c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 1 / 26

STK352Analisis Deret Waktu

Pendugaan Parameter Model ARIMAPertemuan 9

Farid Mochamad AfendiDepartemen Statistika IPB

6 Mei 2008

MATERI PEMBAHASAN

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 2 / 26

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRAT TERKECIL

METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM

RESUME

PENGANTAR

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

❖ Pengantar

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 3 / 26

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

❖ Pengantar

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

❖ Pengantar

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26

● Setelah model ARIMA tentatif ditetapkan, langkah berikutnyadalam pemodelan Box-Jenkins adalah pendugaan parametermodel.

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

❖ Pengantar

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26

● Setelah model ARIMA tentatif ditetapkan, langkah berikutnyadalam pemodelan Box-Jenkins adalah pendugaan parametermodel.

● Parameter yang diduga meliputi:

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

❖ Pengantar

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26

● Setelah model ARIMA tentatif ditetapkan, langkah berikutnyadalam pemodelan Box-Jenkins adalah pendugaan parametermodel.

● Parameter yang diduga meliputi:

✦ Komponen AR: φ1, φ2, . . . , φp

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

❖ Pengantar

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26

● Setelah model ARIMA tentatif ditetapkan, langkah berikutnyadalam pemodelan Box-Jenkins adalah pendugaan parametermodel.

● Parameter yang diduga meliputi:

✦ Komponen AR: φ1, φ2, . . . , φp

✦ Komponen MA: θ1, θ2, . . . , θq

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

❖ Pengantar

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26

● Setelah model ARIMA tentatif ditetapkan, langkah berikutnyadalam pemodelan Box-Jenkins adalah pendugaan parametermodel.

● Parameter yang diduga meliputi:

✦ Komponen AR: φ1, φ2, . . . , φp

✦ Komponen MA: θ1, θ2, . . . , θq

✦ Ragam white noise: σ2a

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

❖ Pengantar

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26

● Setelah model ARIMA tentatif ditetapkan, langkah berikutnyadalam pemodelan Box-Jenkins adalah pendugaan parametermodel.

● Parameter yang diduga meliputi:

✦ Komponen AR: φ1, φ2, . . . , φp

✦ Komponen MA: θ1, θ2, . . . , θq

✦ Ragam white noise: σ2a

✦ Nilai tengah {Zt}: µ

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

❖ Pengantar

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26

● Setelah model ARIMA tentatif ditetapkan, langkah berikutnyadalam pemodelan Box-Jenkins adalah pendugaan parametermodel.

● Parameter yang diduga meliputi:

✦ Komponen AR: φ1, φ2, . . . , φp

✦ Komponen MA: θ1, θ2, . . . , θq

✦ Ragam white noise: σ2a

✦ Nilai tengah {Zt}: µ

● Pada bagian ini disajikan tiga alternatif metode pendugaan:

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

❖ Pengantar

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26

● Setelah model ARIMA tentatif ditetapkan, langkah berikutnyadalam pemodelan Box-Jenkins adalah pendugaan parametermodel.

● Parameter yang diduga meliputi:

✦ Komponen AR: φ1, φ2, . . . , φp

✦ Komponen MA: θ1, θ2, . . . , θq

✦ Ragam white noise: σ2a

✦ Nilai tengah {Zt}: µ

● Pada bagian ini disajikan tiga alternatif metode pendugaan:

1. Metode Momen

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

❖ Pengantar

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26

● Setelah model ARIMA tentatif ditetapkan, langkah berikutnyadalam pemodelan Box-Jenkins adalah pendugaan parametermodel.

● Parameter yang diduga meliputi:

✦ Komponen AR: φ1, φ2, . . . , φp

✦ Komponen MA: θ1, θ2, . . . , θq

✦ Ragam white noise: σ2a

✦ Nilai tengah {Zt}: µ

● Pada bagian ini disajikan tiga alternatif metode pendugaan:

1. Metode Momen2. Metode Kuadrat Terkecil (Least Square)

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

❖ Pengantar

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26

● Setelah model ARIMA tentatif ditetapkan, langkah berikutnyadalam pemodelan Box-Jenkins adalah pendugaan parametermodel.

