Studi kasus perpindahan panas konduksi 2-Dimensi pada permukaaan datar

Studi Kasus: Penyelesaian Numerik Perpindahan Panas Konduksi 2-D pada Bidang Datar

dengan Menggunakan Program MS Excel dan Engineering Equation Solver (EES) Ali Hasimi Pane1

1Mahasiswa Magister Teknik Mesin USU-Medan, ALP Consultant Owner Telp: 0813 7093 4621, Email: [email protected]

Abstrak

Perpindahan panas konduksi 2-dimensi kondisi tunak, pada sebuah benda/dinding permukaan datar/plat, yang akan diketahui distribusi temperatur yang terjadi pada dinding tersebut dengan jarak tertentu sesuai arah aliran perpindahan panasnya dan kondisi batas yang mempengaruhi dinding tersebut. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan tersebut adalah metode elemen hingga (finite element method/FEM), dengan metode pendekatan ini akan membentuk persamaan-persamaan numerik yang harus diselesaikan dengan cermat dan teliti untuk memperoleh hasil yang akurasi. Untuk mendapatkan hasil yang lebih baik dan akurasi, maka dinding dapat dibagi dalam beberapa bagian elemen, dimana dalam setiap persinggungan garis elemen akan terdapat node pada jarak tertentu. Semakin banyak elemen pada sebuah benda yang dianalisa, persoalan akan menjadi lebih komplek jika diselesaikan secara manual/tangan dalam proses penyelesaian metode numeriknya. Oleh karena itu, dalam tulisan ini penyelesaian metode numerik tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan perangkat lunak komputer, yaitu MS excel dan engineering equation solver (EES software). Keyword: Perpindahan panas konduksi 2-D, kondisi tunak, FEM, MS Excel, EES software

I. Pendahuluan

Dalam beberapa kasus studi perpindahan panas,

seperti: perpindahan panas konduksi 2-dimensi kondisi

tunak pada sebuah permukaan benda yang ingin

diketahui distribusi temperaturnya baik permukaan

datar/plat, silindris maupun permukaan bulat, akan

menjadi hal yang menarik jika diselesaikan atau

dimodelkan dalam metode elemen berhingga (finite

elemen method/FEM). Dimana metode ini adalah sebuah

metode pendekatan matematik, dengan membagi elemen

dalam beberapa elemen/node, sebagai catatan semakin

banyak pembagian elemen/node pada benda yang akan

dianalisa, maka akan diperoleh hasil yang lebih baik dan

akurasi.

Dalam tulisan ini, akan diselesaikan satu contoh

sederhana untuk perpindahan panas konduksi 2-dimensi

kondisi tunak (gambar 6), dimana bentuk persamaan

numerik yang dihasilkan akan diselesaikan dengan

menggunakan perangkat lunak komputer yaitu MS excel

dan EES software.

II. Studi Literatur

Persamaan umum untuk perpindahan panas konduksi

2-D yang tidak terdapat sumber panas dari dalam,

sementara nilai konduktivitas thermalnya konstan adalah

berlaku persamaan Laplace:

02

2

2

2

yT

xT …1

2.1 Kasus Metode Elemen Hingga Perpindahan Panas Konduksi 2-D untuk Node bagian Dalam

Perhatikan gambar 1,

Gambar 1. Mekanisme metode elemen hingga untuk

node bagian dalam

Ali Hasimi Pane [email protected] Telp: 0813 7093 4621 2

Pada arah x:

2,1,,1

,1,,,1

,2/1,2/1

,2

2

)(

2

x

TTT

xx

TT

x

TT

x

xT

xT

xT

nmnmnm

nmnmnmnm

nmnm

nm

…2

Dengan cara yang sama pada arah y, diperoleh:

21,,1,

,2

2

)(

2

y

TTT

yT nmnmnm

nm

…3

Dengan mengasumsikan bahwa x = y, dan subsitusi-

kan persamaan 2 dan 3 ke persamaan 1, maka diperoleh:

04 ,1,1,,1,1 nmnmnmnmnm TTTTT …4 Jika terdapat sumber pembangkit energi kalor dari dalam,

maka persamaan 4 menjadi:

04)(,

2

1,1,,1,1

nmnmnmnmnm TkxqTTTT

…5 2.2 Kasus Metode Elemen Hingga Perpindahan Panas

Konduksi 2-D untuk Sudut Node bagian Dalam dengan batas Konveksi

Untuk sudut node bagian dalam berbatasan dengan aliran

perpindahan panas konveksi, seperti gambar 2, maka

persamaan untuk kasus ini:

032

2)()(2

,

1,,11,,1

nm

nmnmnmnm

Tk

xh

Tk

xhTTTT

…6

2.3 Kasus Metode Elemen Hingga Perpindahan Panas Konduksi 2-D untuk Sudut Node bagian Luar dengan batas Konveksi

Untuk sudut node bagian luar berbatasan dengan aliran



0122)( ,,11,

nmnmnm Tk

xhTk

xhTT …7


sudut node bagian dalam dengan batas konveksi


sudut node bagian luar dengan batas konveksi

2.4 Kasus Metode Elemen Hingga Perpindahan Panas Konduksi 2-D untuk Node pada permukaan dengan batas konveksi

Untuk node pada permukaan berbatasan dengan aliran



8...022

2)2(

,

1,1,,1

nm

nmnmnm

Tk

xh

Tk

xhTTT

2.5 Kasus Metode Elemen Hingga Perpindahan Panas Konduksi 2-D untuk Node dengan batas di-Isolasi

Untuk node pada permukaan berbatasan dengan isolasi,

seperti gambar 5, maka persamaan untuk kasus ini:

042 ,,11,1,1, nmnmnmnmnm TTTTT …9



node pada permukaan dengan batas konveksi

Gambar 5. Mekanisme metode elemen hingga untuk node dengan batas isolasi 2.6 Kasus Metode Elemen Hingga Perpindahan

Panas Konduksi 2-D untuk Node pada permukaan dengan batas Fluks Kalor

Untuk node pada permukaan berbatasan dengan fluks

kalor merata (uniform), seperti gambar 4, maka


04"2)2( ,1,1,,1

nmnmnmnm Tk

xqTTT …10

Gambar 5. Mekanisme metode elemen hingga untuk node pada permukaan dengan batas fluks kalor merata

Persamaan 4,6,7,8, 9dan 10 adalah dimana untuk semua

kasus nilai konduktivitas thermal (k) diasumsikan

konstan pada setiap jarak x dan y. Dan bila harga k

terdapat perbedaan dikarenakan material yang berbeda,

dan ada pembangkit kalor maupun fluks kalor yang

mempengaruhi maka dalam proses penyelesaian harus

dengan cara menyelesaikan persamaan 1. Catatan dengan

semakin banyak pembagian meshing x dan y maka

akan memperoleh hasil yang lebih akurasi.

III. Metodologi

Dalam tulisan ini, persoalan adalah merupakan kajian

lieratur (gambar 6), dimana distribusi temperatur terjadi

pada bidang datar (plat) pada kondisi simetri adibatik

yang salah satu permukaannya diisolasi dan permukaan

lainnya mengalami konveksi bebas.

Metode penyelesaian dari persoalan gambar 6 adalah:

Pertama yaitu menentukan persamaan numeriknya sesuai

pada kondisi batas yang mempengaruhi setiap node.

Kedua susunan dari persamaan numerik akan

diselesaikan dengan program excel yaitu dengan invers

matrik dan iteration setting. Ketiga penyelesaian dari

persamaan numerik akan digunakan EES software.

