statistik dasar1
-
Upload
amri-sandy -
Category
Education
-
view
1.502 -
download
11
Transcript of statistik dasar1
Modul Teori dan Latihan Statistika
2. Ukuran – Ukuran Dalam Statistika
2.1 Ukuran Pemusatan
I. Data adalah sesuatu yang dapat memberikan gambaran tentang suatu keadaan atau persoalan. Berdasarkan pengumpulannya, ada dua cara yaitu cara sensus (data populasi, dikenal juga sebagai parameter), dan cara sampling, (data sampel dari suatu populasi dikenal juga sebagai statistik).
II. Rata-rata adalah nilai yang mewakili suatu himpunan atau sekelompok data. Nilai rata – rata pada umumnya mempunyai kecenderungan terletak ditengah-tengah dalam suatu kelompok data, yang disusun berdasarkan besar kecilnya nilai. Sehingga sering juga disebut ukuran kecenderungan memusat.
III. Jenis rata-rata yang sering dipergunakan adalah rata–rata hitung (arithmetic mean atau mean),
median, modus, rata–rata ukur (geometric mean), dan rata–rata harmonis (harmonic mean).
IV. Dalam penggunaan yang dimaksud dengan rata–rata adalah rata-rata hitung (kecuali adalah penjelasan lain). Jika kita mempunyai nilai variabel X, sebagai hasil pengamatan atau observasi sebanyak N kali yaitu X1, X2, …, Xi, …, XN, maka– Rata-rata sebenarnya berdasarkan populasi data adalah :
, (2. 1)
– Rata-rata perkiraan berdasarkan sampel data adalah :
. (2. 2)
Contoh 1:1. Hitunglah rata – rata data, 2, 3, 4, 6, 10, 7
Penyelesaian :
= (2 + 3 + 4 + 6 + 10 + 7) = 5, 33
2. Diketahui Data, [1] berikut ini :
Tabel 1. 1. Harga Eceran Bahan Pokok di Jakarta (dalam Rp/satuan, 1984)
Nama Barang
Satuan Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agust. Sept Okt Nop Des
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14)BerasIkan Asin No.2Minyak GorengGula PasirGaram BataanMinyak TanahSabun Cuci B29Tetoron PolosBatik Kasar
KgKg
BotolKg
BataLiter
BatangMeter
Lembar
2641.715
85357344
118192619
1.427
2981.742
85057744
134200619
1.427
2951.742
79657744
132200619
1.427
2761.742
79257544
132200619
1.427
2841.742
80059844
132200619
1.427
2851.742
80060044
132200619
1.427
2851.742
80061544
188200619
1.427
2851.742
80064644
188200619
1.427
2851.742
80064644
188200619
1.427
2821.742
77864644
188200619
1.427
2801.742
76964644
188200619
1.427
2861.742
76964644
188200619
1.427
Berdasarkan tabel tersebut di atas, hitunglah rata-rata harga perbulan untuk Beras, Minyak goreng, Gula pasir, dan batik kasar ?
Penyelesaian :
(1). Rata – rata harga Beras per kg per bulan :
= = = 283, 75 (Rupiah)
(2). Rata – rata harga Minyak Goreng per botol per bulan :
= = = 800,58 (Rupiah)
(3). Rata – rata harga Gula pasir per kg per bulan :
= = = 612,82 (Rupiah)
(4). Rata – rata harga Batik per meter per bulan :
= = = 1.427 (Rupiah)
V. Median adalah nilai tengah dari suatu data yang diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar.
– Untuk data n ganjil maka berlaku :
Median = Xk+1, dengan , n = banyaknya data. (2. 3)
Contoh 2:Carilah median dari data, 90, 70, 60, 75, 65, 80, 40, 45, 50.Penyelesain :Data disusun dari yang terkecil ke besar menjadi :X1= 40, X2 = 45, X3 = 50, X4 = 60, X5 = 65, X6 = 70, X7 = 75, X8 = 80, X9 = 90.
= = 4, Median = X4+1 = X5 = 65
– Untuk data n genap maka berlaku :
Median = , dengan (2. 4)
Contoh 3:Carilah median dari data, 20, 80, 75, 60, 50, 85, 45, 90.Penyelesain :Data disusun dari yang terkecil ke besar menjadi :X1= 20, X2 = 45, X3 = 50, X4 = 60, X5 = 75, X6 = 80, X7 = 85, X8 = 90.
= 4, Median = , = = 67,5.
VI. Modus adalah nilai dari suatu kelompok data yang mempunyai frekuensi tertinggi atau data yang paling sering muncul. Contoh 4:
Carilah modus dari data berikut : a. 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18b. 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16c. 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 9, 9, 9. Penyelesain :a.
x 2 5 9 10 11 12 18f 2 1 3 2 1 1 1
Modusnya adalah 9
b. x 3 5 8 10 12 15 16f 1 1 1 1 1 1 1
Tidak memiliki modus.
2
c. x 2 3 4 5 6 7 9f 1 1 2 2 3 2 3
Modusnya adalah 6 dan 9.
VII. Pada Contoh 4, jika ingin dihitung rata – ratanya dapat juga digunakan cara berikut : (cara ini dikenal dengan sistem pengelompokan data).
a. (2. 5)
= =
b.
= =
c.