● Parameter yang diduga meliputi:

✦ Komponen AR: φ1, φ2, . . . , φp

✦ Komponen MA: θ1, θ2, . . . , θq

✦ Ragam white noise: σ2a

✦ Nilai tengah {Zt}: µ

● Pada bagian ini disajikan tiga alternatif metode pendugaan:

1. Metode Momen2. Metode Kuadrat Terkecil (Least Square)3. Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood)

METODE MOMEN

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 5 / 26

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 6 / 26

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 6 / 26

● Statistik pada Metode Momen diperoleh dengan caramenyamakan momen populasi dengan momen contoh-nya

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 6 / 26

● Statistik pada Metode Momen diperoleh dengan caramenyamakan momen populasi dengan momen contoh-nya

● Momen populasi:

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 6 / 26

● Statistik pada Metode Momen diperoleh dengan caramenyamakan momen populasi dengan momen contoh-nya

● Momen populasi:

✦ ordo 1: E(X) = µ

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 6 / 26

● Statistik pada Metode Momen diperoleh dengan caramenyamakan momen populasi dengan momen contoh-nya

● Momen populasi:

✦ ordo 1: E(X) = µ

✦ ordo k: E(Xk)

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 6 / 26

● Statistik pada Metode Momen diperoleh dengan caramenyamakan momen populasi dengan momen contoh-nya

● Momen populasi:

✦ ordo 1: E(X) = µ

✦ ordo k: E(Xk)

● Momen contoh:

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 6 / 26

● Statistik pada Metode Momen diperoleh dengan caramenyamakan momen populasi dengan momen contoh-nya

● Momen populasi:

✦ ordo 1: E(X) = µ

✦ ordo k: E(Xk)

● Momen contoh:

✦ ordo 1: 1n

∑ni=1 Xi = X̄

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 6 / 26

● Statistik pada Metode Momen diperoleh dengan caramenyamakan momen populasi dengan momen contoh-nya

● Momen populasi:

✦ ordo 1: E(X) = µ

✦ ordo k: E(Xk)

● Momen contoh:

✦ ordo 1: 1n

∑ni=1 Xi = X̄

✦ ordo k: 1n

∑ni=1 Xk

i

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 6 / 26

● Statistik pada Metode Momen diperoleh dengan caramenyamakan momen populasi dengan momen contoh-nya

● Momen populasi:

✦ ordo 1: E(X) = µ

✦ ordo k: E(Xk)

● Momen contoh:

✦ ordo 1: 1n

∑ni=1 Xi = X̄

✦ ordo k: 1n

∑ni=1 Xk

i

● Sebagai ilustrasi, mudah kita peroleh bahwa µ̂ = X̄

Pendugaan Untuk Model AR

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 7 / 26

Pendugaan Untuk Model AR

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 7 / 26

● Model AR(1): karena ρ1 = φ, maka φ̂ = r1

Pendugaan Untuk Model AR

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 7 / 26

● Model AR(1): karena ρ1 = φ, maka φ̂ = r1

● Model AR(2):

Pendugaan Untuk Model AR

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 7 / 26

● Model AR(1): karena ρ1 = φ, maka φ̂ = r1

● Model AR(2):

✦ kaitan antara parameter φ1 dan φ2 dengan berbagaimomen tercermin lewat persamaan Yule Walker:

ρ1 = φ1 + ρ1φ2 dan ρ2 = ρ1φ1 + φ2

Pendugaan Untuk Model AR

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 7 / 26

● Model AR(1): karena ρ1 = φ, maka φ̂ = r1

● Model AR(2):

✦ kaitan antara parameter φ1 dan φ2 dengan berbagaimomen tercermin lewat persamaan Yule Walker:

ρ1 = φ1 + ρ1φ2 dan ρ2 = ρ1φ1 + φ2

✦ dengan mengganti ρ1 dan ρ2 masing-masing dengan r1 danr2 diperoleh

φ̂1 =r1(1 − r2)

1 − r21

dan φ̂2 =r2 − r2

1

1 − r21

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 8 / 26

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 8 / 26

● Model AR(p):

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 8 / 26

● Model AR(p):

✦ pada persamaan Yule-Walker, dengan mengganti ρk

dengan rk diperoleh:

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 8 / 26

● Model AR(p):

✦ pada persamaan Yule-Walker, dengan mengganti ρk

dengan rk diperoleh:

r1 = φ1 + φ2r1 + . . . + φprp−1

r2 = φ1r1 + φ2 + . . . + φprp−2

...

rp = φ1rp−1 + φ2rp−2 + . . . + φp

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 8 / 26

● Model AR(p):

✦ pada persamaan Yule-Walker, dengan mengganti ρk

dengan rk diperoleh:

r1 = φ1 + φ2r1 + . . . + φprp−1

r2 = φ1r1 + φ2 + . . . + φprp−2

...

rp = φ1rp−1 + φ2rp−2 + . . . + φp

✦ SPL tersebut dapat diselesaikan untuk mendapatkanφ1, φ2, . . . , φp sebagai fungsi dari r1, r2, . . . , rp.

Pendugaan Untuk Model MA

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 26

Pendugaan Untuk Model MA

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 26

● Model MA(1)

Pendugaan Untuk Model MA

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 26

● Model MA(1)

✦ ρ1 = − θ1+θ2

Pendugaan Untuk Model MA

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 26

● Model MA(1)

✦ ρ1 = − θ1+θ2

✦ Karena ρ1 = r1, maka

θ̂ =−1 +

√

1 − 4r21

2r1

Pendugaan Untuk Model MA

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 26

● Model MA(1)

✦ ρ1 = − θ1+θ2

✦ Karena ρ1 = r1, maka

θ̂ =−1 +

√

1 − 4r21

2r1

✦ Penduga bagi θ bernilai riil dan invertible bila |r1| < 0.5.

Pendugaan Untuk Model MA

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 26

● Model MA(1)

✦ ρ1 = − θ1+θ2

✦ Karena ρ1 = r1, maka

θ̂ =−1 +

√

1 − 4r21

2r1

✦ Penduga bagi θ bernilai riil dan invertible bila |r1| < 0.5.

● Perhatikan bahwa metode momen bermasalah terutama ketika|r1| > 0.5.

Pendugaan Untuk Model MA

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 26

● Model MA(1)

✦ ρ1 = − θ1+θ2

✦ Karena ρ1 = r1, maka

θ̂ =−1 +

√

1 − 4r21

2r1

✦ Penduga bagi θ bernilai riil dan invertible bila |r1| < 0.5.

● Perhatikan bahwa metode momen bermasalah terutama ketika|r1| > 0.5.

● Secara umum, untuk Model MA(q) pendugaan bagi θmelibatkan persamaan yang nonlinier serta hanya sebagiansolusinya yang menghasilkan model yang invertible.

Pendugaan Untuk Model ARMA

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 10 / 26

Pendugaan Untuk Model ARMA

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 10 / 26

● Untuk model ARMA(1,1): ρk = (1−θφ)(φ−θ)1−2φθ+θ2 φk−1

Pendugaan Untuk Model ARMA

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 10 / 26

● Untuk model ARMA(1,1): ρk = (1−θφ)(φ−θ)1−2φθ+θ2 φk−1

● Karena ρ2/ρ1 = φ, maka φ̂ = r2

r1

Pendugaan Untuk Model ARMA

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 10 / 26

● Untuk model ARMA(1,1): ρk = (1−θφ)(φ−θ)1−2φθ+θ2 φk−1

● Karena ρ2/ρ1 = φ, maka φ̂ = r2

r1

● Selanjutnya, persamaan r1 = (1−θφ̂)(φ̂−θ)

1−2φ̂θ+θ2digunakan untuk

mendapatkan θ̂.