IV. Hasil dan Pembahasan

Node 1:

012

20012

131

yTTxk

xTyk …11

Dimana nilai k = konstan, jadi kalikan persamaan

tersebut dengan 2/k, maka:

(200 – T1) + (T3 – T1) = 0 atau -2T1 + T3 = -200 …11.a

Node 2 dengan menggunakan persamaan 7 diperoleh:

-5,333. T2 + T7 = -300 …12



T1 – 4T3 + 2T4 +T8 = 0 …13

Node 4, 5, dan 6 dengan menggunakan persamaan 4

diperoleh:

T3 – 4T4 + T5 + T9 = -200 …14

T4 – 4T5 + T6 + T10 = -200 …15

T5 – 4T6 + T7 + T11 = -200 …16


(T2 + 2T6 + T12) – 10,667. T7 = -200 …17


T3 – 4T8 + 2T9 +T13 = 0 …18 Node 9, 10, dan 11 dengan menggunakan persamaan 4

diperoleh:

T4 +T8 – 4T9 + T10 + T14 = 0 …19

T5 +T9 – 4T10 + T11 + T15 = 0 …20

T6 +T10 – 4T11 + T12 + T16 = 0 …21


(T7 + 2T11 + T17) – 10,667. T12 = -200 …22

Untuk node 13, 14, 15, 16, dan 17 adalah merupakan

bidang simetrik adiabatik, maka:


2T8 – 4T13 + 2T14 = 0 …23

Node 14, 15, dan 16 dengan menggunakan persamaan 4

diperoleh:

2T9 +T13 – 4T14 + T15 = 0 …24

2T10 +T14 – 4T15 + T16 = 0 …25

2T11 +T15 – 4T16 + T17 = 0 …26


(2T16 + 2T12) – 10,667. T17 = -200 …27

Dengan menyusun kembali persamaan 11 sampai 27

maka akan membentuk persamaan matrik 17 x 17. Oleh

karena itu, persamaan matrik tersebut dapat diselesaikan

dengan bantuan MS excel atau EES software.

Gambar 6. Mekanisme kasus perpindahan panas konduksi 2-D bidang datar


Maka persamaan beda hingga dari semua node (node 1 sampai dengan node 17) adalah:

-2T1 + 0T2 + T3 + 0T4 + 0T5 + 0T6 + 0T7 + 0T8 + 0T9 + 0T10 + 0T11 + 0T12 + 0T13 + 0T14 + 0T15 + 0T16 + 0T17 = -200 …11

0T1 – 5,333T2 + 0T3 + 0T4 + 0T5 + 0T6 + T7 + 0T8 + 0T9 + 0T10 + 0T11 + 0T12 + 0T13 + 0T14 + 0T15 + 0T16 + 0T17 = -300 …12

T1 – 0T2 – 4T3 + 2T4 + 0T5 + 0T6 + 0T7 + T8 + 0T9 + 0T10 + 0T11 + 0T12 + 0T13 + 0T14 + 0T15 + 0T16 + 0T17 = 0 …13

0T1 + 0T2 + T3 – 4T4 + T5 + 0T6 + 0T7 + 0T8 + T9 + 0T10 + 0T11 + 0T12 + 0T13 + 0T14 + 0T15 + 0T16 + 0T17 = -200 …14

0T1 + 0T2 + 0T3 + T4 – 4T5 + T6 + 0T7 + 0T8 + 0T9 + T10 + 0T11 + 0T12 + 0T13 + 0T14 + 0T15 + 0T16 + 0T17 = -200 …15

0T1 + 0T2 + 0T3 + 0T4 + T5 – 4T6 + T7 + 0T8 + 0T9 + 0T10 + T11 + 0T12 + 0T13 + 0T14 + 0T15 + 0T16 + 0T17 = -200 …16

0T1 + T2 + 0T3 + 0T4 + 0T5 + 2T6 – 10,667. T7 + 0T8 + 0T9 + 0T10 + 0T11 + T12 + 0T13 + 0T14 + 0T15 + 0T16 + 0T17 = -200 …17