= =
VIII. Contoh berikut menunjukkan bahwa pengelompokkan data sangat bermanfaat untuk menghitung rata – rata, median maupun modus dari kumpulan data. Contoh 5:Sebuah perusahaan pengepakan barang, mempunyai karyawan 40 orang. Setiap karyawan mempunyai target harian dengan kemampuan mengepak barang sebanyak (dalam dos) sebagai berikut :
146 147 147 148 149 150 150 152 152 154 156 157 158 161 163 164 165 168 173 176119 125 126 128 132 135 135 135 136 138138 140 140 142 142 144 144 145 145 146
Hitunglah :a. Rata-rata kemampuan karyawan mengepak barang dalam sehari ?b. Median dan Modusnya ?
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan masalah ini data harus dikelompokan sehingga lebih mempermudah dalam penyelesaiannya.
Upah Sistem Tally FrekuensiTitik Tengah
(Xmi)118 – 126127 – 135136 – 144145 – 153154 – 162163 – 171172 - 180
IIIIIIIIIII IIIIIIII IIII II IIIIIIIIII
35912542
122131140149158167176
Jumlah fi = 40 fiXmi = 5. 879
3
a. Rata – rata (Mean) = = = 146, 775
b. Median = L0 + c (2. 6)
Diketahui bahwa : L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat nilai median.c = besarnya kelas interval (selang interval).n = banyaknya data(fi)0= jumlah freukensi dari semua kelas dibawah kelas yang mengandung median.fm = Freukensi dari kelas yang mengandung mediansehingga, L0 = 144,5 (nilai batas bawah).c = (153, 5 – 144,5) = 9.n = 40 (fi)0= f1 + f2 + f3 = 17
fm = 12
Median = 144, 5 + 9 = 147, 01
c. Modus = L0 + c (2. 7)
Diketahui bahwa : L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung Modus.c = besarnya kelas interval (selang interval).n = banyaknya data(f1)0 = selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi kelas sebelumnya.(f2)0 = selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi kelas sesudahnya.sehingga, L0 = 144,5 (nilai batas bawah).c = (153, 5 – 144,5) = 9.n = 40 (f1)0 = 12 – 9 = 3(f2)0 = 12 – 5 = 7
Median = 144, 5 + 9 = 147, 2
IX. Untuk menghitung rata – rata ukur maka digunakan rumus berikut ini :
d. = (2. 8)
Contoh 6:
Carilah rata – rata ukur dari data berikut :
(a). X1= 2, X2 = 4, X3 = 8
(b). X1= 10, X2 = 12, X3 = 16
(c). X1= 10, X2 = 8, X3 = 12, X4 = 15
Penyelesaian :
4
(a). = = = atau
log = (log 2 + log 4 + log 8) = (0, 3010 + 0, 6021 + 0, 9031) = 0, 6021
= antilog 0, 6021 = 4
(b). = = = atau
log = (log 10 + log 12 + log 16) = (1, 000 + 1, 0792 + 1, 2041) = 1, 0944
= antilog 1, 0944 = 12, 4
(c). = = = atau
log = (log 10 + log 8 + log 12 + log 15) = (1, 000 + 0, 9031 + 1, 0792 + 1, 1761)
= 1, 0396
= antilog 1, 0396 = 14, 5
X. Untuk rata – rata harmonik digunakan rumus berikut ini
= (2. 9)
Contoh 7: Seorang pedagang batik memperoleh hasil penjualan sebesar Rp. 1.000. 000 per minggu,Minggu pertama : dapat menjual 10 helai seharga Rp. 100. 000/helaiMinggu kedua : dapat menjual 25 helai seharga Rp. 40. 000/helai Minggu ketiga : dapat menjual 20 helai seharga Rp. 50. 000/helai Minggu keempat : dapat menjual 40 helai seharga Rp. 25. 000/helai Berapa harga rata – rata kain tersebut perhelai ?
Penyelesaian :
Untuk menghitung rata – rata harga batik per helai dapat digunakan rumus rata – rata harmonik sebagai berikut :
=
=
=
= 42. 125, 00
5
2. 2 Ukuran Letak
XI. KuartilKuartil adalah suatu cara membagi kelompok data menjadi 4 bagian yang sama.
Q2 = Median
Dapat dirumuskan sebagai berikut :
Qi = nilai yang ke , i = 1, 2, 3 (2. 10)
Contoh 8:Berikut adalah data upah bulanan dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah yaitu : 40, 30, 50,65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100. carilah nilai dari Q1, Q2, Q3.
Penyelesaian Data tersebut di atas di urutkan dari yang terkecil ke yang terbesar, menjadi X1= 30, X2 = 35, X3 = 40, X4 = 45, X5 = 50, X6 = 55, X7 = 60, X8 = 65, X9 = 70, X10 = 80, X11 = 85, X12 = 95, X13 = 100.
Q1 = nilai yang ke = =
= nilai ke , berarti rata – rata dari X3 dan X4.
Jadi Q1 = = = 42, 5
Q2 = nilai yang ke = = 7
Jadi Q2 = X7 = 60
Q3 = nilai yang ke = =
= nilai ke , berarti rata – rata dari X10 dan X11.
Jadi Q3 = = = 82, 5
(Catatan : Nilai kuartil ini tidak perlu sama dengan nilai aslinya)
XII. DesilDesil adalah suatu cara, membagi kelompok data menjadi 10 bagian yang sama. Sehingga, yang terjadi adalah urutan data, D1, D2, …, D9.Dengan perumusan sebagai berikut :
Di = nilai yang ke , i = 1, 2, …, 9 (2. 11)
Contoh 9:Berikut adalah data upah bulanan dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah yaitu : 40, 30, 50,65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100. carilah nilai dari D1, D2,dan D9.