Pendugaan Untuk Ragam

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 11 / 26

Pendugaan Untuk Ragam

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 11 / 26

● Dugaan bagi ragam {Zt}: γ̂0 = S2 =P

n

t=1(Zt−Z̄)2

n−1

Pendugaan Untuk Ragam

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 11 / 26

● Dugaan bagi ragam {Zt}: γ̂0 = S2 =P

n

t=1(Zt−Z̄)2

n−1

● Secara umum, dugaan bagi σ2a dilakukan dengan

memanfaatkan hubungannya dengan γ0, θ, serta φ.

Pendugaan Untuk Ragam

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 11 / 26

● Dugaan bagi ragam {Zt}: γ̂0 = S2 =P

n

t=1(Zt−Z̄)2

n−1

● Secara umum, dugaan bagi σ2a dilakukan dengan

memanfaatkan hubungannya dengan γ0, θ, serta φ.● Untuk AR(p):

σ̂2a = (1 − φ̂1r1 − φ̂2r2 − . . . − φ̂prp)S

2

Pendugaan Untuk Ragam

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 11 / 26

● Dugaan bagi ragam {Zt}: γ̂0 = S2 =P

n

t=1(Zt−Z̄)2

n−1

● Secara umum, dugaan bagi σ2a dilakukan dengan

memanfaatkan hubungannya dengan γ0, θ, serta φ.● Untuk AR(p):

σ̂2a = (1 − φ̂1r1 − φ̂2r2 − . . . − φ̂prp)S

2

● Untuk MA(q):

σ̂2a =

S2

1 + θ̂21 + θ̂2

2 + . . . + θ̂2q

Pendugaan Untuk Ragam

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

❖ Pengantar

❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 11 / 26

● Dugaan bagi ragam {Zt}: γ̂0 = S2 =P

n

t=1(Zt−Z̄)2

n−1

● Secara umum, dugaan bagi σ2a dilakukan dengan

memanfaatkan hubungannya dengan γ0, θ, serta φ.● Untuk AR(p):

σ̂2a = (1 − φ̂1r1 − φ̂2r2 − . . . − φ̂prp)S

2

● Untuk MA(q):

σ̂2a =

S2

1 + θ̂21 + θ̂2

2 + . . . + θ̂2q

● Untuk ARMA(1,1):

σ̂2a =

(1 − φ̂2)

1 − 2θ̂φ̂ + θ̂2S2

METODE KUADRAT TERKECIL

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 12 / 26

Pendugaan Untuk Model AR

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 13 / 26

Pendugaan Untuk Model AR

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 13 / 26

● Penduga parameter dari Metode Kuadrat Terkecil merupakanstatistik yang meminimumkan jumlah kuadrat galat.

Pendugaan Untuk Model AR

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 13 / 26

● Penduga parameter dari Metode Kuadrat Terkecil merupakanstatistik yang meminimumkan jumlah kuadrat galat.

● Untuk model AR(1): Zt − µ = φ(Zt−1 − µ) + at, jumlah kuadratgalat adalah sebesar

S∗(φ, µ) =

n∑

t=2

[(Zt − µ) − φ(Zt−1 − µ)]2

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 14 / 26

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 14 / 26

● Penduga bagi µ

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 14 / 26

● Penduga bagi µ

✦ µ yang membuat fungsi S∗(φ, µ) minimum adalah yangmembuat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan 0.

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 14 / 26

● Penduga bagi µ

✦ µ yang membuat fungsi S∗(φ, µ) minimum adalah yangmembuat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan 0.

✦ ∂S∗

∂µ =∑n

t=2 2[(Zt − µ) − φ(Zt−1 − µ)](−1 + φ) = 0

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 14 / 26

● Penduga bagi µ

✦ µ yang membuat fungsi S∗(φ, µ) minimum adalah yangmembuat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan 0.

