STRUKTUR ALJABAR IMateri Struktur Aljabar 1  meliputi :

1. Pengantar: Logika Matematika, Teori Himpunan, Pemetaan dan Relasi,2. Operasi Biner dan Relasi Ekivalensi3. Grup : Grupoid dan Semi grup, Sifat-sifat Grup4. Subgrup dan sifat-sifatnya                                  5. Grup Permutasi, Perkalian Langsung dan Grup Siklis6. Koset Suatu Grup dan Teori Lagrange7. Subgrup Normal dan Grup Kosien8. Homomorfisma Grup

STRUKTUR ALJABAR II

                   Struktur Aljabar II ini merupakan kelanjutan dari mata kuliah Struktur Aljabar I. Pada mata kuliah ini dibahas mengenai suatu struktur aljabar yaitu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan dua operasi. Sebagai contoh adalah himpunan semua bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan, himpunan semua matriks 2×2 atas bilangan real terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks, dan sebagainya. Konsep-konsep yang akan diberikan dalam mata kuliah ini di antaranya adalah :

         Ring, Subring, Ring Polinomial         Ring Komutatif, Ring dengan Elemen Satuan, Ring Pembagi, Lapangan (Field)         Elemen Pembagi Nol, Daerah Integral         Ideal Kiri, Ideal Kanan, Ideal, Ring Faktor         Homomorfisma Ring, Kernel, Image (Peta/Bayangan)         Monomorfisma Ring, Epimorfisma Ring, Isomorfisma Ring         Homomorfisma Natural         Teorema Fundamental Homomorfisma Ring         Ideal Prima, Ideal Maksimal         Daerah Euclid, Daerah Faktorisasi Tunggal, Daerah Ideal Utama

STRUKTUR     ALJABAR 1

1. HimpunanHimpunan adalah suatu kumpulan obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Obyek-

obyek dalam himpunan tersebut dinamakananggota himpunan.Secara matematik, himpunan dapat dinyatakan dengan tanda kurung kurawal dandigunakan notasi huruf besar. Jika himpunan di atas ditulis secara matematik diperoleh :1. Himpunan bilangan 2, 4, 6 dan 8.  

 A = {2, 4, 6, 8 }2. Himpunan : pena, pensil, buku, penghapus, penggaris.

 B = { pena, pensil, buku, penghapus, penggaris }

2. Operasi binerDalam aljabar tidak hanya dibahas tentang himpunan tetapi juga himpunan bersama

dengan operasi penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan pada himpunan.

Definisi I.1Misalkan A himpunan tidak kosong.

Operasi biner * pada A adalah pemetaan dari setiap pasangan berurutan x, y dalam A dengan tepat satu anggota x * y dalam A.

Operasi biner mempunyai dua bagian dari definisi yaitu:1. Terdefinisikan dengan baik(well-defined) yaitu untuk setiap pasangan berurutan x,y dalam A

dikawankan dengan tepat satu nilai x*y.2. A tertutup di bawah operasi * yaitu untuk setiap x, y dalam A maka x*y masih dalam A.

3. Hukum-hukum AljabarSuatu system aljabar terdiri dari himpunan obyek dengan satu atau lebih operasi yang

didefinisikan padanya.Bersama dengan hkum-hukum yang dibutuhkan dalam operasi.

Definisi I.2Misalkan * operasi biner pada himpunan A.(1) operasi * assosiatif jika (a * b) * c = a * (b * c) untuk semua a, b, c dalam A.(2) operasi * komutatif jika a*b = b*a untuk semua a, b dalam A.

4. Bukti dengan induksiDalam pembuktian biasanya diinginkan untuk membuktikan suatu pernyataan tentang

bilangan bulat positif n. berikut ini diberikan dua prinsip tentang induksi berhingga.

Prinsip  induksi berhinggaMisalkan S(n) pernyataan tentang bilangan bulat positif n. Apabila sudah dilakukan

pembuktian :(1) S(n0) benar untuk bilangan bulat pertama n0 .