Data terurut :X1= 30, X2 = 35, X3 = 40, X4 = 45, X5 = 50, X6 = 55, X7 = 60, X8 = 65, X9 = 70, X10 = 80, X11 = 85, X12 = 95, X13 = 100.Penyelesaian
D1 = nilai yang ke = =
= nilai yang ke , berarti X1 + (X2 – X1).
6
Q1 Q2 Q3
= 30 + (35 – 30) = 31.
D2 = nilai yang ke = =
= nilai yang ke , berarti X2 + (X3 – X2).
= 35 + (40 – 35) = 39.
D9 = nilai yang ke = =
= nilai yang ke , berarti X12 + (X13 – X12).
= 95 + (100 – 95) = 98.
XIII. Persentil
Persentil adalah suatu cara membagi kelompok data menjadi 100 bagian yang sama. Sehingga, urutan data, menjadi P1, P2, …, P99.Dengan perumusan sebagai berikut :
Pi = nilai yang ke , i = 1, 2, …, 99 (2. 12)
Contoh 10:Berikut adalah data upah bulanan dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah yaitu : 40, 30, 50,65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100. carilah nilai dari P1, P10,dan P99.
X1= 30, X2 = 35, X3 = 40, X4 = 45, X5 = 50, X6 = 55, X7 = 60, X8 = 65, X9 = 70, X10 = 80, X11 = 85, X12 = 95, X13 = 100.Penyelesaian
P1 = nilai yang ke =
= nilai yang ke , berarti X1 + (X2 – X1).
= 30 + (35 – 30) = 30, 7.
P10 = nilai yang ke = =
= nilai yang ke , berarti X1 + (X2 – X1).
= 35 + (40 – 35) = 37.
P99 = nilai yang ke = =
= nilai yang ke , berarti X12 + (X13 – X12).
= 95 + (100 – 95) = 99, 35.
Untuk membandingkan rumus ini dengan rumus metode pengelompokan maka,
digunakan rumus data berkelompok sebagai berikut :
7
No. Urut
Nilai Kelas
f
12345678910111213
30 35 40 45 50 55 60 65 70 80 85 95100
1111111111111
Jumlah fi = 13
P99 = L0 + c = 99,5 + 1 = 99, 56.
XIV. Kuartil, Desil dan Persentil untuk Data Berkelompok
a. Kuartil
Qi = L0 + c (2. 13)
Diketahui : L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat kuartil ke - i.c = besarnya kelas interval (selang interval).n = banyaknya data(fi)0= jumlah frekuensi dari semua kelas dibawah kelas yang mengandung kuartil ke - i.fq = frekuensi dari kelas yang mengandung kuartil ke - i.i = 1, 2, dan 3.i n = i dikali n .
b. Desil
Di = L0 + c (2. 14)
Diketahui : L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat Desil ke - i.c = besarnya kelas interval (selang interval).n = banyaknya data(fi)0= jumlah frekuensi dari semua kelas dibawah kelas yang mengandung Desil ke - i.fd = frekuensi dari kelas yang mengandung Desil ke - i.i = 1, 2, …, 9.i n = i dikali n .
c. Persentil
8
Diketahui,L0 = Batas bawah terkecil dari kelas yang
mengandung persentil = 99, 5 i = 99 n = 13 c = 1(fi)0 = 12 fp = 13
Pi = L0 + c (2. 15)
Diketahui : L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat Persentil ke - i.c = besarnya kelas interval (selang interval).n = banyaknya data(fi)0= jumlah frekuensi dari semua kelas dibawah kelas yang mengandung Persentil ke - i.fp = frekuensi dari kelas yang mengandung Persentil ke - i.i = 1, 2, …, 99.i n = i dikali n .
Contoh 11:
Berdasarkan data berikut hitunglah, Q1, Q3, D6 dan P50.
Nilai Kelas f(1) (2)
72, 2 – 72, 472, 5 – 72, 772, 8 – 73, 073, 1 – 73, 373, 4 – 73, 673, 7 – 73, 974, 0 – 74, 274, 3 – 74, 5
2510132723164
Jumlah fi = n = 100
Penyelesaian :
Q1 = L0 + c
Diketahui Q1 berada pada jumlah 25% dari keseluruhan frekuensi terkecil atau frekuensi
yang ke – 25. Sehingga frekuensi itu berada pada f1 + f2 + f3 = 17, jadi berada pada
kelas ke – 4, memuat Q1.
(f1)0 = 17, n = 100, fq = 13
Nilai batas bawah dari kelas yang memuat Q1 adalah L0 = 73, 05
c = (nilai batas atas kelas ke – i) – (nilai batas bawah kelas ke i) = 73, 35 – 73, 05 = 0, 3
Q1 = L0 + c = 73, 05 + 0, 3 = 73, 05 + 0, 18 = 73, 2.
Diketahui Q3 berada pada jumlah 75% dari keseluruhan frekuensi terkecil atau frekuensi
yang ke – 75. Sehingga frekuensi itu berada pada f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 57, jadi berada
pada kelas ke – 6, memuat Q3.
(f1)0 = 57, n = 100, fq = 23
Nilai batas bawah dari kelas yang memuat Q3 adalah L0 = 73, 65
9
c = (nilai batas atas kelas ke - i) – (nilai batas bawah kelas ke - i) = 73, 95 – 73, 65 = 0, 3
Q3 = L0 + c
= 73, 65 + 0, 3 = 73, 65 + 0, 23 = 73, 88.
Diketahui D6 berada pada jumlah 60% dari keseluruhan frekuensi terkecil atau frekuensi
yang ke – 60. Sehingga frekuensi itu berada pada f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 57, jadi berada
pada kelas ke – 6, memuat Q3.
