Solusi Olimpiade Matematika SMP Se Jawa Timur

Solusi Olimpiade Matematika SMP se-Jawa Timur

Ir. Singgih Satrio Wibowo, MT

Departemen Teknik Penerbangan Fakultas Teknologi Industri Institut Teknologi Bandung

Pebruari 2007

Solusi Soal-Soal Olimpiade Matematika SMP se Jawa Timur

Hak Cipta © Singgih Satrio Wibowo

2

Kata Pengantar Buku ini berisi soal-soal Olimpiade Matematika SMP se Jawa Timur yang diselenggarakan pada 19 Desember 2006 berikut solusinya. Semua jawaban dikerjakan secara mandiri oleh penulis. Semoga buku ini bermanfaat bagi banyak pihak, khususnya guru dan pelajar yang tertarik untuk mendalami Matematika. Segala puji saya haturkan kepada Kekasih Maha Tinggi, Allah Yang Maha Tak-Terbayangkan atas segala pemberian dan anugerah-NYA kepada penulis.

Bandung, Pebruari 2007

Singgih Satrio Wibowo



3

Soal dan Solusi (1). Bentuk sederhana dari ( ) ( )2 25 3 1 2 4x x x x+ − − + − adalah sebagai berikut:

a. 23 2 3x x+ + b. 23 2 5x x+ − c. 23 4 3x x+ + d. 23 4 5x x+ − e. 27 4 5x x+ −

Solusi: ( ) ( )2 2

2 2

2

5 3 1 2 4

5 2 3 1 43 2 3

x x x x

x x x xx x

+ − − + −

= − + − − +

= + +

jawab: A

(2). Jika garis melalui titik ( ), 16m − dan ( )9,m mempunyai gradien m maka nilai m adalah a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6

Solusi:

Gradien: ( )2 1

2 1

16 169 9

my yy mmx x x m m

− −−Δ += = = =Δ − − −

Jadi kita punya persamaan kuadrat

( )

2

2

2

1699 16

8 16 0

4 0

mmm

m m mm m

m

+=

−⇔ − = +

⇔ − + =

⇔ − =

Jadi diperoleh m = 4 jawab: C

(3). Jika ( )90 505 5 5 5 5 125x x x x x+ + + + = maka nilai 29x adalah

a. 8 b. 7 c. 6 d. 5 e. 4

Solusi:



4

( )( )

( )

90 50

90 50

90 90 50

50350 15090 60

90 90 90

5 5 5 5 5 125

5 5 125

5 5 125

5125 55 55 5 5

x x x x x

x

x

x

+ + + + =

⋅ =

⋅ =

= = = =

Jadi diperoleh persamaan pangkat dengan basis 5, sehingga 90 60

60 290 3

x

x

=

= =

Selanjutnya dapat dihitung

22 2 49 9 9 4

3 9x ⎛ ⎞= = × =⎜ ⎟

⎝ ⎠

jawab: E (4). Berikut ini yang bukan faktor dari 8 8a b− adalah

a. a b− b. a b+ c. 2 2a b+ d. 3 3a b+ e. 4 4a b+

Solusi:

( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

2 28 8 4 4

4 4 4 4

2 22 2 4 4

2 2 2 2 4 4

2 2 4 4

a b a b

a b a b

a b a b

a b a b a b

a b a b a b a b

− = −

= − +

= − +

= − + +

= − + + +

Jadi yang bukan faktornya adalah 3 3a b+ jawab: D

(5). Ahmad mengendarai mobil menempuh jarak 156 km. Jika dia mengendarai dengan

kecepatan 9 km/jam lebih cepat, maka dia sampai 45 menit lebih awal. Kecepatan mobil Ahmad sebenarnya adalah a. 38 km/jam b. 39 km/jam c. 48 km/jam d. 49 km/jam e. 50 km/jam

Solusi:



5

Misal kita gunakan simbol 1V untuk kecepatan sebenarnya, 2V untuk kecepatan baru, S untuk jarak dan T untuk waktu tempuh, maka diperoleh hubungan sebagai berikut berdasarkan soal

2 1 9V V= + dengan satuan km/jam 3

2 1 4T T= − dengan satuan jam

Rumus kecepatan adalah SVT

= sehingga diperoleh hubungan 11

SVT

= dan 22

SVT

= . Dari rumus

ini kemudian diperoleh

( )( )

( )

( )( )