(2) Dibuat anggapan induksi (induction assumption) bahwa pernyataan benar untuk suatu bilangan bulat positif k n0 dan mengakibatkan S(k+1) benar. maka S(n) benar untuk semua bilangan bulat n n0.

5. Relasi ekuivalensi dan penyekatanObyek matematika dapat direlasikan dengan yang lain dalam berbagai cara

seperti:           m membagi n x dibawa ke y dengan fungsi f dan sebagainya. Secara intuitif relasi R dari suatu himpunan X ke himpunan Y adalah aturan yang memasangkan anggota X dengan anggota Y.Secara formal, relasi R dari X ke Y didefinisikan berikut ini. Pertama-tama didefinisikan hasil kali Cartesian X Y.  Sebagai himpunan pasangan berurutan { (x,y) | x dalam X dan y dalam Y }. Kemudian didefinisikan suatu relasi R sebagai himpunan bagian tertentu dari X Y. Jika pasangan berurutan (s,t) anggota himpunan bagian tertentu untuk R maka ditulis s R t.

6. GRUPSuatu grup (group) < G , * > terdiri dari himpunan anggota G bersama dengan operasi

biner * yang didefinisikan pada G dan memenuhi hukum berikut:(1) Hukum tertutup : a * b G untuk semua a, b G(2) Hukum assosiatif : (a * b) * c = a * ( b * c) untuk semua a, b, c G(3) Hukum identitas:terdapatlah suatu anggota e G sehingga e*x=x*e=x untuk semua x G(4) Hukum invers : untuk setiap a G, terdapatlah a’ G sehingga a *a’ = a’* a = e

Biasanya lambang < G, * > hanya dituliskan G, demikian juga ab artinya a * b dan a-1 adalah lambang untuk invers a.

7. Grup Bagian

Sistem aljabar yang besar biasanya mengandung sistem bagian yang lebih kecil. Sistem yang lebih kecil mungkin lebih penting dan mungkin membangun system yang lebih besar. Sebagai contoh group < R, + > mengandung group yang lebih kecil seperti < Q , + > dan < Z , + >. Dengan cara yang sama C* = C – { 0 } mengandung R* =R – { 0}.

Contoh-contoh diatas menyarankan bahwa disamping tipe tertentu dari sistem juga dipelajari sistem bagian ( subsystem ) sehingga dalam penelaahan grup juga dibahas tentang sistem bagiannya yang dinamakan grup bagian.

8. Grup SiklikSebelum dibahas tentang grup siklik terlebih dahulu didefinisikan pangkat bilangan bulat dalam suatu grup penggandaan .

Definisi IV.1Misalkan a sebarang anggota dari grup < G, . >. Didefinisikan :a1 = a a2 = a . aa3 = a .a . adan secara induksi , untuk sebarang bilangan bulat positif k, ak+1 = a . ak

Hal ini berarti bahwa an dimaksudkan sebagai perkalian a dengan a sampai n kali. Dalam hal ini suatu identitas dan invers dapat juga dinyatakan dengan menggunakan perpangkatan

Definisi IV.2Perjanjian bahwa a0 = e dan untuk sebarang integer positif n berlakua-n = ( a-1 )n = ( a-1 ) ( a-1 ) … ( a-1 )sebanyak n faktor . Dengan mudah dapat dibuktikan bahwaan am = am+n(am )n = a mn

Jika ab = ab maka ( ab ) n = an bnCatatan : Biasanya ( ab ) n an bn . Jika a b = b a maka (ab) n = an bn.

Notasi an digunakan dalam grup dengan operasi penggandaan, sedangkan dalam grup dengan operasi penjumlahan digunakan definisi berikut ini .

9. GRUP ZN*Pergandaan dapat didefinisikan pada himpunan Zn = {0, 1, 2,… n-1} dari bilangan

bulat modulo n. Jika a, b dalam Zn maka pergandaan dari a b ( mod n ) adalah :1. Gandakan bilangan bulat a dan b .2. Ambil sisa pembagian dari ab dengan n yaitu r . berarti a b = r.