✦ ∂S∗

∂µ =∑n

t=2 2[(Zt − µ) − φ(Zt−1 − µ)](−1 + φ) = 0

✦ Dengan demikian,

µ̂ =

∑nt=2 Zt − φ

∑nt=2 Zt−1

(n − 1)(1 − φ)

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 14 / 26

● Penduga bagi µ

✦ µ yang membuat fungsi S∗(φ, µ) minimum adalah yangmembuat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan 0.

✦ ∂S∗

∂µ =∑n

t=2 2[(Zt − µ) − φ(Zt−1 − µ)](−1 + φ) = 0

✦ Dengan demikian,

µ̂ =

∑nt=2 Zt − φ

∑nt=2 Zt−1

(n − 1)(1 − φ)

✦ Untuk n besar,∑n

t=2Zt

n−1 ≈∑n

t=2Zt−1

n−1 ≈ Z̄ sehingga

µ̂ ≈Z̄ − φZ̄

1 − φ= Z̄

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 15 / 26

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 15 / 26

● Penduga bagi φ

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 15 / 26

● Penduga bagi φ

✦ φ yang membuat fungsi S∗(φ, µ) minimum adalah yangmembuat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan 0.

∂S∗(φ, µ)

∂φ= −

n∑

t=2

2[(Zt − Z̄) − φ(Zt−1 − Z̄)](Zt−1 − Z̄) = 0

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 15 / 26

● Penduga bagi φ

✦ φ yang membuat fungsi S∗(φ, µ) minimum adalah yangmembuat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan 0.

∂S∗(φ, µ)

∂φ= −

n∑

t=2

2[(Zt − Z̄) − φ(Zt−1 − Z̄)](Zt−1 − Z̄) = 0

✦ Dengan demikian

φ̂ =

∑nt=2(Zt − Z̄)(Zt−1 − Z̄)∑n

t=2(Zt−1 − Z̄)2

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 15 / 26

● Penduga bagi φ

✦ φ yang membuat fungsi S∗(φ, µ) minimum adalah yangmembuat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan 0.

∂S∗(φ, µ)

∂φ= −

n∑

t=2

2[(Zt − Z̄) − φ(Zt−1 − Z̄)](Zt−1 − Z̄) = 0

✦ Dengan demikian

φ̂ =

∑nt=2(Zt − Z̄)(Zt−1 − Z̄)∑n

t=2(Zt−1 − Z̄)2

✦ Statistik ini hampir sama dengan r1

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 16 / 26

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 16 / 26

● Untuk Model AR(p) dengan ukuran contoh besar

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 16 / 26

● Untuk Model AR(p) dengan ukuran contoh besar

✦ Dapat ditunjukkan bahwa µ̂ ≈ Z̄

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 16 / 26

● Untuk Model AR(p) dengan ukuran contoh besar

✦ Dapat ditunjukkan bahwa µ̂ ≈ Z̄✦ Untuk penduga koefisien model φ, dapat ditunjukkan pula

bahwa statistik yang diperoleh memanfaatkan PersamaanYule-Walker.

Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 16 / 26

● Untuk Model AR(p) dengan ukuran contoh besar

✦ Dapat ditunjukkan bahwa µ̂ ≈ Z̄✦ Untuk penduga koefisien model φ, dapat ditunjukkan pula

bahwa statistik yang diperoleh memanfaatkan PersamaanYule-Walker.

✦ Karena itu, untuk Model AR(p) serta ukuran contoh besar,Metode Momen dan Metode Kuadrat Terkecil menghasilkanpenduga parameter yang sama.

Pendugaan Untuk Model MA

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 17 / 26

Pendugaan Untuk Model MA

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 17 / 26

● Berbeda dengan Model AR, untuk Model MA (maupun modelARMA), tidak ada rumus jadi (closed form) bagi pendugaparameter model.

Pendugaan Untuk Model MA

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 17 / 26

● Berbeda dengan Model AR, untuk Model MA (maupun modelARMA), tidak ada rumus jadi (closed form) bagi pendugaparameter model.

