STK 511 Analisis statistika - stat.ipb.ac.id 2016/Materi 6... · Ilustrasi Batasan yang ditentukan...
Transcript of STK 511 Analisis statistika - stat.ipb.ac.id 2016/Materi 6... · Ilustrasi Batasan yang ditentukan...
Materi 6 Pengujian Hipotesis
1
STK 511 Analisis statistika
Pendahuluan
Dalam mempelajari Karakteristik Populasi kita sering telah
memiliki pernyataan/anggapan tertentu.
pemberian DHA pada anak-anak akan menambah
kecerdasannya atau
pemberian vaksin polio akan mengurangi jumlah anak-anak
yang menderita penyakit ini
Diperlukan pengumpulan data
Apakah data mendukung pernyataan/anggapan tersebut
Pendahuluan
Suatu pernyataan / anggapan yang mempunyai nilai mungkin
benar / salah atau suatu pernyataan /anggapan yang
mengandung nilai ketidakpastian Hipotesis
Hipotesis dalam statistika dinyatakan dalam dua bentuk
yaitu:
H0 (hipotesis nol): suatu pernyataan / anggapan yang
umumnya ingin kita tolak
H1 / HA (hipotesis alternatif): pernyataan lain yang akan
diterima jika H0
ditolak
Kesalahan dalam Keputusan
Pengambilan keputusan akan memunculkan dua jenis kesalahanyaitu: Salah jenis I (Error type I) : kesalahan akibat menolak H0 padahal H0
benar
Salah jenis II (Error type II) : kesalahan akibat menerima H0 padahalH1 benar
Besarnya peluang kesalahan dapat ini dapat dihitung sebagaiberikut:
P(salah jenis I) = P(tolak H0 | H0 benar) =
P(salah jenis II) = P(terima H0 | H1 benar) =
H0 benar H0 salah
Tolak H0Peluang salah jenis I
(Taraf nyata; )
Kuasa pengujian
(1-)
Terima H0Tingkat kepercayaan
(1-)
Peluang salah jenis II
()
Pengaruh nilai dan
Teladan : Andaikan suatu perusahaan A akan menerima dari
suplier apabila produknya minimal mengandung 55% zat X.
Untuk meyakinkan maka diambil 9 contoh (dgn asumsi
simpangan baku sebesar 2%).
Sisi Suplier : Ingin semua diterima
Dengan μ=65% hampir
semua kiriman suplier
diterima.
Kondisi ini tentu tidak menguntungkan suplier. Bagaimana
apabila kriteria β diturunkan?
Terlihat bahwa apabila beta diperkecil dgn kondisi yg lain
tetap →Tidak menguntungkan sisi konsumen
Bagaimana supaya menurunkan keduanya?
Untuk menurukan kedua-duanya secara simultan → hanya
ada satu cara yaitu dengan meningkatkan banyaknya contoh
Teladan Menghitung Nilai dan contoh berukuran 25 diambil secara acak dari populasi normal(;2 = 9).
Hipotesis yang akan diuji,
H0 : = 15
H1 : = 13
Tolak H0 jika rata-rata kurang dari atau sama dengan 13.5
Berapakah besarnya kesalahan jenis I dan II ?
Jawab:
P(salah jenis I) = P(tolak H0| = 15)
= P(x 13.5)
= P(z (13.5-15)/(3/25))
= P(z - 2.5 ) = 0.0062
P(salah jenis II) = P(terima H0| = 13)
= P(x 13.5)
= P(z (13.5-13)/(3/25))
= P(z 0.83 )
= 1 - P(z 0.83 ) = 0.2033
Pada kenyataannya parameter populasi sering kali tidak diketahui
Sehingga dalam pengujian hipotesis hanya nilai salah jenis I (α) yang dapat dikendalikan.
Akan timbul pertanyaan :
– Berapa nilai α yang digunakan?