(f1)0 = 57, n = 100, fq = 23
Nilai batas bawah dari kelas yang memuat D6 adalah L0 = 73, 65
c = (nilai batas atas kelas ke - i) – (nilai batas bawah kelas ke - i) = 73, 95 – 73, 65 = 0, 3
D6 = L0 + c
= 73, 65 + 0,3 = 73, 65 + 0, 23 = 73, 69.
Diketahui P50 berada pada jumlah 50% dari keseluruhan frekuensi terkecil atau frekuensi
yang ke – 50. Sehingga frekuensi itu berada pada f1 + f2 + f3 + f4 = 30, jadi berada pada
kelas ke – 5, memuat Q3.
(f1)0 = 30, n = 100, fq = 27
Nilai batas bawah dari kelas yang memuat P50 adalah L0 = 73, 35
c = (nilai batas atas kelas ke - i) – (nilai batas bawah kelas ke - i) = 73, 65 – 73, 35 = 0, 3
P50 = L0+c
= 73, 35+ 0,3 = 73, 35 + 0, 22 = 73, 57.
10
2. 3 Ukuran Variasi Atau Dispersi
Berikut contoh yang mengambarkan 3 kelompok data dengan variasi cukup beraneka ragam (lihat hal.120.[1]):(1) 50 50 50 50 50 Rata – rata hitung = 50(2) 50 40 30 60 70 Rata – rata hitung = 50(3) 100 40 80 20 10 Rata – rata hitung = 50
XV. Nilai Jarak (rentang), Rata – Rata Simpangan, Simpangan Baku dan Koefisisen Variasi
a. Nilai Jarak (Rentang)Nilai Jarak adalah nilai data kelompok setelah disusun menurut ukuran terkecil sampai terbesar (data maksimum dikurangi nilai data minimum).
Nilai Jarak = Nilai Maksimum – Nilai Minimum (2. 16)
Contoh 12 : Carilah jarak dari data berikut : (a). 50 60 30 40 70
(b). 100 40 80 20 10 Penyelesaian :(a). Disusun terurut dari yang terkecil ke yang terbesar, X1= 30, X2 = 40, X3 = 50, X4 = 60, X5 = 70
Nilai Jarak = 70 – 30 = 40
(b). X1= 10, X2 = 20, X3 = 40, X4 = 80, X5 = 100Nilai Jarak = 100 – 10 = 90
Untuk data berkelompok dapat dihitung dengan 2 cara :
NJ = Nilai Tengah kelas terakhir – Nilai tengah kelas pertama NJ = Batas atas kelas terakhir – Batas bawah kelas pertama
11
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
X1 X2 X3 X4 X5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
X1
X2
X3
X4
X5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100X1
X2
X3
X4
X5
Contoh 13:Hitunglah nilai jarak dari data berikut :
Nilai Kelas F
(1) (2)72, 2 – 72, 472, 5 – 72, 772, 8 – 73, 073, 1 – 73, 373, 4 – 73, 673, 7 – 73, 974, 0 – 74, 274, 3 – 74, 5
2510132723164
Jumlah fi = n = 100
Penyelesaian:Cara 1:
Nilai Tengah kelas terakhir = =74, 4
Nilai Tengah kelas pertama = = 72, 3 NJ = 74, 4 – 72, 3 = 2,1
Cara 2: NJ = 74, 55 – 72, 15 = 2, 4
Catatan :Perbedaan ini dikarenakan cara 2 menghilangkan perbedaan data yang cukup besar (lihat frekuensinya ditengah kelas).
a. Rata – Rata Simpangan
Diketahui data : X1 , X2 , … , Xi , … , Xn.
Rata – Rata hitungnya adalah : . (2. 17)
Simpangan terhadap rata – rata hitungnya adalah :
, , …, , … . (2. 18)
Rata – Rata Simpangannya = RS = , . disebut harga mutlak. (2.
19) Simpangan terhadap mediannya adalah :
, , …, , … . (2. 20)
Rata – Rata Simpangannya = RS = . (2. 21)
Contoh 13:
Carilah rata – rata simpangan (biasanya dihubungkan dengan rata – rata hitung atau
Median) dari data kelompok berikut ini :
(a). 50 60 30 40 70 (b). 100 40 80 20 10
12
Penyelesaian
(a). Diketahui :
= 50, dan Med = 50
RS = = = 12
RS = = = 12
(b). Diketahui :
= 50, dan Med = 40
RS = = = 32
RS= =
= = 30.
b. Simpangan Baku
Jika suatu Populasi beranggotakan sebanyak N dan sampel sebanyak n elemen, maka nilai
suatu karakteristik tertentu (Misalnya, umur orang, hasil penjualan perusahaan, harga
barang, produksi barang, nilai ujian),akan diperoleh suatu pengamatan sebagai berikut :
Populasi : X1 , X2 , … , Xi , … , XN.
= = rata – rata sebenarnya dari X. (2. 22)
Sampel : X1 , X2 , … , Xi , … , Xn.
= rata – rata perkiraan (taksiran) dari X. (2. 23)
adalah Perkiraan dari
Sehingga,
2 = , ( 2, dibaca sigma kuadrat). (2. 24)
= variansi sebenarnya dari X
= Simpangan (deviasi) dari pengamatan terhadap rata – rata sebenarnya.
Atau dapat juga ditulis,
= atau (2. 25)
13
= , (2. 26)
= simpangan baku sebenarnya dari X.