1 1 2 2

31 1 1 1 4

3 271 1 1 1 1 14 4

3 271 14 4

3 2714 4

1

3 2714 4

1

1 11

21 12

1 1

1 1

9

90 9

0 9

1560 9

1560 12 9

9 12 156 0

9 48 39 048 39 0

S VT V TVT V T

VT VT V TV T

SVV

VV

V VV

V V

V VV V

= =

⇔ = + −

⇔ = − + −

⇔ = − + −

⇔ = − + ⋅ −

⇔ = − + ⋅ −

⎛ ⎞⇔ = − + ⋅ − × −⎜ ⎟

⎝ ⎠⇔ + − × =

⇔ + − × =

⇔ + − =

, catatan: dari hubungan kecepatan diperoleh 11

STV

=

Solusi dari persamaan kuadrat di atas adalah 1V = 39 km/jam atau 1V = -48 km/jam. Namun jawaban yang benar dipilih yang positif, karena kecepatan mobil pastilah positif.

jawab: B (6). Besar sudut E dari gambar berikut adalah

a. 40o b. 30o c. 20o d. 10o e. 5o

Solusi: Perhatikan segitiga ABC dan garis BCD. Misalkan sudut ACB adalah α maka berlaku

180 2xα = − karena pelurus pada garis BCD. Pada segitiga ABC berlaku



6

2 40 1802 140

180 2 2 1402 2 40

20

yy

x yx yx y

αα

+ + =+ =

− + =− + = −

− =

Sekarang perhatikan segitiga BCE, berlaku 180

180 2 1800

20

E x yE x x y

E y xE x y

α+ + + =+ − + + =

+ − == − =

jawab: C (7). Jika xy = 6, yz = 12 dan xz = 8, maka nilai dari 2 2 2x y z+ + adalah...

a. 40 b. 37 c. 33 d. 29 e. 25

Solusi:

2

2

2

6 8 48 412 126 12 72 9

8 88 12 96 16

6 6

xy xzxyz

xy yzyxz

xz yzzxy

⋅ ⋅= = = =

⋅ ⋅= = = =

⋅ ⋅= = = =

maka 2 2 2 4 9 16 29x y z+ + = + + = jawab: D

(8). Penyelesaian dari 4

3 2

1 2 31

x xx x x

−= −

+ + +

a. 14

b. 12

c. 34

d. 1 e. 5

4 Solusi:



7

( )( )( )( )( )

4

3 2

2

2

1 2 31

1 1 12 3

1 1

1 2 34 3

34

x xx x x

x x xx

x x

x xx

x

−= −

+ + +− + +

= −+ +

− = −=

=

jawab: C (9). Titik pada sumbu Y yang jaraknya sama terhadap titik (1,1) dan (5,-5) adalah...

a. (0,-4) b. (0, -3) c. (0, -2) d. (0, 1) e. (3, -2)

Solusi:

Rumus jarak antara dua titik ( ) ( )2 22 22 1 2 1r x y x x y y= Δ + Δ = − + −

Titik pada sumbu Y berarti titik tersebut adalah ( )0, y , dengan demikian

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2

22 2 2

2 2

2 2

1 0 1 5 0 5

2 2 50 10

2 2 50 1012 48

4

r r

y y

y y y y

y y y yyy

=

− + − = − + − −

− + = + +

− + = + +− =

= −

Jadi titik yang dimaksud adalah (0,-4) jawab: A

(10). Perbandingan dan selisih dua bilangan adalah sama, yaitu sama dengan 9. Bilangan

terbesar adalah..

a. 818

b. 728

c. 638

d. 98

e. 89

Solusi:



8

Misalkan dua bilangan itu adalah a dan b , maka berlaku 9ab= dan 9a b− = dari hubungan

kedua dapat diperoleh 9b a= − subtitusikan ini ke hubungan pertama diperoleh

9

99

9 818 81

818

ab

aa

a aa

a

=

=−

= −− = −

=

jawab: A (11). Usia Amir adalah tiga kali usia Hasan. Satu tahun yang lalu, usia Amir adalah empat kali

usia Hasan. Usia Amir akan menjadi dua kali usia Hasan setelah... tahun lagi. a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1

Solusi: Misalkan tahun ini usia Amir adalah A dan usia Hasan adalah H . Tahun ini berlaku hubungan

3A H= , sementara satu tahun yang lalu berlaku hubungan ( )1 4 1A H− = − . Dari dua hubungan ini dapat dicari usia Amir dan Hasan tahun ini yaitu

( )1 4 1 4 44 3

3 4 33

A H HA HH HH

− = − = −

= −= −=

Setelah diketahui usia Hasan = 3 thn, maka dengan mudah dapat dihitung usia Amir adalah 9 thn. Untuk mengetahui berapa tahun lagi agar usia Amir sama dengan 2 kali usia Hasan, maka model matematikanya adalah

