BAB I

Pemetaan dan Macamnya

Definisi.

Diberikan V himpunan sebarang objek-objek dengan dua operasi yang

didefinisikan sebagai penjumlahan dan perkalian oleh scalar (bilangan riil).

Penjumlahan adalah aturan yang menghubungkan tiap pasangan u,v ∈ V dengan

elemen u+v, disebut jumlah u dan v, sedangkan perkalian scalar adalah aturan

untuk menghubungkan tiap scalar k dan u∈V dengan elemen ku.

Jika aksioma berikut dipenuhi oleh u, v, w ∈ V dan semua scalar-skalar k dan l,

maka V disebut ruang vektor dan objek-objek dalam V disebut vektor.

1. u+v ∈ V

2. u + v = v + u

3. u + (v + w) = (u + v ) + w

4. terdapat 0 ∈ V, sehingga untuk setiap u∈ V, berlaku 0 + u = u + 0 = u

5. untuk setiap u∈ V, terdapat -u∈ V, sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0

6. untuk setiap u∈ V, dan scalar k, maka ku ∈ V

7. k(u+v) = ku = kv

8. (k+l) u = ku + lu

9. k(lu) = (kl)u

10. 1u = u

Beberapa sifat ruang vektor adalah :

1. 0u = 0

2. k0 = 0

3. (-1)u = -u

4. jika ku = 0 , maka k = 0 atau u = 0

untuk setiap u ∈ V dan k scalar.

Definisi.

Himpunan bagian W dari ruang vektor V disebut ruang bagian dari V jika W

merupakan ruang vektor di dalam penjumlahan dan perkalian scalar yang

didefinisikan pada V.

Teorema penting tentang ruang vektor bagian :

Jika W adalah himpunan satu atau lebih vektor-vektor dari ruang vektor V, maka W

ruang bagian dari V bila syarat berikut dipenuhi :

1. jika u dan v dalam W, maka u+v dalam W

2. jika k scalar dan u vektor dalam W, maka ku dalam W.

Definisi.

Jika f : V → W fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor W, maka f disebut

pemetaan linier jika memenuhi :

1. f ( u + v ) = f (u) + f(v), untuk setiap u, v ∈ V

2. f (ku) = k f(u) , untuk setiap u ∈ V, k scalar

Salah satu struktur yang berkaitan dengan ruang vektor adalah Kernel dan Range.

Sebelum diberikan pengertian Kernel dan Range, akan dibahas sifat-sifat berikut sebagai

dasar pembentukan kernel dan range.

Teorema

Jika T : V → W adalah pemetaan linier, maka

1. T(0) = 0

2. T(-v) = - T(v) untuk setiap v ∈ V

3. T(v-w) = T (v) – T(w) untuk setiap v,w ∈ V

Definisi.

Jika T : V → W adalah pemetaan linier, maka { x ∈ V | T(x) = 0 } = Kernel T.

Range dari T yaitu R(T) = { y ∈ W | T(x) = y, x ∈ V}.

Soal-soal :

1. Jika V adalah himpunan semua matriks berordo 2x2, buktikan V adalah ruang

vektor.

2. Diberikan f : R2 → R3 dengan definisi jika v = (x,y) ∈ R2 maka f(v) = ( x, x+y, x-

y ).

Buktikan f merupakan pemetaan linier.

3. Diberikan f : R2 →R2 dengan definisi f(x,y) = ( x, y+1). Buktikan apakah f

pemetaan linier.