Mudah dibuktikan bahwa untuk n > 1, Zn Mengandung identitas pergandaan 1. Tetapi dalam Zn, invers terhadap pergandaan tidak selalu ada sehingga Zn bukanlah grup terhadap operasi pergandaan. Untuk n 2 didefinisikan Zn* = { x dalam Zn | x mempunyai invers pergandaan dalam Zn }10. Teorema Lagrange

Jika G sebarang grup berhingga dan S grup bagian G maka orde S membagi orde G.

Keterangan :1. Himpunan aS dan bS dinamakan koset kiri dari S.Dinamakan koset kiri karena anggota a dan b berada di kiri. Dengan definisi

aS = ass dalam S.2. Karena S = eS maka berarti S merupakan koset kiri juga.Jika aS S maka aS tidak mengandung identitas e.3. Di samping itu juga terdapat koset kanan Sa = sa s dalam S.

4. Dalam notasi penjumlahan , koset kiri ditulis sebagai a + S = a + ss dalam S.

11. HOMOMORFISMA GRUPMisalkan < G, * > dan < H, . > grup.Pemetaan f : G H dinamakan homomorfisma grup jika f mengawetkan operasi yaitu asalkan bahwa f(x * y) = f(x) . f(y) untuk semua x, y G.

12. Grup NormalInti dari sebarang homomorfisma grup mempunyai sifat tambahan yaitu mengandung

semua konjugat (conjugates) dari anggotanya.

Definisi VIII.1Grup bagian S dari grup G dikatakan grup bagian normal ( normal subgroup ) asalkan untuk setiap anggotanya s dalam S dan setiap a G berlaku bahwa a1 s S.Istilah S grup bagian normal dari grup G sering kali disingkat sebagai D normal dari G. Berikut ini sifat-sifat tentang normal dari suatu grup.

13. Grup FaktorKoset aS dapat digunakan untuk membentuk sistem aljabar yang baru. Misalkan S grup

bagian dari grup G. Dapat dibentuk himpunan semua koset kiri dari S yaitu { aS | a dalam G } Anggota G yang berbeda dapat saja membentuk koset yang sama. Untuk itu diperlukan cara untuk menguji kesamaan dari dua koset.

14. IsomorfismaSuatu grup yang nampaknya berbeda secara esensi dapat sama. Secar intuisi ide bahwa

dua grup secara esensi sama akan menuju pada pemikiran tentang konsep isomorfisma.

Definisi IX.3Misalkan < G , * > dan < H , . > grup. Grup G isomorfis dengan H jika terdapat fungsi : f : G H sehingga :  f injektif,  f surjektif, dan f homomorfisma, maka f dikatakan isomorfisma.

15. HASIL KALI LANGSUNGDalam teori grup, terdapat cara untuk membangun grup yang lebih besar dari hasil kali

langsung (direct product) grup-grup yang lebih kecil dan disamping itu sering juga diharapkan dapat memfaktorkan grup yang besar sebagai perkalian grup-grup yang kecil dan sederhana.

Definisi X.1 :Misalkan G dan H grup. Hasil kal langsung G x H adalah sistem aljabar yang didefinisikan dengan himpunan G H = {(g,h) | g G dan h } dan operasi * didefinisikan sebagai (a,b) * (c,d) = (a*c , b*d).

STRUKTUR ALJABAR 21. RING

INGAT KEMBALI :1.   Misal G suatu himpunan tak kosong dan  * adalah suatu operasi yang didefinisikan pada

G.  (G,*) dinamakan semigrup, jika memenuhi :      a.   Tertutup, yakni 

      b.   Assosiatif, yakni 

2.   Misal G suatu himpunan tak kosong dan  * adalah suatu operasi yang didefinisikan pada G.  (G,*) dinamakan grup, jika memenuhi :      a.   Tertutup, yakni 

      b.   Assosiatif, yakni       c.   Terdapat elemen identitas, yakni             Untuk selanjutnya  e dinamakan elemen identitas pada G terhadap operasi   *

      d.   Setiap elemen punya invers, yakni              Untuk selanjutnya  a-1 dinamakan invers dari  a.