( )( )

2

9 2 39 6 2

3

A n H n

n nn nn

+ = +

+ = +

+ = +=

jawab: C

(12). Jika 0x ≠ , 0y ≠ dan 2 3 46 27 0x y xy+ = maka nilai xy

adalah

a. 112

−

b. 92

−



9

c. 72

d. 92

e. 112

Solusi:

( )( )

2 3 4

3

6 27 06 27 0

6 27 06 27

27 96 2

x y xyxy x y

x yx yxy

+ =

+ =

+ =

= −

= − = −

Penjelasan untuk baris kedua dan ketiga proses di atas: karena 0x ≠ dan 0y ≠ maka persamaan

( )3 6 27 0xy x y+ = hanya akan terpenuhi jika ( )6 27 0x y+ = . jawab: B

(13). Bentuk sederhana dari 1

1

3 33 3

n n

n n

+

−

−+

adalah

a. 52

b. 53

c. 32

d. 43

e. 54

Solusi:

1

1

33 33 3

nn n

n n

+

−

−=

+( )3 1

3n

−

( ) ( )4133

2 321

= =+

jawab: C (14). Nilai x p= memenuhi 16 22 16

x x

= maka nilai 2p p+ adalah

a. 59

b. 79

c. 89



10

d. 109

e. 119

Solusi:

( )

16 2

216 4

16 4 2

2 16

2 2

2 2

x x

xx

x x⋅

=

=

=

Dari persamaan di atas, terlihat bahwa persamaan pangkat memiliki basis sama yaitu 2, sehingga diperoleh

3 2

16 4 216 428 4

2 2

x x

x

x

x

x

= ⋅

=

=

=

Dengan cara seperti sebelumnya, 3 2

23

x

x p

=

= =

Dengan demikian nilai 2

2 2 2 4 6 103 3 9 9 9

p p ⎛ ⎞+ = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

jawab: D (15). Rata-rata tiga bilangan adalah 64. jika sebuah bilangan ditambahkan maka rata-ratanya

menjadi 62. Besar bilangan yang ditambahkan adalah... a. 50 b. 52 c. 54 d. 56 e. 58

Solusi:

Misalkan tiga bilangan itu adalah a , b dan c maka rata-ratanya adalah 1 643

a b cx + += =

setelah ditambah sebuah bilangan sebut saja d maka rata-ratanya menjadi

2 624

a b c dx + + += = dengan memperhatikan rata-rata awal, maka diperoleh



11

624

64 3 624

64 3 62 4192 248

248 192 56

a b c d

d

ddd

+ + +=

⋅ +=

⋅ + = ⋅+ =

= − =

jawab: D

(16). Jika A:B:C = 3:4:5, maka nilai dari 3 2 5A B CA B C

− + ++ +

adalah...

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

Solusi:

Dari perbandingan diperoleh 43

BA= dan 5

3CA= , ini dapat digunakan untuk menyelesaikan soal

3 2 53 2 5

1

4 53 2 53 3

4 513 3

333 83 29 413

B CAA B C A A

B CA B C AA A

⎛ ⎞− + +⎜ ⎟− + + ⎝ ⎠=+ + ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

− + ⋅ + ⋅=

+ +

− += = =

+

Catatan: Cara lain untuk menyelesaikan soal diatas adalah dengan langsung menganggap bahwa A = 3, B = 4, dan C = 5, dengan demikian diperoleh

3 2 5 3 3 2 4 5 5 9 8 25 24 23 4 5 12 12

A B CA B C

− + + − ⋅ + ⋅ + ⋅ − + += = = =

+ + + +

jawab: B (17). Diketahui AB = 5 cm dan BC = 4 cm. Jika luas ΔBCD adalah 12 cm2, maka luas ΔABD

adalah...