Tergantung resiko keputusan yang akan
diambil
Langkah-langkah Dalam Pengujian
Hipotesis
Beberapa langkah yang perlu diperhatikan dalam pengujianhipotesis:
(1) Tuliskan hipotesis yang akan diuji1. Hipotesis satu arah
H0 : 0 vs H1 : < 0
H0 : 0 vs H1 : > 0
2. Hipotesis dua arah
H0 : = 0 vs H1 : 0
(2). Tetapkan tingkat kesalahan/Peluang salah jenis I/taraf nyata
(3). Deskripsikan data contoh yang diperoleh (hitung rataan, ragam, standard error dll)
(4). Hitung statistik ujinya
Statistik uji yang digunakan sangat tergantung pada sebaranstatistik dari penduga parameter yang diuji
CONTOH
H0: = 0 maka maka statistik ujinya bisa t-student atau normal baku (z)
atau
ns
xth
/
0n
xzh
/
0
(5) Tentukan daerah kritis atau daerah penolakan H0
Daerah penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesisalternatif (H1)
CONTOH H1: < 0 Tolak H0 jika th < -t(; db)
H1: > 0 Tolak H0 jika th > t(; db)
H1: 0 Tolak H0 jika |th | > t(/2; db)
(6) Tarik keputusan dan kesimpulan
Pengujian Nilai Tengah Populasi
Kasus Satu Contoh
Suatu contoh acak diambil dari satu
populasi Normal berukuran n
Tujuannya adalah menguji apakah
parameter sebesar nilai tertentu,
katakanlah 0
Populasi
X~Sebaran(,2)
Contoh
Acak Uji
Hipotesis yang dapat diuji:
Hipotesis satu arah:
H0 : 0 vs H1 : < 0
H0 : 0 vs H1 : > 0
Hipotesis dua arah:
H0 : = 0 vs H1 : 0
Statistik uji:
Jika ragam populasi (2) diketahui (untuk X bukan
normal n besar) :
Jika ragam populasi (2) tidak diketahui danX~Normal:
ns
xth
/
0
n
xzh
/
0
Daerah kritis pada taraf nyata () Besarnya taraf nyata sangat tergantung dari bidang yang
sedang dikaji
Daerah penolakan H0 sangat tergantung dari bentukhipotesis alternatif (H1) dan statistik ujiH1: < 0 Tolak H0 jika zh < -zH1: > 0 Tolak H0 jika zh > zH1: 0 Tolak H0 jika |zh | > z/2
H1: < 0 Tolak H0 jika th < -t(; db=n-1)
H1: > 0 Tolak H0 jika th > t(; db=n-1)
H1: 0 Tolak H0 jika |th | > t(/2; db=n-1)
Ilustrasi
Batasan yang ditentukan oleh pemerintah terhadap emisi gas CO kendaraan bermotor adalah 50 ppm. Sebuah perusahaanbaru yang sedang mengajukan ijin pemasaran mobil, diperiksaoleh petugas pemerintah untuk menentukan apakah perusahantersebut layak diberikan ijin. Sebanyak 20 mobil diambil secara acak dan diuji emisi CO-nya. Dari data yang didapatkan, rata-ratanya adalah 55 dan ragamnya 4.2. dengan menggunakan taraf nyata 5%, layakkah perusahaan tersebut mendapat ijin ?
Hipotesis yang diuji:
H0 : = 50 vs H1 : < 50
Statistik uji:
th= (55-50)/(4.2/20)=10.91
Daerah kritis pada taraf nyata 0.05
Tolak H0 jika th < -t(0,05;db=19) = -1,729
Kesimpulan:
Tolak H0, artinya emisi gas CO kendaraan bermotor yang akan dipasarkan oleh perusahaan tersebut melebihi batasan yang ditentukan oleh pemerintah sehingga perusahaan tersebut tidak layak memperoleh ijin untuk memasarkan mobilnya.