0T1 + 0T2 + T3 + 0T4 + 0T5 + 0T6 + 0T7 – 4T8 + 2T9 + 0T10 + 0T11 + 0T12 + T13 + 0T14 + 0T15 + 0T16 + 0T17 = 0 …18

0T1 + 0T2 + 0T3 + T4 + 0T5 + 0T6 + 0T7 + T8 – 4T9 + T10 + 0T11 + 0T12 + 0T13 + T14 + 0T15 + 0T16 + 0T17 = 0 …19

0T1 + 0T2 + 0T3 + 0T4 + T5 + 0T6 + 0T7 + 0T8 + T9 – 4T10 + T11 + 0T12 + 0T13 + 0T14 + T15 + 0T16 + 0T17 = 0 …20

0T1 + 0T2 + 0T3 + 0T4 + 0T5 + T6 + 0T7 + 0T8 +0T9 + T10 – 4T11 + T12 + 0T13 + 0T14 + 0T15 + T16 + 0T17 = 0 …21

0T1 + 0T2 + 0T3 + 0T4 + 0T5 + 0T6 + T7 + 0T8 + 0T9 + 0T10 + 2T11 – 10,667. T12 + 0T13 + 0T14 + 0T15 + 0T16 + T17 = -200 …22

0T1 + 0T2 + 0T3 + 0T4 + 0T5 + 0T6 + 0T7 + 2T8 + 0T9 + 0T10 + 0T11 + 0T12 – 4T13 + 2T14 + 0T15 + 0T16 + 0T17 = 0 …23

0T1 + 0T2 + 0T3 + 0T4 + 0T5 + 0T6 + 0T7 + 0T8 + 2T9 + 0T10 + 0T11 + 0T12 + T13 – 4T14 + T15 + 0T16 + 0T17 = 0 …24

0T1 + 0T2 + 0T3 + 0T4 + 0T5 + 0T6 + 0T7 + 0T8 + 0T9 + 2T10 + 0T11 + 0T12 + 0T13 + T14 – 4T15 + T16 + 0T17 = 0 …25

0T1 + 0T2 + 0T3 + 0T4 + 0T5 + 0T6 + 0T7 + 0T8 + 0T9 + 0T10 + 2T11 + 0T12 + 0T13 + 0T14 + T15 – 4T16 + T17 = 0 …26

0T1+ 0T2 + 0T3 + 0T4 + 0T5 + 0T6 + 0T7 + 0T8 + 0T9 + 0T10 + 0T11 + 2T12 + 0T13 + 0T14 + 0T15 + 2T16 – 10,667. T17 = -200 …27

Dalam proses penyelesaian persamaan matrik diatas dapat dilakukan dengan metode inverse matrik.

[A] {T} = {C} …28

atau

{T} = [A]-1 {C} …29


Proses penyelesaian persamaan dengan program MS. excel

Gambar 7. Bentuk persamaan matrik dalam worksheet excel

6


Hasil inverse matrik A:

Gambar 8. Hasil perhitungan invers matrik A pada worksheet excel

7


Hasil perhitungan temperatur dari persamaan 29:

Gambar 9. Hasil perhitungan distribusi temperatur menggunakan worksheet excel

Penyelesaian dengan EES software.

Gambar 10. Penulisan bentuk persamaan numeri dalam EES software


Gambar 11. Hasil perhitungan distribusi temperatur menggunakan program EES software.

Gambar 12. Permodelan untuk proses iterasi pada worksheet Ms Excel


Gambar 13. Cell worksheet Ms Excel setelah dituliskan persamaan numerik

Gambar 14. Hasil distribusi temperatur dimana proses iterasi diatur dengan maximum iterations 100 dan maximum

change 0,000001.

Tabel 1. Perbandingan hasil perhitungan distribusi temperatur


Dari hasil perhitungan distribusi temperatur dengan

metode FEM yang diselesaikan baik dengan

menggunakan program MS excel maupun EES software,

adalah tidak menunjukkan hasil yang jauh berbeda. Jadi

pada dasarnya penyelesaian persoalan perpindahan panas

konduksi 2-D yang akan ditentukan distribusi temperatur

benda tersebut adalah perlu diperhatikan ketelitian dalam

menentukan persamaan numerik pada setiap node dan

faktor-faktor yang mempengaruhinya. Hasil akhir

perhitungan distribusi temperatur yang menggunakan

program MS excel dan EES software dapat dilihat pada

tabel 1.