12

a. 15 cm2 b. 16 cm2 c. 18 cm2 d. 20 cm2 e. 21 cm2

Solusi: Perhatikan gambar berikut,

Luas segitiga BCD adalah 1

2 12BCD BC tΔ = ⋅ = sedangkan luas segitiga ABD adalah 12

12

ABD AB tΔ = ⋅

=12

BCDAB Δ

5 12 154

AB BCDBCBC

= Δ

= ⋅ =

, catatan: 12

BCDtBC

Δ=

jawab: A (18). Jumlah kuadrat dari tiga bilangan bulat negatip berurutan adalah 434. Jumlah ketiga

bilangan tersebut adalah... a. -25 b. -30 c. -36 d. -42 e. -48

Solusi: Misalkan bilangan tersebut adalah a , b dan c , karena berurutan maka 1b a= + dan 2c a= + Dari soal diketahui



13

( ) ( )

( )( )

2 2 2

2 22

2

2

2

434

1 2 434

3 6 5 4343 6 429 0

2 143 011 13 0

a b c

a a a

a aa aa a

a a

+ + =

+ + + + =

+ + =

+ − =

+ − =

− + =

Jawaban dari persamaan kuadrat di atas adalah a = 11 atau a = -13, karena dari soal diketahui bahwa a negatif, maka yang diambil adalah a = -13, dengan demikian diperoleh b = -12, dan c = -11, sehingga penjumlahan ketiga bilangan tersebut adalah 13 12 11 36a b c+ + = − − − = −

jawab: C (19). Grafik y = 5, y = 1, y = 2x + 5 dan y = 10 – x merupakan batas segiempat ABCD. Luas

segi empat tersebut adalah... satuan luas. a. 34 b. 32 c. 26 d. 22 e. 20

Solusi: Perhatikan gambar berikut

Titik-titik perpotongan dihitung menggunakan persamaan garis, silahkan dicoba. Dengan memperhatikan gambar di atas dapat dilihat bahwa segiempat yang terbentuk adalah sebuah trapesium, luasnya dalah ( ) ( )1 1

2 2 11 5 4 32L AB CD t= + = + ⋅ = jawab: B

(20). Panjang sisi-sisi suatu segitiga adalah (x+5) cm, (2x-1) cm dan 11 cm. Banyaknya nilai x

sehingga segitiga itu adalah segitiga sama sisi adalah... buah. a. 5 b. 4 c. 3 d. 2



14

e. 1 Solusi: Agar segitiga itu sama sisi maka haruslah x + 5 = 11 dan 2x – 1 = 11 solusi dari dua persamaan ini adalah x = 6. Jika dilakukan cek terhadap persamaan x + 5 = 2x – 1 maka solusi yang diperoleh juga adalah x = 6. Dengan demikian hanya ada satu kemungkinan nilai x.

jawab: E (21). AB adalah diameter lingkaran dan BC merupakan garis singgungnya. Jika AB = 20 cm dan

BC = 15 cm, maka panjang CD adalah ... cm a. 11 b. 10 c. 9 d. 8 e. 7

Solusi: Perhatikan gambar berikut, karena AB adalah garis tengah (diameter) lingkaran dan BC adalah garis singgung, maka sudut ABC siku-siku. Karena AB diameter maka segitiga ABD siku-siku di titik D. Jika sudut ABD = α dan sudut BAD = β maka sudut ACB = α dan sudut CBD = β . Dengan demikian segitiga ABC, ABD dan BCD merupakan tiga buah segitiga yang

kongruen. Dengan sifat kongruen ini, maka diperoleh perbandingan CD BCBC AC

= (perhatikan

segitiga BCD dan ABC), sehingga 2 215 9

25BCCDAC

= = = (catatan: panjang AC dihitung dengan

rumus Phytagoras).

jawab: C (22). Bilangan 5dddd habis dibagi 6, maka nilai d adalah...

a. 2 b. 4 c. 6 d. 7



15

e. 8 Solusi:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

4 3 2 15 5 10 10 10 105 1666 6 4 166 6 4 16 6 4 1 6 4

5 1666 166 16 1 6 20 4 4 4

5 1666 166 16 1 6 20 13

dddd d d d dd d d d

d d d d d d d

d d d d

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

= ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + +

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + + +

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + +

Dari baris akhir di atas dapat dilihat bahwa jika 5dddd dibagi 6 maka sisanya adalah 20 13d+ . Agar 5dddd habis dibagi 6, maka sisa tersebut juga harus habis dibagi 6, atau dengan kata lain 20 13d+ haruslah kelipatan 6. Jika kita coba dengan subtitusi d = 1, 2, 3, ... dapat ditunjukkan bahwa untuk d = 4 diperoleh 20 13d+ = 72 yang merupakan kelipatan 6. Dengan demikian bilangan yang dimaksud adalah 5dddd = 54444

jawab: B (23). Peluang memilih bilangan antara 1 sampai 100 yang merupakan kelipatan 3 atau kelipatan

4 adalah...

a. 13

b. 12

c. 34

d. 25

e. 23

Solusi:

Peluang terpilihnya bilangan kelipatan 3 antara 1 sampai 100 adalah 33100

, hal ini dikarenakan

bilangan kelipatan 3 dalam interval 1 sampai 100 yaitu: 3, 6, 9, ..., 99 (ada 33 bilangan, dari 100 bilangan). Sedangkan peluang terpilihnya bilangan kelipatan 4 dalam interval 1 sampai 100

adalah 25100

, ini dikarenakan bilangan kelipatan 4 dalam interval ini adalah: 4, 8, 12, ..., 100 (ada

25 bilangan, dari 100 bilangan). Namun perlu diingat bahwa ada bilangan yang kelipatan 3 yang juga kelipatan 4 yaitu: 12, 24,

36, ..., 96 (ada 8 bilangan, dari 100 bilangan), peluang terpilihnya bilangan ini adalah 8100

.

Dengan demikian peluang keseluruhan adalah 33100

+ 25100

– 8100

= 50100

= 12

.

jawab: B (24). Nilai terbesar x yang memenuhi sistem persamaan:

2

2

41

x xyy xy+ =

+ =

adalah...



16

a. 32 5

b. 45 5

c. 5 d. 6

5 5

e. 75 5

Solusi:

2

2

44

11

x xy x yx

y xy x yy

+ = ⇔ + =

+ = ⇔ + =

Sehingga diperoleh hubungan 4 1

4xy

x y= ⇔ =

Subtitusi ini ke persamaan pertama maka

2

22

2

2

44

44

5 44

165

16 1 44 55 5 5

xx x

xx

x

x

x

+ =

+ =

=

=

= ± = ± = ±

Jadi nilai maksimum adalah 4 55

x =

jawab: B (25). Hasil kali dua bilangan bulat antara 75 dan 85 yang membagi bilangan 323 1− adalah...

a. 6972 b. 6888 c. 6804 d. 6560 e. 5852

Solusi:



17

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

( )( )

832 4 8

4 4

2 2 4

2 4

2 4

3 1 3 1 81 1

81 1 81 1

81 1 81 1 81 1

81 1 81 1 81 1 81 1

80 82 81 1 81 1

− = − = −

= − +

= − + +

= − + + +

= ⋅ ⋅ + +

Jadi bilangan bulat yang dimaksud adalah 80 dan 82, hasil kalinya adalah 6560 jawab: D

(26). Jika A, B, C bilangan bulat positif sehingga 31 114

1

AB

C

= ++

+

maka nilai dari

2 2 2A B C+ + adalah... a. 54 b. 55 c. 56 d. 57 e. 58

Solusi: 31 3 1 17 7 74 14 4 13 3

1 17 1 112 1 1

AB

C

= + = + = ++

= + ≡ ++ +

+ +

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa A = 7, B = 1 dan C = 2 sehingga dapat dihitung nilai dari 2 2 2 2 2 27 1 2 54A B C+ + = + + =

jawab: A (27). Pada ΔABC tingginya bertambah 10% dan panjang alasnya berkurang 10%, maka luasnya

akan a. Tetap sama b. Bertambah 10% c. Berkurang 10% d. Bertambah 1% e. Berkurang 1%

Solusi: Luas awal segitiga adalah 1

1 1 12L a t= ⋅ , setelah berubah alas dan tingginya maka luasnya menjadi ( ) ( )1 1

2 2 2 1 12 2

11 12

1

0.9 1.10.990.99

L a t a ta t

L

= ⋅ = ⋅

= ⋅ ⋅

=

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa luasnya berkurang 1%. jawab: E



18

(28). Dua bilangan dipilih dengan pengembalian dari himpunan {-5, -4, ..., 4, 5}. Peluang yang terambil adalah dua bilangan bulat dengan hasil kali negatif adalah...

a. 14

b. 25121

c. 50121

d. 12

e. 71121

Solusi: Pengambilan dua bilangan dengan pengembalian maksudnya adalah dua buah bilangan diambil dua kali, setelah pengambilan pertama maka bilangan tersebut dikembalikan lalu dilakukan pengambilan yang kedua. Jika yang diharapkan adalah dua bilangan yang terambil hasil kalinya negatif, maka haruslah dua bilangan itu berlainan tanda, yaitu bilangan pertama positif dan bilangan kedua negatif (kasus pertama) atau sebaliknya, bilangan pertama negatif dan kedua positif (kasus kedua). Misalkan saja kita tinjau kasus pertama dimana bilangan pertama positif

dan kedua negatif. Maka peluang terambilnya bilangan pertama positif adalah 511

(ada 5

bilangan positif dari 11 bilangan yang mungkin terambil), sedangkan peluang terambilnya

