .

Kata kunci: metode transformasi diferensial fraksional, masalah Sturm-Liouvillefraksional, nilai eigen, fungsi eigen

iii


commit to user

ABSTRACT

Asri Sejati, 2015. FRACTIONAL DIFFERENTIAL TRANSFORMMETHODFOR SOLVING FRACTIONAL STURM-LIOUVILLE PROBLEM. Faculty ofMathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.

A fractional Sturm-Liouville differential equation is an ordinary Sturm-Liouville differential equation in which the second order derivative is replacedby a fractional derivative of order α. The fractional derivatives are described inthe Caputo sense. A Fractional Sturm-Liouville differential equation is definedas

Dα[p(x)y′(x)] + q(x)y(x) + λr(x)y(x) = 0, x ∈ (a, b), 0 < α ≤ 1,

where p(x) > 0, r(x) > 0, p(x), q(x), and r(x) are continuous function in the inter-val [a, b], λ is eigen value, and y(x) is eigen function. A fractional Sturm-Liouvilleproblems is fractional Sturm-Liouville differential equation which subject to theboundary conditions

α1y(a) + β1y′(a) = 0, α2y(b) + β2y

′(b) = 0,

with α1, α2, β1, β2 is real constants. The Solution of the fractional Sturm-Liouville problems is the eigen values λ and eigen functions y which correspondingto the eigen values. One of the approximate method that can be used to solvethe fractional Sturm-Liouville problems is the fractional differential transformmethod (FDTM). The FDTM is the method based on the Taylor series expansionwhich costructs an analytical solution in the form of a polynomial. This methodis used to determine the coefficients of the Taylor series by solving recursiveequation from the given differential equation.

In this research, FDTM is applied for computing the eigen values and eigenfunctions that are the approximate solutions of the fractional Sturm-Liouvilleproblems. The results of the research show that FDTM can be applied easily tosolve fractional Sturm-Liouville problems.

In the use of FDTM, the fractional differential transformation Y (k) can bedetermined by using the properties of the fractional differential transform. Fur-thermore, the values of Y (k) up to any arbitrary value of N can be used to obtainthe eigen values. The obtained eigen values are used to determine the eigen fun-ctions y(x) that are the differential inverse transform of Y (k). The obtained eigenfunctions are the approximate solutions of fractional Sturm-Liouville problems

y(x) =n∑

k=0

Y (k)(x− x0)kβ .

Keywords: fractional differential transform method, fractional Sturm-Liouvilleproblem, eigen value, eigen function

iv


commit to user

MOTTO

Kemarin hanyalah sepenggal kisah perjalanan, seburuk apapun itu,

jangan sesali, mari bangkit dan berjuang untuk menyongsong hari

esok yang lebih dan lebih baik lagi.

Bukanlah kesulitan yang membuat kita takut, sebaliknya

ketakutanlah yang membuat kita menjadi sulit, maju dan hadapi.

Saat terjatuh ingatlah bahwa alasan mengapa kita jatuh adalah agar

kita bisa bangkit lagi.

(Penulis)

v


commit to user

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk

Kedua orangtua, kakak, dan adik-adikku tercinta,

terimakasih untuk semangat dan doa yang selalu menyertai.

vi


commit to user

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan

rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skrip-

si ini. Penulis bermaksud menyampaikan rasa terimakasih kepada Bapak Drs.

Sutrima, M.Si. selaku Pembimbing I dan Bapak Irwan Susanto, S.Si., DEA sela-

ku Pembimbing II yang telah dengan sabar memberikan bimbingan dan arahan

dalam penulisan skripsi ini. Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada

teman-teman yang telah memberikan dukungan dan dorongan, serta semua pihak

yang membantu dalam penulisan skripsi ini.

Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak yang me-

merlukan.

Surakarta, Januari 2015

Penulis

vii


commit to user

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

MOTTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II LANDASAN TEORI 6

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Kalkulus Fraksional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2 Integral dan Derivatif Fraksional . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.3 Masalah Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.4 Masalah Sturm-Liouville Fraksional . . . . . . . . . . . . . 14

viii


commit to user

2.1.5 Metode Transformasi Diferensial Fraksional . . . . . . . . 14

2.2 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

IIIMETODE PENELITIAN 18

IVHASIL DAN PEMBAHASAN 19

4.1 Masalah Sturm-Liouville Fraksional . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Metode Transformasi Diferensial Fraksional . . . . . . . . . . . . 20

4.3 Contoh Penerapan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

V PENUTUP 44

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

DAFTAR PUSTAKA 46

ix


commit to user

DAFTAR TABEL

4.1 Pendekatan tiga nilai eigen pertama λ1, λ2, dan λ3 sampai dengan

N = 67 suku pada Contoh 4.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


N = 69 suku pada Contoh 4.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


N = 67 suku pada Contoh 4.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4 Pendekatan dua nilai eigen pertama λ1 dan λ2 sampai dengan N = 101

suku pada Contoh 4.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5 Pendekatan tiga nilai eigen pertama λ1, λ2, dan λ3 dengan α = 12 ,

35 ,

710 ,

45

dan 910 untuk N suku tertentu pada Contoh 4.3.5 . . . . . . . . . . . 42

x


commit to user

DAFTAR GAMBAR

4.1 Grafik pendekatan tiga fungsi eigen yang bersesuaian dengan λ1, λ2,

dan λ3 untuk n = 70 suku pada Contoh 4.3.1 . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Grafik pendekatan tiga fungsi eigen yang bersesuaian dengan λ1, λ2,

dan λ3 untuk n = 50 suku pada Contoh 4.3.2 . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Grafik pendekatan tiga fungsi eigen yang bersesuaian dengan λ1,

λ2, dan λ3 untuk n = 30 suku pada Contoh 4.3.3 . . . . . . . . . . 36

4.4 Grafik pendekatan dua fungsi eigen yang bersesuaian dengan λ1 dan λ2

untuk n = 80 suku pada Contoh 4.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.5 Grafik pendekatan tiga fungsi eigen yang bersesuaian dengan λ1 (a), λ2

(b), dan λ3 (c) untuk n suku tertentu pada Contoh 4.3.5 . . . . . . . 43

xi


commit to user

DAFTAR NOTASI

λ : nilai eigen

r(x) : fungsi bobot

y(x) : fungsi eigen

k : konstanta suku (iterasi)

x0 : batas bawah interval

α : orde derivatif fraksional (0 < α ≤ 1)

Dα : operator diferensial fraksional berorde α

Jα = D−α : operator integral fraksional berorde α

Jαx0y(x) : integral fraksional Riemann-Liouville dari fungsi y(x)

dengan orde α dan batas bawah x0

Dαx0y(x) : derivatif fraksional Riemann-Liouville dari fungsi y(x)


Dα∗x0

y(x) : derivatif fraksional Caputo dari fungsi y(x)


Γ(z) : fungsi Gamma dari z

m : bilangan bulat positif terkecil yang lebih besar dari α

Z+ : himpunan bilangan bulat positif

dydx, y

′(x), D1y(x) : derivatif pertama dari fungsi y(x) (α = 1)

Y (k) : transformasi diferensial fraksional dari fungsi y(x)

q : orde persamaan diferensial fraksional

β : orde pembagi dari α

N : jumlah suku pertama saat nilai eigen diperoleh

n : jumlah suku pertama yang diambil pada penyelesaian y(x)

2 : tanda telah terbukti

xii

METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL · persamaan diferensial Sturm-Liouville fraksional yang...

Documents

Transcript of METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL · persamaan diferensial Sturm-Liouville fraksional yang...