Dalam prakteknya, pengumpulan data hanya didasarkan pada sampel, sehingga
simpangan bakunya dirumuskan sebagai berikut :
S = atau (2. 27)
S = (2. 28)
Rumus ini dapat juga ditulis sebagai,
S = , (2. 29)
S = simpangan baku perkiraan dari X.
Untuk data Berkelompok dan sudah disajikan dalam tabel frekuensi, rumus Variansi (2) adalah :
= (2. 30)
Xmi = nilai tengah kelas ke – i, i = 1, 2, …, k
Untuk kelas interval yang sama :
= c , (2. 31)
c = besar kelas intervalfi = frekuensi kelas ke idi = deviasi atau simpangan dari kelasi ke – i terhadap titik asumsi awal
Untuk kelas interval yang tidak sama :
14
= , (2. 32)
Xmi = nilai tengah kelas ke – i, i = 1, 2, …, k fi = frekuensi kelas ke i
Untuk, sampel diganti dengan S dan N diganti n.
Contoh 14:
Hitunglah simpangan baku dari data berikut ini :
X = upah bulanan karyawan sebuah perusahaan, dalam ribuan rupiah.
(1). 50 50 50 50 50 (kelompok karyawan 1)(2). 50 40 30 60 70 (kelompok karyawan 2) (3). 100 40 80 20 10 (kelompok karyawan 3)Penyelesaian :
Dari hasil perhitungan, menunjukkan bahwa kelompok data yang heterogen, mempunyai nilai simpangan baku yang besar.
1 < 2 < 3
0 < 14, 14 < 34, 64.
15
Kelompok 1X X2
(1) (2)X1 = 50X2 = 50X3 = 50X4 = 50X5 = 50
2.5002.5002.5002.5002.500
Xi=250 X2i=12.500
Kelompok 2X X2
(1) (2)X1 = 50X2 = 40X3 = 30X4 = 60X5 = 70
2.5001.600 9003.6004.900
Xi=250 X2i=13.500
Kelompok 3X X2
(1) (2)X1 = 100X2 = 40X3 = 80X4 = 20X5 = 10
10.500 1.600 6.400 400 100
Xi=250 X2i=18.500
1 =
=
=
= 0.karena simpangan bakunya sama dengan nol, maka upah bulanan karyawan kelompok 1, homogen atau tidak bervariasi.
2 =
=
= 14, 14Simpangan baku karyawan kelompok 2 sebesar Rp. 14, 14
3 =
=
= 34, 64Simpangan baku karyawan kelompok 3 sebesar Rp. 34, 64
Contoh 15:
Gaji 40 Guru Honor SMK setelah potong pajak, diambil secara acak (dalam ribuan rupiah), sebagai berikut :
138 164 150 132 144 125 149 157146 158 140 147 136 148 152 144168 126 138 176 163 119 154 165146 173 142 147 135 153 140 135161 145 135 142 150 156 145 128
Hitunglah simpangan baku dari gaji honor guru tersebut diatas ?
Penyelesaian :
Syarat – syarat membuat Tabel frekuensi adalah :
Diketahui :
Data terbesar (Xn) = 176
Data terkecil (X1) = 119
Banyaknya kelas dapat dicari dengan rumus Kriteria Sturges :
K = 1 + 3, 322 log n Sehingga,
K = 1 + 3, 4 log 40
= 6, 44 6 atau 7.
C = lebar kelas (panjang atau interval kelas )
= = = 9, 5 10
Xm1 = = 123, Xm2 = = 132, …
16
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
X1 X2 X3 X4 X5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
X1
X2
X3
X4
X5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100X1
X2
X3
X4
X5
Tabel frekuensinya adalah :
No GajiNilaiTengah
(Xmi)Sistem Tally f
1234567
119 – 127128 – 136137 – 145146 – 154155 – 163164 – 172173 – 181
123132141150159168177
III IIII IIIII IIII IIII IIII I IIII IIIII
361011532
Jumlah 40
Simpangan Baku dapat dihitung secara langsung (data tidak berkelompok) :
=
=
=
= = = 13, 00.
2 = 169 (variansi)
Simpangan Baku untuk interval yang sama (data berkelompok) :
Gaji f d d2 fd fd2
(1) (2) (3) (4) (5) (6)119 – 127128 – 136137 – 145146 – 154155 – 163164 – 172173 – 181
361011532
c.3
d.2
e.1
0123
9410149
91210 0 5 6 6
272410051218
Jumlah 40 0 32 fidi= – 14 fidi2= 96
= c = = = 13, 58.
Simpangan Baku dapat juga dicari dengan menggunakan rumus 2. 32 (data berkelompok) :
17
Xmi f Xmi2 f Xmi f Xmi
2
(1) (2) (3) (4) (1x2) (5) (2x3)123132141150159168177
36
1011532
15.12917.42419.88122.50025.28128.22431.329
369792
1.4101.650
795504354
45.387104.544198.810247.500126.40584.67262.658
Jumlah 40 fi Xmi = 5.874 fi Xmi2 = 869.976
=
=
=
= 13. 58
Jadi variansi gaji guru honor adalah : 2 = 184, 42
d. Bilangan Baku
Variabel X, mempunyai rata – rata dan simpangan baku .
, adalah nilai baku dari Xi.
Z = , adalah nilai simpangan (deviasi) yang dibakukan atau distandarisasi.