● Hal ini disebabkan model yang terlibat merupakan modelnonlinier.

Pendugaan Untuk Model MA

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 17 / 26

● Berbeda dengan Model AR, untuk Model MA (maupun modelARMA), tidak ada rumus jadi (closed form) bagi pendugaparameter model.

● Hal ini disebabkan model yang terlibat merupakan modelnonlinier.

● Sebagai ilustrasi, model MA(1): Zt = at − θat−1 yang invertibledapat dituliskan menjadi

Zt = −θZt−1 − θ2Zt−2 − . . . + at

Pendugaan Untuk Model MA

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 17 / 26

● Berbeda dengan Model AR, untuk Model MA (maupun modelARMA), tidak ada rumus jadi (closed form) bagi pendugaparameter model.

● Hal ini disebabkan model yang terlibat merupakan modelnonlinier.

● Sebagai ilustrasi, model MA(1): Zt = at − θat−1 yang invertibledapat dituliskan menjadi

Zt = −θZt−1 − θ2Zt−2 − . . . + at

● Karena itu, statistik yang meminimumkan jumlah kuadratS∗(θ) = Σa2

t dihasilkan melalui algoritma optimisasi numerissemacam Algoritma Marquardt.

METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

❖ Pengantar

❖ Ilustrasi Untuk AR(1)

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 18 / 26

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

❖ Pengantar

❖ Ilustrasi Untuk AR(1)

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 19 / 26

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

❖ Pengantar

❖ Ilustrasi Untuk AR(1)

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 19 / 26

● Berbeda dengan Metode Momen maupun Metode KuadratTerkecil yang hanya memanfaatkan momen pertama dankedua, Metode Kemungkinan Maksimum memanfaatkankeseluruhan informasi yang dikandung data karena bekerjaberdasarkan sebaran peluang data.

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

❖ Pengantar

❖ Ilustrasi Untuk AR(1)

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 19 / 26

● Berbeda dengan Metode Momen maupun Metode KuadratTerkecil yang hanya memanfaatkan momen pertama dankedua, Metode Kemungkinan Maksimum memanfaatkankeseluruhan informasi yang dikandung data karena bekerjaberdasarkan sebaran peluang data.

● Bila X1, X2, . . . , Xn merupakan contoh acak dari populasi yangsama yang memiliki parameter sebesar θ, sehingga

Xii.i.d∼ f(X|θ)

Pengantar

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

❖ Pengantar

❖ Ilustrasi Untuk AR(1)

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 19 / 26

● Berbeda dengan Metode Momen maupun Metode KuadratTerkecil yang hanya memanfaatkan momen pertama dankedua, Metode Kemungkinan Maksimum memanfaatkankeseluruhan informasi yang dikandung data karena bekerjaberdasarkan sebaran peluang data.

● Bila X1, X2, . . . , Xn merupakan contoh acak dari populasi yangsama yang memiliki parameter sebesar θ, sehingga

Xii.i.d∼ f(X|θ)

maka sebaran peluang bersama dari n contoh tersebut adalah

f(X1, X2, . . . , Xn|θ) =n∏

i=1

f(Xi|θ)

Pengantar (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

❖ Pengantar

❖ Ilustrasi Untuk AR(1)

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 20 / 26

Pengantar (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

❖ Pengantar

❖ Ilustrasi Untuk AR(1)

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 20 / 26

● Fungsi f(X1, X2, . . . , Xn|θ) dapat pula dipandang sebagaifungsi dari θ bila pengamatan dianggap konstan

f(X1, X2, . . . , Xn|θ) = L(θ|X1, X2, . . . , Xn)

Pengantar (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

❖ Pengantar

❖ Ilustrasi Untuk AR(1)

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 20 / 26

● Fungsi f(X1, X2, . . . , Xn|θ) dapat pula dipandang sebagaifungsi dari θ bila pengamatan dianggap konstan

f(X1, X2, . . . , Xn|θ) = L(θ|X1, X2, . . . , Xn)

● Fungsi L ini biasa dinamakan dengan fungsi kemungkinan(likelihood function).