bilangan kedua negatif adalah juga 511

(ada 5 bilangan negatif dari 11 bilangan yang mungkin

terambil, ini disebabkan bilangan pertama dikembalikan), dengan demikian peluang keseluruhan

untuk kasus ini adalah 5 5 2511 11 121× = . Dengan menggunakan cara yang sama diperoleh untuk

kasus kedua peluangnya adalah 25121

, sehingga peluang total adalah 25121

+ 25121

= 50121

jawab: C

(29). Jika xyax y

=+

, yzby z

=+

, zxcz x

=+

dimana , , 0a b c ≠ , maka nila x disebutkan dalam a ,

b , dan c adalah...

a. 11 1 1

2 2 2

x

a b c

=+ −

b. 11 1 1

2 2 2

x

a c b

=+ −

c. 11 1 12 2 2

x

b c a

=+ −

d. 11 1 1

2 2

x

a b c

=+ −



19

e. 11 1 1

2 2

x

a c b

=+ −

Solusi:

1 1 1

1 1 1

1 1 1

xyax y a x yyzb

y z b y zzxc

z x c x z

= ⇔ = ++

= ⇔ = ++

= ⇔ = ++

Persamaan ketiga dikurangi persamaan kedua akan menghasilkan 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1

c x z

b y z

c b x y

= +

= +

− = −

Selanjutnya hasil di atas ditambahkan dengan persamaan pertama 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 2

c b x y

a x y

a c b x

− = −

= +

+ − =

Hasil di atas selanjutnya diproses lanjut sebagai berikut

1 1 1 12 2 2

11 1 1

2 2 2

a c b x

x

a c b

+ − =

=+ −

jawab: B (30). Jari-jari lingkaran dalam yang menyinggung trapesium sama kaki dengan panjang sisi

sejajar 8 cm dan 18 cm adalah... a. 5

b. 152

c. 6

d. 162

e. 7



20


Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa AI = AE – DG = 9 – 4 = 5 cm. Sedangkan HD = DG = 4 cm, dan AH = AE = 9 cm. Dengan demikian AD = AH + HD = 9 + 4 = 13 cm. Panjang DI dapat dihitung dengan rumus Phytagoras yaitu DI = 2 2 2 213 5 144 12AD AI− = − = = cm.

Jadi jari-jari lingkaran adalah 1 12 62 2

r DI= = = cm.

jawab: C (31). Jika 2 3 6x y z= = , maka hubungan antara x, y, dan z adalah...

a. xyzx y

=+

b. x yzx y−

=+

c. x yzx y+

=−

d. x y

zx y

=+

e. y xzx y

=+

Solusi: Misalkan terdapat suatu bilangan a sehingga 2 3 6x y z a= = = maka diperoleh hubungan logaritma sebagai berikut:

2

3

6

12 log log 2

13 log log3

16 log log 6

x a

y a

z a

a x ax

a y ay

a z az

= ⇔ = ⇔ =

= ⇔ = ⇔ =

= ⇔ = ⇔ =

Dari identitas terakhir dapat dijabarkan sebagai berikut



21

( )1 log 6 log 2 3

log 2 log31 1

a a

a az

x yx y xy

= = ⋅

= ++

= + =

Selanjutnya 1 x y xyzz xy x y

+= ⇔ =

+

jawab: A (32). Faktor dari 2 22 0x y xy x y− − − − = berupa dua garis yang berpotongan di titik (a,b) nilai

2 2a b+ adalah...

a. 59

b. 49

c. 29

d. 0

e. 13

Solusi:

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 2

2 2

2 2

2 02 2 02 2 0

2 1 2 1 0

2 1 2 1 0

2 1 0

x y xy x yx y xy xy x yx xy x y xy y

x x y y y x

x x y y x y

x y x y

− − − − =

− − + − − =

− − − + − =

− − + − + − =

− − + − − =

+ − − =

Jadi garis yang dimaksud adalah x + y = 0 dan x – 2y – 1 = 0. Titik potong kedua garis ini adalah

13

x a= = dan 13

y b= = − (gunakan cara eliminasi atau subtitusi, silahkan dicoba). Maka

2 2a b+ = 1 19 9+ = 2

9

jawab: C (33). Bilangan bulat terkecil n sehingga ( )1n + + ( )2n + + ( )3n + +...+ ( )23n + merupakan

bilangan kuadrat sempurna adalah... a. 10 b. 11 c. 12 d. 13 e. 14



22

Solusi: ( ) ( ) ( )