Contoh 16 :
Diketahui data umur anak (dalam tahun) yang mengalami kekerasan dalam rumah tangga sebagai berikut :X1= 2, X2 = 8, X3 = 10, X4 = 4, X5 = 1 (N = 5)
i. Hitunglah , , dan
ii. Jika Zi = , Hitunglah Zi, i= 1, 2, …, 5.
iii. Hitunglah z, dan z
Penyelesaian :
i. = = = = = 5
18
= = = 3, 46
= = 0, 577, = = 2, 312, = 2, 89, = 1, 156
dan = 0, 289
ii. Zi = Z1 = = – 0,86, Z2 = = 0,86,
Z3 = 1, 445, Z4 = – 0, 289 dan Z5 = –1 ,156
iii. z = = = = 0
Rata – rata simpangan yang dibakukan adalah 0
z =
=
= = 1
Simpangan bakunya adalah 1, sehingga N (0, 1)
e. Koefisien Variansi
Koefisien variansi adalah nilai perbandingan dua kelompok data yang bebas dari satuan
data asli.
Dirumuskan sebagai :
KV = , untuk Populasi
Kv = , untuk Sampel.
Dua kelompok data dengan KV1 > KV2 maka, kelompok pertama lebih bervariasi atau
lebih heterogen dari pada kelompok dua.
19
2. 4 Latihan Soal :
1. Diketahui 30 orang ibu rumah tangga, ditanya tentang pengeluaran sebulan (dalam ribuan rupiah) untuk keperluan hidup sehari – hari. Hasilnya sebagai berikut :
30 40 35 25 35 5040 45 40 20 45 4520 35 45 25 40 3025 33 20 20 20 4535 34 15 30 25 40
a). Buatlah Tabel Frekuensi ?b). Gambar grafik histogramnya ?c). Hitunglah rata – rata pengeluaran ibu rumah tangga itu perkeluarga tersebut ?d). Berapa besar mediannya ?e). Berapa besar modusnya ?
2. Hitunglah rata – rata ukur (geometrik mean) dari data berikut :107, 132, 120, 110, 130, 126, 116, 123.
3. Dengan menggunakan rumus :
, i = 1, 2, …, k dimana, k = banyaknya kelas
Mi = nilai tengah kelas ke – iHitunglah rata – rata dari data berikut :
Konsumsi beras selama satu bulan dari 75 Rumah Tangga,
Konsumsi Beras (Kg) Banyaknya Keluarga(1) (2)
5 – 2425 – 4445 – 6465 – 84
85 – 104105 – 124125 – 144145 – 164
46142314572
4. Dari nomor 3, hitunglah median dan Modus konsumsi beras dengan menggunakan rumus :
Med = L0 + c dan Mod = L0 + c
5. Diketahui hasil ujian dari 120 mahasiswa FE. UT :
Nilai Ujian f(1) (2)
30 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 7980 – 8990 – 100
93243211131
a). Hitunglah kuartil pertama, ketiga, (Q1 dan Q3) b). Hitunglah desil pertama, kelima dan ketujuh (D1, D5 dan D7)
20
c). Hitunglah persentil pertama, keduapuluh lima, kelima puluh, dan ketujuh puluh lima (P1, P25, P50, dan P75)
6. Dari Data Nomor 1, a). Hitunglah nilai jarak (range) = NJb). Hitunglah rata – rata simpangan = RS. Anggap sebagai sampel n = 30.c). Hitunglah simpangan baku perkiraan, dengan rumus :
S = dan
d). Hitung koefisien variasi kv =
7. Dari data nomor 5,
Hitung S = c
8. Prosentase penduduk berumur 10 tahun keatas yang bekerja menurut jam kerja selama seminggu.
Jam Kerja Prosentase0 – 9
10 – 1920 – 2930 – 3940 – 4950 – 5960 – 69
26222723155
a). Buat grafiknyab). Cari rata – rata, median, dan modus jam kerjanyac). Hitung Kuartil kedua, Desil kelima dan Persentil kelima puluhd). Hitunglah Simpangan Bakunya e). Hitunglah Koefisien Variasinya
9. Nilai hasil ujian Matematika SMU Raksa Maju kelas 1dikelompokkan sebagai berikut :
Kelas Nilai f30 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 7980 – 8990 – 99
25815201610
a). Cari rata – rata, median, dan modus.c). Hitung Kuartil ketiga, Desil ketujuh dan Persentil kelima limad). Hitunglah Simpangan Bakunya e). Hitunglah Koefisien Variasinya
21
17.5 23.5 29.5 35.5 41.5 47.50
1
2
3
4
5
6
7
Penyelesaian :1. Diketahui :
Setelah data disusun maka : Banyaknya data (n) = 30 Data tertinggi (Xn) = 50 Data terrendah (X1) = 15 Banyaknya kelas (k) = 1 + 3, 322 log n = 1 + 3, 322 log 30 = 5, 907 6.
Lebar kelas atau Selang (c) = = = 5, 833 6
a. Tabel Frekuensi Data 30 orang Orang ibu Rumah Tangga :
KelasLebarKelas
Nilai Tengah(Xt)
Sistem Tally f
123456
15 – 2021 – 2627 – 3233 – 3839 – 4445 – 50
17,523,529,535,541,547,5
IIII IIIII III IIII I IIII IIII I
643656
Jumlah 30
b. Grafik Histogramnya
c. Rata – rata pengeluaran ibu rumah tangga
- = = 32, 9.
Menggunakan Kalkulator : Pilih, Shift Mode (Pilih 3) Membersihkan Layar Kalkulator Tekan, Mode 2x (Pilih 1) SD (Standard Deviasi) untuk Statitika satu variabel. Input data : 30 DT (tekan M+), 40 DT, 35 DT, …, 40 DT. Untuk mengecek Banyaknya Data (n), Tekan Shift S-Sum (atau tekan angka 1) Pilih Nomor
3 dan tekan tanda ”=”.