Perbandingan Nilai Tengah Dua
Populasi
Kasus Dua Contoh Saling Bebas Setiap populasi diambil contoh
acak berukuran tertentu (bisasama, bisa juga tidak sama)
Pengambilan kedua contoh salingbebas
Tujuannya adalah menguji apakahparameter 1 sama denganparameter 2
Populasi I
X~Sebaran(1,12)
Contoh I
(n1)
Populasi II
X~Sebaran(2,22)
Contoh II
(n2)
Acak dan
saling bebas
1 ??? 2
Hipotesis Hipotesis satu arah:
H0: 1- 2 0 vs H1: 1- 2 <0
H0: 1- 2 0 vs H1: 1- 2 >0
Hipotesis dua arah:
H0: 1- 2 =0 vs H1: 1- 2 0
Statistik uji:
Jika ragam kedua populasi diketahui katakan 12 dan
22 (X bukan normal n besar):
Jika X ~ Normal dan ragam populasi tidak diketahui:
)(
021
21
)(
xx
h
xxz
)(
021
21
)(
xx
hs
xxt
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
21
;
;11
21
n
s
n
s
nns
s
g
xx
2
2
2
1
2
2
2
1
;
;221
efektifdb
nndb
Daerah kritis pada taraf nyata ()
Pada prinsipnya sama dengan kasus satu contoh, dimana daerah
penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif
(H1) dan statistik uji
H1: 1- 2 <0 Tolak H0 jika zh < -zH1: 1- 2 >0 Tolak H0 jika zh > z;
H1: 1- 2 0 Tolak H0 jika |zh | > z/2
H1: 1- 2 <0 Tolak H0 jika th < -t(; db)
H1: 1- 2 >0 Tolak H0 jika th > t(; db)
H1: 1- 2 0 Tolak H0 jika |th | > t(/2; db)
Teladan Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri
kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang lebihbaik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untukmengetahui produk mana yang sebenarnya lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10 lembar, dan diukur berapa beban yang mampu ditanggungtanpa merusak karton. Datanya adalah :
Ujilah karton produksi mana yang lebih kuat dengan asumsiragam kedua populasi berbeda, gunakan taraf nyata 10%
Persh. A 30 35 50 45 60 25 45 45 50 40
Persh. B 50 60 55 40 65 60 65 65 50 55
Jawab:
Rata-rata dan ragam kedua contoh:
Perbandingan kekuatan karton
Hipotesis:
H0: 1= 2 vs H1: 12
66.94
10(9)
(565)-32525)(10
)1(5,56
10
556050
106.9410(9)
(425)-19025)(10
)1(5,42
10
403530
222
22
22
222
12
11
nn
xxnsx
nn
xxnsx
i
i
Statistik uji: (ragam populasi tidak diketahui dan diasumsikan12 2
2 )
Daerah kritis pada taraf nyata 10%:
Tolak H0 jika |th| > t(0,05;17) = 1,740
Kesimpulan:
Tolak H0, artinya kekuatan karton kedua perusahaan berbeda nyata pada taraf
nyata 10%. Diduga karton yang diproduksi oleh perusahaan B lebih kuat
daripada karton A
36,310/94,10610/94,66
05,425,56
)/()/(
)()(
1
2
12
2
2
1212
nsns
xxth
1710,17
9/)10/8.18(9/)10/10.34(
)10/8.1810/10.34(
)1/()/()1/()/(
)//(2222
222
2
2
2
2
21
2
1
2
1
2
2
2
21
2
1
nnsnns
nsnsdb
Perbandingan Nilai Tengah Dua
Populasi Berpasangan
Kasus Dua contoh Saling Berpasangan Setiap populasi diambil contoh
acak berukuran n (wajib sama) Pengambilan kedua contoh
berpasangan, ada pengkait antarkedua contoh (bisa waktu, objek, tempat, dll)
Tujuannya adalah menguji apakahparameter 1 sama denganparameter 2
Populasi I
X~N(1,12)
contoh I
(n)
Populasi II
X~N(2,22)
contoh II
(n)
Acak dan
berpasangan
1 ??? 2
Pasangan 1
Pasangan …
Pasangan n
Apabila D=X1-X2, maka hipotesis statistika:
Hipotesis satu arah:H0: D 0 vs H1: D<0
H0: D 0 vs H1: D>0
Hipotesis dua arah:H0: D = 0 vs H1: D0
Statistik uji:
Dimana adalah rata-rata simpangan antar pengamatan pada contohpertama dengan contoh kedua
Daerah Kritis: (lihat kasus satu contoh)
Pasangan 1 2 3 … n
contoh 1 (X1) x11 x12 x13 x1n
contoh 2 (X2) x21 x22 x23 x2n
D = (X1-X2) d1 d2 d3 dn
ns
dt
d
h/
0
Ilustrasi
Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet, kemudian
dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk mengikuti program diet tersebut
selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah
program diet dilaksanakan, yaitu:
Apakah program diet tersebut dapat mengurangi berat badan lebih dari 5 kg?
