STRUKTURALJABAR II

Presented by :Endah Nova Astuti A 410 080

015

Mata Kuliah SA II Dosen Pengampu : Dra. Sri Sutarni, M.Pd.

RingDefinisi :Suatu Ring (R; +; x) adalah himpunan tidak kosong yang pada tiap elemennya berlaku dua operasi biner, yaitu penjumlahan dan perkalian yang memenuhi axioma-axioma 1 s.d. D berikut :1. Tertutup terhadap operasi penjumlahan (+)

2. Assosiatif terhadap operasi penjumlahan (+)

3. Ada elemen identitas terhadap operasi penjumlahan (+)

4. Tiap elemen terdapat invers terhadap operasi penjumlahan (+)

5. Komutatif terhadap operasi penjumlahan (+)

1’. Tertutup terhadap operasi perkalian (x)

Lanjutan Axioma Ring

2’. Assosiatif terhadap operasi perkalian (x)

D. Distributif perkalian kiri dan perkalian kanan terhadap penjumlahan♣ Distributif kiri

♣ Distributif kanan

Lanjutan Axioma Ring

Tipe-tipe RingRing komutatif

Definisi :Ring (R; +; x) yang memenuhi sifat komutatif terhadap operasi perkalian disebut ring komutatif (axioma 1 s.d. D + 5’)5’. Komutatif terhadap operasi perkalian (x)

Ring dengan elemen satuan perkalianDefinisi :Ring (R; +; x) yang mempunyai elemen satuan terhadap operasi perkalian (x) disebut ring dengan elemen satuan terhadap perkalian (axioma 1 s.d. D + 3’)3’. Terdapat elemen satuan terhadap

operasi perkalian (x)

Lanjutan Tipe-tipe Ring

Karakteristik RingDefinisi :R suatu Ring dengan elemen nol. Jika untuk setiap ada bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga , maka dikatakan bahwa R mempunyai karakteristik . Jika tidak ada bilangan bulat positif demikian maka dikatakan bahwa ring R mempunyai karakteristik nol atau tidak berhingga.

Homomorphisme RingDefinisi :

Jika (R; +; x) dan (R’; ⊕ , ⊗) masing-masing adalah ring dan pemetaan R ke R’ didefinisikan suatu fungsi F dari R ke R’.Pemetaan f disebut homomorphisme dari R ke R’ apabila memenuhi sifat-sifat :Untuk setiap a, b ε R berlaku :f(a+b) = f(a) ⊕ f(b)f(axb) = f(a) ⊗ f(b)Jika f bijektif, maka f disebut isomorphisme

Sub RingDefinisi :

Himpunan R’ yang himpunan kosong dan merupakan himpunan bagian dari R dikatakan sebagai sub ring dari R bila dan hanya bila memenuhi sifat berikut :

Pembagi Nol (PN)Suatu Ring (R; +; x) disebut memuat pembagi nol (PN), bila terdapat

sehingga

dan

Daerah Integral (Integral Domain)

Definisi :Suatu Ring (R; +; x) yang bersifat komutatif, mempunyai elemen identitas terhadap operasi perkalian (x) dan tidak memuat pembagi nol.

IDEAL

Definisi :Suatu himpunan bagian tidak kosong I dan ring R disebut ideal kiri bila dan hanya bila memenuhi sifat berikut :

(1)

(2)

Ideal Kiri

Definisi :Suatu himpunan bagian tidak kosong I dan ring R disebut ideal kanan bila dan hanya bila memenuhi sifat berikut :

(1)

(2)

Ideal Kanan

Lanjutan Ideal

Definisi :Suatu himpunan bagian tidak kosong I dan ring R disebut ideal dua sisi (ideal) bila dan hanya bila memenuhi sifat berikut :

(1)

(2)

Ideal Dua Sisi

Lanjutan Ideal

Ring EuclideanMisal R ring komutatif tanpa pembagi nol dan C adalah himpunan bilangan cacah

• Jika z elemen nol dari R, maka f(z) = 0• Untuk setiap

maka• Untuk setiap

Maka ada sehingga dengan

R disebut ring euclidean bila dan hanya bila ada suatu pemetaan yang memenuhi :

Field atau Medan

Definisi :Suatu ring komutatif

dengan elemen satuan yang tiap elemennya tidak

nol mempunyai elemen invers.

Skew Filed / Medang RingDefinisi :

Struktur aljabar yang memenuhi suatu field

dengan tidak mensyaratkan berlakunya sifat komutatif

pergandaan.

Ring Pembagian / Division RingDefinisi :Struktur aljabar yang memenuhi suatu field dengan tidak mensyaratkan berlakunya sifat komutatif pergandaan, adanya elemen satuan, dan tiap elemen yang bukan elemen nol mempunyai elemen invers, tetapi mensyaratkan berlakunya persamaan mempunyai jawaban