22
Untuk mengecek Rata – rata , Tekan Shift S-Var (atau tekan angka 2) Pilih Nomor 1 dan tekan tanda ”=”.
Jadi Rata – rata pengeluaran ibu rumah tangga itu = 32, 9.- Rata – rata pengeluaran itu, dapat juga dicari dengan menggunakan rumus :
= = 33, 1 (lihat perhitungan menggunakan tabel) :
d. Besar Median dapat dicari dengan menggunakan rumus (lihat Tabel) :
Med = L0 + c
Diketahui,- n = 30 {banyaknya data (f)}- L0 = 32, 5 (Batas bawah terkecil)
- fi = (jumlah frekuensi sebelum median)- fm = 16 (frekuensi median berada)- c = 6 (lebar selang data = 21 – 15 = 6)
- Med = 32, 5 + 6 = 34. 5
e. Besar Modus dapat dicari dengan menggunakan rumus (lihat Tabel) :
Mod = L0 + c
- L0 = 32, 5- c = 6- (f1)0 = 6 – 3 = 3- (f2)0 = 6 – 5 = 1
Mod = 32, 5 + 6
= 37.2. Diketahui :
Dengan menggunakan rumus :
=
maka rata – rata ukur (geometrik mean) data tersebut : =
= = = 120, 198
23
PengeluaranNilai Tengah
(Xt)fi fiXti
15 – 2021 – 2627 – 3233 – 3839 – 4445 – 50
17,523,529,535,541,547,5
643656
105 94 88, 5213207, 5285
Jumlah 30 993
KelasPengeluaranfi12345
615 – 2021 – 2627 – 3233 – 3839 – 4445 – 506
4365
6Jumlah30
13
13
Kelas Pengeluaran fi
123456
15 – 2021 – 2627 – 3233 – 3839 – 4445 – 50
643656
Jumlah 30
3. Diketahui :
Konsumsi beras selama satu bulan dari 75 Rumah Tangga,
Konsumsi Beras (Kg) Mi atau Xti fi fiXi
5 – 2425 – 4445 – 6465 – 84
85 – 104105 – 124125 – 144145 – 164
14,5 34,5 54,5 74,5 94,5114,5134,5154,5
4 6142314 5 7 2
58 207 763
1.715, 3 1.323, 0 572, 5 941, 5
309Jumlah 75 5.889, 3
= 78, 524
Jadi Rata – rata konsumsi beras selama satu bulan dari 75 Rumah Tangga = 78, 524 Kg.
4. Diketahui data dari nomor 3 :
Dapat dicari Mediannya dengan menggunakan rumus berikut (lihat Tabel) :
Med = L0 + c
Konsumsi Beras (Kg) Mi atau Xti fi fiXi
5 – 24 25 – 44 45 – 64
65 – 84 85 – 104 105 – 124 125 – 144 145 – 164
14,5 34,5 54,5 74,5 94,5114,5134,5154,5
4 6142314 5 7 2
58 207 763
1.715, 3 1.323, 0 572, 5 941, 5
309
Jumlah 75 5.889, 3
- L0 = 64, 5- c = 20- n = 75- fi = 24- fm = 23
Med = 64, 5 + 20 = 64, 5 + 20(0, 587) = 76, 24
Dapat dicari Modusnya dengan menggunakan rumus berikut (lihat Tabel) :
Mod = L0 + c
Konsumsi Beras (Kg) Mi atau Xti fi fiXi
24
5 – 24 25 – 44 45 – 64
65 – 84 85 – 104 105 – 124 125 – 144 145 – 164
14,5 34,5 54,5 74,5 94,5114,5134,5154,5
4 6142314 5 7 2
58 207 763
1.715, 3 1.323, 0 572, 5 941, 5
309
Jumlah 75 5.889, 3
- L0 = 64, 5- c = 20- n = 75- ( f1)0 = 23 – 14 = 9- ( f2)0 = 23 – 14 = 9
Mod = 64, 5 + 20 = 74, 5.
5. Diketahui hasil ujian dari 120 mahasiswa FE. UT :
Nilai Ujian f30 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 7980 – 8990 – 100
932
432111 3 1
Jumlah 120
a. Kuartil pertama dan ketiga, (Q1 & Q3)
Kuartil ke – 1 :
Qi = L0 + c
- Pertama yang harus dilakukan adalah mengecek keberadaan kuartil yang akan dicari, dengan membagi empat bagian jumlah data, misalkan yang akan dicari adalah Kaurtil ke – 1, maka
, berarti data ada pada frekuensi sama dengan 30.
- L0 = 39, 5 (batas bawah kuartil yang ditaksir/diperkiran)- c = 10 (selang interval = 40 – 30 = 50 – 40 = … = 90 – 80)- i = 1- n = 120- fi = 9- fq = 32
Q1 = 39, 5 + 10 = 46, 062.
Kuartil ke – 3 :
25
Q1
Q3
- Pengecekan dimulai keberadaan Kaurtil ke – 3, dengan , berarti data ada pada
frekuensi sekitar 90.- L0 = 49, 5 (batas bawah kuartil yang ditaksir/diperkiran)- c = 10 (selang interval = 40 – 30 = 50 – 40 = … = 90 – 80)- i = 1- n = 120- fi = 41- fq = 43
Q3 = 49, 5 + 10 = 60, 895
b. Diketahui Rumus Desil :
Di = L0 + c
- Pertama yang harus dilakukan adalah mengecek keberadaan Desil yang akan dicari, dengan membagi sepuluh bagian jumlah data, misalkan yang akan dicari adalah Desil ke – 1,
maka , berarti data ada pada frekuensi sama dengan 12 atau dekat dengan 12 .