Pengantar (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

❖ Pengantar

❖ Ilustrasi Untuk AR(1)

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 20 / 26

● Fungsi f(X1, X2, . . . , Xn|θ) dapat pula dipandang sebagaifungsi dari θ bila pengamatan dianggap konstan

f(X1, X2, . . . , Xn|θ) = L(θ|X1, X2, . . . , Xn)

● Fungsi L ini biasa dinamakan dengan fungsi kemungkinan(likelihood function).

● Penduga kemungkinan maksimum selanjutnya adalah pendugayang memaksimumkan kemungkinan terambilnya contoh atauyang memaksimumkan fungsi kemungkinan.

Pengantar (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

❖ Pengantar

❖ Ilustrasi Untuk AR(1)

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 20 / 26

● Fungsi f(X1, X2, . . . , Xn|θ) dapat pula dipandang sebagaifungsi dari θ bila pengamatan dianggap konstan

f(X1, X2, . . . , Xn|θ) = L(θ|X1, X2, . . . , Xn)

● Fungsi L ini biasa dinamakan dengan fungsi kemungkinan(likelihood function).

● Penduga kemungkinan maksimum selanjutnya adalah pendugayang memaksimumkan kemungkinan terambilnya contoh atauyang memaksimumkan fungsi kemungkinan.

● Biasanya, fungsi yang dimaksimumkan bukan fungsi Lmelainkan log(L).

Ilustrasi Untuk AR(1)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

❖ Pengantar

❖ Ilustrasi Untuk AR(1)

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 21 / 26

Ilustrasi Untuk AR(1)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

❖ Pengantar

❖ Ilustrasi Untuk AR(1)

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 21 / 26

● Bila at ∼ Normal(0, σ2a) maka fungsi kepekatan peluang bagi at

adalah

f(at) = (2πσ2a)−1/2 exp

(

−a2

t

2σ2a

)

untuk −∞ < at < ∞

Ilustrasi Untuk AR(1)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

❖ Pengantar

❖ Ilustrasi Untuk AR(1)

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 21 / 26

● Bila at ∼ Normal(0, σ2a) maka fungsi kepekatan peluang bagi at

adalah

f(at) = (2πσ2a)−1/2 exp

(

−a2

t

2σ2a

)

untuk −∞ < at < ∞

● Sehingga sebaran peluang bersama a2, a3, . . . , an adalah

f(a2, a3, . . . , an) = (2πσ2a)−(n−1)/2 exp

(

−1

2σ2a

n∑

t=2

a2t

)

Ilustrasi Untuk AR(1)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

❖ Pengantar

❖ Ilustrasi Untuk AR(1)

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 21 / 26

● Bila at ∼ Normal(0, σ2a) maka fungsi kepekatan peluang bagi at

adalah

f(at) = (2πσ2a)−1/2 exp

(

−a2

t

2σ2a

)

untuk −∞ < at < ∞

● Sehingga sebaran peluang bersama a2, a3, . . . , an adalah

f(a2, a3, . . . , an) = (2πσ2a)−(n−1)/2 exp

(

−1

2σ2a

n∑

t=2

a2t

)

● Untuk AR(1): Zt − µ = φ(Zt−1 − µ) + at didapatkan

Z2 − µ = φ(Z1 − µ) + a2

Z3 − µ = φ(Z2 − µ) + a3

...