V. Kesimpulan

Analisa perpindahan panas konduksi 2-D, untuk

menentukan distribusi temperatur, dengan menggunakan

metode elemen berhingga (finite element method/FEM)

adalah akan menghasilkan persamaan-pesamaan numerik

yang jumlahnaya bergantung pada banyaknya pembagian

elemen diskritasi dan jumlah node pada benda yang akan

dianalisa. Apabila jumlah dari elemen maupun node yang

dilakukan banyak dan apabila proses penyelesaiannya

dilakukan secara manual/tangan, akan menjadi

permasalahan yang komplek dalam tingkat ketelitian dan

keakurasian hasil akhirnya. Oleh karena itu, program MS

excel dapat digunakan (metode invers matrik dan

iteration setting) dan EES software. Dan jika dilihat pada

studi kasus yang dibahas dalam tulisan ini adalah

menunjukkan hasil akhir yang identik sama atau tingkat

errornya lebih kecil dari pada 1%.

VI. Referensi

[1]. Yunus A. Cengel, Heat transfer: A Practical

Approach, Second Edition, Chapter 5, McGraw-Hill

Companies, Inc.

[2]. Theodore L. Bergman, Adrienne S. Lavine, Frank P.

Incropera, David P. Dewitt, Introduction to Heat

Transfer, Sixth Edition, Chapter 4, John Wiley & Sons,

Inc, 2011.

[3]. Frank Kreith, Raj M. Manglik, Mark S. Bohn,

Principles of Heat Transfer, Seventh Edition, Chapter 2,

2011.

[4]. Ronald S. Besser, Spreadsheet solutions to two-

dimensional heat transfer problems, Chemical

Engineering Education, 2002.

[5]. EES manual handbook by F-Chart software

Biography

Ali Hasimi Pane,

Mahasiswa magister (S2)

Fakultas Teknik, Jurusan teknik

mesin USU–Medan, dengan

konsentrasi studi konversi

energi.

Sarjana Teknik (S1) selesai pada tahun 2004 dari Institut

Teknologi Medan (ITM), konsentrasi studi konversi

energi.


Lampiran:

Prosedur penulisan persamaan pada proses penyelesaian

iterasi:

(h.x . T_k = (B4*B2*B5)/B3

(h.xk)+2 = (B4*B2/B3)+2

T_1 = (F31+G30)/2

T_2 = (I30+J31+G2)/G3

T_3 = ((2*G31)+F30+F32)/4

T_4 = (F31+H31+G32+G30)/4

T_5 = (G31+I31+H32+H30)/4

T_6 = (H31+J31+I32+I30)/4

T_7 = (J30+(2*I31)+J32+(2*G2))/(2*G3)

T_8 = (F31+F33+(2*G32))/4

T_9 = (F32+H32+G33+G31)/4

T_10 = (G32+I32+H33+H31)/4

T_11 = (H32+J32+I33+I31)/4

T_12 = (J31+(2*I32)+J33+(2*G2))/(2*G3)

T_13 = (F32+F34+(2*G33))/4

T_14 = (F33+H33+G34+G32)/4

T_15 = (G33+I33+H34+H32)/4

T_16 = (H33+J33+I34+I32)/4

T_17 = (J32+(2*I33)+J34+(2*G2))/(2*G3)

Gambar 15. Grafikal plot distribusi temperatur pada benda studi kasus menggunakan data program Ms excel dari

iteration setting.

Series1

Series2

Series3

Series4

1 2 3 4 5

150-200100-15050-1000-50

Studi kasus perpindahan panas konduksi 2-Dimensi pada permukaaan datar

Education

Transcript of Studi kasus perpindahan panas konduksi 2-Dimensi pada permukaaan datar