- L0 = 39, 5- c = 10- n = 120- (fi)0 = 9- fd = 32
D1 = 39, 5 + 10 = 39, 5 + 10.(0, 094) = 40, 44 Jadi
Desil Ke – 1 adalah 40, 44.
Dengan cara yang sama, maka dapat langsung dihitung Desil ke – 5 dan Desil ke – 7 :
Nilai Ujian f30 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 7980 – 8990 – 100
932432111 3 1
Jumlah 120
D5 = 49, 5 + 10 = 49, 5 + 10.(0, 442) = 53, 92
D7 = 49, 5 + 10 = 49, 5 + 10(1) = 59, 5
26
D5, D7
c. Diketahui Rumus Persentil :
Pi = L0 + c
Nilai Ujian f30 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 7980 – 89
90 – 100
93243
2111 3 1
Jumlah 120
Sehingga :
- P1 = 29, 5 + 10 = 29, 5 + 10 (0, 133) = 30, 83
- P25 = 39, 5 + 10 = 39, 5 + 10 (0, 656) = 46, 063
- P50 = 49, 5 + 10 = 49, 5 + 10 (0, 442) = 53, 919
- P75 = 59, 5 + 10 = 59, 5 + 10 (0, 286) = 62, 357
27
P1 P25
P50
P75
6. Diketahui data dari Nomor 1 :
a. Nilai Jarak (NJ) =
Nilai Tengah kelas terakhir = = 47, 5
Nilai Tengah kelas pertama = = 17, 5 NJ = 47, 5 – 17, 5 = 30
b. Rata – rata simpangan (RS) = , Misalkan sampel n = 30.
= , dari nomor 1, diketahui
=
= 8, 193c. Simpangan baku perkiraan, dengan rumus :
S =
= = 9, 527
dan, jika digunakan rumus berikut maka,
S =
= = 9, 689
d. Koefisien variasi (kv) = =
7. Diketahui,
S = c
Dimana,Nilai Ujian f d d2 fd fd2
30 – 3940 – 49
932
-2-1
41
-18-32
3632
28
Kelas Pengeluaran fi
123456
15 – 2021 – 2627 – 3233 – 3839 – 4445 – 50
643656
Jumlah 30
50 – 5960 – 6970 – 7980 – 8990 – 100
432111 3 1
01234
014916
0212294
021442716
Jumlah 120 - - 6 176
- c = 10- n = 12
- S = 10 = 12, 08
8. Diketahui Prosentase penduduk berumur 10 tahun keatas yang bekerja menurut jam kerja selama seminggu adalah :
Jam Kerja
Prosentase
0 – 910 – 1920 – 2930 – 3940 – 4950 – 5960 – 69
26222723155
a. Grafiknya
Prosentasi Usia Kerja
6
22
27
23
15
5
2
0
5
10
15
20
25
30
Ja
m K
erj
a
b. rata – rata, median, dan modus jam kerjanya Diketahui :
-
Jam Kerja Xti fi Xti fi
0 – 910 – 1920 – 29
4, 514, 524, 5
2 622
9 87 539
29
30 – 3940 – 4950 – 5960 – 69
34, 544, 555, 564, 5
2723
155
931, 51.023, 5
832, 5 322, 5
Jumlah 100 3.745
= = 37, 45
- Med = L0 + c = 29, 5 + 10 = 36, 907.
- Mod = L0 + c = 29, 5 + 10 = 35, 056
c. Kuartil kedua, Desil kelima dan Persentil kelima puluhJam Kerja Xti fi Xti fi di fidi di
2 fidi2
0 – 910 – 1920 – 2930 – 3940 – 4950 – 5960 – 69
4, 514, 524, 534, 544, 555, 564, 5
2 6222723
15 5
9 87 539 931, 51.023, 5
832, 5 322, 5
- 3 - 2- 10123
- 6 - 12 - 22
02315 5
9410149
1824220236045
Jumlah 100 3.745 - 3 - 192
- Q2 = L0 + c = 29, 5 + 10 = 36, 907
- D5 = L0 + c = 29, 5 + 10 = 36, 907
- P50 = L0 + c = 29, 5 + 10 = 36, 907
d. Simpangan Bakunya
S = c = 10 = 13, 853
e. Koefisien Variasinya =
9. Diketahui :
Nilai hasil ujian Matematika SMU Raksa Maju kelas 1dikelompokkan sebagai berikut :
Kelas Nilai Xti fi Xtifi di fidi di2 fidi
2
30 – 3940 – 49
34, 544, 5
25
69 222, 5
-4-3
-8-15
169
3245
30
50 – 5960 – 6970 – 7980 – 8990 – 99
54, 564, 574, 584, 594, 5
815201610
436 967, 5
1.4901.352 945
-2-1012
-16-1501620
41014
321501640
76 5482 - -18 - 180
a. Rata – rata, median, dan modus.
- = = 72, 13
- Med = L0 + c = 69, 5 + 10 = 73, 5.
- Mod = L0 + c = 69, 5 + 10 = 75, 05
c. Kuartil ketiga, Desil ketujuh dan Persentil kelima lima
- Q3 = L0 + c = 89, 5 + 10 = 98,5
- D7 = L0 + c = 89, 5 + 10 = 93,5
- P55 = L0 + c = 79, 5 + 10 = 82, 625
d. Simpangan Bakunya
S = c = 10 = 14, 829
e. Koefisien Variasinya =
31