( )

23 suku 23 suku

1 2 ... 23... 1 2 ... 23

23 2323 1 23 23 242 2

23 276

n n nn n n

n n

n

+ + + + + +

= + + + + + + +

= + + = + ⋅

= +

Dengan mencoba n = 10, 11, 12, ..., 14 maka diperoleh untuk n = 11 harga 23 276n + = 529 =

223 yang merupakan kuadrat sempurna. Catatan: Suku kedua pada persamaan di atas, yaitu 1 2 ... 23+ + + adalah deret aritmetika (deret hitung) dengan suku pertama a = 1, beda b = 1, banyak suku n = 23, dan suku terakhir nU = 23. Rumus penjumlahan n suku pertama suatu deret aritmetika adalah

( )

( )( )2

2 12

n nnS a U

n a n b

= +

= + −

Sehingga

( ) ( )2323 231 23 24 23 12 2762 2

S = + = = ⋅ =

jawab: B

(34). Jika 1 5xx

+ = , maka nilai 33

1xx

+ adalah...

a. 100 b. 105 c. 110 d. 115 e. 120

Solusi:

22

2

22

22

1 1 2

125 2

123

x xx x

xx

xx

⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + +

= +

selanjutnya

2 32 3

33

33

33

1 1 1 1

1 15 23

1115 5

1110

x x x xx x x x

x xx x

xx

xx

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⋅ = + + +

= + +

= +

jawab: C (35). Di dalam persegi panjang dengan sisi 6 cm dan 8 cm terdapat dua lingkaran. Jarak kedua

pusat lingkaran adalah... a. 3 b. 2



23

c. 2 3 d. 2 5

e. 52


A B

C D

8 cm

6 cm E F

G

r

Jari-jari lingkaran dalam adalah 1222 8 6 48 2

8 6 10 24ABD

ABD

AB ADLrK AB AD BD

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = = =

+ + + + cm. Dengan

demikian dapat dihitung dengan mudah EF = 4 cm dan GF = 2 cm. Jadi jarak antara pusat lingkaran adalah

2 2

2 24 2

20 2 5

EG EF FG= +

= +

= =

jawab: D

(36). Jika 39 12 3 a b+ = + maka nilai 2b a− adalah... a. -3 b. 0 c. 3 d. 6 e. 9



24

Solusi: Kita mulai dengan identitas 2 2 2p q p q pq+ = + + (coba buktikan indentitas ini). Dengan demikian diperoleh

2

2

2

39 12 3

6 3 2 6 3

a b a b a b+ = + +

= +

= + + ⋅

jadi diperoleh 6a = dan 3b =

Dengan demikian, 2b a− = 9 – 6 = 3 jawab: C

(37). Bentuk sederhana dari: 2004 2004 2004 2004...1 2 2 3 3 4 2003 2004

+ + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅

adalah...

a. 2004 b. 2003 c. 2002 d. 2001 e. 2000

Solusi: 2004 2004 2004 2004...1 2 2 3 3 4 2003 2004

1 1 1 12004 ...1 2 2 3 3 4 2003 20042 1 3 2 4 3 2004 20032004 ...1 2 2 3 3 4 2003 2004

1 12004 12 2

+ + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠− − − −⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

= − +1 13 3

− +1 ...4

− +1...

2003+ +

12004

12004 12004

2004 12003

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

= −=

jawab: B (38). Bilangan bulat terbesar n sehingga 8n membagi 4444 adalah...

a. 23 b. 25 c. 27 d. 28 e. 29

Solusi:



25

( )

( )

( )

4444

44 44

44 42 2

1444 3

44 14

1444 2

44 28

44 29

44 11 4

11 411 4 4

11 4 16

11 64 8 2

11 8 8 2

11 8 8 211 8 2

= ⋅

= ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

Jadi bilangan bulat terbesarnya adalah n = 29 jawab: E

(39). Jumlah digit dari 2003 100310 10− adalah

a. 8100 b. 8900 c. 9000 d. 9500 e. 9900

Solusi:

( )( )

2003 1003 1003 1000

1003

1000

1000 1003

10 10 10 10 1

10 99...9

999...9000...0n

n n

=

= =

− = −

=

=

Jadi jumlah digitnya (penjumlahan angkanya) adalah

1000 1003

9 9 ... 9 0 ... 0

9000 09000

n n= =

+ + + + + +

= +=

jawab: C (40). Jumlah digit dari bilangan bulat positif terkecil tetapi lebih besar dari 1 yang jika dibagi: 5,