Lakukan pengujian pada taraf nyata 5%!
Berat Badan Peserta
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sebelum (X1) 90 89 92 90 91 92 91 93 92 91
Sesudah (X2) 85 86 87 86 87 85 85 87 86 86
D=X1-X2 5 3 5 4 4 7 6 6 6 5
Jawab:
Karena kasus ini merupakan contoh berpasangan, maka:
Hipotesis:
H0 : D = 5 vs H1 : D > 5 Deskripsi:
Statistik uji:
1,510
51
n
dd
i 43,1
)9(10
)51()273(10
)1(
222
2
nn
ddns
ii
d
20,143,1 ds
26,010/20,1
51,5
n
s
d
s
dt
d
d
d
d
Daerah kritis pada =5%
Tolak H0, jika th > t(=5%,db=9)= 1.833
Kesimpulan:
Terima H0, artinya data belum mendukung program diet
tersebut dapat mengurangi berat badan lebih dari 5 kg
Pengujian Proporsi
Satu Populasi
Bentuk Hipotesis:
H0 : p = p0
H1 : p < p0 | H1 : p > p0 | H1 : p ≠ p0 ;
Jika n besar sebaran Z
Statistik-uji : Zh =
n
p)p(1σ2
p̂
Karena p tidak diketahui, maka digunakan p0
Daerah Kritik :
H1: p < p0 Zh < - Z
H1: p > p0 Zh > Z
H1: p ≠ p0 |Zh| > Z/2
Teladan
Seorang produsen mengklaim bahwa paling tidak 95%
produknya bebas-rusak. Pemeriksaan terhadap contoh
acak produknya dengan n = 600 menunjukkan bahwa 39 di
antaranya rusak. Uji pernyataan produsen tersebut.
Pengujian Proporsi
Dua Populasi
Bentuk Hipotesis:
H0 : p1 - p2 = p0
H1 : p1 - p2 < p0 | H1 : p1 - p2 > p0 | H1 : p1 - p2 ≠ p0
Jika n besar sebaran Z
Statistik-uji : Zh =
dimana
)n1n1p)(p(1
p)p̂p̂(
21
021
21
21
nn
XXp̂
Karena p tidak diketahui, maka digunakan p0
Daerah Kritik :
H1: p1 < p2 Zh < - Z
H1: p1 > p2 Zh > Z
H1: p1 ≠ p2 |Zh| > Z/2
Teladan
Suatu Obat penenang diduga hanya 60% efektif. Hasil
percobaan dengan obat baru terhadap 100 orang dewasa
menunjukkan 70% obat tersebut efektif. Apakah ini bukti
bahwa obat baru lebih baik dari yang beredar sekarang?
Gunakan taraf nyata 5%.
Pengujian Ragam
Satu populasi
Bentuk Hipotesis:
Satu Arah:
H0:2 0
2 H0 : 2 02
H1:2 > 0
2 H1 : 2 < 02
Dua Arah:
H0: 2 = 02
H1: 2 02
Statistik uji : 2
1)n(db2
0
22
hit χ ~ σ
s1nχ
Teladan
Sebuah perusahaan aki mobil mengatakan bahwa umur aki
mobil yang diproduksinya mempunyai simpangan baku 0.9
tahun. Bila suatu contoh acak 10 aki menghasilkan simpangan
baku s = 1.2 tahun, apakah menurut Anda > 0.9 tahun?
Pengujian Ragam
Dua populasi
Bentuk Hipotesis:
Satu Arah:
H0:12 2
2 H0 : 12 2
2
H1:12 > 2
2 H1 : 12 < 2
2
Dua Arah:
H0: 12 = 0
2
H1: 12 2
2
Statistik uji : 1ndb1;ndb2
2
2
1
2
2
2
1hit 2211
f~ )s,min(s
)s,max(sf
Teladan
52
Selesai