Zn − µ = φ(Zn−1 − µ) + an

Ilustrasi Untuk AR(1) (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

❖ Pengantar

❖ Ilustrasi Untuk AR(1)

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 22 / 26

Ilustrasi Untuk AR(1) (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

❖ Pengantar

❖ Ilustrasi Untuk AR(1)

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 22 / 26

● Bila Z1 diketahui (Z1 = z1), maka sebaran peluang bersamadari Z2, Z3, . . . , Zn dapat diperoleh dari f(a2, a3, . . . , an) denganmengganti komponen a dengan z

f(Z2, Z3, . . . , Zn|Z1 = z1) = (2πσ2a)−(n−1)/2

× exp

{

−1

2σ2a

n∑

t=2

[(Zt − µ) − φ(Zt−1 − µ)]2}

Ilustrasi Untuk AR(1) (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

❖ Pengantar

❖ Ilustrasi Untuk AR(1)

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 23 / 26

Ilustrasi Untuk AR(1) (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

❖ Pengantar

❖ Ilustrasi Untuk AR(1)

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 23 / 26

● Dari pembahasan sebelumnya diperoleh bahwa E(Z1) = µ danV ar(Z1) = γ0 = σ2

a/(1 − φ2)

Ilustrasi Untuk AR(1) (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

❖ Pengantar

❖ Ilustrasi Untuk AR(1)

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 23 / 26

● Dari pembahasan sebelumnya diperoleh bahwa E(Z1) = µ danV ar(Z1) = γ0 = σ2

a/(1 − φ2)● Karena itu

L(φ, µ, σ2a) = (2πσ2

a)−n/2(1 − φ2)1/2 exp[

−1

2σ2a

S(φ, µ)

]

di mana

S(φ, µ) =

n∑

t=2

[(Zt − µ) − φ(Zt−1 − µ)]2

+ (1 − φ2)(Z1 − µ)2

Ilustrasi Untuk AR(1) (lanjutan)

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

❖ Pengantar

❖ Ilustrasi Untuk AR(1)

RESUME

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 23 / 26

● Dari pembahasan sebelumnya diperoleh bahwa E(Z1) = µ danV ar(Z1) = γ0 = σ2

a/(1 − φ2)● Karena itu

L(φ, µ, σ2a) = (2πσ2

a)−n/2(1 − φ2)1/2 exp[

−1

2σ2a

S(φ, µ)

]

di mana

S(φ, µ) =

n∑

t=2

[(Zt − µ) − φ(Zt−1 − µ)]2

+ (1 − φ2)(Z1 − µ)2

● Jumlah kuadrat S(φ, µ) biasa disebut dengan jumlah kuadrattidak bersyarat (unconditional sum of squares), sementaraS∗(φ, µ) disebut dengan jumlah kuadrat bersyarat(conditional sum of squares)

RESUME

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

❖ Resume

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 24 / 26

Resume

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

❖ Resume

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 25 / 26

Resume

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

❖ Resume

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 25 / 26

● Metode Momen: Menyamakan momen populasi denganmomen contoh

Resume

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

❖ Resume

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 25 / 26

● Metode Momen: Menyamakan momen populasi denganmomen contoh

● Metode Kuadrat Terkecil Bersyarat: Meminimumkan jumlahkuadrat S∗(φ, µ)

Resume

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

❖ Resume

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 25 / 26

● Metode Momen: Menyamakan momen populasi denganmomen contoh

● Metode Kuadrat Terkecil Bersyarat: Meminimumkan jumlahkuadrat S∗(φ, µ)

● Metode Kuadrat Terkecil Tidak Bersyarat: Meminimumkanjumlah kuadrat S(φ, µ)

Resume

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

❖ Resume

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 25 / 26

● Metode Momen: Menyamakan momen populasi denganmomen contoh

● Metode Kuadrat Terkecil Bersyarat: Meminimumkan jumlahkuadrat S∗(φ, µ)

● Metode Kuadrat Terkecil Tidak Bersyarat: Meminimumkanjumlah kuadrat S(φ, µ)

● Metode Kemungkinan Maksimum: Memaksimumkan fungsikemungkinan L(φ, µ, σ2

a).

❖ MATERIPEMBAHASAN

PENGANTAR

METODE MOMEN

METODE KUADRATTERKECIL

METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM

RESUME

❖ Resume

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 26 / 26

TERIMA KASIH