      Suatu grup (G,*) dinamakan grup komutatif (abelian), jika operasi  *  bersifat komutatif , yakni   

Definisi : ( RING )Misal R adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan dua buah operasi yakni   (operasi penjumlahan) dan   (operasi pergandaan), selanjutnya dilambangkan dengan (R, ,   ).  Struktur  ( R,  ,   ) dinamakan ring , jika memenuhi aksioma :a.   ( R,  ) grup abelian      i.    Tertutup, yakni 

      ii.   Assosiatif, yakni       iii.  Terdapat elemen identitas, yakni             Untuk selanjutnya  e dinamakan elemen netral (nol) .

      iv.  Setiap elemen punya invers, yakni              Untuk selanjutnya  a-1 dinamakan invers dari  a.      v.   Komutatif , yakni b.   ( R,  ) semigrup      i.    Tertutup, yakni 

      ii.   Assosiatif, yakni c.   Sifat distributif kiri dan distributif kanan, yakni :                                    

2.  SUB RING

Misalkan (R , + , . ) ring dan S  himpunan bagian R.S dikatakan subring dari R, jika (S, + , *) adalah ring.

Teorema  :Misalkan R adalah ring dan S adalah himpunan bagian dari R.S subring dari R jika dan hanya jika :1.      e0   S2.      (a – b)  S, untuk setiap a,b  S3.      a.b  S , untuk setiap a,b  S

3.  DAERAH INTEGRALDaerah integral D adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan tidak memuat

pembagi nol. Jika a dan b adalah elemen TAK NOL ( selain e0 ) pada ring R  sedemikian hingga a.b = e0 , maka a dan b dikatakan sebagai pembagi nol.

4.   IdealSubring-subring dari suatu ring mempunyai peranan yang mirip dengan subgrup normal

dalam suatu grup. Subring yang peranannya mirip subgroup normal disebutideal.

Definisi 1: Misalkan R adalah suatu ring dan I  R dengan I  , I disebut Ideal kiri dari R jika :i.                    x, y  I berlaku (x – y)  Iii.                  (r  R)(x  I) berlaku rx  I

5.  Ring FaktorRing factor mempunyai kemiripan dengan grup faktor.

Jika I ideal dari ring R maka I subring dari R, berarti I juga merupakan ring, sehingga (I,+) merupakan subgrup normal dari (R,+).

Himpunan semua koset kiri (kanan) I dalam R, ditulis sebagai  R/I = {r + I | r  R}Operasi penjumlahan dan pergandaan pada R/Ididefinisikan :Untuk setiap (a + I) , (b + I)  R/I , dengan a, b  R    (a + I) + (b + I) = (a + b) + I

    (a + I)(b + I) = ab + I

6.  HOMOMORFISMAMisalnya diberikan ring R dan R’.

Pemetaan  f  : R   R’ disebut homomorfisma dari R ke R’ jika  a, b  R berlaku :1.              f(a + b) = f(a) + f(b)2.              f(a.b) = f(a) . f(b)

Homomorfisma merupakan fungsi yang mempertahankan operasi yang disajikan.Definisi  :

1.      Suatu homomorfisma dari R ke R’ yang injektif (1-1) disebut monomorfisma.2.      Suatu homomorfisma dari R ke R’ yang surjektif (pada/onto) disebut epimorfisma.3.      Suatu homomorfisma dari R ke R’ yang bijektif(injektif dan surjektif)

disebut isomorfisma.4.      Suatu homomorfisma dari R ke R’ dengan R = R’ disebut endomorfisma (suatu

homomorfisma dari suatu ring R ke ring R itu sendiri)5.      Endomorfisma yang bijektif disebut automorfisma.6.      Jika terdapat suatu homomorfisma dari R ke R’ maka dikatakan R dan R’ homomorfik7.      Jika terdapat suatu isomorfisma dari R ke R’ maka dikatakan R dan R’ isomorfik,

dinotasikan R ~ R’