6, 7, 8 akan bersisa 1 adalah... a. 5 b. 9 c. 11 d. 13 e. 15

Solusi: Misalkan bilangan tersebut adalah a , maka berlaku 5 1 6 1 7 1 8 1a b c d e= + = + = + = + dimana b , c , d dan e bulat. Dari persamaan ini diperoleh 5 6 7 8b c d e k= = = = agar b , c , d dan e bulat, maka nilai k terkecil adalah KPK dari 5, 6, 7 dan 8, yaitu 5 3 7 8 840k = ⋅ ⋅ ⋅ = . Dengan demikian bilangan bulat yang dimaksud adalah a = 841. Jumlah digit dari bilangan ini adalah 8 + 4 + 1 = 13.

jawab: D



26

(41). A dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam 5 hari. B dapat menyelesaikan pekerjaan itu

juga dalam 10 hari. Berapa hari pekerjaan itu dapat diselesaikan oleh keduanya secara bersamaan?

Solusi: Misalkan saja pekerjaan yang dimaksud adalah mengangkut batu. Dan misalkan saja ada 10 batu. Maka kemampuan A adalah mengangkut 2 batu per hari, sedangkan kemampuan B adalah 1 batu perhari. Jika pekerjaan mengangkut batu itu dilakukan berdua (bersamaan) maka banyaknya hari yang diperlukan agar 10 batu terangkut adalah sebagai berikut: ( )( )

13

10

2 1 103 10

10 33

A B n

nn

n

+ =

+ =

=

= =

Jadi waktu yang diperlukan adalah 133 hari.

(42). Gambar di samping adalah layang-layang, dengan AC = (10-x) cm dan BD = (2x-12) cm.

Panjang AC dan BD sehingga luas ABCD maksimum adalah...

Solusi: Luas layang-layang adalah

( )( )( )

1 12 2

212

2

10 2 12

2 32 120

16 60

L AC BD x x

x x

x x

= ⋅ = − −

= − + −

= − + −

Terlihat bahwa luas layang-layang merupakan persamaan kuadrat dengan variabel x. Nilai maksimum untuk persamaan kuadrat di atas adalah

( )( )( )

22

max

16 4 1 6044 4 4 1256 240 16 4

4 4

D b acLa a

− − −−= − = − = −

−

−= − = =

−

Jadi luas maksimum adalah 4 cm2.



27

Catatan: Jika dianalisis lebih lanjut, harga luas maksimum dicapai pada saat x = 8 cm (yaitu diperoleh dari

rumus ( )16 8

2 2 1bxa

= − = − =−

). Cara lain untuk menentukan nilai maksimum adalah dengan

menggunakan diferensial (turunan) sebagai berikut, 2 16 60

2 16

0 2 168

L x xdL xdx

xx

= − + −

⇒ = − +

⇒ = − +⇒ =

Selanjutnya untuk menghitung luas maksimum, masukkan harga x = 8 di atas

( )( ) ( )

2max

2

8 16 60

8 16 8 6064 128 60

4

L L x x x= = = − + −

= − + −

= − + −=

(43). Untuk keperluan HUT kemerdekaan, panitia berencana membuat baliho berbentuk layang-

layang. Panitia membeli kayu triplek berukuran 120 cm × 180 cm yang akan diserahkan kepada biro reklame untuk dibuatkan balihonya. Panitia membuat sketsa dengan syarat (1) panjang masing-masing diagonal adalah 120 cm dan 180 cm, (2) AO:OC = 1:3. Berapa ukuran baliho paling besar yang dapat dibuat? Jelaskan!

Solusi: Perhatikan gambar di bawah: Ukuran kayu tripleks EFGH adalah EF × FG = 120 cm × 180 cm. Sedangkan ukuran layang-layang telah ditentukan yaitu diagonal AC = 180 cm dan BD = 120 cm. Dari soal juga diketahui

syarat kedua yaitu AO:OC = 1:3 sehingga 1 1 180 454 4

AO AC= = ⋅ = cm, selanjutnya dengan

mudah dihitung 135OC = cm. Karena ukuran diagonal telah ditentukan maka kemungkinan ukuran layang-layang hanya ada satu sebagaimana telah dihitung. Jadi ukuran baliho terbesar (dan satu-satunya) adalah seperti gambar di bawah dengan AC = 180 cm, BD = 120 cm, AO = 45 cm, dan OC = 135 cm.

Solusi Olimpiade Matematika SMP Se Jawa Timur

Documents

Transcript of Solusi Olimpiade Matematika SMP Se Jawa Timur